概率练习及答案
第一章 事件与概率
1、对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=
517=（17
）5
（2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
P （A 2）=5567
=(67)5
(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}
P （A 3）=1-P (A 1)=1-(
17
)5
2、一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.
（1） 2466
C 9
()10P A =
（2） 6个人在十层中任意六层离开，故
610
6P ()10
P B =
（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从
六人中选二人在该层离开，有2
6C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情
况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余
8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；
③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故
12131146
10694899()C C (C C C C P )/10P C =++
（4） D=B .故
6
10
6P ()1()110
P D P B =-=-
3、两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率
.
【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x -y |>30.
如图阴影部分所示.
22301604
P ==
4、一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，
计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.
21
343
4
233377C C C 184(),
()C 35
C 35
P A P A ====
故 232322()()()35
P A A P A P A =+=
5、设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，
P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.
【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )
=
14+14+13-112=34
6、对任意的随机事件A ，B ，C ，试证
P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥= ()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+- 7、证明：-σ域之交仍为-σ域。 证：设)(T t F t ∈是-σ域，记t t T
F F ∈=
.
(i) ∈Ω每一t F ，所以 T
t t
F
∈∈
Ω，即F ∈Ω.
(ii) F A ∈，则∈A 每一t F ，由t F 是-σ域得∈A 每一t F ，所以t t T
A F ∈∈
，从而F A ∈.
(iii) F i A i ∈=),2,1( ，则诸t A 必属于每一t F ，由于t F 是-σ域，所以
i
i
A ∈每一t
F ，
即
F F
A t
T
t i
i =∈∈ .
∴F 是-σ域。
第二章 条件概率与统计独立性
1、 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.
（1） ()0.1
()0.2()0.5
P AB P B A P A =
== （2） ()()()()0.30.50.10.7P A B P A P B P AB =+-=+-=
2、甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击
中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3
由全概率公式，得
3
()(|)()i i i P A P A B P B ==∑
=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458
3、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学
生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P
（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知
（1）()()()
()()()()()()
P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==
+ 0.20.11
0.027020.80.90.20.137
?=
==?+?
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
(2) ()()()
()()()()()()
P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =
=
+ 0.80.14
0.30770.80.10.20.913
?=
==?+?
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%. 4、设两两相互独立的三事件，A ，B 和C 满足条件：
ABC =Φ，P (A )=P (B )=P (C )< 1/2，且P （A ∪B ∪C ）=9/16，求P （A ）.
【解】由()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 2
93()3[()]16
P A P A =-=
故1()4P A =
或34,按题设P （A ）<12,故P （A ）=14
. 5、已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，
且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3
10110
C
(0.35)(0.65)0.5138k
k k k p -==
=∑
(2) 10
10210
4
C
(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -==
=∑
6、证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.
【证】 (|)(|)
P A B P A B =即()()
()()
P AB P AB P B P B =
亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =
()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-
因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.
7、证明：若P （A |C ）≥P (B |C ), P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ). 【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得
