高中数学北师版必修四全册知识点讲解加例题分析

模块学习评价

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2013·江西高考)若sin α2＝3

3，则cos α＝( ) A ．－2

3 B ．－13 C.13

D.23

【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×? ????

332＝1－23＝13.

【答案】 C 新-课 -标- 第-一-网

2．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

【解析】 a ＋b ＝(3，k ＋2)，∵a ＋b 与a 共线， ∴k ＋2－3k ＝0，得k ＝1. ∴a ·b ＝(1,1)·(2,2)＝4. 【答案】 D

3．sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋sin(18°－x )cos(x ＋27°)＝( ) A.12 B ．－12 C ．－2

2

D.22

【解析】 原式＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝2

2. 【答案】 D

4．下列各向量中，与a ＝(3,2)垂直的是( ) A ．(3，－2) B ．(2,3) C ．(－4,6)

D ．(－3,2)

【解析】因为(3,2)·(－4,6)＝3×(－4)＋2×6＝0，

所以选C.

【答案】 C

5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()

A．－π

4 B.π6

C.π

4 D.

3π

4

【解析】2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，

(2a＋b)·(a－b)＝9，

|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.

设所求两向量夹角为α，则cos α＝

9

32×3

＝

2

2，

∴α＝π4.

【答案】 C

6．若α是第四象限的角，则π－α是()

A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角

【解析】∵2kπ＋3π

2<α<2kπ＋2π(k∈Z)，

∴－2kπ－3π

2>－α>－2kπ－2π(k∈Z)．

∴－2kπ－π

2>π－α>－2kπ－π(k∈Z)．故应选C.

【答案】 C

7．在△ABC中，若sin A cos B<0，则此三角形必是() A．锐角三角形B．任意三角形

C．直角三角形D．钝角三角形

【解析】∵sin A cos B<0，A、B为△ABC内角，

∴sin A>0，cos B<0.

因此π

2

8．若实数x 满足log 2x ＝3＋2cos θ，则|x －2|＋|x －33|等于( ) A ．35－2x B ．31

C ．2x －35

D ．2x －35或35－2x

【解析】 ∵－2≤2cos θ≤2， ∴1≤3＋2cos θ≤5， 即1≤log 2x ≤5， ∴2≤x ≤32

∴|x －2|＋|x －33|＝x －2＋33－x ＝31. 【答案】 B

9．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →

＝mAM →

成立，则m ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 【解析】 ∵MA →＋MB →＋MC →

＝0. ∴M 为△ABC 的重心．

连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.

又AD →＝12(AB →＋AC →)，

∴AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →

，比较得m ＝3. 【答案】 B

10．(2013·山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )

【解析】当x＝π

2时，y＝1＞0，排除C.

当x＝－π

2时，y＝－1，排除B；或利用y＝x cos x＋sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B.

当x＝π时，y＝－π＜0，排除A.故选D.

【答案】 D

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)

11．若tan α＝3，则sin 2α

cos2α的值等于________．

【解析】sin 2α

cos2α＝

2sin αcos α

cos2α＝2tan α＝2×3＝6.

【答案】 6

12．(2012·江西高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x ＋2y|＝________.

【解析】设单位向量m＝(x，y)，则x2＋y2＝1，若m⊥b，则m·b＝0，即

2x－y＝0，解得x2＝1

5，所以|x|＝

5

5，|x＋2y|＝5|x|＝ 5.

【答案】 5

13．要得到函数y＝3cos(2x－π

2)的图像，可以将函数y＝3sin(2x－

π

4)的图像

沿x轴向____平移____个单位．

【解析】 y ＝3sin(2x －π4)――→向左平移π8y ＝3sin 2x ＝3cos(2x －π

2

)． 【答案】 左 π

8

14．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →

＝(10，k )，若A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________.

【解析】 AB →＝(4－k ，－7)，BC →

＝(6，k －5)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥BC →

， ∴(4－k )(k －5)－(－7)×6＝0， 即k ＝－2或11. 【答案】 －2或11

图1

15．如右图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝60°，平面上任一点P 在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP →

＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别为与x 轴，y 轴方向相同的单位向量)，则P 点的斜坐标为(x ，y )．若P 点的斜坐标为(3，－4)，则点P 到原点O 的距离|PO |＝________.

【解析】 由点的斜坐标的定义可知OP →

＝3e 1－4e 2， ∵OP →2＝9e 21－24e 1·e 2＋16e 22 ＝9|e 1|2－24|e 1||e 2|×cos 60°＋16|e 2|2 ＝9－24×1

2＋16＝13. ∴|OP →|2＝13，即|OP →

|＝13. 故点P 到原点O 的距离|PO |＝13. 【答案】

13

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤)

16．(本小题满分12分)(1)已知|a |＝4，|b |＝3，且(a ＋2b )·(a －3b )＝0，求a ·b ； (2)已知a 与b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2.如果a ＋k b 与5a ＋b 互相垂直，求实数k 的值．

【解】 (1)∵(a ＋2b )·(a －3b ) ＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－a ·b －6|b |2 ＝16－a ·b －54＝0， ∴a ·b ＝－38.

