应用线性回归 复相关系数复决定系数

[]。

，表明拟合的效果越差越接近，表明拟合效果越好；越接近内，，的取值在样本决定系数测值的拟合程度。用于检验回归方程对观样本决定系数为样本决定系数定义：复决定系数01R 10R 1)1(22222R R S S

S S R T

E T R ??-==

[]。

，表明拟合的效果越差近越接，表明拟合效果越好；越接近内，，的取值在复相关系数定指标。

，为一个综合的测与一的线性关系的大小，作为一个整体的，它衡量有数据拟合程度的好坏同样表示回归方程对原复相关系数的样本复相关系数。关于为定义：）复相关系数

（01R 10R ,,R ,,y /221212R x x x x x x S S R R p p T R ????==

)

()2,1()1(2112)()

,()(,122,1)2,1()(x S n ,2,1,1121;22212

22;122E 22110x S x x S x S r x y x x y x X S x x S x S r y x x y x x X X SE y x i x x y E E E

y E E E y i i i -=-=?=+++=的偏决定系数为

与时，同样地，模型中已含有的偏决定系数。与时，此即模型中已含有为量的剩余偏差的相对减少使时，再加入因此模型中已含有的残差平方和。

时，量是模型中同时含有自变的残差平方和，时模型中只含有自变量记中，，在二元线性回归模型）偏决定系数

（εβββ

。

为的偏相关系数

与的偏相关系数为与的符号相同。即，符号与相应的回归系数

根称为偏相关系数，其偏决定系数的算术平方偏相关系数

21;21;222;2;12,1)2(y y yi y r r x y r r x y ==

212122110 1.06831? 4.0022

2?

1607?153.3846-?2078.9321-71.5?23.0769?153.3846-212212114002.00683.19518.62?'0022.4'0683.17068.22'?7068.220022.488.30683.108.1610'?'?'?5.7116070769.233846.1539231.2078{{

2

12

1x x y

x x y

x x y l l l l l y y ++-=++-=-=?-?-=--=-===-======+回归方程为还原到原变量。得经验因此解之：于是

计算得：

ββββ

βββββ

3992

.816008.14301512=-===R T E R T S S S S S 性检验。计算得下面对回归方程作显著

合得很好。

说明观测值与回归值拟用复相关系数衡量1

9727.01512

6008

.1430S R R ≈===

T S

线性回归方程的求法(需要给每个人发)

耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法

法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77 y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 2 2 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论 例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联系！！ ！！

线性回归方程中的相关系数r

线性回归方程中的相关系数r r=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]

R2就是相关系数的平方， R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数 判定系数R^2 也叫拟合优度、可决系数。表达式是: R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 ——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 这就有了调整的拟合优度: R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1)) 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响: 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切； R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切 相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关 相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。 如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。 分为一元线性回归和多元线性回归 线性回归方程中,回归系数的含义 一元： Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元： Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量 以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位 就一个reg来说y=a+bx+e a+bx的误差称为explained sum of square e的误差是不能解释的是residual sum of square

线性回归方程高考题

线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：）

2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 ∑ (2) 估计使用10年时,维修费用是多少.

3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； （3）试预测加工10个零件需要多少时间？ （注：

4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图： (2)求回归直线方程； (3)据此估计广告费用为10时，销售收入的值．

案例2多元线性回归模型的计算过程及

多元线性回归模型的计算过程及案例分析 计算过程 （1） 根据 n 组观察样本的原始数据，12(,,,)t t t kt y x x x (1,2,,)t n = 写出如下矩阵： 111211221222 1211,1 k k n n n kn y x x x y x x x Y X y x x x ???? ? ? ? ?== ? ? ? ?? ??? （2） 计算1)X X X X -'''、(、X Y 。 （3） 计算参数向量B 的最小二乘法估计1??:()B B X X X Y -''=。 （4） 计算应变量观测值向量Y 的拟合值向量???:Y Y XB =。 （5） 计算残差平方和2 t e ∑及残差的标准差?: σ?σ = （6） 计算多重决定系数2R 和修正的多重系数2R ，作拟合检验。 22 2 1;() t t e R y y =- -∑∑ 22 2 /(1)1;()/(1) t t e n k R y y n --=- --∑∑ （7）计算参数估计?(0,1,2,,)j b j k = 的标准差：?();j s b σ=其中jj c 是矩阵 1 )X X -'(中第j 行第j 列位置上的元素。 （8）计算检验统计量t 和F 的值，作回归参数及回归方程的显著性检验。 在原假设0:0(0,1,2,,)j H b j k == 下的t 统计量为 ??/j t b σ= 在原假设001:0k H b b b === 下的F 统计量为 2 2()1 t t y y n k F k e ---= ? ∑∑。 （9）若模型未通过检验，则重新建立模型并重复上述步骤；若模型通过检验，且满足模型的古典假设，则可利用此模型进行结构分析或经济预测等实际应用