()()
,()()
P AC P BC P C P C ≥
即有 ()()P AC P BC ≥
同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥
故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=
第三章 随机变量与分布函数
1、设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；
（2） X 的分布函数并作图； (3)
133
{},{1},{1},{12}222
P X P X P X P X <≤<≤≤<<.
【解】
3
1331512213
3151133
150,1,2.
C 22
(0).
C 35C C 12(1).
C 35
C 1
(2).C 35
X P X P X P X ==========
（2） 当x ≤0时，F （x ）=P （X 当0 2235 当1 当x>2时，F （x ）=P （X 0, 022 ,0135 ()34,12351,2x x F x x x ≤???<≤?=? ?<≤??>? (3) 1122 ()(), 223533342212 (1)()(1), 22353535 33312 (1)()(1), 22235 342212 (12)(2)(1)(1)0. 353535 P X F P X F F P X P X P X P X F F P X <==≤<=-=-=≤≤==+≤<=<<=--==--= 2、设连续型随机变量X 分布函数为 F （x ）=e ,0, (0),00.xt A B x , x λ-?+≥>? （1） 求常数A ，B ； （2） 求P {X<2}，P {X ≥3}； （3） 求分布密度f （x ）. 【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞ →+ →-=???=??得11A B =??=-? （2） 2(2)(2)1e P X F λ -<==- 33(3)1(3)1(1e )e P X F λ λ--≥=-=--= (3) e ,0 ()()0, 0x x f x F x x λλ-?≥'==? 3、设随机变量（X ，Y ）的分布密度 f （x ，y ）=???>>+-., 0, 0,0,)43(其他y x A y x e 求：（1） 常数A ； （2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由 -(34)0 (,)d d e d d 112 x y A f x y x y A x y +∞+∞ +∞ +∞ +-∞ -∞ == =?? ? ? 得 A =12 （2） 由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ = ?? (34)340012e d d (1 e )(1e )0,0, 0,0, y y u v x y u v y x -+--??-->>?==?? ?????其他 (3) {01,02}P X Y ≤<≤< 12 (34) 3800 12e d d (1 e )(1e )0.9499.x y x y -+--= =--≈?? 4、.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=? ??<<<.,0, 10,,1其他x x y 求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ） . 题4图 【解】()(,)d X f x f x y y +∞ -∞ = ? 1d 2,01, 0, .x x y x x -?=< 11 1d 1,10, ()(,)d 1d 1,01,0, .y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞ -∞ ?=+-< ??? ?? ?其他 所以 |1 ,||1, (,)(|)2()0, .Y X X y x f x y f y x x f x ?< ?其他 |1 , 1,1(,)1 (|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y ?< ?==-< 其他 5、设随机变量X 服从参数为2的指数分布.证明：Y =1-e -2X 在区间（0，1）上服从均匀分布. 【证】X 的密度函数为 22e ,0 ()0, 0x X x f x x -?>=? ≤? 由于P （X >0）=1，故0<1-e -2X <1，即P （0 当y ≤0时，F Y （y ）=0 当y ≥1时，F Y （y ）=1 当0 1 ln(1)220 1 (ln(1)) 22e d y x P X y x y ---=<--==? 即Y 的密度函数为 1,01 ()0,Y y f y < ?其他 即Y~U （0，1） 6、设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为 P {Z =i }= ∑=-i k k i q k p 0 )()(，i =0，1，2，…. 【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数， 所以 {}{}Z i X Y i ==+= {0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-== 于是 {}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0 {}{}i k P X k P Y i k ===-∑ ()()i k p k q i k ==-∑ 第四章 数字特征与特征函数 1、设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】12 20 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 12 22320 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 2、设随机变量X 的概率密度为 f (x )=?????≤≤., 0,0,2 cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望。 【解】令 π1,,3 (1,2,3,4)π0,3i X Y i ? >??==? ?≤?? X . 则4 1 ~(4,)i i Y Y B p == ∑.因为 ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11 {}cos d 3222 x P X x ≤==?, 所以111 (),(),()42,242 i i E Y D Y E Y ===?= 2211 ()41()()22 D Y E Y EY =??==-, 从而222 ()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+= 3、设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变 量|X -Y |的方差. 【解】设Z =X -Y ，由于22~0,,~0,,X N Y N ???? ? ? ? ????? 且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）. 