当前位置：文档库 › 江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛

本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分）

1.函数sin sin y x x =（其中2

x π

≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)

()n m n

d x p x dx

，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.2

[cos()]sin x x xdx π

π-+=?_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由?

-x t

dt e

t 1

所确定的隐函数，则

==0

t dt

x d 。

7.已知微分方程()y

y x x

?'=

+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。

8.直线21x z

y =??=?

绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a

为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹

角为____________。

10. =?????????? ??+???? ??+???? ?

?+∞→n

n n n n n 1

222212111lim 。二、（7分）

设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞

→lim 。

三、（7分）求c 的值，使?=++b

a c x c x 0)cos()(，其中a

b >。

四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中

,,a b c 为正实数）

。

五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动a q m （其中01q <<），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q 倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？

六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明20

1()3

f x dx M ≤

，

其中 [0,2]

()m ax

x M f x ∈''=.

江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛

本科一级竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共50分） 1.

1114142

42lim

n n n n n →∞

??+++= ?+++?? ________________.

2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z

=+??

=?确定的隐函数，则

z x

?=?____________________。

3.设2

()(32)cos

x f x x x π=-+，则()

(2)n f

=________________。

4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos 2x y xe x =，则通解为_______________。

5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面222

1x y a

=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。

6.已知,a b 是非零常向量2b = ，(,)3

a b π

∧

= ，则0l i m

x a x b a

→+-=

___________________。

7. 2

11(cot )

dx x π

=+?_______________________。

8.椭球面2

241x y z ++=

与平面0x y z ++-=之间的最短距离为______________。

二、（8分）试比较e

π与e π的大小。

三、（10分）已知,a b 满足12

b a

x dx =

，（0a b ≤≤），求曲线2

y x ax =+与直线y bx =所

围区域的面积的最大值与最小值。

四、（10分）设区域D ：)0(,222>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。求证：

)0,0(),(1lim

f dxdy y x f t

t =??

→。

五、（10分）求不定积分dx xe

x x x x

?++)

1(cos 1sin 。

六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程04

=??+???+??y

u y

x u x

u 化简成

=???η

ξu ，求b a ,的值。

七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0,()0f f f x ==≠, 证明：10

[0,1]

()4()max x f x dx f x ∈''≥?。

江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛

本科三级、专科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题5分，共40分） 1.若0a >

，2

lim

lim [sin(

)tan 3]sin 6

x x x x x x π

π→→

=--

?，则a =____________.

2.若()(21)(32)(10099),f x x x x x =--??-则(0)f '=________________.

3.已知当x 大于

且趋向于

时，-3arccos x π与1()2

a x -

为等价无穷小，则

a =_____________,

b =_______________.

4.2

||1

x xe dx --=?___________________________.

5.直线23223

x y z x y z +-=??

-+=?在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L 的距离为

____________.

6.++π

αβα2β3αβ设与均为单位向量，其夹角为，则以与为邻边的平行四边形的

面积为______________.2

7.x 0(sin )(sin ),(0)0(0)_______.d d f x f x f f dx

≠=设当时

，则

8.设函数)(x y y =是由033

3=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞

→x

y x lim

。

二、（10分）

设,0()0

x y f x x >===??；讨论()f x 的连续性，求单调区间、极值与渐近线。

三、（10分）

(1)(3).x x --2

设f(x)=x

(1)(y ()f x =本科三级考生做）试问曲线有几个拐点，证明你的结论.

(2)(f ()0x "

=专科考生做）试问在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.

四、（10分）

x sin u x (sin ),.

3sin 4cos x

x f x dx dx x π

πππ

+??

若f （）是连续函数，证明f(sinx)dx=

并求2

五、（10分）

0()[0,1]0x

f x x dx ≤≤≤≤

?设在区间上可积，当时，又求证：

六、(10分)

求过点)0,9,11(，而与两直线???=++-=+0

:1z y x y x L 、??

?=-+=-+0

2013:2z y y x L 相交的直线方

程。

七、（10分设)(t f 连续函数，求证2

:,))(()(A y A x D dt t A t f dxdy y x f D

A A

≤

-???

-。

江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛

本科三级、专科竞赛试题(有改动)

一、填空题（每小题5分，共40分）

lim

____________x →=

2. 函数f(x)=()2232x x x x ++-的不可导点的个数为___________.

3.设

f(x)=

0x x ?≤?

