数值分析原理习题答案

数值分析原理习题答案

【篇一:数值分析习题】

学号班级

习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和

误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位

有效数字?(有效数字的计算) 2 ??3.14159?具有4位有效数字的

近似值是多少?(有效数字的计算)

3 已知a?1.2031,b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值,问

a?b,a?b有几位有效数字?(有效数字的计算)

4 设x?0,x的相对误差为?,求lnx的误差和相对误差?(误差的

计算)

**

5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm,底面半径r的值为r?5cm,已知

?5

|h?h*|?0.2cm,|r?r*|?0.1cm,求圆柱体体积v??rh的绝对误差限

与相对误差

限。(误差限的计算)

6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。(函数误差的计算) 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径r时

允许的相对误差限为多大?(函数误差的计算)

1

2

8 设in?e

?1

nxx?edx,求证: 0

(1)in?1?nin?1(n?0,1,2?)

(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推

计算时误差逐步减小。(计

算方法的比较选择)

第二章插值法

姓名学号班级

习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值

和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。

1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1,求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)

2 已知y?

x,x0?4,x1?9,用线性插值求7的近似值。(拉格朗日线性插值) 3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点,且有

lj(x)?

试证明

(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(x j?xj?1)?(xj?xn)

?xl

j?0

n

kjj

(拉格朗日插值基函数的性质) (x)?xk(k?0,1,...n)。

,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744 已知sin0.32?0.314567,用抛物线插值计

算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值) 5 用余弦函数cosx在x0?0,x1?多项式, 并近似计算cos日二次插值) 6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212,求函数的四阶均差

?

4

,x2?

?

2

三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值

?

6

及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。(拉格朗

f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。(均差的计算)

7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值,其中p?n?1,而节点

xi(i?0,1,?n?1)互异。(均差的计算)

8 如下函数值表

建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)

9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件:

p(1)?2,p(2)?4,

p?(2)?3,p(3)?12。(插值多项式的构造)

10 构造一个三次多项式h(x),使它满足条件

h(0)?1,h(1)?0,h(2)?1,h?(1)?1(埃尔米特插值)。

11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三

次埃尔米特插值多项式h(x),使得h(xj)?f(xj),j?0,1,2,h?(x1)?f?(x1),h(x)以升幂形式给出。(2)写出余项r(x)?f(x)?h(x)的表达式。(埃尔

米特插值及其余项的计算)。 12 若f(x)?c2[a,b],f(a)?f(b)?0,试证明:

32

max|f (x)|?

a?x?b

1

?b?a?2max|f?? (x)|(插值余项的应用)

a?x?b8

13 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2);又设

|f???(x)|?m ,则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。(插值误差的估计)

姓名学号班级

习题主要考察点:最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。

1 设f(x)?sin?x,求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)

2 令f(x)?ex,?1?x?1,且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使

得p(x)为f(x)于[?1,1] 上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)

3证明:切比雪夫多项式序列

tk(x)?cos(karccosx)

在区间??1,1?上带权?(x)?

1?x

2

正交。(正交多项式的证明)

?x1?x2?3?

4求矛盾方程组:?x1?2x2?4的最小二乘解。(最小二乘法)

?x?x?2

2?1

5 已知一组试验数据

试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。(最小二乘线性

逼近) 6 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。

(最小二乘二次逼近)

姓名学号班级

习题主要考察点:代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。 1给定求积公式

?

h

?h

f(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能高。(代数精度的应用和计算) 2 求积公式

?

1

f(x)dx?a0f(0)?a1f(1)?b0f?(0),试确定系数a0,a1及b0,使该求积

公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算) 3数值积分公式

?

30

3

f(x)dx?[f(1)?f(2)],是否为插值型求积公式,为什么?又该公式

2

b

的代数精确度为多少?(插值型求积公式特征) 4如果f??(x)?0,证明用梯形公式计算积分几何意义。(梯形求积) 5用n?4的复化梯形公式计算积分

?

a

f(x)dx所得到的结果比准确值大,并说明其

?

2

1

1

dx,并估计误差。(复化梯形求积) x

6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算

?

1

?1

f(x)dx,若有常数m使 |f(4)|?m,则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复

化辛甫生公式)

1

7已知高斯求积公式

?1

?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间[0,1]二等分,用复

1

化高斯求积法求定积分

?

xdx的近似值。(高斯公式)

8 试确定常数a,b,c和a,使得数值积分公式

?