因 22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==- 22()[()],E Z E Z =- 而 22 /2 ()()1,(||)|| d z E Z D Z E Z z z +∞ --∞ ===? 2/20e d z z z +∞-== 所以 2 (||)1π D X Y -=-. 4、试求[0,1]均匀分布的特征函数。 解：1,[0,1] ()0,[0,1] x p x x ξ∈?=? ∈?。当0t =时()1f t =；当0t ≠时 1 100 11 ()(1)itx itx it f t e dx e e it it ===-?. 5、设随机变量X 的概率密度为 f X (x )=???? ?????<≤<<-., 0,20,4 1 ,01,21 其他x x 令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求： (1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y ); (3)1 (,4)2 F - . 解： (1) Y 的分布函数为 2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤. 当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时， (){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤ =<+≤≤= ， ()Y f y = ； 当1≤y <4时， 1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤ = ()Y f y = ； 当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为 1,()04,0,. Y y f y y <<=≤ (2) 0210111 ()()d d d 244 +X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=???--, 022222 10115()()()d d d )246 +X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 0223 3310117()()()d d d 248 +X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=???--, 故 Cov(X,Y ) =2 ()()()3 E XY E X E Y =?-. (3) 2 111(,4){,4}{,4}222 F P X Y P X X -=<-<=<-< 11 {,22}{2}22 P X X P X =<--<<=-<<- 11 {1}24 P X =-≤<-=. 6、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 f （x ，y ）=22 1,1, π0, .x y ?+≤????其他 试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设2 2 {(,)|1}D x y x y =+≤. 221 1 ()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞ +∞ -∞ -∞ +≤== ? ? ?? 2π1 00 1=cos d d 0.πr r r θθ=?? 同理E (Y )=0. 而 C o v (,) [()][()](,X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞ -∞ =--?? 222π12 001 11d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+ ≤===????, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1 时，1()X f x y = 当|y |≤1 时，1()Y f y x = 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠ 故X 和Y 不是相互独立的. 7、对于任意两事件A 和B ，0 ρ= ()) ()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ?-为事件A 和B 的相关系数.试证： （1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0. 而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为 1,,0,A X A ??=???若发生若发生; 1,,0,B Y B ??=???若发生若发生. 由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即 01~1()()X P A P A ?? -? 0 1~1()()Y P B P B ??-? 从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ), D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ), Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B ) 所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 第五章 极限定理 1、设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 试用切比雪夫不等式估计概率P(|X －Y| ≥ 6). 解. E(X －Y) = E(X)－E(Y) = 2－2 = 0 D(X －Y) = D(X) + D(Y)－)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4－2×0.5×1×2 = 3 所以 12 1 3636)()6|(|2==-≤ ≥-Y X D Y X P . 2、某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率. 解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ～B(400, 0.02) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: )(2198.002.040002.0400lim 2 2 x dt e x X P x t n Φ==?? ? ??≤???-? ∞ -- ∞→π 所以 ??? ?? ??-≤??--=≤-=≥98.002.0400798.002.040081)1(1)2(X P X P X P ≈ 1－Φ(－2.5) = Φ(2.5) = 0.9938. 3、设供电网中有10000盏灯, 夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7, 假设各灯开、关时间彼此无关, 计算同时开着的灯数在6800与7200之间的概率. 解. 假设X 表示10000盏灯中开着的灯数, 所以X ～B(10000, 0.7) 由棣莫佛－拉普拉斯定理: )(217.03.010*******lim 2 2 x dt e x X P x t n Φ== ??? ?? ≤??-? ∞ -- ∞ →π 所以 )7200 6800(≤≤X P ??? ?? ??-≤??-≤??