? ,则31

(2)f x dx -?=_______________. 4.(本三考生做)设变量x,y,t 满足y=f(x,t)及F(x,y ,t)=0,函数f ，F 的一阶偏导数连续，则

d y d x

=_______________.

(专科考生做)设f(x)的导数连续，且f （0）=0，则10

lim

()________x f xt dt x

→=?

5（

l 过点M （1，-1，0）且与两条直线1l ：21

35x z x y z +=??-+=?

和

22,

:14,3x t l y t z =-+??

=-??=?

垂直，则l 的参数方程为_______________________. 6.ln x dx =?_____________________. 7. 设)(1

lim

)(22

2N n x bx

x f n

n n ∈+++=-∞

→，极限与

)(lim 1

x f x →)(lim 1

x f x -→都存在.，则

a =______________________、

b =___________________________.

8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)0(3)(,2)(≠='='a a g a f ，那么 =-'+-')()(a g a f 。

二、（9

分）求lim sin(n π

→∞

三、（9分）α为正常数，使得不等式x

x e

α≤对任意正数x成立，求α的最大值.

四、设函数f(x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x，''

()()0

f x f x≥,且在[a,b]的子区间上()

f x不恒等于零.试证()

f x在[a,b]中至多有一个零点.

五、（9分）设连续函数()

f x满足()

f x=

()(),(). x x f x dx x f x dx f x ++

??求

六、（9分）设]

[

)

=（]

[x表示不超过x的最大整数），求极限?

+∞

→x

)

(

lim。

七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度(,)(12),0,0,120,k

f x y k x y x y x y

=--≥≥--≥为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。

八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。

江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛

本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）

一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 已知

1[()]()______________.d f x f x dx

=，则

2. 1ln 0

lim (tan )______________.x x x +

→=

_______________.=?

4. 设),(y x z z =由方程()0,,=---x z z y y x F 所确定，F 为可微函数，则

=??+??y

z x z ；

5. [()()]sin ________________.a a

f x f x xdx +-+-=?

二、选择题（每小题3分，共15分） 1.函数21

()(1)

f x x x -=

-的可去间断点为( )

A 、0,1x =

B 、1x =

C 、0x =

D 、无可去间断点

2. 改变积分次序2

(,)y y dy f x y dx --=??

( )

A 、1

1(,)dx f x y dy -? B 、0

11100

(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+??

C 、1

(,)dx f x y dy ? D 、111

(,)x dx f x y dy --?

3.设()f x 可导, ()()(1sin )F x f x x =+，欲使()F x 在0

=处可导，则必有( )

A 、(0)0f '=

B 、 (0)0f =

C 、 (0)(0)0f f '+=

D 、 (0)(0)0f f '-=

4.若

0000(,)

(,)

,x y x y f f x

????都存在，则(,)f x y 在()00,x y 是( )

A 、连续且可微

B 、连续但不一定可微

C 、可微但不一定连续

D 、不一定可微也不一定连续 5. 22

(,)(2)x

f x y e x y y =++在点1

,12??

- ???

处取( ) A 、极大值2

e -

B 、极小值2

e -

C 、不取得极值

D 、极小值e

三、（8分）设2

ln(1)()

lim (ln )

x e

x t

x ax bx dx x x e dt

+∞→+-+=

，求常数,a b 。

四、（6分）设(1)y z xy =+，求(1,1)dz 。

五、（6分）设(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有

()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之

间，()g x 至少有一个零点。

六、（6分）计算二重积分2

||y x dxdy -??，其中积分区域:1,0 2.D x y ≤≤≤

七、（8分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线

41y x x =-+-所围成的图面积最小？

八、（6分）当0→x 时，22

()()()x F x x t f t dt '=-?

的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '。

九、（8分）计算dx x

x ?∞+++0

)

1)(1(1

。

十、（8分）求两直线???+==1

2x z x y 和??

?=+=x

z x y 3之间的最短的距离。

十一、（6分）求5

x x dx x -+?。

十二、（8分）设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且满足

224

()2

()x y t

f t x y f dxdy t +≤=++??

，求()f x 。

江苏省第六届（2002年）高等数学竞赛

本科三级，民办本科竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共40分）

e 1.lim

(0k _____,____.x

k x c c c x

→-=≠==设），则

+++2.f(x)lim f ()0,f(x)B. lim f ()0,f(x)C. lim f ()=1,f(x)x x x x x x '

→∞

→∞∞=∞≠∞∞设在[1,+)上可导，下列结论中成立的是______.A. 若则在[1,+)上有界

若则在[1,+)上无界

3.e ()1y=y(x),y (0)_______.y

x y x x -"

+-=+=设由确定则

4.(arcsin arccos )____________.x x dx -=?