线性回归方程公式证明

112233^ ^^^2 211(,),(,),(,)(,)1,2,3),()()n n i i i i i i n i i i i i i n x y x y x y x y y bx a x i n y bx a y y y a b Q y y bx a y ===+==+-=-=+-∑L L 设有对观察值,两变量符合线生回归设其回归方程为:，把自变量的某一观测值代(入入回归方程得:，此值与实际观测值存在一个差值，此差值称为剩余或误差。现要决定取何值时，才能够使剩余的平方和有最小值，即求11 2 21122 221 1111 22111:,()[()()()]()()()2()()2()()2()() ()2n n n i i i i n n i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i n i i x x y y n n Q bx a y a bx y y y b x x n a bx y y y b x x a bx y y y a bx y x x b x x y y b x x =============+-=+---+-=+-+-+--+---+-----=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑的最小值知又22 111 122211()()()()()()()()n n i i i i i n n i i i i i i n n i i i i b x x y y n a bx y y y b x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ======--++-+----==--=-∑∑∑∑∑∑此式为关于的一元二次方程,当

概率论与数理统计：协方差和相关系数

协方差和相关系数 对二维随机变量),(Y X ，我们除了讨论X 与Y 的期望和方差之外，还 需讨论X 与Y 之间相互关系的数字特征，本节主要讨论这方面的数字特征。 § 协方差和相关系数 协方差的定义与性质 定义 设(,)X Y 是二维随机变量.若{[()][()]}E X E X Y E Y --存在,则称它为随 机变量 X 与Y 的协方差,记为Cov(,)X Y ,即 Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--. 常用下面的式子计算协方差 Cov(,){[()][()]}X Y E X E X Y E Y =--()()()E XY E X E Y =-. 注：（1）X 与Y 的协方差),(Y X Cov 实质上是二维随机变量X 与Y 的函数 )]([()]([(Y E Y X E X -?-的期望，它是一个常数。 （2）当),(Y X 为二维离散型随机变量时，其分布律为 }{),2,1,,2,1(,, =====j i y Y x X P P j i ij ，则 ij i i j i P Y E y X E x Y X Cov )]()][([),(1 1 --= ∑∑∞=∞ =； （3）当),(Y X 为二维连续型随机变量时，),(y x f 为),(Y X 的联合概率密度函数，则dxdy y x f Y E y X E x Y X Cov ),())(())((),(--= ?? +∞∞-+∞ ∞ -。 （4）利用期望的性质可得到协方差有下列计算公式： )()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -= 证明： ) ()()( )()()()()()()( )] ()()()([ )] ())(([(),(Y E X E XY E Y E X E Y E X E Y E X E XY E Y E X E Y XE Y X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=+--=+--=--= 此公式是计算协方差的重要公式，特别地取Y X =时，有

多元线性回归的计算方法

多元线性回归的计算方法 摘要 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭 消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。 多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由 于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。 但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下： Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk 注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。 多元线性回归模型的建立 多元线性回归模型的一般形式为 Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n 其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数 （regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为 E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki βj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型