-=7.03.010000700072007.03.010********.03.01000070006800X P ≈ Φ(4.36)－Φ(－4.36) = 2Φ(4.36)－1 = 2×0.999993－1 = 0.999. 4、在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡 的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大； （2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？ 【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，0.006）. (1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即“X =120”. 于是所求概率为 {120} P X =≈ 2 1 2 30.1811 0.0517e0 - - == =?≈ (2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60” 于是所求概率为 {060} P X ≤≤≈Φ-Φ (0)0.5. ? =Φ-Φ≈ ? 5、若 n X的概率分布为 11 1 n n n ?? ? ? - ? ?? ，试验证相应的分布函数收敛，但矩不收敛。 解： 0,0 1 (){}1,0 1, n n x F x P X x x n n x n ≤ ? ? ? =<=-<≤ ? ? < ?? 当 当 当 。令n→∞得 0,0 ()() 1,0 n x F x F x x ≤ ? →=? > ? 。 这说明分布函数收敛，但1,0,() n n E X E X E X E X n + ==→→∞。当1 k> 时， 1 1 k k k n EX n n n - =?=， 11 ()(1)(1)1(1) k k k k n n n E X EX E X n n n ?? -=-=--+-? ? ?? 所以当n→∞时， n EX→∞，()k n n E X EX -→∞。由此知其中心距，原点矩 均不收敛。 6、设 n X独立同分布，2 {2}2 k k n P X-- ==(1,2,) k= ，则大数定律成立。 证：由辛钦大数定律知，这时只要验证 i EX存在,2ln ln 11 224 k k k k i k k EX ∞∞ --- == == ∑∑。而 ln ln4ln ln ln4ln4 4() k k k e e k ---- ===， 又ln41 >，所以ln4 1 i k EX k ∞ - = =<∞ ∑，从而大数定律成立。 7、若{}i X 是独立同分布、具有有限二阶矩的随机变量序列，试证1 2(1)n P i i i iX EX n n =??→+∑。 证：记2,i i EX a DX σ==<∞，则 111222(1)(1)(1)n n n i i i i i E iX iEX a i a n n n n n n ===??==?= ?+++?? ∑∑∑， 利用i X 间的独立性得 222211 24(1)(1)n n i i i D iX i n n n n σ==??= ?++??∑∑ 2 2 224(1)(21)2(21)0() (1)63(1) n n n n n n n n n σσ+++=??=→→∞++由马尔可夫大数定律得 1 2(1)n P i i i iX a EX n n =??→=+∑ 概率经典测试题及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是 () A．要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用普查方式 B．一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4 C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1 D．若甲组数据的方差2s甲=0.128，乙组数据的方差2s乙=0.036，则甲组数据更稳定 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用概率的意义以及全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义分别分析得出答案． 【详解】 A、要调查现在人们在数学化时代的生活方式，宜采用抽查的方式，故原说法错误； B、一组数据3，4，4，6，8，5的中位数是4.5，故此选项错误； C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率大于0而小于1，正确； D、若甲组数据的方差s甲2=0.128，乙组数据的方差s乙2=0.036，则乙组数据更稳定，故原说法错误； 故选：C． 【点睛】 此题考查概率的意义，全面调查和抽样调查的意义、中位数、方差的意义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（） A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团， 于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种， 所以，所求概率为31 93 ，故选C． 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 一、选择题 1．设A 与B 互为对立事件，且P （A ）>0，P （B ）>0，则下列各式中错误．．的是（ A ） A ．0)|(=B A P B ．P （B |A ）=0 C ．P （AB ）=0 D ．P （A ∪B ）=1 2．设A ，B 为两个随机事件，且P （AB ）>0，则P （A|AB ）=（ D ） A ．P （A ） B ．P （AB ） C ．P （A|B ） D ．1 3．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（ D ） A ．601 B ．457 C ． 5 1 D ． 15 7 4.若A 与B 互为对立事件，则下式成立的是（ C ） A.P （A ?B ）=Ω B.P （AB ）=P （A ）P （B ） C.P （A ）=1-P （B ） D.P （AB ）=φ 5.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有一次出现正面的概率为（ C ） A.8 1 B.41 C.8 3 D. 2 1 6.设A ，B 为两事件，已知P （A ）=31，P （A|B ）=32，53 )A |B (P =，则P （B ）=（ A ） A. 51 B. 52 C. 5 3 D. 5 4 7.设随机变量X 则k= A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 8．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ． C B A C ．C B A D ．C B A 9．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=53 , 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ． 25 23 10．下列各函数中，可作为某随机变量概率密度的是（ A ） A ．???<<=其他,0; 10,2)(x x x f B ．?????<<=其他,0; 10,21 )(x x f C ．? ??-<<=其他,1; 10,3)(2x x x f D ．? ??<<-=其他,0; 11,4)(3x x x f 11．