二次曲线中的万能弦长公式

二次曲线中的万能弦长公式

王忠全

我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by 2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y

），B （x ，y ）

那么：x 1，x 2是方程ax +by +c=0的两个解，有

x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=a

c ， ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2

21221222122212212

21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ?

+=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= |

|112a k ?+. 例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m 的方程。

解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),

即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么

032,092,2,210

232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ，k k ，k k k ，，k

k k k k k k k k k k k

或所求直线方程为得两边平方即

当k 不存在时,直线m 为x=-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得交点为(-3,2),(-3,-6) |AB|=548≠(不合题意)

综上所述: 032,092=+-=++y x y x 或所求直线方程为.

变式: 已知过点M （-3，-3）的直线m 被椭圆14

162

2=+y x 所截得的弦长为2，求直线m 的方程。

评析:用公式解决弦长问题,计算量大,容易出错,这正是高考考查学生计算能力的一个重要方面,这种“设而不求”的思想，在处理圆锥曲线相关问题中占有重要地位。

二次曲线中的万能弦长公式

二次曲线中的万能弦长公式 王忠全 我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by 2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y ），B （x ，y ） 那么：x 1，x 2是方程ax +by +c=0的两个解，有 x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=a c ， ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2 21221222122212212 21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ? +=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= | |112a k ?+. 例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m 的方程。 解析:设直线方程m:y+3=k(x+3), 即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么 032,092,2,210 232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ，k k ，k k k ，，k k k k k k k k k k k k 或所求直线方程为得两边平方即

圆锥曲线的焦点弦公式及应用(难)

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。 图1

（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）

解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时， 设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点 且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。

圆锥曲线的极坐标方程焦半径公式焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程 极坐标处理二次曲线问题教案 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线

当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问

圆锥曲线三种弦长问题

圆锥曲线三种弦长问题的探究 在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为2 2 8a b +=，………① 又3 e =，即2223c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而12x x -= = ， 由弦长公式，得1255 AB x =-==， 即弦AB 的长度为 5 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2 2 ,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+= 则21 21 4y y k x x -= =-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. 解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+ 由()2418y k x y x ?=-+??=??，整理得2 83280ky y k --+=. 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128 y y k +=， 又∵P 是AB 的中点，∴ 1212y y +=，∴8 24k k =?= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=. 由24150 8x y y x --=??=? 整理得，22300y y --=，则12122,30y y y y +==- 有弦长公式得， 12AB y =-== . 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是 利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2 l 的方程为： )2y x =-， 代入椭圆C 的方程) 222162y x x y ?=-??+ =?? ，化简得，2 51860x x -+=

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y+ =代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标()(), , , , 2 2 1 1 y x B y x A利用韦达定理及弦长公式 ] 4 ) )[( 1( 2 1 2 2 1 2x x x x k- + +求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x ,半焦距为c>0，焦点)0, ( ), 0, ( 2 1 c F c F-,设过 1 F的直线l的倾斜角为l,α交椭圆于两点()(), , , , 2 2 1 1 y x B y x A求弦长AB． 解：连结B F A F 2 2 ,,设y B F x A F= = 1 1 ,,由椭圆定义得y a B F x a A F- = - =2 , 2 2 2 ,由余弦定理得2 2 2) 2( cos 2 2 ) 2(x a c x c x- = ? ? - +α,整理可得 α cos 2 ? - = c a b x,同理可求 得 α cos 2 ? + = c a b y，则 α α α2 2 2 2 2 2 cos 2 cos cos c a ab c a b c a b y x AB - = ? + + ? - = + =; 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 α2 2 2 2 sin 2 c a ab AB - =（ａ为长半轴,b为短半轴，c为半焦距)． 结论:椭圆过焦点弦长公式： ? ? ? ?? ? ? ? - ? - = ). ( sin 2 ), ( cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 轴上 焦点在 轴上 焦点在 y c a ab x c a ab AB α α

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 2 2sin 1||e H AB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 cos ||H AB = .

典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程. 2F O A B x y

圆锥曲线焦点弦公式及应用

圆锥曲线焦点弦公式及应用 湖北省阳新县高级中学邹生书 焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有 ；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有 。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为， 点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又 ，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以 。 图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。

如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右 焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（） 解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的 离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得， 所以，所以，故选。

例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜 角为的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3 解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴 左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。 例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿ 解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代 入公式得，所以。 例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若，则＿＿＿ 解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式 ，代入公式得，所以所以，所以。 定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准 距（焦点到对应准线的距离）为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹

圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式

圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线

（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22sin 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，

α 2cos ||H AB = . 典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.