5.________________.+∞=?

6.()(,sin ),g ______________.

z f g e y f x x y

?=+=??的二阶导数连续，的二阶偏导数连续，则2

130

7.dx (,)____________.x x

f x y dy -=??

交换积分次序

8.x 5y +=2

函数f(x,y)=2x-y+1满足方程的条件极大值为____,条件极小值为____.

二、（8分）

设()f x +∞在[0，

）上连续且单调减少，0a b <<，证明：0

()().a

a f x dx

b f x dx ≤??b

三、（9分） k f -+-+k ≥∞∞∞∞设f(x)=kx+sinx.

(1)若1，求证：(x)在（，）上恰有一个零点;

(2)若0

四、（8分）20

1sin e .1cos x

x dx x

++?求

五、（9分）

设arctan

(,)(0,0)

(,)0

,(,)(0,0)

y x y f x y x y ?

≠?=?

?=?，试讨论(,)f x y 在点(0,0)处

的连续性、可偏导性与可微性。

六、（8分）

2z z (,),y y .d f x y x f dx

==???)≠0,设（),的二阶偏导数连续，可导，（求全导数

七、（9分）

01(u)u=0(0)=0,D :x 2,0,lim

t D

f f y tx y f ydxdy t

→+

+≤≥??

设在可导，求。

八、（9分）D

|sin()|,:0,0,.2

x y dxdy D x y x y π

-≥≥+≤

??求

江苏省第七届（2004年）高等数学竞赛

本科三级、民办本科竞赛试题

一、

填空题（每小题5分，共40分）

4．=???

?++

+++

+∞

→2

4116

1lim n

n n n n ________________. 2.

1arctan lim

x x x ?

? ??

∞

→________________.

3. 若0→x 时，x x x x 2cos cos sin -与k cx 为等价无穷小，则=c ________________.

4. ()()x x x f -=1ln 4

，则4>n 时，()

()=0n f

________________.

5. 设函数y

x z arctan

=，则()=-1,1dz ________________.

()

=-+?dx x x x x

x x 2

sin cos cos sin ________________ .

()()[]=+-?-a a

xdx x f x f sin

________________.

8. 设

D ：

+∞<<∞-x ，+∞<<∞-y ，()??

?≤≤=其他

10x x

x f 则

()()??=+D

dxdy

y x f y f ________________.

二、（10分）设()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,可导；()()()2

1,a

dx x f a a f b

=?，求

证：在()b a ,内至少存在一点u ，使得()()1'+-=u u f u f 。

三、（10分）设.4,2,,4:22≤+≥+≥≤-y x y x x y x y D 在D 的边界x y =上任意取点

P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于x y =交D 的边界42

=-x

y 于Q 。

求：1）将Q P ,的距离PQ 用t 表示；2）将D 绕x y =旋转一周所得立体的体积。

四、（10分）设()x f 在()+∞∞-,上有定义，()x f 在0=x 处连续，且对一切实数21,x x 有

()()()2121x f x f x x f +=+，求证：()x f 在()+∞∞-,上处处连续。

五、（10分）设k 为常数，方程011=+-x

kx 在()+∞,0上恰有一根，求k 的取值范围。

六、（10分）设()y x f ,可微，(),12,1=f ()(),32,1,22,1==y x f f

()()()[]x x f x x f f x 2,2,2,=φ；求()1'φ

七、（10分）求()??-ππ

θρ

ρθθ20

1d e d

江苏省第八届（2006年）高等数学竞赛

本科三级、民办本科竞赛试题

二、

填空题（每小题5分，共40分）

1．=???

?++++++∞

→232

23223

22211lim

n n n n n n ________________. 2.

()

=--→x

x dt e

112

lim ________________.

3. 若(

)

0232

lim

=+++++∞

→b ax x x x ，则=a ________________；

=b ________________. 4. ()()x

e x x x

f sin 2

1++=，则()=0"

________________.

5. 设函数由z

y ze x +=确定，则()=0,e dz ________________.

6. 函数()()2

,y b ax e

y x f x

-+=-中常数b a ,满足条件________________时，()0,1-f 为

其极大值。

7. 交换二次积分的次序()=??+-1

,e e x

dy y x f dx ________________.