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为?????<≥=,100,0; 100,100 )(2x x x x f 任取 一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ B ） A ．41 B ．31 C ． 2 1 D ． 3 2 12．下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ C ） A ． B ． C ． D ． 13.设随机变量X 的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X 的分布函数，则对任意的实数a ，有（ B ） A.F(-a)=1-? a 0dx )x (f B.F(-a)= ? -a dx )x (f 21 C.F(-a)=F(a) D.F(-a)=2F(a)-1 14．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 【部编语文】二年级部编语文阅读理解技巧阅读训练策略及练习题 (含答案)及解析 一、二年级语文下册阅读理解训练 1．阅读下文，回答问题。 篓子里的青虫 蝴蝶在大白菜上产了一堆卵。后来这些卵变成了一条条小青虫。 小青虫吃菜叶，渐渐长大了。大白菜却被咬得满身小孔。鸡妈妈带着小鸡到菜地捉虫来了。青虫太多了，鸡妈妈一家不停地吃着。 有只小黄鸡越吃越有滋味，心想：“我逮它一大批，藏起来以后吃。”于是，它逮了好多好多青虫，放进一只篓子里。 过了一段时间，小黄鸡想：我该美美地吃一顿了。 它刚把篓子打开，只见一大群蝴蝶飞出来。小黄鸡吓了一跳，连篓子也碰翻了。翻倒的篓子里滚出好多空壳，别的什么也没有。 小青虫呢？它们到哪儿去了？小黄鸡呆住了。 （1）读了短文，我知道小青虫是________（益虫/害虫）。 （2）找出描写小黄鸡心理活动的句子，我们从中可以体会到它________的特点。 ①贪心②目光长远③贪吃 （3）篓子里的那些小青虫没有了，原因是（） A. 它们跑掉了 B. 它们变成了蝴蝶 C. 它们被别的小鸡吃掉了 【答案】（1）害虫 （2）我逮它一大批，藏起来以后吃。② （3）B 【解析】 2．读一读，做一做。小马过河（节选） 妈妈亲切地对小马说___孩子___光听别人说___自己不动脑筋___不去试试___是不行的___河水是深是浅___你去试一试就知道了___ （1）在选段横线处加上合适的标点符号。妈妈亲切地对小马说________孩子________光听别人说________自己不动脑筋________不去试试________是不行的________河水是深是浅________你去试一试就知道了________ （2）你怎样理解选段中小马妈妈对小马说的话？（） A. 别人说的都对。 B. 什么事都要自己去尝试，别人的话不可信。 C. 不要听了别人的话就信以为真，要自己认真思考，亲自去尝试。 【答案】（1）：“；，；，；，；，；。；，；。” （2）C 【解析】 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 概率练习题（含答案） 1 解答题 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出： （1）试验的基本事件； （2）事件“出现点数之和大于3”； （3）事件“出现点数相等”. 答案 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4） （2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件： （1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4） 2 单选题 “概率”的英文单词是“Probability”，如果在组成该单词的所有字母中任意取出一个字母，则取到字母“b”的概率是 1. A. 2. B. 3. C. 4. D. 1 答案 C 解析 分析：先数出单词的所有字母数，再让字母“b”的个数除以所有字母的总个数即为所求的概率． 解答：“Probability”中共11个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有11种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有两种， 故其概率是； 故选C． 点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 3 解答题 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球.现从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次.问： （1）取出的两只球都是白球的概率是多少？ （2）取出的两只球至少有一个白球的概率是多少？ 答案 （1）取出的两只球都是白球的概率为3/10； （2）以取出的两只球中至少有一个白球的概率为9/10。 解析 本题主要考查了等可能事件的概率，以及对立事件和古典概型的概率等有关知识，属于中档题 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，然后例举出一切可能的结果组成的基本事件，然后例举出取出的两只球都是白球的基本事件，然后根据古典概型的概率公式进行求解即可； （2）“取出的两只球中至少有一个白球的事件”的对立事件是“取出的两只球均为黑球”，例举出取出的两只球均为黑球的基本事件，求出其概率，最后用1去减之，即可求出所求． 解：：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号．从口袋中每次任取一球，每次取出不放回，连续取两次， 其一切可能的结果组成的基本事件（第一次摸到1号，第二次摸到2号球用（1，2）表示）空间为： Ω={（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（2，3），（3，2），（2，4），（4，2），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（4，5），（5，4）}， 共有20个基本事件，且上述20个基本事件发生的可能性相同． 四年级阅读训练含答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 告诉妈妈，我爱她 连续三个星期，约翰一直忙着拜访客户。母亲节快到了，过去他总要在这一天回到母亲身边，向她送上(衷心忠心)的祝福，但是今年他实在太累了。一天，他驱车路过一家花店时，心想：“给妈妈送上几枝玫瑰（guī gui）不就行了”他大步流星地走进那家小小的花店，只见一个小男孩问店主：“阿姨，6美元能买多少玫瑰”店主对他说：“玫瑰价格太高，不如买康乃馨。” □不□我就要玫瑰□他说□妈妈去年得了一场大病□我却没能在她床前尽孝□所以□我希望选个不同寻常的礼物□看来玫瑰最合适□因为那是她最喜欢的花□男孩态度坚决□ 店主抬眼瞧了一下约翰，继而无奈地摇摇头。可是，男孩的话打动了约翰心灵深处的某种东西。他看着店主，用口形默示他愿意替男孩付清玫瑰花的钱。这下店主放心了，她注视着男孩说：“得，你的6美元能买一打玫瑰。”男孩听罢高兴得差点跳起来。他接过玫瑰直奔（bèn bēn）店外，却不知道约翰为他垫付了35美元。看到男孩如愿以偿，约翰心里同样甜滋滋的。 约翰也在这家花店为妈妈订了鲜花，并再三嘱咐店主送花时务必附上一张纸条，告诉妈妈他是多么爱她。之后他乐呵呵地离开了花店。在距花店大约两个街区的地方，他遇到了红灯。这时，他看到男孩正沿着人行道向前疾走，最终跨过马路从两扇大门进了一座公园——不！