2

?2

f(x)dx?af(?a)?bf(0)?cf(a)有尽

可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少?它是否为高斯型的?(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)

9设?pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系(1)求p2(x)。

(2)构造如下的高斯型求积公式

?

1

xf(x)dx?a0f(x0)?a1f(x1)。(高斯求积)

【篇二:数值分析简单习题】

章:

基本概念

第二章:

gauss消去法,lu分解法

第三章:

题型:具体题+证明,误差分析

三个主要迭代法,条件误差估计,范数的小证明

第四章:

掌握三种插值方法:拉格朗日,牛顿,厄尔米特,误差简单证明,构造复合函数

第五章:

最小二乘法计算

第六章:

梯形公式,辛普森(抛物线)公式,高斯公式三个重要公式,误差分析。

高斯求积公式的构造

第七章:

几种常用的迭代格式构造,收敛性证明。

第九章:

基本概念(收敛阶,收敛条件,收敛区域等), 简单欧拉法。

第一章误差

1. 科学计算中的误差来源有4个,分别是________,________,________,________。

2. 用taylor展开近似计算函数f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0),这里产生是什么误差?

3. 0.7499作3的近似值,是______位有效数字,65.380是舍入得到的近似值,有____几4

位有效数字,相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值,有_______位有效数字.

4. 改变下列表达式,使计算结果比较精确:

(1)

(3) 11?x?,1?2x1?x|x|?1 (2)

|x|?1 1?cosx,xx?0,|x|?1. (4) sin??sin?,???

5.

采用下列各式计算1)6时,哪个计算效果最好?并说明理由。

(1)

6(2)

(3)

(4

99?(3?6. 已知近似数x*有4位有效数字,求其相对误差限。

上机实验题:

xk

x1、利用taylor 展开公式计算 e??,编一段小程序,上机用单精度计算e的函数

k?0k!x?

值. 分别取 x =1,5,10,20,-1,-5,-10,-15,-20,观察所得结果是否合理,如不合理请分析原因并给出解决方法.

2、已知定积分in??

in??110xndx,n?0,1,2,?,20,有如下的递推关系 x?6

0n?11xxn(x?6)?6xn?11dx??dx?in?1 0x?6x?6n

?6

可建立两种等价的计算公式 (1) in?11?6in?1,取i0?0.154;1?nin),取i20?0.(2) in?1?n6n

来计算i1,i2,i3,i4,?,i19,编程比较哪种计算的数值结果好,并给出理论分析。

第二章插值法

1. 已知f(0)?2,f(1)??1,那么差商f[1,0]?_________.

2. n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?,xn]?__________________.

3. 由导数和差商的关系知,f[xi,xi]=__________________。

4. 已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4,6,9,试构造lagrange 插值多项式。

5.取节点x0?0,x1?1,x2?2, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1, f(x1)?2,f(x1)?2,试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f(x2)?2,插值多项式如何计算?)

6.已知f(0)?1,f(1)?2,f(1)?3,f(2)?9,试建立不超过3次的插值多项式,并写出插值余项.

7. 设f(x)?c4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件

?p(xi)?f(xi),??p(x1)?f(x1)i?0,1,2

28. 设p1(x)是过x0,x1的一次插值多项式,f(x)?c[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区

间。试证明:对任一给定的x?[a,b],在(a,b)上总存在一点?,使得r(x)?f(x)?p1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x)1。 2!

n9.证明关于互异节点{xi}in?0的lagrange插值基函数{li(x)}满足恒等式i?0

l0(x)?l1(x)???ln(x)?1

上机习题:

1. 绘制4题的lagrange的插值函数的图像。

第三章数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么?

2. 最小二乘原理是使偏差?i的___________达到最小

3. 求过点(2,3),(0,1),(3,5)的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式,使与下列数据相拟合第四章线性方程组的直接解法

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________,

________________。

2. 平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足______________。

3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________,

____________。

4. 严格对角占优矩阵的定义是什么?

5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解

?62?(1) ?。 ??3?4?

?213??。 457(2) ??????285??

?15?2??x1??1???x???13?。 0436. 用列主元高斯消去法求解方

程组 ????2??????206????x3????3??

?211??x1??1???x???1?。 6?167. 用lu分解法解方程

组 ????2?????1027????x3????2??

上机实验题:

1. 编程实现列主元的高斯消去法

2. 编程实现lu分解法

第五章线性方程组的迭代解法

?1. 向量x?(3,2,?1,?7)t,计算||x||1,||x||2,||x||?.

?31?2??,计算||a||,||a||,||a||. 0102. a=?

2?1????126??

