二次曲线中的万能弦长公式

二次曲线中的万能弦长公式

王忠全

我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线,用设而不求的方法,可得到其弦长公式。 设直线方程为:y=kx+b (特殊情况要讨论k 的存在性),二次曲线为f (x ,y )=0,把直线方程代入二次曲线方程,可化为ax 2+by 2+c=0,(或ay 2+by+c=0),设直线和二次曲线的两交点为A (x 1,y

),B (x ,y )

二次曲线中的万能弦长公式

那么:x 1,x 2是方程ax +by +c=0的两个解,有

x 1+x 2=-a b ,x 1x 2=a

c , ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2

21221222122212212

21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ?

+=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理:若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0,则|AB|= |

|112a k ?+. 例、已知过点M (-3,-3)的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线m 的方程。

解析:设直线方程m:y+3=k(x+3),

即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么

032,092,2,210

232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ,k k ,k k k ,,k

k k k k k k k k k k k

或所求直线方程为得两边平方即

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