突然，他意识到那不是公园，而是公墓。 约翰心血来潮□把车停在路边□开始步行顺着篱笆追赶男孩□他跟男孩只差30步□男孩在一座墓碑前停下□跪在地上□小心翼翼地把玫瑰花摆好□接着便抽泣不止□男孩边哭边说□妈妈呀□妈妈□，我真后悔□没告诉你我是怎样爱你□上帝啊□请你找到我妈妈□对她说我爱她□ 约翰转过身，泪水像涌泉一般流出眼眶。他返回汽车，快速赶回花店，告诉店主他将亲自把鲜花送给母亲。 1、划去括号中不恰当的字或音节。 2、在□中填上合适的标点符号。 2、联系上下文，解释下列词语的意思。 如愿以偿： 人教二年级下册语文试题课外阅读训练带答案解析(1) 一、部编版二年级下册语文课外阅读理解 1．现代文阅读 有一只小鹿得了病。病好了，他的角却变成了灰色。他很伤心。这天，他在草丛里睡着了。两只小黄鸟落在了他的角上，用树枝和干草搭（dā）窝。等灰角鹿醒来时，一个漂亮的鸟窝已经在他的角上搭好了。灰角鹿想：小鸟搭一个窝多不容易啊，我走路得小心点儿。 有一天，灰角鹿听到头上有叫声，原来鸟妈妈孵（fū）出了一只小鸟。下雨了，灰角鹿躲到树下，不让雨淋着小乌；天晴了，灰角鹿站到暖暖的阳光里，让小鸟晒太阳。 小鸟长大了，三只鸟叼（diāo）来了许多柳枝和喇叭花，放在灰角鹿的头上。灰角鹿的灰角变成了“花角”，漂亮极了。 （1）小鹿因为（），角变成了灰色。 A.受伤 B.生病 C.淋雨 （2）“两只小黄鸟用______和_________在灰角鹿的角上搭了窝。”根据短文内容，横线上应填（）。 A.树枝鲜花 B.树枝干草 C.鲜花干草 （3）两只小黄鸟在鹿角上搭窝的原因，最可能是（）。 A.两只小黄鸟把鹿角当成了树枝 B.两只小黄鸟不喜欢灰角鹿 C.鹿让两只小黄鸟把鹿角当成树搭窝 （4）灰角鹿的灰角是怎么变成“花角”的？ （5）你喜欢灰角鹿吗？为什么？ 解析：（1）B （2）B （3）A （4）小鸟长大了，三只鸟叼来了许多柳枝和喇叭花，放在灰角鹿的头上。 （5）我喜欢灰角鹿。因为他很善良，他能容忍小鸟在他的角上搭窝，而且他还帮小 鸟躲雨和让小鸟晒太阳，处处为小鸟着想，所以我喜欢他。 【解析】 2．读一读，做一做。 乌鸦反哺 乌鸦不仅聪明，而且很孝顺父母。 乌鸦小时候，都是由他的爸爸妈妈飞出去找食，然后回来一口一口喂给他吃。渐渐地，小乌鸦长大了，乌鸦的爸爸妈妈也老了，飞不动了，不能出去找食了。这时，长大的乌鸦没有忘记爸爸妈妈的哺育之恩，也学着他们的样儿，天天飞出去给他们找吃的。不管是“呼 ---- 第三章(概率)检测题 班级姓名学号10 小题，每小题3 分，共30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题（本题共一、选择题： 目要求的） 1．下列说法正确的是()． A．如果一事件发生的概率为十万分之一，说明此事件不可能发生 B．如果一事件不是不可能事件，说明此事件是必然事件 C．概率的大小与不确定事件有关 D ．如果一事件发生的概率为99.999％，说明此事件必然发生1/5，已知袋中红球有3 个，则袋中共有除颜色外完全相2．从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为 同的球的个数为()． B．8 个C．．5 个10 个D．15 个A 3．．下列事件为确定事件的有() (1)在一标准大气压下，20℃的纯水结冰 (2) 平时的百分制考试中，小白的考试成绩为105 分 (3)抛一枚硬币，落下后正面朝上 (4)边长为a，b 的长方形面积为ab A．1个B．2 个C．3个D．4个 4．从装有除颜色外完全相同的2 个红球和2 个白球的口袋内任取2 个球，那么互斥而不对立的两个()．事件是个红球1 ．至少有1 个白球，至少有．至少有A 1 个白球，都是白球B ．至少有个白球D 个白球，恰有C．恰有 1 2 个白球，都是红球1 5．从数字1，2，3，4，5 中任取三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这个三位数大于400 的()．概率是C．2/7D．2/3B、3/42/5．A (54(”的概率是K )中抽取一张牌，抽到牌“．6．从一副扑克牌张) C．A ．1/54 1/18 1/27 2/27D．B． ()的概率为．5 ．同时掷两枚骰子，所得点数之和为7 -- ---- 第一章基础训练题 一、填空 1、设}1),({},4),({2222>+=≤+=y x y x B y x y x A ，则=?B A 。 2、事件A 、B 、C 至少有一个发生可表示为 ，至少有两个发生 ，三个都不发生 。 3、设}6,5,4,3,2,1{},7,5,3,1{==B A ，则=-B A 。 4、设事件A 在10次试验中发生了4次，则事件A 的频率为 。 5、设,)(),()(p A p B A p AB p ==则=)(B p 。 6、A 、B 二人各抛一枚硬币3次，则出现国徽一面次数相同的概率是 。 7、筐中有4个青苹果和5个红元帅，随机地从中取出2个，则取出的苹果为同一品种的概 率为 ，恰好取出2个青苹果的概率为 ，恰好取出1个青苹果和1个红元帅的概率 为 。 8、从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件产品，其中恰有一件次品的概率为 ，至少有一件正品的概率为 。 9、从一筐装有95个一等品，5个二等品的苹果中，每次随机取一个，记录它的等级后放回 原筐搅匀后再取一个，共取50次，则无二等品的概率为 。 10、已知,3.0)(,4.0)(==B p A p 5.0)(=?B A p ，则=)(B A p 。 11、已知,8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B p B p A p 则=)(AB p ，=?)(B A p 。 12、对任意二事件B A ,，=-)(B A p 。 13、已知,3.0)(,4.0)(==B p A p （1）当A ，B 互不相容时，=?)(B A p ，=)(AB p （2）当A ，B 相互独立时，=?)(B A p ，=)(AB p ；（3）当A B ?时，=)(A p ， =)(A B p ，=?)(B A p ，=)(AB p ，=-)(B A p 。 14、设C B A ,,为三事件，A 与B 都发生而C 不发生，则用C B A ,,的运算关系可表示 为 。设A ,B ,C 都发生，则用C B A ,,的运算关系可表示为 。 15、设B A ,为互斥事件，且,8.0)(=A p 则)(B A p = 。 16、从一批由10件正品，3件次品组成的产品中，任取一件产品，取得次品的概率为 。 17、设B A ,为两事件，则=)(AB p 。若B A ,为互斥事件，则=?)(B A p 。 18、设2.0)(,5.0)(=-=A B p A p ，则=?=)()(B A p B A p 。 （7.0)()()(),()()(=?=-+-=-B A p A B p A p AB p B p A B p ） 学会把句子写完整我的大名：________________ 一、成语接龙 百花争艳——艳阳高照——照猫画虎——狐假虎威——威风八面——面面俱到 二、阅读训练 春妈妈的三个小姑娘 春妈妈回来了， 带来了三个淘气的小姑娘。 雷姑娘天天敲着鼓儿玩， 敲醒了天空， 敲醒了田野， 敲醒了沉睡的山庄。 雨姑娘天天洒着水儿玩， 洗绿了大树， 洗青了小草， 洗红了花朵的脸儿一张张。 风姑娘天天吹着气儿玩， 吹柔了树枝， 吹长了青草， 吹得春天朝前长。 啊，春天来了， 春妈妈带来了三个能干的小姑娘。 1.春妈妈带回的三个小姑娘是________、________、________。 2.照样子，写一写。 例：一张张 ________ ________ ________ 3.照样子，连一连。 蔚蓝的大地 无边的天空 沉睡的田野 清新的空气 4.