?20?3. a???, 分别计算a的谱半径?(a), 条件数cond?(a),||a||1 03??

4. 矩阵a的范数与谱半径的关系为__________________________。

5. 求解ax=b的迭代格式x(k?1)?bx(k)?g收敛的充分必要条件

____________________。

6. sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。

7. 写出下面方程的jacobi迭代格式

?10x1?x2?2x3?7???x1?10x2?2x3?8

??x?x?5x?43?12

8. 给定下列方程组,判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛

?5x1?5x2?x3?2?5x1?2x3?7?(1)?

(2) ??5x1?12x2?8 ?2x1?x2?8?x?x?5?13

9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式(提示:先调整方程组) ?16?2??x1??1??3?26??x???2? ???2?????41?1????x3???? 4??

10. 给定方程组

?12?2??x1??1??111??x???2?, ???2?????221????x3????1 ??

(1)分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。

(2)证明jacobi迭代法收敛,而gauss-seidel迭代法发散。

上机实验题:

【篇三:数值分析题库】

lass=txt>1.在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为 a0.001523 b0.15230 c0.01523d1.52300 2.设方阵a可逆,且其n个特征值满足:?1

a

1

?10?5,则该数是() 2

c

??2?...??n,则a?1的主特征值是()

11 b ?1?n

11

?1或?nd或

?1?n

?(k?1)

3.设有迭代公式

x?bx

?(k)

?f

?

。若||b|| 1,则该迭代公式()

a必收敛 b必发散 c可能收敛也可能发散

4.常微分方程的数值方法,求出的结果是()

a解函数 b近似解函数 c解函数值 d近似解函数值 5.反幂法中构造向量序列时,要用到解线性方程组的() a追赶法 blu分解法

c雅可比迭代法 d高斯—塞德尔迭代法

二.填空题(每小题4分,共20分)

1.设有方程组

?x2?x3?4?

?x1?2x2?3x3?1?2x?x?x?0

23?1

,则可构造高斯—塞德尔迭代公式为

?

????

??101???2.设a??21?1,则a????

???111??

2

3.设y?x?2y,y(0)?1,则相应的显尤拉公式为yn?1?

4.设

f(x)?ax?1,g(x)?x2。若要使f(x)与g(x)在[0,1]上正交,则a=

?

5.设

x?(2,?2,?1)t,若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0,则p = ?

??????

? ???

三.计算题(每小题10分,共50分)

1.求

27的近似值。若要求相对误差小于0.1%,问近似值应取几位有效数字?

2.设

f(x)?x?2x4,若在[-1,0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。

3.设有方程组

4.试确定常数a,b,c及?,使求积公式

?x1?2x2?2x3?1?

?x1?x2?x3?1,考察用雅可比迭代解此方程组的收敛

性。 ?2x?2x?x?1

23?1

1

??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?)

为高斯求积公式。

?

5.设有向量

x?(2,1,2)

t

,试构造初等反射阵h,使h

?

x?(3,0,0)t。

2阶收敛的,并求

四.证明题(每小题10分,共20分)

1.设有迭代公式

xk?1

2xk?4*

,试证明该公式在x?4邻近是?

2xk?3

xk?1?4k??(x?4)2

klim

??

?

2.设x,y是n 维列向量,q为n阶正交矩阵,且模拟二

一、单项选择题(每小题2分,共10分)

y?qx

??

1.在下列四个数中,有一个数具有4位有效数字,且其绝对误差限为

1

?10?5,则该数是()。 2

a0.00217 b0.02170 c0.21700 d2.17000

2.已知?是a的特征值,p是给定参数,则b=a-pe的特征值是()。 ac

?+p b?-p

?+2pd?-2p

?(k?1)

3.设有迭代公式

x?bx

?(k)

?f

?

,则||b|| 1 是该迭代公式收敛的()。

a充分条件b必要条件

c充分必要条件

4.三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用()求解。

a雅可比迭代 b高斯-塞德尔迭代 c平方根法d追赶法 5.若尤拉公

式的局部截断误差是o(h

2

),则该公式是()方法。

a1阶 b2阶

c3阶 d无法确定

二、填空题(每小题4分,共20分)

a)

b)

??21?1???设a??12?2,则a?。

1??

??10?3??

?2x2?x3?1?

设有方程组?2x1?x3?1 ,则可构

?x?x?x??1

23?1?

????

造高斯—塞德尔迭代公式为

c) 设

y?xy?2,则相应的显尤拉公式为yn?1?

?

d) 设

x?(1,2,?3)t,若有平面旋转阵p,使px的第3个分量为0,则p = ?