8. 设D ：222y x x +≤，20≤≤≤x y ，则??

=+D

dxdy y

x 2

1________________.

二、（8分）设()()?

?>+≤++=0

,1ln 0,

sin 2x x x c x b ax x f 问：c b a ,,为何值时，函数在0=x 处一阶

导数连续，但二阶导数不存在？

三、（9分）过点()5,1作曲线3:x y =Γ的切线L 。

求：1）L 的方程；2）Γ与L 所围平面图形D 的面积；3）D 的0≥x 部分绕x 轴

旋转一周所得立体的体积。

四、（8分）设()x f 在区间[)+∞,0上有连续的导数，()00=f ，()()1'≤-x f x f ；

证明：()1-≤x

e x

f ，[)+∞∈,0x

五、（8分）求()

1arctan dx x x

江苏省高等数学竞赛题(本科一级)

2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a =，b =时，2lim arctan 2 x ax x x bx x p +=--2. a =，b =时()ln(1)1x f x ax bx =-++在0x ?时关于x 的无穷小的阶数最高。 3.2420 sin cos x xdx p =ò4.通过点()1,1,1-与直线,2,2x t y z t ===+的平面方程为 5.设222,x z x y =-则(2,1)n n z y ??= 6.设D 为,0,1y x x y ===围成区域，则 arctan D ydxdy=蝌7.设G 为222(0)x y x y +=?上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则 ()()x x ye x dx e xy dy G ++-ò= 8.幂级数1 n n nx ￥ =?的和函数为，收敛域为。二．（8分）设数列{}n x 为1223,33,,33(1,2,)n n x x x x n +==-=-+=L L 证明：数列{}n x 收敛，并求其极限三．（8分）设()f x 在[],a b 上具有连续的导数，求证 / 1 max ()()()b b a x b a a f x f x dx f x dx b a ＃?-蝌四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin x b a y a z b a q j q q j S =+==+()02,02q p j p ＃＃()0a b <<为旋转曲面 2）求旋转曲面S 所围成立体的体积五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子 A 定义为

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

一.答案: (1) 1;5 (2) 2;23 π - (3) ; 4 π 二. 解下列两题（每小题5分，共10分） (1) 求极限 ()()()()2 132321lim ;24222n n n n n →∞?????-?- ? ????-??? L L (2) 求极限 ( )224444lim sin .x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?++

解 (1) 记 ()() 2 222 2 2 1321, 242n n a n ???-= ???L L 因为()() () 2 212112k k k -?+<()* ,k ∈N （1分）所以 ()()() ()()2222222321133557 21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<= ?????<-L （2分）因为 () 2 21 lim 0,2n n n →∞ -=应用夹逼准则得 lim 0. n n a →∞ = （2分） (2) 应用不等式的性质得 ( ) 222222442222,2, x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分） () ()222244 4422 22 211 0sin 2x y x xy y x y x y x y y x +++≤?+≤= ++，（1分）因为 2211lim 0,x y y x →∞ →∞??+= ???应用夹逼准则得 () 22 4444lim sin 0.x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?+=+（2分）三.（10分）已知函数()f x 在x a =处可导()a ∈R ,数列{}{},n n x y 满足: (),,n x a a δ∈-() ,n y a a δ∈+ ()0, δ>且 lim ,n n x a →∞=lim ,n n y a →∞= 试求 ()() lim . n n n n n n n x f y y f x y x →∞ -- 解由 () f x 在 x a =处可导得 ()()()lim , x a f x f a f a x a →-'=- ( 2分) ()()()()lim , n n n f x f a f a f a x a -→∞ -''==- ()()()()lim , n n n f y f a f a f a y a +→∞ -''==- ( 2分) 应用极限的性质得

江苏省高等数学竞赛试题剖析

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分） 1.() () 3 sin sin lim sin x x x x →-= 2.设函数,f ?可导，()()arctan tan y f x x ?=+，则y '= 3. 2cos y x =，则()n y = 4.21x x dx x e +=? 5. 4211dx x +∞=-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=? ?++--+≤?的面积为 7.设2,,x f x y f y ?? - ???可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()() ,2,1x y dz == 8.级数()()1 111! 2!n n n n n ∞ =+--∑的和为二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈，使得()()()()()3 0212 c c c f x dx f f c f ξ''=+-? 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1D x y +≤ 六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑ ++??，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.

