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顺义区2011-2012高三一模(理科)数学试题及答案

顺义区2012届高三第一次统练

高三数学（理科）试卷 2012.1

一. 选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1. 已知全集U R =,{}|03M x x =<<,{}|2N x x =≥,()U M C N =

I ( )

A.{}|02x x <

< B.{}|03x x << C.{}|23x x ≤< D.{}|3x x <

2.已知i 为虚数单位，则(21)i i += （） A.

2i +

- C. 2i -+ D. 2i --

3.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递减的函数为 ( ) A.1

()f x x -=

B.()cos f x x =

C.()2x f x =

D.1

()log f x x

4. 执行右边的程序框图，若4p =，则输出的S 值为 ( ) A.34

B.7

8 C.15

轴与x

5.在直角坐标系xoy 中，极点与原点重合，极轴正半轴重合，已知圆C 的参数方程为：cos 1sin x y αα

=??

=+?

(α

为参数，

R α∈），则此圆圆心的极坐标为 ( )

A. (1,)2

π-

B. (1,0)

(1,

)

2π D. (1,)π

6.设等差数列{}a n 的前

项和为

S n

，则

560

a a +>是

S S ≥的

( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

7.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为 ( ) A.

C A B.2275C A C.2273C A D.2274C A

8．已知映射

f ：'

(,)P m n P →(0,0)m n ≥≥.设点(1,3),(3,1)A B ,点M

是线段AB 上一动点，'

M M

→，当点M 在线段AB 上从点A 开始运

动到点B 时，点M 的对应点'M 所经过的路线长度为 ( ) A.

π B.

π C.

π D.

二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)

9.已知sin 5

α=

，则cos 2α=_____________.

10.抛物线

16y x

=的焦点

的坐标为__________,点

到双曲线

312x y -=的渐近线的距离为______________.

11．

的展开式中，常数项为_____________.

12.如图所示：AB 是半径为1的圆O 的直径，BC ，CD 是圆O 的切线，,B D 为切点，若

ABD ∠=，则

AD OC

?的值为

________________.

13.已知两个非零向量

(1,1)

a m n =+-r

，(3,3)b m n =+-r ，且a

r 与b

r 的夹角为钝角或直角，则n m -的取值范围

是________________. 14.已知函数()1x f x x

+ (x R ∈)，给出下列命题：

（1）对R ?∈，等式()()0f x f x -+

=恒成立；

（2）函数()f x 的值域为()1,1-；（3）若12x x ≠

，则一定有12()()f x f x ≠；

（4）函数()()g x f x x

-在R 上有三个零点.

其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）

三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）

已知向量1

)22

a =-r

，b =r .

(Ⅰ)求证a b ⊥r r

；

（Ⅱ）如果对任意的s R +

∈，使(12)m a s b

=++u r r r

与1(1)n k a b s

=-++r r r

垂直，

求实数k 的最小值 .

16．（本小题共13分）

已知函数()4sin cos()3f x x x π=-

x R ∈）

(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期与对称轴方程; (Ⅱ)求()f x 在0,

2π??

???

上的最大值和最小值.

17．（本小题共13分）

某学校教学实验楼有两部电梯，每位教师选择哪部电梯到实验室

的概率都是1

，且相互独立，现有3位教师准备乘电梯到实验室.

(Ⅰ) 求3位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率；

（Ⅱ）若记3位教师中乘第一部电梯到实验室的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

18．（本小题共14分）

已知函数()(1)kx

f x x e

=+,(k为常数，0

k≠).

（Ⅰ）当1

f x的极值；

k=时，求函数()

（Ⅱ）求函数()

f x的单调区间；

（Ⅲ）若函数()

0,1上是单调增函数，求实数k的取值范围.

f x在区间()

19．（本小题共14分）

已知椭圆:G 12

2=+

y a

x )0(>>b a 的离心率2

e =

，短轴长为2，O 为坐

标原点.

（Ⅰ）求椭圆G 的方程；

(Ⅱ) 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是椭圆G 上的两点，11(,)x y m a b =u r ，22(,)x y

n a b

=r .

若0m n ?=u r r

，试问AOB V 的面积是否为定值？如果是请给予证明，如

果不是请说明理由.

20. （本小题共13分）已知函数167()44

x f x x +=

+，数列{}n

a ，{}n

b 满足0

>a ，0

>b ，

)(1-=n n a f a ，)(1-=n n b f b ，2,3n =???

（Ⅰ）若13a =，求2,a 3a ；

（Ⅱ）求1a 的取值范围，使得对任意的正整数,n 都有n

n a a >+1；

（Ⅲ）若,4,311==b a 求证：1

10-≤

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高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准 2012.1

二.填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分 9．3

5；10.(4,0),2；11.60；12．2；13．(2,6)；14 ．（1），（2），（3）；

三．解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）Q 1)22

a =-r ，

b =r ，∴022a b ?=-=r r ∴a b ⊥r r

————4

分

（Ⅱ）Q m n ⊥u r r ，故∴0m n ?==u r r ，∴22

1(12)(1)0k a s b s

-+++=r r

Q ||1,||2a b ==r r

，∴221,4a b ==r r ；————8分

∴14(23)k s s

+，————10分

注意到s 为正实数，

∴4(3k ≥+，“=”当且仅当2

s =

时成立——12分

∴k

的最小值为4(3+.————13

分.