??????

?。 ???

e) 设

f(x)?ax?2,g(x)?2x2.若要使f(x)与g(x)在[-1,0]上正交,则a=三.计算题(每小题10分,共50分)

1.设

f(x)?x3?2x

,若在[0,1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。 2.求的近似值。若要求相对误差小于1%,问近似值应取几位有效

数字?

3.设有方程组

4.试确定常数a,b,c及?,使求积公式

?2x1?x2?x3?0?

?x1?x2?x3?1,考察用雅可比迭代解此方程组的收敛

性。 ?x?x?2x??1

23?1

1

??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?)

有尽可能高的代数精度,并问该公式是否为高斯求积公式。

212,,?)t5.设有向量x?(

333

?

,试构造初等反射阵h,使h

?

x?(1,0,0)t

四.证明题(共20分)

2

(xk?2)*

1.设有迭代公式xk?1?xk?,试证明该公式。在x?2附近是平方收敛的,并

2xk

求lim

xk?1?2k??(x?2)2

k

2.设l1(x)是

f(x)的一次拉格朗日插值,试证:

1

f(x)?l1(x)?(x1?x0)2maxf(x)

x0?x?x18

模拟三

一、单项选择题(每小题2分,共10分)

1、若近似值10.00230具有7位有效数字,则其较小的绝对误差限为()。

11

?10?7 b. ?10?6 2211

?10?5d. ?10?4 c. 22

2、若已知迭代过程xk?1??(xk)是3阶收敛, c是不为零的常数,则下列式子中,正确的式子是

a. ()。

a.lim

k??

k?1?*

kk?1k

*

x?x

?c.lim

x?x

k??

*

?3b.lim

k??

*

(x?x)

??cd.lim

(x?x)

kk?1k

k??

k?1?*

*3*

?3

*3

?c

3、 4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有()次代数精度。

a. 4

b. 5

c. 8

d. 9

4、三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中,都会用到求解线性方程组的()。

a. lu分解法

b.追赶法

c.高斯消去法

d.平方根法 5、设a的特征值满足|?1

a.

。 |?|?r?1|?????|?n|,则相应幂法的速比ra?()

?2

?1

b.

?r?1?1

c.

?2?n

d.

?2?n

二、填空题(每小题4分,共20分)

1、过节点

x0??1,x1?0,x2?1做近似f(x)?x3?2的二次拉格朗日插值,其表

达式

是。 2、若

?x30?x?1?s(x)?? 32

(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3??是三次样条函数,则a?,b? ,c? 。 ?10?

3、设a???,则cond?(a)?。

21??

4、设c=pa,其中p是三阶平面旋转阵,

?2?11??

?? ,若使

a??03?1=0,则p?c31???

??2????31?

?

?。 ???

5、设

y?2xy2?1,则相应的隐尤拉公式为。

三、计算题(每小题10分,共50分)。

1、利用最小二乘法原理,求矛盾线性方程组

?x1?x2?1?

?x1?x2?2的近似解。 ?2x?x?1

2?1

?2?11?

?a??111??

??11?2??

??

?

2、设,

??

???

b???2?

???1????

。若线性方程组

ax?b

????

仅有右端有扰动

x

??10?4 。试估计由此引起的解的相对误差

1

??

??

?

b

x

?

3、确定求积公式

?1

?f(x)dx?a

f(?1)?a1f(0)?a2f(1),并指明其代数精度。

?x1?2x2?x3?1?

4、设有方程组?x1?x2?x3?0,试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。

?2x?2x?x??1

23?1

2

5、设有方程x?2x?3?0 。试确定迭代函数?(x),使迭代公式

xk?1??(xk)在

x*=3附近收敛,并指出其收敛阶。

四、证明题(每小题10分,共20分)

1、设u是n阶正交矩阵,a是n阶方阵。试证明||

(提示:||a||2?2、设有差分公式

au||2?||ua||2?||a||2 。

yn?1

?(ata) )

h

?yn?(3yn?yn?1) 。试证明该公式是二阶公式。

2

模拟四

一、单项选择题(每小题2分,共10分)

1、按四舍五入原则,数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是()。 a. –7.0004 b.-7.000 c. –7 d.-7.0003

2、若行列式|e?a|=0,其中e是n阶单位阵,a是n阶方阵,则a 的范数满足()。

||a||?1b. ||a||?1

c. ||a||?1

d. ||a||?1 3、条件数cond(a)=()。

a. a.|a||a?1|

b.||a?a?1||

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