江苏省第一届至第十届高等数学竞赛本科三级试题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 2 2t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹角为____________。 10. =? ????????? ??+???? ??+???? ??+∞→n n n n n n 12222 2212111lim 。二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。三、（7分）求c 的值，使? =++b a dx c x c x 0)cos()(，其中a b >。

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设( )f x = ()f f x =???? . 2. 1lim ln 1 x x x x x x →-=-+ . 3. () 14 4 5 1x dx x =+? . 4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+???? =+=-????=-=+?? 的平面方程为 . 5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ?? = ??? 确定（F 为任意可微函数），则z z x y x y ??+=?? 二、选择题（每题3分，共15分） 1.对于函数11 2121 x x y -= +，点0x =是( ) A. 连续点； B. 第一类间断点； C. 第二类间断点；D 可去间断点 2.设()f x 可导，()()() 1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-= 3. () 00 sin lim x y x y x y →→+=- （） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若 ()()0000,,, x y x y f f x y ????都存在，则 (),f x y 在()00,x y ( ) A. 极限存在，但不一定连续； B. 极限存在且连续； C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α 为常数，则级数 21sin n n n α∞ =? ? ∑ ( ) A. 绝对收敛 B. 条件收敛； C. 发散； D 收敛性与α取值有关

2018年江苏大学校赛数学建模A题共享单车的现状调查与分析

2018年江苏大学第六届大学生数学建模竞赛A题共享单车的现状调查与分析 2016年起，各大城市的街头巷尾出现了各色共享单车，人们只需下载一个APP，充值扫码就能骑。最初的共享单车在校园诞生。2014年，北大毕业生戴威与4名合伙人共同创立OFO，致力于解决大学校园的出行问题。次年5月，超过2000辆共享单车出现在北大校园。截至到2017年3月，已经有包括摩拜、优拜、OFO、小鸣、小蓝、骑呗等在内的多家共享单车诞生并且都获得了大量的风险投资。共享单车有效地解决了居民出行“最后一公里”的问题，推动了城市绿色出行、缓解了城市交通拥堵。然而，共享单车的出现也带来了诸多问题，比如单车被盗、乱停乱放和运营方式单一等等。这些问题导致2017年6月份以来，小鸣单车、町町单车、悟空单车、3Vbike、卡拉单车等一大批共享单车企业相继倒闭。11月19日，酷骑单车因运营成本增加且没有资本进入宣布倒闭。同月，一向以服务态度著称的小蓝单车也因融资不顺倒闭。共享单车作为一种绿色交通工具极大方便了出行，丰富了休闲生活。共享单车其实也是一种共享经济，其未来依然潜力无限，运行的好，前景广泛。请利用相关数据和数学建模的思想方法，解决下面问题： (1)试通过建立数学模型探讨大量共享单车企业先后倒闭的主要原因，并针对这些因素给出相应的改进意见。 (2)以镇江市(或其它城市)某一个区为对象，建立数学模型研究如何优化车辆的投放和调度问题，使得乱停乱放和部分区域无车可骑的普遍现象得到极大的改善。 (3)综合相关信息，预测未来5年共享单车用户的变化情况，并帮共享单车企业拟定镇江市(或其它城市)共享单车的运营(可盈利)方案。

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018本一试题解答与评分标准一．填空题（每小题4分，共20分） (1) 设()()()()12ln arctan ,,,1u x f u x y f x u x ??-+===+则 1 d d x y x == . (2) () 2 2 sin cos2d x x x π+=? . (3) () 2 20 1 d 1x x +∞ =+? . (4) 已知函数(),,F u v w 可微，()()0,0,01,0,0,02,u v F F ''==()0,0,03,w F '=函数 (),z f x y =由() 22223,4,0F x y z x y z x y z -+-+=确定，满足()1,20,f =则 ()1,2x f '= . (5) 设Γ是区域 (){}2 2,4,0x y x y y x +≤≤≤｜的边界曲线，取逆时针方向, 则 ()()()() () 3 3 1e d e d y y x y y x x y xy y Γ -+-+++=? . 一.答案: (1) 1;5 (2) 2 ;23 π - (3) ;4π (4)2;- (5) 6.π 二. 解下列两题（每小题5分，共10分） (1) 求极限 ()()()()2 132321lim ;24222n n n n n →∞?? ???-?- ? ????-??? (2) 求极限 () 2244 44lim sin .x y x xy y x y x y →∞ →∞ ++?++ 解 (1) 记 ()() 2 222 221321,242n n a n ???-= ?? ?因为 ()() () 2 212112k k k -?+<()*,k ∈N （1分）所以 ()()() ()()2 2 222 2 2321133557 21210,2462222n n n n n a n n n -?-???--<=???? ?<-（2分）因为 () 2 21 lim 0,2n n n →∞ -=应用夹逼准则得 lim 0.n n a →∞= （2分） (2) 应用不等式的性质得 () 222222442222,2,x xy y x y xy x y x y x y ++≤++≤++≥（2分）