16．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）1

()4sin cos 22f x x x x ??

???

2sin cos x x x =+-

sin 222sin(2)3

x x x π=-

————4分

∴周期T π

=，————6分

对称轴方程232

x k πππ-=+

，∴

5,212k x k Z

∈————8分

（Ⅱ）Q

x π≤≤，∴

223

x πππ-

≤-

≤

，————9分

∴当23

3x ππ-

时min ()f x =，————11分

当223

x ππ

时max

()2f x =.————13

分

17．（本小题共13分）

（Ⅰ）记三位教师选择同一部电梯到实验室为事件A ，则13

211()()24

P A C ==

；————4分

（Ⅱ）Q 1

~(3,)

B ξ

，0,1,2,3ξ

∴00

33111(0)()(1)228P C ξ==-=

，1

113(1)(1)2

P C ξ

==-=

3113(2)()(1)228

P C ξ==-=

，33

03111(3)()(1)228

P C ξ

==-=

————8分 ξ

的分布列为：

————10分

13322

E ξ=?

=（元） ————13分

18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）Q

()(1)kx

f x x e

∴'()(1)(1),0kx

f x e

ke x e kx k k =++=++≠；——2

分

当1k =时，()(1)x

f x x e

=+，'()(2),x

f x e x =+，

令'()0f

x >，Q 0x

e >，∴2x >-，

∴函数()f x 在(),2-∞-递减，在()2,-+∞递增. ————4分 ∴函数()f x 在2x =-时取得极小值2

1(2)f e

-=-

；————5分

（Ⅱ）由（1）知∴'()(1),kx

f x e kx k =++

令'()0f

x ≥，Q 0kx

>，∴10kx k ++≥，由0k ≠ ∴当0k >时，111k x k

+≥-=--

，

∴当0k >时()f x 在1(1,)k

--+∞递增，在1(,1)k

-∞--递减；———7分同理0k <时，()f x 在1(1,)k

--+∞递减，在1(,1)k

-∞--

递增；——9

分

（Ⅲ）Q

()f x 在()0,1上单调递增，

∴'()(1)0kx

f x e kx k =++≥在()0,1上恒成立，

Q 0kx

>，∴10kx k ++≥在()0,1上恒成立，———11分法

1：设()1g x kx k =++，只需(0)0(1)0

g g ≥??≥?，解得1

2k ≥-

，

∴1[,0)(0,)2

k ∈-

+∞U ，————14

分

法2：要

10kx k ++≥在()0,1上恒成立，∴11

k x ≥-

+，

Q 11

x -

+在(0,1)上单调递增，∴

max 11()1

x -

+，∴

k ≥-

∴1[,0)(0,)2

k ∈-

+∞U

19．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）22,b =∴1b =，2

c e a

————2分

∴2a =，椭圆G

的方程为

y +=；————4

分

（Ⅱ）当AB 的斜率不存在时，1212,x x y y ==-，

由0m n ?=u r r ，∴1111(,)(,)022

x x

y y -=

∴2

112

211

041

4x y x y ?-=???

?+=??

，解得11||||2

x y =

，

∴1121||||12

AO B S x y y =

=V 是定值. ————6分

当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+

y kx m x y =+???+=??，消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=

122

8,14km x x k

+=-

+ 2

122

4414m x x k

+ （**）————8分

由0m n ?=u r r ，∴1212()()04

x x

kx m kx m +++=

即

121214()04

k x x km x x m ++++=，

（**）代入解得22

421k m =-； ————10分

坐标原点到直线AB

的距离为：d =

，————12分

弦||A B =

∴1||12

AO B S AB d =

=V 是定值.

————14分

20．（本小题共13分）（Ⅰ）Q

167(),44

x f x x +=

+1()n n a f a -=

∴1211167163755()44

434

a a f a a +?+==

=+?+，

同样可求：2322167248()44

a a f a a +==

+————3分

（Ⅱ）1679

()44441x f x x x +=

++，则

11191

1(4)(4)(

)41

4141

n n n n n n a a a a a a +---=-

++++

119

()

4(1)(1)

n n n n a a a a --=

-++————5分

2122

1291()()4(1)(1)(1)

n n n n n a a a a a ----=-+++ 32322

12391()()4(1)(1)(1)(1)

n n n n n n a a a a a a -----=-++++ 12122

12291()()4(1)(1)(1)(1)

n n n n a a a a a a ---=-+++???+————7分

注意到*0,()n a n N >∈，要使1n n

a a +>只须210a a ->，

即

111167,44

a a a +>+2

1141270

a a --<，解得1702

a <<

.————9分

（Ⅲ）当13a =时，由（Ⅱ）知1n n a a +>，即167,44

n n n a a a +>+，

解得702

a << ∴732

a ≤<

Q 14b =，∴由（Ⅱ）知1n n

b b +≤即

167,44

n n n b b b +≤+解得

742

n b ≤≤，*

n N

∈

————11分

n n b a -=11119

1(4)(4)(

)

n n n n b a a b ----=-

++++

11119

()

4(1)(1)

n n n n b a a b ----=

-++

1111911()()74

(31)(

2n n n n b a b a ----≤-=

-++

22112

1111()()(43)8

n n n n n b a b a -----≤

-≤???≤

-≤

综上所述1

10,1,2,38

n n n b a n -<-≤

=???————13分