相关系数与协方差的关系

探究协方差与相关系数 罗燕 摘要：协方差),(Y X Cov 是描述二维随机变量两个分量间相互关联程度的一个特征数，如果将协方差相应标准化变量就得到相关系数),(Y X Corr 。从而可以引进相关系数),(Y X Corr 去刻画二维随机变量两个分量间相互关联程度。且事实表明，相关系数明显被广泛应用。本文的目的在于从协方差与相关系数的关系的角度去探讨协方差与相关系数的优缺点，并具体介绍协方差和相关系数这两个描述二维随机变量间相关性的特征数。 关键字：协方差),(Y X Cov 相关系数),(Y X Corr 相互关联程度 1 协方差、相关系数的定义及性质 设（X ，Y ）是一个二维随机变量，若E{ [ X-E(X) ] [ Y -E(Y) ] }存在，则称此数学期望为X 与Y 的协方差，并记为Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y -E(Y) ] }，特别有Cov(X,X)=)(X Var 。 从协方差的定义可以看出，它是X 的偏差“X-E(X) ”与Y 的偏差“Y -E(Y)”的乘积的数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零，其具体表现如下： ·当Cov(X,Y)>0时，称X 与Y 正相关，这时两个偏差 [ X-E(X) ] 与[ Y -E(Y) ] 同时增加或同时减少，由于E(X)与E(Y)都是常数，故等价于X 与Y 同时增加或同时减少，这就是正相关的含义。 ·当Cov(X,Y)<0时，称X 与Y 负相关，这时X 增加而Y 减少，或Y 增加而X 减少，这就是负相关的含义。 ·当Cov(X,Y)=0时，称X 与Y 不相关。 也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量X 与Y 相互关联程度的一个特征数。协方差Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如X 表示人的身高，单位是米(m )，Y 表示人的体重，单位是公斤(k g )，则Cov(X,Y)带有量纲(m ·kg )。为了消除量纲的影响，对协方差除以相同量纲的量，就得到一个新的概念—相关系数，它的定义如下： 设（X ，Y ）是一个二维随机变量，且)(X Var >0,)(Y Var >0.则称 ),(Y X C o r r =)()() ,(Y Var X Var Y X Cov =y x Y X Cov σσ),( 为X 与Y 的（线性）相关系数。 利用施瓦茨不等式我们不难得到-1≤),(Y X Corr ≤1.也就是说相关系数是介于-1到1之间的，并且可以对它作以下几点说明： ·若),(Y X Corr =0，则称X 与Y 不相关。不相关是指X 与Y 没有线性关系，但也有可能有其他关系，比如平方关系、立方关系等。 ·若),(Y X Corr =1，则称X 与Y 完全正相关；若),(Y X Corr =-1，则称X 与Y 完全,负相关。

相关系数,多元线性回归

第二届苏北数学建模联赛优秀论文 抑制房地产泡沫问题的模型设计 朱朝霞，邸苏闯，陈成 （中国矿业大学，徐州221008） 摘要:本文讨论了影响房地产价格的主要因素，找出了价格和其主要因素之间近似成线性关系，从而建立表示房地产价格的数学模型——多元线性回归模型，并对模型进行了全方面的论述，得出求解其中各个参数的方法，并最终求出房地产价格。建模过程中，首先用科学分析的方法，确定主要因素并对其作数学抽象，再针对各因素综合运用多种数学方法进行分析求解。第一，用概率论与数理统计的方法找出价格和各个因素之间的近似线性关系，确定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的参数；第三，用回归分析确定模型精度及检验，从而得出一个完整的数学模型；第四，通过该模型深入分析了影响房地产价格主要因素，提出了一些政策建议，把高的开发成本降下来，同时调整供给结构。第五，根据模型及建议进行合理的预测，最后分析模型的优缺点并提出了改进方向。 一问题重述 所谓房地产泡沫直的是商品房售价远远超过起实际的价值。近几年来，我国各大城市房价出现了普遍的持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅度增加，导致许多低收入人群买房难，目前我国城镇居民的人均居住面积只有发达国家的一半左右，甚至低于不少发展中国家，居民不是没有住房需求，而是现有的货币支付能力无法使其去实现购房的愿望。尽管现在买房可以贷款，可以分期付款，但这也需要居民有相当好的收入水平，还要用好多年来供房直到中年甚至更晚才可以还清，一生中最好的时光就都交给了房子。因此如何有效地抑制价格上扬，甚至能够降低房价，是一个备受关注的社会问题。下面就就这个问题展开分析与建立数学模型，来研究如何有效的抑制房价上扬。 二基本假设 影响房价的因素有许多，房屋建造成本、市场供求关系、城市经济发展、城市规模、等等。现假设房屋价格与各个因素间的关系均为线性关系，且： （1）房屋建造成本用竣工房屋造价来代替。 （2）城市经济发展用人均GDP来表示。 （3）城市规模用建成区面积来表示。 （4）市场供求关系通过消费者的支付能力竣工房屋价格来体现，而消费者的支付能力有通过在岗职工的平均工资来衡量。 （5）房地产价格通过房屋均衡价格来表示 （6）忽略消费者偏好如有无学校、绿化率、停车位、热水供应状态、通信、