高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用 如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。 定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。 证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。 （1）当焦点内分弦时。 如图1，，所以。

图1 （2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。 如图2，，所以 。 图2 评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。 例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。若，则的离心率为（）

解这里，所以，又，代入公式得，所 以，故选。 例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心 率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（） 解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以 ，所以，故选。 例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为 的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿ 图3

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及 其推导过程 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y +=代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标()(),,,,2211y x B y x A 利用韦达定理及弦长公式]4))[(1(212212x x x x k -++求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ，半焦距为c>0，焦点)0,(),0,(21c F c F -，设 过1F 的直线l 的倾斜角为l ,α交椭圆于两点()(),,,,2211y x B y x A 求弦长AB . 解：连结B F A F 22,，设y B F x A F ==11,，由椭圆定义得 y a B F x a A F -=-=2,222，由余弦定理得222)2(cos 22)2(x a c x c x -=??-+α，整 理可得αcos 2?-=c a b x ，同理可求得αcos 2 ?+=c a b y ，则 α αα2222 22cos 2cos cos c a ab c a b c a b y x AB -=?++?-=+=； 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为α 2222 sin 2c a ab AB -=（a 为长半轴， b 为短半轴， c 为半焦距）.

圆锥曲线三种弦长问题

一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得22 8a b +=，………① 又e =，即2223 c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而12x x -= = 由弦长公式，得12AB x =-==， 即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2 2 ,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+=

圆锥曲线三种弦长计算

圆锥曲线三种弦长计算 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为， 且3 e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴ 椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦 AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.

三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 答 案 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为， 且3 e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为，得2 2 8a b +=，………① 又3e =，即2223 c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而125 x x -= = ， 由弦长公式，得1255 AB x =-==，

圆锥曲线里弦长公式与点差法

知识点1：直线与圆锥曲线的位置关系 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 例1：P228，例4 练习：已知直线1:-=kx y L 与双曲线2 2 :y x C -=4。 ⑴若直线L 与双曲线C 无公共点，求k 的范围； ⑵若直线L 与双曲线C 有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；

知识点2：圆锥曲线上的点到直线的距离问题： 例1：在抛物线x y 642=上求一点，使它到直线L ：04634=++y x 的距离最短，并求这个最短距离。 练习：椭圆 14 16 2 2 =+ y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.10 知识点3：弦长问题： 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则AB =2 k 1+21x x -=2 k 1+()212 214x x x x -+ =2 11k + 21y y -=2 1 1k + ()212 214y y y y -+ 可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。 例1：过双曲线 16 3 2 2 =- y x 的右焦点2F ，倾斜角为0 30的直线交双曲线于A 、B 两点，求 AB 。

练习：1、已知椭圆： 19 2 2 =+y x ，过左焦点F 作倾斜角为 6 π 的直线交椭圆于A 、 B 两点，求弦AB 的长 2、过椭圆 2 2 15 4 x y + =的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原 点，则△OAB 的面积为 知识点4：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法： ⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程； ⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k ，然后写出弦的方程； ⑶.设弦的两个端点分别为()()2211,,,y x y x ，则这两点坐标分别满足曲线方程，又 ?? ? ??++2,22121y y x x 为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。 例1：已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（2 2，0），长轴长为6， 设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。 已知双曲线方程2 2 2y x -=2。⑴求以A ()1,2为中点的双曲线的弦所在的直线方程； ⑵过点()1,1能否作直线L ，使L 与双曲线交于1Q ，2Q 两点，且1Q ，2Q 两点的中点为()1,1？如果存在，求出直线L 的方程；如果不存在，说明理由。

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线 y kx b 代入曲线方程，化 为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标 A x i , y i ,B X 2, y ，利用韦达定理及弦长公式 ^/(1 k 2)[(x 1 x 2)2 4x 1x 2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与 曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较 而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为 简捷. 一、椭圆的焦点弦长 2 2 若椭圆方程为 X 2 y 2 1(a b 0)，半焦距为 c>0,焦点F i ( c,0), F 2(C ,0)，设过F i a b 的直线I 的倾斜角为,l 交椭圆于两点A x i , y i ,B X 2，y 2 ,求弦长AB . 解：连结F 2A F 2B ，设|F i A| x,|F i B| y ，由椭圆定义得 旧円2a x’RB 2a y ， 半轴，c 为半焦距) 由余弦定理得x 2 (2C )2 2X 2C cos (2a x)2，整理可得x b 2 a c cos ，同理可求 b 2 b 2 a c cos ，则 AB x y a c cos b 2 a c cos 2ab 2 ~2 2 2~ ； a c cos 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为AB 2ab 2 2 2.2 a c sin (a 为长半轴，b 为短 结论：椭圆过焦点弦长公式: AB 2ab 2 2 2 2 a c cos 2ab 2 2 2.2 a c sin (焦点在x 轴上), (焦点在y 轴上). * V

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 2 2sin 1||e H AB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 cos ||H AB = .

典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.

