2016年高考数学文真题分类汇编：数列 Word版含解析
2016年高考数学文试题分类汇编
数列
一、选择题
1、（2016年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且
*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，
*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .
(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)
若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）
A.{}n S 是等差数列
B.{}2n S 是等差数列
C.{}n d 是等差数列
D.{}
2
n d 是等差数列
【答案】A
二、填空题学科网
1、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20.
2、（2016年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ?N ，{23}n S ?，则k 的最大值为 .
【答案】4
三、解答题
1、（2016年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列{}n b 的公比329
33
b q b =
==， 所以2
11b b q
=
=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．
所以21n a n =-（1n =，2，3，???）． （II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=． 因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和
()11321133n n S n -=++???+-+++???+
()12113213n n n +--=+-学科网
2
31
2
n n -=+．
2、（2016年江苏省高考）
记{}1,2,100U =…，
.对数列{}()
*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =?,定义0T S =;若 {}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.
现设{}()
*
n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ?…，
，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ??≥,求证：2C C D D S S S +≥ . （1）由已知得1*13,n n a a n N -=?∈.
于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ? ，1*30,n n a n N -=>∈， 所以1121133(31)32
k k
k r k S a a a -≤+++=+++=-< . 因此，1r k S a +<.
（3）下面分三种情况证明.
①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+= . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥ . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.
令U E C C D = ，U F D C C = 则E φ≠，F φ≠，E F φ= . 于是C E C D S S S =+ ，D F C D S S S =+ ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.
由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，
从而11
12113131133
2222
l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤ ，
故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ ， 即21C C D D S S S +≥+ .
综合①②③得，2C C D D S S S +≥ .
3、（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且
1n n n a b b +=+.
（I ）求数列{}n b 的通项公式；
（II ）令1
(1)(2)n n n n
n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .
【解析】（Ⅰ）由题意得??
?+=+=3
222
11b b a b b a ，解得3,41==d b ，得到13+=n b n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知11
2)1(3)
33()66(=-?+=++=n n
n n n n n c ，从而 ]2)1(242322[31432+++???+?+?+?=n n n T
利用“错位相减法”即得223+?=n n n T
试题解析：（Ⅰ）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由??
?+=+=3
22211b b a b b a ，即???+=+=d b d
b 321721111，解之得
3,41==d b ，所以13+=n b n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知11
2)1(3)
33()66(=-?+=++=n n
n n n n n c ，又n n c c c c T +???+++=321，即]2)1(242322[31432+++???+?+?+?=n n n T
，所以]2)1(242322[322543+++???+?+?+?=n n n T ，以上两式两边相减得
2
22
1
43223]2)1(1
2)
12(44[3]2
)1(2
2222[3++++?-=+---+=+-+???+++?=-n n n n n n n n n T 。
所以223+?=n n n T
4、（2016年上海高考）对于无穷数列{n a }与{n b }，记A ={x |x =a ，*
N n ∈}，B ={x |x =n b ，
*N n ∈}，若同时满足条件：①{n a }，{n b }均单调递增；②A B ?=?且*N A B = ，则称
{n a }与{n b }是无穷互补数列.
（1）若n a =21n -，n b =42n -，判断{n a }与{n b }是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若n a =2n
且{n a }与{n b }是无穷互补数列，求数列{n b }的前16项的和；
（3）若{n a }与{n b }是无穷互补数列，{n a }为等差数列且16a =36，求{n a }与{n b }得通
项公式.
解析：（1）因为4?A ，4?B ，所以4?A B ， 从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列． （2）因为416a =，所以1616420b =+=．
数列{}n b 的前16项的和为()()
234
12202222++???+-+++
()5120
20221802
+?--=． （3）设{}n a 的公差为d ，d *
∈N ，则1611536a a d =+=．
由136151a d =-≥，得1d =或2．
若1d =，则121a =，20n a n =+，与“{}n a 与{}n b 是无穷互补数列”矛盾；
若2d =，则16a =，24n a n =+，,5
25,5n n n b n n ≤?=?->?
．
综上，24n a n =+，,5
25,5
n n n b n n ≤?=?->?．
5、（2016年四川高考）已知数列{a n }的首项为1， S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=S n +1，其中q ﹥0，n ∈N +
(Ⅰ)若a 2，a 3，a 2+ a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)设双曲线x 2
﹣у2
a n
2 =1的离心率为e n ，且e 2=2，求e 12+ e 22+…+e n 2，
解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+ 两式相减得到21,1n n a qa n ++=?. 又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n 3都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列.
从而1=n n a q -.
由2323+a a a a ，，成等差数列，可得32232=a a a a ++，所以32=2,a a ，故=2q . 所以1*2()n n a n -=?N .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.
所以双曲线2
2
21n
y x a -=
的离心率n e =
由22e =
解得q =
所以，
22222(1)1222
2(1)
2
(11)(1+)[1]1
[1]1
1(31).2
n n n n n
e e e q q q n q q n q n --++鬃?=+++鬃?+-=+++鬃?=+-=+
-
6、（2016年天津高考）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n N ∈*，且
6123
112
,63
S a a a -==. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列()
{}
21n
n b -的前
2n 项和.
解析：（Ⅰ）解：设数列}{n a 的公比为q ，由已知有
2
1112
11q a q a a =
-，解之可得1,2-==q q ，又由631)
1(61=--=q
q a S n 知1-≠q ，所以
6321)21(61=--a ，解之得11=a ，所以12-=n n a . （Ⅱ）解：由题意得2
1
)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=
-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为2
1
，公差为1的等差数列.
设数列})1{(2
n n b -的前n 项和为n T ，则
2212212
221224232221222
)
(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=
+???++=+-+???++-++-=-
7、（2016年全国I 卷高考）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足
12111
==3
n n n n b b a b b nb +++=1，，.
（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和.
解：（I ）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===
得1221121
,1,,3
a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-. （II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为1
3
的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则
11
1()313.122313
n
n n S --==-?-
8、（2016年全国II 卷高考）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式；
（Ⅱ） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
解析：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5
a d ==， 所以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +??
=????
， 当n =1,2,3时，23
12,15n n b +≤
<=； 当n =4,5时，23
23,25n n b +≤<=； 当n =6,7,8时，23
34,35
n n b +≤<=；
当n =9,10时，23
45,45
n n b +≤
<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=.
9、（2016年全国III 卷高考）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，
211(21)20n n n n a a a a ++---=.
（I ）求23,a a ；
（II ）求{}n a 的通项公式
.
10、（2016年浙江高考）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；
（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.
解析：（1）由题意得：1221421a a a a +=??=+?，则12
13a a =??=?，
又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=，
所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）设1|32|n n b n -=--，*n N ∈，122,1b b ==. 当3n ≥时，由于132n n ->+，故132,3n n b n n -=--≥. 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则122,3T T ==.
当3n ≥时，229(13)(7)(2)3511
31322
n n n n n n n T --+---+=+-=
-， 所以，2*
2,13511,2,2
n
n n T n n n n N =?
?=?--+≥∈?
?.