(2)由题意a ·b ＝|a |·|b |·cos 120° ＝4×2×(－1

2)＝－4. ∵(a ＋k b )⊥(5a ＋b )， ∴(a ＋k b )·(5a ＋b )＝0， 即5a 2＋(5k ＋1)a ·b ＋k b 2＝0， ∴5|a |2＋(5k ＋1)·(－4)＋k ·|b |2＝0. ∴5×16－(20k ＋4)＋4k ＝0，∴k ＝194.

17．(本小题满分12分)已知平面直角坐标系内的Rt △ABC ，∠A ＝90°，A (－2，－1)，C (2,5)，向量BC →上的单位向量a ＝(513，－1213)，P 在CB 上，且CP →＝λCB →.

(1)求点B 坐标；

(2)当AP 分别为三角形的中线、高线时，求λ的值及对应中点、垂足的坐标． 【解】 (1)设B (x ，y )，CB →

＝(x －2，y －5)． 又CB →

＝λa ，

∴(x －2，y －5)＝λ(513，－1213)．故x ＝2＋513λ，y ＝5－12

13λ， ∴B (2＋513λ，5－12

13λ)．

AB →＝(4＋513λ，6－1213λ)，AC →

＝(4,6)．

由AB →·AC →

＝(4＋513λ，6－1213λ)·(4,6)＝0，得λ＝13. 故点B (7，－7)．

(2)若P 是BC 的中点，则CP →＝12CB →，

∴λ＝12，此时，点P 的坐标为(2＋72，5－72)，即(9

2，－1)． 若AP 是BC 边的高，则AP →⊥CB →

. ∴(AC →＋CP →)·CB →＝0， 即AC →·CB →＋λCB →·CB →＝0. 又CB →

＝(5，－12)，

代入上式有(4,6)·(5，－12)＋λ(5，－12)·(5，－12)＝0. 解之，得λ＝413. 设此时点P (m ，n )． ∵CP →＝λCB →，即CP →＝413CB →， ∴(m －2，n －5)＝4

13(5，－12)． ∴?????

m －2＝4

13×5，n －5＝4

13×(－12)，

即?????

m ＝4613，n ＝17

13.

∴P (4613，1713)．

图2

18．(本小题满分12分)如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π

3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．

【解】 在直角三角形OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α， 在直角三角形OAD 中，DA

OA ＝tan 60°＝3， 所以OA ＝33DA ＝3

3sin α， AB ＝OB －OA ＝cos α－3

3sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则 S ＝AB ·BC ＝(cos α－3

3sin α)sin α ＝sin αcos α－3

3sin 2α ＝12sin 2α－3

6(1－cos 2α) ＝12sin 2α＋36cos 2α－36 ＝

13

(32sin 2α＋12cos 2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36.

因为0<α<π

3， 所以当2α＋π6＝π

2，

即α＝π6时，S 最大＝13

－36＝36.

因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为3

6.

19．(本小题满分13分)(2012·湖南高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，

ω>0,0<φ<π

2)的部分图像如图所示．

图3

(1)求函数f (x )的解析式；

(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π

12)的单调递增区间． 【解】 (1)由题设图像知，周期T ＝2(11π12－5π

12)＝π， 所以ω＝2π

T ＝2.

因为点(5π12，0)在函数图像上，所以A sin(2×5π

12＋φ)＝0， 即sin(5π

6＋φ)＝0. 又因为0<φ<π

2，

所以5π6<5π6＋φ<4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.

又点(0,1)在函数图像上，所以A sin π

6＝1，解得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π

6)． (2)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π

6

]

＝2sin 2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin 2x －2(12sin 2x ＋3

2cos 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin(2x －π

3)．

由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π

12，k ∈Z .

所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π

12]，k ∈Z .

20．(本小题满分12分)(2013·湖南高考)已知函数f (x )＝cos x ·cos ? ????

x －π3.

(1)求f ? ??

??

2π3的值；

(2)求使f (x )<1

4成立的x 的取值集合． 【解】 (1)f ? ????

2π3＝cos 2π3·cos π3

＝－cos π3·cos π

3 ＝－? ????

122＝－14.

(2)f (x )＝cos x cos ? ????

x －π3

＝cos x ·

? ????12cos x ＋3

2sin x ＝12cos 2 x ＋3

2sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋3

4sin 2x ＝12cos ? ?

?

??2x －π3＋14.

f (x )<14等价于12cos ? ?

???2x －π3＋14<14， 即cos ? ?

?

??2x －π3<0.

于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12

12，k ∈Z . 故使f (x )<1

4成立的x 的取值集合为 {x |k π＋5π12

12，k ∈Z }．

21．(本小题满分13分)(2012·北京高考)已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x

sin x

.

(1)求f (x )的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递增区间．

【解】(1)由sin x≠0得x≠kx(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f(x)＝(sin x－cos x)sin 2x

sin x

＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1

＝2sin(2x－π

4)－1，

所以f(x)的最小正周期T＝2π

2＝π.

(2)函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－π

2，2kπ＋π

2](k∈Z)．

由2kπ－π

2≤2x－

π

4≤2kπ＋

π

2，x≠kπ(k∈Z)，

得kπ－π

8≤x≤kx＋

3π

8，x≠kx(k∈Z)．

所以f(x)的单调递增区间为[kπ－π

8，kπ)和(kπ，kπ＋

3π

8](k∈Z)．