江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2 x π ≤ ）的反函数为________________________。 2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。 3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。 4.设(1)()n m n n d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。 5. 22 2 [cos()]sin x x xdx π π - +=? _______________________________。 6. 若函数)(t x x =由?=--x t dt e t 102 所确定的隐函数，则==0 22t dt x d 。 7.已知微分方程()y y y x x ?'= +有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。 8.直线21 x z y =?? =?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。 9.已知a v 为单位向量，b a ??3+垂直于b a ??57-，b a ??4-垂直于b a ??27-，则向量b a ??、的夹角为____________。 10. =? ????????? ? ?+???? ? ?+???? ? ? +∞→n n n n n n 122 22 2 2 1211 1lim Λ 。二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞ →lim 。三、（7分）求c 的值，使 ? =++b a c x c x 0)cos()(，其中a b >。

东南大学本科生2018年高等数学竞赛-东南大学教务处

东南大学教务处校机教〔2018〕26号关于举办“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”的通知各院系、学生会、学生科协：为贯彻教育部关于高等学校要注重数学素质教育的相关精神，加强我校的数学教学工作，提高和激发学生学习高等数学的积极性，推动高等数学的教学改革，提高数学类课程教学质量，同时搭建平台，为“江苏省高等数学竞赛”和“全国大学生高等数学竞赛”等高级别竞赛选拔优秀学生参赛。学校决定于2018年4月举办“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”，欢迎全校各专业各年级同学积极报名参与。报名网址：教务在线—课外研学—学科竞赛管理系

报名时间：2018年3月19日～3月29日24点整。竞赛时间：2018年4月3日（星期二）晚18:00-21:00。竞赛联系人：刘国华老师联系电话：52090590 附件：“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”章程东南大学教务处东南大学高等数学竞赛组委会 2018年3月15日（主动公开）

“东南大学本科生2018年高等数学竞赛”章程 “东南大学本科生2018年高等数学竞赛”是面向本校各级全体本科生组织的校级课外学科竞赛。 1、竞赛时间 2018年4月3日（星期二）晚18：00--21：00 2、报名时间：2018年3月19日－3月29日；报名方式：登录教务在线—课外研学—学科竞赛管理系统；输入信息：学号、姓名、性别、校园一卡通、所在校区竞赛考试的具体地点待报名结束后另行通知；竞赛获奖名单2018年4月9日开始公示一周； 4、竞赛内容范围极限，连续，一元函数微积分，微分方程。（高等数学上册内容） 5、竞赛形式竞赛采用笔试、闭卷的考试方式进行，题型为计算题及证明题。 6、竞赛组织管理设立竞赛组委会（组委会名单见附录），负责竞赛的组织和实施工作。 7、竞赛获奖及奖励竞赛设一等奖，二等奖，三等奖，获奖比例为：一等奖（约占实际竞赛人数的2％），二等奖（约占实际竞赛人数的4％），三等奖（约占实际竞赛人数的11％）。获奖者由教务处颁发获奖证书(竞赛结果发文后请获奖同学到各任课老师处领取)。同时参照《东南大学本科生课外研学学分认定办法》规定获得相应课外研学学分。竞赛获奖者经选拔可以参加2018年江苏省高等数学竞赛和2018年全国高等数学竞赛。东南大学本科生2018年高等数学竞赛组委会名单组长：陈文彦副组长：沈孝兵成员：潮小李周吴杰徐春宏秘书：刘国华东南大学高等数学竞赛组委会 2018年3月抄送：学生处、团委、档案馆东南大学教务处2018年3月15日印发

江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)

2012年省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。（1）求切线L 的方程。（2）求区域D 的面积。（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。六．（12分）点)3,2,5(,)1,2,1(--B A 在平面322:=--∏z y x 的两侧，过点B A ,作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小。（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标。（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面的方程。（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心。七．（12分）求级数∑∞ =-++12)1()1(n n n n n n 的和。