协方差和相关系数

二维随机变量的期望与方差 对于二维随机变量，如果存在，则 称为二维随机变量的数学期望。 1 、当( X ，Y ) 为二维离散型随机变量时 2 、当( X ，Y ) 为二维连续型随机变量时 例题 2.39 设，求。与一维随机变量函数的期望一样，可求出二维随机变量函数的期望。 对二维离散型随机变量( X ，Y ) ，其函数的期望为 对二维连续型随机变量( X ，Y ) ，其函数的期望为

例题 2.40 设，求 2.41 设( X ，Y ) 服从区域A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线 围成的三角形区域，如图2-10 所示。求函数的数学期望。 随机变量的数学期望和方差的三个重要性质： 1 、 推广： 2 、设X 与Y 相互独立，则 推广：设相互独立，则 3 、设X 与Y 相互独立，则 推广：设相互独立，则 仅对性质 3 就连续型随机变量加以证明 证明3

由于X 与Y 相互独立，所以与相互独立，利用性质 2 、知道 从而有， 可以证明：相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立。 例题 2.42 某学校流行某种传染病，患者约占，为此学校决定对全校1000 名师生进 行抽血化验。现有两个方案：①逐个化验；②按四个人一组分组，并把四个人抽到的血混合在一起化验，若发现有问题再对四个人逐个化验。问那种方案好？ 2.10.2 协方差与相关系数 分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系；结合上面性质 3 的证明，可以得到以下结论： 若X 与Y 相互独立，则 可以用来刻划X 与Y 之间的某种关系。 定义设( X ，Y ) 为二维随机变量，若 存在，则称它为随机变量X 与Y 的协方差，记作或，即 特别地 故方差，是协方差的特例。计算协方差通常采用如下公式：

多元线性回归模型公式

二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受k 个自变量x 1,x 2,...,x k 的影响，其n 组观测值为（y a ,x 1a ,x 2a ,...,x ka ）， a 1,.2..,n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 1x 1a 2x 2a ... k x ka a （3.2.11） 式中： 0,1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果b 0,b 1,...,b k 分别为 0,1, 2 ... , k 的拟合值，则回归方程为 ?=b 0 b 1x 1 b 2x 2 ... b k x k （3.2.12） 式中： b 0为常数； b 1,b 2,...,b k 称为偏回归系数。 偏回归系数b i （i1,2,...,k ）的意义是，当其他自变量 x j （j i ）都固定时，自变量 x i 每 变化一个单位而使因变 量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （i 0,1,2,...,k ）的估计值b i （i 0,1,2,...,k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b1x1a b2x2a ... bkxk a min （3.2.13） a 1 a1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a 0 b 0 a 1 （3.2.14） Q n 2 y a yaxja 0(j 1,2,...,k) b j a1 将方程组（3.2.14）式展开整理后得：

线性回归分析的基本步骤

步骤一、建立模型 知识点： 1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型：研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。Y X U β=+ 特点：由于随机误差项U 的存在，使得Y 和X 不在一条直线/平面上。 例1：某镇共有60个家庭，经普查，60个家庭的每周收入（X ）与每周消费（Y ）数据如下： 作出其散点图如下： ②总体回归方程（线）：由于假定0EU =，因此因变量的均值与自变量

总处于一条直线上，这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线（方程）。 总体回归方程的求法：以例1的数据为例 ，求出E (Y |X 由于01|i i i E Y X X ββ=+，因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值，即可求出01ββ和，并进而得到总体回归方程。 如将()()2227 77100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入 ()01|i i i E Y X X ββ=+可得：0100117710017 1372000.6ββββββ=+=?????=+=?? 以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系，即所求的总体回归方程为：()|170.6i i i E Y X X =+，其图形为： ③样本回归模型：总体通常难以得到，因此只能通过抽样得到样本数据。

如在例1中，通过抽样考察，我们得到了20个家庭的样本数据： 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型 ?Y X e β =+就称为样本回归模型。 ④样本回归方程（线）：通过样本数据估计出?β ，得到样本观测值的拟合值与解释变量之间的关系方程??Y X β=称为样本回归方程。如下图所示： ⑤四者之间的关系： ⅰ：总体回归模型建立在总体数据之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的真实的非确定型依赖关系；样本回归模型建立在抽样数据基础之上，它描述的是因变量Y 和自变量X 之间的近似于真实的非确定型依赖