第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题

第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）~ （2）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 ：

3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，120202 0≤+>=+b a b y a x 的离心率为36，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B

两点,当|AB |= 3，求的b 值. 2.已知椭圆G:14 22 =+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值 ； 3.直线01=--kx y 与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求m 的取值范围 ； 4.若直线 2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -= . 本文仅对焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线为例证明，其它情形请读者自证. 证明：设双曲线方程为12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），通径a b H 22=，离心率a c e =，弦AB 所在的直线l 的方程为）（c x k y +=（其中αtan =k ，α为直线l 的倾斜角），其参数方程为 为参数）（， t t y t c x ?? ?=+-=. sin cos αα. 代入双曲线方程并整理得： 0cos 2cos sin 4222222=-?+?-b t c b t b a ααα）（. 由t 的几何意义可得： | cos 1|2|cos 1|2|cos sin |2cos sin 4cos sin cos 24| |||22 2222 2222 2 2222 22222222 12 2121αααααααααe a b e a b b a ab b a b b a c b t t t t t t AB -=-= -=-----=-+=-=）（）（ .| cos 1|22αe H -=

圆锥曲线中的弦长问题

圆锥曲线中的弦长问题 左超杰 【教学目的】 1、熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法； 2、能解决有关直线与圆锥曲线相交时的有关弦长等问题。【重点难点】直线与圆锥曲线相交时弦长问题的处理方法。【教学模式】解决思路一一例题讲解一一方法总结一一 反馈练习一一课堂小结 教学过程： 一、基本知识考查： 1、当直线与圆锥曲线相交于两点时，就产生了弦。 当弦过焦点时，为___ _________ ；当焦点弦垂直于 圆锥曲线的轴时，弦为 直线的斜率为k，交点坐标为 2、弦长公式X i，y i ，x2 , y 2 ,弦长为d ,为 直线的倾斜角 ①当k存在时：d __________________ 当k存在且不为0时：d ②抛物线的弦长公式 AB x1 x2

、例题 1、磨磨刀 2、能力提咼 2 例1、过双曲线 x 2 L 1的左焦点F !作倾斜角为一的弦AB ， 3 1 6 求：1 |AB 2 ABC 的周长F 2为双曲线的右焦点 2、 2 直线y x 与椭圆—y 2 4 4、 5 1相交于A 、E 两点，贝V AB 等于 A 、 2 B 、 C 、 4 J0 5 8、10 5 已知双曲线方程为 的直线与双曲线交 A 、 5 过抛物线y 2 两点，如果 A 、 8 4、抛物线y 2 A 、 p 3、 B 、 2 L 1,过其右焦点作一条垂直 与X 轴 4 5 与A 、B 两点，贝y AB 等于 3 C 、4 4x 的焦点作直线交抛物线 6,那么AB 等于 D 、 9 于A 、B X 2, y 2 x 2 B 、10 C 、6 D 、 4 2px(p 0)的所有焦点弦中，弦长 的最小值为 B 、2p C 、4p D 、不确定 D 、

圆锥曲线中的弦长问题

圆锥曲线中的弦长问题 ――左超杰 【教学目的】 １、 熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法； ２、 能解决有关直线与圆锥曲线相交时的有关弦长等问题。 【重点难点】直线与圆锥曲线相交时弦长问题的处理方法。 【教学模式】解决思路――例题讲解――方法总结―― 反馈练习――课堂小结 教学过程： 一、基本知识考查： ________ __________为　圆锥曲线的轴时，弦　；当焦点弦垂直于　当弦过焦点时，为了弦。相交于两点时，就产生１、当直线与圆锥曲线()()__________2____________________________0____________________ ,,,2212211p x x AB ②d k d k ①d y x y x k =++=====???? ? ??　抛物线的弦长公式 时：存在且不为　当 存在时：当　直线的倾斜角为弦长为，，，交点坐标为直线的斜率为、弦长公式 α

二、例题 １、磨磨刀 ２、能力提高 ()()()()()() 、　不确定 、 、 、 的最小值为的所有焦点弦中，弦长４、抛物线、 、 、　、　８ 等于，那么 两点，如果 、于的焦点作直线交抛物线、过抛物线、　９ 、　、　３ 、　５ 等于两点，则、与 的直线与双曲线交 轴与过其右焦点作一条垂直－、　已知双曲线方程为、 、 ５、　、　２ 等于相交于Ａ、Ｂ两点，则与椭圆１、直线D p C p B p A p px y D C B A AB x x y x B y x A x y D C B A AB B A x y x D C B A AB y x x y 42)0(246106,,434,1542510851045414221221122 222>==+===+=()()() 为双曲线的右焦点的周长２ １求：　，的弦６作倾斜角为的左焦点例１、过双曲线212213F ABC AB AB F y x ?=-π