万物复苏、花红柳绿……你还知道哪些形容春天的词语？请写一写。——————————————————————————————————————————— 快乐的小鸟 爸爸是树干， 妈妈是枝叶， 我是树上的小鸟。 树干支撑（chēng）着我， 树叶为我挡风雨。烈日当空， 我不怕， 浓密的枝叶遮住骄阳； 寒风袭来，我不怕， 庞大的树干托起我温暖的巢（cháo）。 我为枝叶欢唱， 我为树干舞蹈， 我是一只快乐的小鸟。 1.在“（）”里填上适当的词语。 （）的小鸟（）的枝叶（）的树干（）的巢 （）的土地（）的天空 2.给下列多音字注音并组词。 （）__________ （）___________ 当乐 （）__________ （）——————3.照样子，写句子。 我是．一只快乐的小鸟。 我是_______________________________。 4．你认为小鸟为什么觉得自己快乐？ 试题一 一、选择题（每题3分，共30分） 1. （08新疆建设兵团）下列事件属于必然事件的是（ ） A ．打开电视，正在播放新闻 B ．我们班的同学将会有人成为航天员 C ．实数a ＜0，则2a ＜0 D ．新疆的冬天不下雪 2.在计算机键盘上，最常使用的是（ ） A.字母键 B.空格键 C.功能键 D.退格键 3. (08甘肃庆阳）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如 果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为1 3，那么口袋中球的总数为（ ） Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个 4.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） A. 16 B.13 C.14 D.12 5.小明准备用6个球设计一个摸球游戏，下面四个方案中，你认为哪个不成功（ ） A.P （摸到白球）＝ 21，P （摸到黑球）＝21 B.P （摸到白球）＝21，P （摸到黑球）＝31，P （摸到红球）＝61 C.P （摸到白球）＝32，P （摸到黑球）＝P （摸到红球）＝3 1 D.摸到白球、黑球、红球的概率都是3 1 6.概率为0.007的随机事件在一次试验中（ ） A.一定不发生 B.可能发生，也可能不发生 C.一定发生 D.以上都不对 7.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（ ） A.28个 B.30个 C.36个 D.42个 8.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都完全相同，小明通过多次试验后发现其中摸到红色、黑色的频率分别为15%和45%，则口袋中白色球的个数很可能是（ ） A.6 B.16 C.18 D.24 9.如图1，有6张写有汉字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上洗匀后如图2摆放，从中任意翻开一张是汉字“自”的概率是（ ） A. 12 B.13 C.23 D.16 图1 图2 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 第六章 概率基础习题 一、填空题 1．一般我们称随机试验的样本空间的子集为 ，仅由一个样本点组成的单点集称为 。 2．随机事件A 发生的概率就是事件A 发生 大小的度量，记作 ，概率具体数值介于 和 之间，当事件为必然事件时，其值为 ，当事件为不可能事件时，其值为 。 3．概率为0的事件 为不可能事件，概率为1的事件 是必然事件。 4．已知P （A B ）=0.7，P （B A ）=0.3，P （A B ）=0.6，那么P （A ）为 。 5．若事件A 、B 满足 和 ，则称A 、B 为对立事件。 6．设A 、B 为任意二事件，则P （A-B ）= 。 7．已知事件A 、B 相互独立，且P （A ）=0.7，P （B ）=0.6，则P ) (AUB 为 。 8．P （A ）=ρ，P （B ）=q ，且P （A U B ）=γ，则P （A B ）为 ；若A 、B 相互独立，则P （A B ）又为 。 9．某同学投篮，每次投中的概率为0.7，现独立投篮5次，则恰投中四次的概率为 。 10．某函数为P （ξ=κ）=C κ，（κ=1，2，3，4，5），当C 等于 时，才能使其成为概率函数。 11．连续型随机变量ξ的分布函数F （X ）与密度函数ρ（X ）之间有关系式F （X ）= 对于ρ（X ）的连续点X 而言，有F （X ）= 。 12．随机变量ξ的 通常被称为数学期望，反映了变量可能取值的 水平；方差则是随机变量的 期望，反映了变量的 程度。 二、单项选择题 1．设A 、B 二随机事件，且B ?A ，则下列各式子中正确的是（ ） （1）P （AB ）=P （A ） （2）P （A B ）=P （B ） （3）P （A ∪B ）=P （A ） （4）P （B-A ）=P （B ）-P （A ） 2．设随机事件A 、B 互斥，则（ ） （1）A 、B 相互独立 （2）P （A ∪B ）=1 （3）P （A ∪B ）=P （A ）+ P （B ） （4）P （AB ）=P （A ）P （B ） 3．设事件A 、B 相互独立，则（ ） （1）A 、B 互不相容 （2）A 、B 互不相容 （3）P （A ∪B ）=P （A ）+ P （B ） （4）P （AB ）=P （A ）P （B ） 4．若P （A ）=P （B ）>0，则（ ） 概率 一、选择题（将唯一正确的答案填在题后括号内） 1．下列事件： ①打开电视机，它正在播广告；②从一只装有红球的口袋中，任意摸出一个球，恰好是白球； ③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13；④抛掷硬币1000次，第1000次正面向上 其中是可能事件的为（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 2．下列事件发生的概率为0的是（ ） A.随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上； B.今年冬天黑龙江会下雪； C.随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1； D.一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。 3．给出下列结论: ①打开电视机它正在播广告的可能性大于不播广告的可能性; ②小明上次的体育测试是“优秀”，这次测试他百分之百的为“优秀”; ③小明射中目标的概率为0.6，因此，小明连射三枪一定能够击中目标; ④随意掷一枚骰子，“掷得的数是奇数”的概率与“掷得的数是偶数”的概率相等. 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．书包里有数学书3本、英语书2本、语文书5本，从中任意抽取一本，则是数学书的概率是（ ） A. B. C. D. 5．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等， 那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A ．2519 B ．2510 C ．256 D ．25 5 6．下列事件中，必然事件是（ ） A ．掷一枚硬币，正面朝上． B ．a 是实数，l a l ≥0． C ．某运动员跳高的最好成绩是20 .1米． D ．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品． 7．