线性回归方程和卡方的求法

高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法

法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 22 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联 系！！！！

线 性 回 归 方 程 推 导

线性回归之最小二乘法 线性回归 Linear Regression——线性回归 是机器学习中有监督机器学习下的一种简单的回归算法。 分为一元线性回归(简单线性回归)和多元线性回归,其中一元线性回归是多元线性回归的一种特殊情况,我们主要讨论多元线性回归如果因变量和自变量之间的关系满足线性关系(自变量的最高幂为一次),那么我们可以用线性回归模型来拟合因变量与自变量之间的关系. 简单线性回归的公式如下: y^=ax+b hat y=ax+by^?=ax+b 多元线性回归的公式如下: y^=θTx hat y= theta^T x y^?=θTx 上式中的θthetaθ为系数矩阵,x为单个多元样本. 由训练集中的样本数据来求得系数矩阵,求解的结果就是线性回归模型,预测样本带入x就能获得预测值y^hat yy^?,求解系数矩阵的具体公式接下来会推导. 推导过程 推导总似然函数 假设线性回归公式为y^=θxhat y= theta xy^?=θx. 真实值y与预测值y^hat yy^?之间必然有误差?=y^?yepsilon=hat

y-y?=y^?y,按照中心极限定理(见知识储备),我们可以假定?epsilon?服从正态分布,正态分布的概率密度公式为: ρ(x)=1σ2πe?(x?μ)22σ2rho (x)=frac {1}{sigmasqrt{2pi}}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}ρ(x)=σ2π?1?e?2σ2(x?μ)2? 为了模型的准确性,我们希望?epsilon?的值越小越好,所以正态分布的期望μmuμ为0.概率函数需要由概率密度函数求积分,计算太复杂,但是概率函数和概率密度函数呈正相关,当概率密度函数求得最大值时概率函数也在此时能得到最大值,因此之后会用概率密度函数代替概率函数做计算. 我们就得到了单个样本的误差似然函数(μ=0,σmu=0,sigmaμ=0,σ为某个定值): ρ(?)=1σ2πe?(?0)22σ2rho (epsilon)=frac {1}{sigmasqrt{2pi}}e^{-frac{(epsilon-0)^2}{2sigma^2}}ρ(?)=σ2π?1?e?2σ2(?0)2? 而一组样本的误差总似然函数即为: Lθ(?1,?,?m)=f(?1,?,?m∣μ,σ2)L_theta(epsilon_1,cdots,e psilon_m)=f(epsilon_1,cdots,epsilon_m|mu,sigma^2)Lθ?(?1?,? ,?m?)=f(?1?,?,?m?∣μ,σ2) 因为我们假定了?epsilon?服从正态分布,也就是说样本之间互相独立,所以我们可以把上式写成连乘的形式: f(?1,?,?m∣μ,σ2)=f(?1∣μ,σ2)?f(?m∣μ,σ2)f(epsilon_

高中数学线性回归方程讲解练习题

教学步骤及教学内容 线性回归方程 (参考公式：b＝ ∑ i＝1 n x i y i－n x y ∑ i＝1 n x2i－n x2 ，a＝y－b x) 1．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为() A.y ^ ＝x＋1 B.y ^ ＝x＋2 C.y ^ ＝2x＋1 D.y ^ ＝x－1 2．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是() A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不确定 3．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑ 8 i＝1 x i＝52，∑ 8 i＝1 y i＝228，∑ 8 i＝1 x2i＝478，∑ 8 i＝1 x i y i＝1849，则其线性回归方程为() A.y ^ ＝11.47＋2.62x B.y ^ ＝－11.47＋2.62x C.y ^ ＝2.62＋11.47x D.y ^ ＝11.47－2.62x 4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据： 月份x 123 4 用水量y 4.543 2.5 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^ ＝－0.7x＋a，则a等于______． 5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少小时？ 作业 布置 家长 意见 家长签名： 2013 年＿月 ＿日 （第＿ 次） 审阅人：

协方差矩阵和相关矩阵

一、协方差矩阵 变量说明： 设为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量，每个随机变量有m个样本，则有样本矩阵 （1） 其中对应着每个随机向量X的样本向量，对应着第i个随机单变量的所有样本值构成的向量。 单随机变量间的协方差： 随机变量之间的协方差可以表示为 （2） 根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下： （3） 可以进一步地简化为： （4） 协方差矩阵：