江苏省高校历届专科类数学竞赛试题

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知 2 1()d f x dx x ??=? ?，则()f x '= ． 2．1 ln 0 lim (tan )x x x + →= ． 3 ． = ． 4．若级数11 (2)66n n n n n a n -∞=-+∑收敛，则a 的取值为． 5． [()()]sin a a f x f x xdx -+-=? ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1．函数21 ()(1) x e f x x x -=-的可去间断点为（）． A ．0,1x = B ．1x = C ．0x = D ．无可去间断点 2．设2 1 ()sin ,()sin f x x g x x x ==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小 3．设常数0k >，函数()ln x f x x k e =- +在(0,)+∞内零点个数为（）． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 0 4．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （）． A ．取得极大值 B ．取得极大值 C ．某个邻域内单调增加 D ．某个邻域内单调减少 5．过点(2,0,3)-且与直线2470, 35210x y z x y z -+-=?? +-+=? 垂直的平面方程是（）． A ．16(2)1411(3)0x y z --+++= B ．(2)24(3)0x y z --++= C ．3(2)52(3)0x y z -+-+= D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=

2016江苏省高等数学竞赛题本科一级

2016江苏省高等数学竞赛题（本科一级） 1. 设234()(1)(2)(3)(4),.(2).f x x x x x f ''=----试求 2. 求极限0tan(tan )tan(tan(tan ))lim tan tan(tan )tan(tan(tan )) x x x x x x →-?? 3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分2(1).xy xy e xy dx e x dy Γ++? 4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z ∏-+=，在直线2124x y z x y z ++=??-+=? 上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面∏，试写出点Q 的坐标. 二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明. 命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x →-=∈，则()f x 在0x =处可导，且 (0)f a '=.

三．设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导，(0)0,(1)1f f ==. 求证：(0,1),()(1)()1f f ξξξξξξ'''?∈++=+使得. 四．求定积分220sin 1cos x x dx x π+? . 五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足： 2222(sin()2cos ,2cos )1()f xy x xy y x y o x y +-=++++ 试求曲面(,)z f x y =点(2,2)-处的切平面方程.

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222222042219 x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y = -，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点 (),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求 ,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中 22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线 222 01 212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤? 从()0,0O 到()1,1A -. 七.（12分）已知数列{}n a 单调增加， 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3, ,n =记1 n n x a =，判别级数1 n n x ∞ =∑的敛散性. 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2arctan tan x y x e x =+，/y = 3.设由y x x y =确定()y y x =，则 dy dx = 4.2cos y x =，()()n y x = 5.2 1x x e dx x -=? 6.(2,)x z f x y y = -，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y ??+=?? 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D = 二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且 1 10 ()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0 ()0f x dx ξ =?.

江苏省高等数学竞赛试题汇总

2010年省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2 ln(1x y x =+，/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥

江苏省高校第十一届专科高等数学竞赛试题

2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题(专科) 一填空题(每小题4分，共32分) 1.=-+-+→561) 434lim 4x x x 。 2.=+++∞→4 3 3321lim n n n Λ 。 3.=?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 。 4.),1ln(x y -=则=)(n y 。 5.?=xdx x arctan 2 。 6.=?dx x x 211arccos 。 7.点)3,1,2(-到直线 22311z y x =-+=-的距离为。 8.级数∑∞=--1 1)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是。二、(每小题6分，共12分)(1)求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n 。 (2)设)(x f 在0=x 处可导，且,1)0(=f ,2)0(='f 求201)1(cos lim x x f x --→。三、(第(1)小题4分，第(2)小题6分，共10分)在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在若存在，举一例；若不存在，请给出证明。 (1)函数)(x f 在在),(δδ-上有定义)0(>δ，当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<δ，)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。四、(10分)求一个次数最低的多项式)(x P ，使得它在1=x 时取极大值13，在4=x 时取极小值

(关于表彰2013-2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师的决定.doc

河海大学文件河海校政〔2014〕120号 ──────────────────── 关于表彰2013－2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师的决定各单位：为贯彻落实教育部有关文件精神，进一步加强我校学生实践创新能力的培养，根据《河海大学教学奖励办法》（河海校科教〔2008〕77号），学校决定对2013－2014学年获省、部级以上学科竞赛奖（国家级172项、省级695项）的指导教师予以表彰。希望获表彰的教师再接再厉、不断进取，创新培养模式，为进一步提高我校人才培养质量做出更大的成绩。附件：河海大学2013-2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师名单