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是 53，这个53的含义是（ ） A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷 B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8 C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的5 3 D ．发出100份问卷，有60份答卷是不喜欢足球 8．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中 103215131 概率论与数理统计 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2) (1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 概率练习册第七章答案 7-2 单正态总体的假设检验 1?已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 N(4.55,0.1082 ),现在测定了 9炉铁水,其平均含碳量 为4.484,如果估计方差没有变化,可否认为现 在生产的铁水平均含碳量为 4.55( 0.05)? 解提出检验假设 H 0 : 4.55, H 1 : 4.55 以H 0成立为前提，确定检验H 0的统计量及其分布 查标准正态分布表可得u u 0.025 1.96，而 2 说明小概率事件没有发生，因此接受 H 。.即认为 现在生产的铁水平 均含碳量为4.55. 对给定的显著性水平 =0.05，由上 P{U X 4.55 0.108/ . ? N(0,1) 分位点可知 X 4.55 0.108/、9 u ~ 0.05 X 4.55 0.108/J? 4.484 4.55 0.108/ 9 1.83 1.96 2.机器包装食盐，每袋净重量x (单位： g)服从正态分布，规定每袋净重量为500 (g), 标准差不能超过10 (g)o某天开工后，为检验 机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取 9袋，测得其净重量为： 497 507 510 475 484 488 524 491 515 以显著性水平-0.05检验这天包装机工作是否正常？ 解.作假设//0：0-2>102,耳：/ < 102 选取统计量Z2=^S2=A5^Z2(W-D K 10~ 对给定的显著性水平a =0.05, 査*分布表得：加』7-1)=加列⑻= 2.733,于是拒绝域为龙$ 52.733 由已知计算得52 =22&44 而z2 =殳二2 = _A_52 =18.2752 > 2.733 0*0 & 因此接受弘，即可以认为这天包装机工作不正常。 3.根据长期的经验，某工厂生产的铜丝的折 小学五年级语文阅读理解提升训练2（含答案） 小驴儿的理想 小驴儿的理想就是盖一所很高很高、四面都有窗户的房子。房子里设楼梯和滑梯两条路。上楼的时候从楼梯往上走，下楼的时候“哧溜”一下就能滑下来。‖ 小驴儿把自己的理想对大伙儿一说，小动物都齐声说好。 燕子说：“小驴儿，你快盖房吧，到时候我把家安到你的屋檐下，咱们当邻居。” 小猴们说：“小驴儿，你快盖房吧，到时候我们天天到你家滑滑梯。” 喜鹊说：“小驴儿，你快盖房吧，到时候我搬到你的房顶上住，再也不用担心刮风树摇了。” 小驴儿心里美滋滋的。‖ 许多年过去了，懒惰的小驴儿没有准备一块砖，没有准备一根木料，甚至连房基地也没有选好呢！它一遍又一遍地对动物们说着自己的理想。 又是一个春天来了。小驴儿又遇上了燕子和喜鹊，又对它们说：“等我修好了房子，咱们当邻居。”燕子和喜鹊都一声不响地飞走了。这时，心直口快的小猴凑了过来，对小驴儿说：“你说干就干吧，不要光说大话了。” 小猴的话刺中了小驴儿的要害，它气得说不出话来。过了老半天，它突然仰起头，顿着脚，发怒地喊：“我——要，我要盖——盖一所最高最高的房子！” 小猴和其它动物见小驴儿这样发怒都给吓跑了。‖ 一年一年过去了，直到今天，光说不干的小驴儿还没有盖上它理想的房子，它还在想着：“我要盖——盖一所最高最高的房子！” ‖ 1．按分好的段归纳段意。 2．写出文章中画有横线的词语的反义词。 担心——（）懒惰———（） 3．“小驴儿心里甜滋滋的”句子中“甜滋滋”一词的意思是 4．仔细地看看文中画有“____”的句子，用“甚至”一词写一句话。 5．读了《小驴儿的理想》一文后，您有什么感想？ 我爱旅游 我最爱什么？——不瞒你说，我呀，最爱旅游了。我跟着爸爸登过雁荡山，游过西湖，还钻过金华的双龙洞呢！ 去年暑假，爸爸带我去绍兴。可是，我一到那儿，却像泄了气的皮球。因为这儿既没有苏州那样小巧玲珑的园林，也没有无锡那样波光粼粼的湖水。呈现在我眼前的，只有又深又窄的小巷和式样古老的房屋。真没劲！第二天，爸爸带我到鲁迅爷爷少年时读书的“三味书屋”。爸爸一手搭着我的肩，一手指着书屋里的一张桌子说：“这就是鲁迅爷爷童年读书的课桌。他小时候学习很刻苦。一天，因为上学迟到而受到老师严厉的责备，他就在自己的桌沿上刻了一个?早?字，来时时提醒自己，后来，他再也没有迟到过。”我凝视着那书桌上的“早”字，顿时浮想联翩。我仿佛看到少年的鲁迅早早地背上书包来到书屋认真地朗读课文又仿佛看到他放学归来早早地打开作业本仔细地完成当天的作业鲁迅爷爷的这种早字精神真值得我学习 打这以后，我明白了旅游可不是纯粹的游山玩水，它能让我们在游玩中得到启发，学到书本上没有的知识，让我们大开眼界。我心里藏下了一个愿望：将来一定要跑遍祖国的山山水水。 1．挑选正确的答案在括号里打上“√”。 ①“我最爱什么？——不瞒你说”这里的破折号表示： A．意思的转折（）B．声音的延续（） C．表示底下是解释说明的部分（） ②“可是，我一到那儿，却像泄了气的皮球。”这一句用的修辞手法是： A．比喻（）B．夸张（）C．拟人（） 2．在文中用“~~~~”画出联想的句子。 3．给文中未加标点的部分加上标点。 4．归纳本文的中心思想。 我的“小老师” 我的弟弟是我的小老师。别看弟弟个头还不到我的鼻尖，英语都学了一年啦！嘿，他和爸爸对起话来，叽哩咕噜能说上一大段呢！我这个刚学英语的姐姐只得干瞪眼。 我放下姐姐的架子，去求弟弟教我。调皮的弟弟一听，立刻正经起来，挺严肃地满口答应。每天晚上弟弟都给我上课。他发音准，清脆流利和电视英语节目的声音一模一样。 弟弟不仅教得准，而且管得也很严。我一个字母拼不准，就得反复读几遍；个字母写不好，就得练两行。他站在一旁，手背后，绷着面孔，拧着眉毛，可认真啦！ 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时， 06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >， 必有概率{}P c x c e <<+ ＝?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝ ，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 9、设随机变量(,)X Y 的分布律为 则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 . 10、设121,,X X Λ来自正态总体)1 ,0(N , 2 129285241?? ? ??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数 k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABC U U概率经典测试题及答案
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