（5）其中，从而得到了协方差矩阵表达式。 如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成： （6） 补充说明： 1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差，如元素C ij就是反映的随机变量X i, X j的协方差。

2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小，则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合，为了使随机向量的长度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。特别是在模式识别领域，当模式向量的维数过高时会影响识别系统的泛化性能，经常需要做这样的处理。 3、必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的数目越多，样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。 4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。 二、相关矩阵 相关系数： 著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。 依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。 相关系数用r表示，它的基本公式（formula）为： 相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：

用最小二乘法求线性回归方程

最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求解与线性回归方程相关的问题，如求解回归直线方程，并应用其分析预报变量的取值等．破解此类问题的关键点如下： ①析数据，分析相关数据，求得相关系数r，或利用散点图判断两变量之间是否存在线性相关关系，若呈非线性相关关系，则需要通过变量的变换转化构造线性相关关系． ②建模型．根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型． ③求参数．利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式，求出b，a，的值．从而确定线性回归方程． ④求估值．将已知的解释变量的值代入线性回归方程y=bx+a中，即可求得y的预测值． 注意:回归直线方程的求解与应用中要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本点的中心（x，y）必在回归直线上求解相关参数的值；二是回归直线方程的应用，利用回归直线方程求出的数值应是一个估计值，不是真实值． 经典例题： 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1,2.，……，17）建立模型①：y=+；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：y=99+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由． 思路分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测. 解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–+×19=（亿元）． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+×9=（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下： （i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利

线性回归建模过程

模型的建立： 多元线性回归分析的模型为 1012, ~(0,), m m y N x x εβββεσ=++++??? （3-1） 其中：210,,,,σβββm 都是与x x x m ,,,21 无关的未知参数，βββm ,,,10 称为回归系数。 现得到n 个独立观测数据[]a a b im i i ,,,1 ，其中b i 为y 的观测值， a a im i ,,1 分别为x x x m ,,,21 的观测值，m n n i >=,,,1 ，由式（1）得 1012 , ~(0,),1,,. i im i m i y a a N i n εβββεσ=++++??=? （3-2） 记 ,,1111111??????????=???? ??????=n nm m n b b Y a a a a X （3-3） [],,,,,],,[101T m T n ββββεεε == 式（6）表为 ???+=), ,0(~, 2 n E N X Y σεεβ （3-4） 其中：n E 为n 阶单位矩阵。 1. 参数估计 模型（1）中的参数βββm ,,,10 用最小二乘法估计，即应选取估计值j β?，使当m j j j ,,1,0,? ==ββ时，误差平方和 ()2 2 210 11 1 1 ?()n n n i im i i i i m i i i Q b b b a a εβ ββ=====-=----∑∑∑ (3-5) 达到最小。为此，令 0,0,1,2,,,j Q j n β?==? 得

10110 10112()0, 2()0,1,2, ,. n i im i m i n i im i ij m i j Q b a a Q b a j m a a ββββββββ==??=---- -=??????=-----==???∑∑ (3-6) 经整理化为以下正规方程组： 011221111 2 01112121111111 2 011221 1111,, , n n n n i i m im i i i i i n n n n n i i i i m i im i i i i i i i n n n n n im im i im i m im im i i i i i i n a a a b a a a a a a a b a a a a a a a b ββββββββββββ==============? ++++=? ? ?+++=???? ?+++=??∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ ∑ (3-7) 正规方程组的矩阵形式为 ,T T X X X Y β= (3-8) 当矩阵X 列满秩时, T X 为可逆方阵，式 的解为 ()1 ?T T X X X Y β -= (3-9) 将?β 代回原模型得到y 的估计值，而这组数据的拟合值为 101 ????,1,,.i im i m b i n a a βββ=---= (3-10) 记1????, ,,T Y X b b β??==?? 拟合误差?e Y Y =-称为残差，可作为随机误差ε的估计，残差平方和为 () 2 21 1 ? 12.587n n i i i i i Q e b b ====-=∑∑ 2.统计分析 不加证明地给出以下结果： （1）β∧ 是β的线性无偏最小方差估计。指的是β∧ 是Y 的线性函数；β∧ 的期望等于β，在β的线性无偏估计中，β∧ 的方差最小。 （2）β∧ 服从正态分布