2 河海大学 2014年10月8日河海大学校长办公室 2014年10月8日印发录入：校对：附件河海大学2013-2014学年省、部级以上学科竞赛获奖指导教师名单一、2013年全国大学生数学建模竞赛获奖等级指导教师全国一等奖（1项）周忠国全国二等奖（6项）丁根宏、柳庆新、王启明、张学莹江苏赛区一等奖（1项）丁根宏江苏赛区一等奖（1项）张建勇、王建鹏江苏赛区三等奖（1项）江苏赛区三等奖（6项）丁根宏、何秀丽、何朝葵、袁永生、孙中喜

二、2013年中国机器人大赛三、2014年第十六届全国机器人锦标赛四、2013年第十五届全国机器人锦标赛五、2013年第九届全国周培源大学生力学竞赛六、2014年第三届“中国软件杯”大学生软件设计大赛获奖等级指导教师冠军（3项）廖华丽、周军、李奎、刘波、王婷婷一等奖（1项）获奖等级指导教师冠军（4项）廖华丽、周军、李奎、刘波、王婷婷一等奖（3项）获奖等级指导教师一等奖（7项）廖华丽、周军、李奎、刘波、王婷婷获奖等级指导教师二等奖（1项）许庆春、王向东、朱为玄、赵引、张慧邓爱民、邱玲三等奖（29项）获奖等级指导教师全国一等奖（1项）牟艳、吕嘉、陈慧萍全国二等奖（3项）叶枫、周文欢全国三等奖（2项）张雪洁、毛莺池省二等奖（4项）朱云、韩立新、黄倩省三等奖（2项）万定生、李旭杰

江苏高等数学竞赛试题汇总

江苏高等数学竞赛试题汇总文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.1y x =+/ y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=? 5.4 2 1 1dx x +∞ =-? 6.圆222 222042219x y z x y z x y z +-+=?? ?++--+≤??的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数1 1(1)! 2!n n n n n ∞ =+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b b a a b f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得 ()0a f x dx ξ =?. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin D x y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥ 六、（12分）求()()21x x y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201 212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤? 从()0,0O 到()1,1A -. 七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5, ,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3, ,n =记1 n n x a =，判别级数1n n x ∞ =∑的敛散性. 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin ) lim sin x x x x →-= 2.2arctan tan x y x e x =+，/y = 3.设由y x x y =确定()y y x =，则 dy dx = 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21x x e dx x -=? 6.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y ??+=?? 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D = 二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且1 1 ()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得 ()0f x dx ξ =?. 四.（12分）求广义积分4 2 1 1dx x +∞ -?

(新)江苏省高等数学竞赛历年真题(专科)

2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→5614 34lim 4x x x 2. =+++∞→4 3 3321lim n n n 3. =?→x x tdt t x x 32030sin sin lim 4.)1ln(x y -=，则=)(n y 5.=? xdx x arctan 2 6.?=2 11arccos dx x x 7.点)3,1,2(-到直线22311z y x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n k n n n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223 ∑=∞→+-i n i n n n （2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求201)1(cos lim x x f x --→ 三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

2016年江苏省高等数学竞赛一级

2016年江苏省高等数学竞赛一．解答下列各题（每小题6分，共24分） 1.设234()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，试求(2) f ''2.求极限0tan(tan )tan(tan(tan )) lim tan tan(tan )tan(tan(tan )) x x x x x x →-??3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到点(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分 2(1)xy xy e xy dx e x dy Γ++?4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z π-+=，在直线2124x y z x y z ++=??-+=? 上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面π，试写出点Q 的坐标二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明。命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x →-=∈，则()f x 在0x =处可导，且()f x a '=（10分）三．设函数()f x 在区间[]0,1上二阶可导，(0)0,(1)1,f f ==求证：存在(0,1)ξ∈，使得 ()(1)()1f f ξξξξξ'''++=+（10分）四．求定积分220sin 1cos x x dx x π +?（10分）五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足 2222(sin()2cos ,2cos )1() f xy x xy y x y x y ο+-=++++这里22()x y ο+表示比22 x y +为高阶无穷小（当(,)(0,0)x y →时），试求曲面(,)z f x y =在点(2,2,(2,2))f --处的切平面方程。（12分）六．求二重积分22D x y x dxdy +-??，其中{(,)|01,01}D x y y x x =≤≤-≤≤（12分）七．设∑为球面2222x y z z ++=，试求曲面积分 444333222()x y z x y z x y z x y z dS ∑ ++---+++---??（10分）