一、习题1参考答案
1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.
(1)41253; (2)3712456; (3)57681234; (4)796815432 解(1)()4125330014τ=+++= 偶排列
(2)()37124562500007τ=+++++= 奇排列
(3)()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列 (4)()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.
(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.
(1) 412-3- (2) 2211
a a a a ++-1 (3) cos sin sin cos x x
x x -
(5)
23
2
2
a a b
ab (6) 1
log log 3
b a
a
b (7) 000
x
y x z y z
--- 解(1)
131523125=?-?=- (2)4
(3)2(1)4212=-?--?=--3- (3)
()223222
1
1(1)11
a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 (4)22
cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= (5)2332322
2
0a a a b a b b
ab =-=
(6)
1
log 3log log 2log 3
b b a
a a
b a b
=-=
(7) 0
000000
x
y
x
z xyz xyz y z -=+----=--
4. 当x 取何值时31
4
0010x
x x
≠ ? 解 因为31
4
010x
x x
2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时,恒有31
40010x
x x ≠
5. 下列各项,哪些是五阶行列式ij a 中的一项;若是,确定该项的符号.
1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a
解 (1)不是 (2)不是 (3)不是
6. 已知行列式
11
121314212223243132333441
42
43
44
a a a a a a a a a a a a a a a a ,写出同时含21a 和21a 的那些项,并确定它们的正负号.
解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正; 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.
(1) 1112131415
21
22232425
31
32414251
52
000000
a a a a a a a a a a a a a a a a (2)
020
200
002
2
00
(3) 0100
0200
001000
n n
-
解 (1)行列式的一般项为12345()
1122334455(1)
j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2
列,则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素,故该行列式的值为零,即原式0=
(2)行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零,所以原式16= (3)行列式的展开项中只有(2,3,4)
11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为
零,所以原式1
(1)
!n n -=-
8. 用行列式性质计算下列行列式.
(1) 111
314
895
(2)
1234
2341
3412
4123
(3)
4124
1202
10520
0117
??
??
??
??
??
??
(4)
2141
3121
1232
5062
??
??
-
??
??
??
??
(5)
ab ac ae
bd cd de
bf cf ef
-
-
-
(6)
a b a
a a b
b a a
a b a
解 (1) 111
314
895
3
21
3
31
r r
r r
-
-
111
021
013
-
-
23
2
r r
-
111
005
013
-
-
23
r r
?
111
013
005
--
-
5
=
(2)1234
2341
3412
4123
2341
c c c c
+++
10234
10341
10412
10123
1234
1341
10
1412
1123
=
12
13
14
r r
r r
r r
-+
-+
-+
1234
0113
10
0222
0111
-
--
---
3
42
22
r r
r r
-
+
1234
0113
10
0044
0004
-
-
-
160
=
(3)
4124
1202
10520
0117
12
r r
?
1202
4124
10520
0117
-21
31
4
10
r r
r r
-
-
1202
0724
015220
0117
--
-
--
24
r r
?
1202
0117
015220
0724
--
--
32
42
15
7
r r
r r
+
+
1202
0117
001785
00945
34
2
r r
-
1202
0117
0015
00945
=
--
(4) 2141
3121
1232
5062
-
13
r r
?
1232
3121
2141
5062
-
-
21
31
41
3
2
5
r r
r r
r r
-
-
-
1232
0775
0323
01098
---
-
---
---
23
2r r -12320131032301098
-3242
310r r r r --12320131
0076002118
----0=
(5) ab
ac ae bd
cd de bf
cf
ef
---每列都提取公因式
b
c e
adf b
c e b c e ---每列都提取公因式
11
1
1
111
11
adfbce --- 1213
r r r r ++111
020
20
abcdef -23
r r ?111
20002
abcdef --4abcdef = (6)
0000
a b a a a b b a a a b a 4321
r r r r +++2222000a b a b a b a b
a a b
b a a a b a ++++
()
11110200
a
a b a b b a a a b
a =+121314
ar r br r ar r -+-+-+()
1111
002000a b a
a b a b b a b b a a --+----- 3232
r r r r +-()
1111
0020000a b a
a b b b b b --+---=()
2
1111
00201100101
a b a b a b --+--- 3424
r r r ar ++()
211110
002200110
101
b a b a b -+---2
4c c ?()
21
1110
101
200110
002b a b b a
-+---
()()2422224b a b b a b a b =+-=-
9. 证明下列等式.
(1) 1
11
2
22222
2
221113
33333
3
3
3
a b c b
c a c a
b a b
c a b c b c a c a b a b c =-+
(2)
11
12212211121112
1112111221222122
21
22
21
22
0000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax by
ay bz
az bx
ay bz
az bx ax by az bx
ax by ay bz +++++++++=33()x
y z a b y z x z
x
y
+
(4) 2
2224444
1
111a b c d
a b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ?-+++ 证明 (1)左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-
=2222221
1
1
3
3
3
3
3
3
b c a c a b a b c b c a c a b -+
=右式
(2)
111221
221112111221222122
0000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开
2221
1112
11121211111222
21
222121
22
00
00a a a c b b a c b b c b b c b b - 1112
1112
1122
1221
2122
2122
b b b b a a a a b b b b =-11121112
21
222122
a a
b b a a b b =
(3) ax by
ay bz
az bx
ay bz
az bx ax by az bx
ax by ay bz +++++++++ 按第一列分开
x ay bz
az bx
a y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bz
az bx
b z az bx ax by x ax by ay bz +++++++
2
(0)x
ay bz z a
y az bx x z ax by y +++++分别再分
(0)y
z az bx
b z x ax by x y ay bz
++++
33x y z y z x a y z x b z x y z
x
y x y
z +分别再分
332(1)x y z x y z
a y
z x b y
z x z x
y z
x
y
=+-=右边 (4) 2
2224444
1
111a b c d a b c d a b c d 213141
c c c c c c --- 2222222
4
444444
1000a b a c a d a
a b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开
222222222222222()()()
b a
c a
d a
b a
c a
d a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式
2221
1
1
()()()
()()()
b a
c a
d a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213
c c c c -+-+()()()
b a
c a
d a ---222221
()()()()()
b a
c b
d b
b b a
c c a b b a
d d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开
()()()()()
b a
c a
d a c b d b -----222211
()()()()
c bc b a c b
d bd b a d b ++++++++
()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++
10.设行列式3
04
5
32
21
--,求含有元素2的代数余子式的和. 解 含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++
()
()()()
3
4545334305
0111121212222
--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式304
0222
2
07005322
=
--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解 解法一:第四行各元素余子式之和的值为
41424344M M M M +++
040340300304
222222222222700000070070=+++---
780314(7)(1)(2)28=-?++?+-?-?-=-
解法二:第四行各元素余子式之和的值为
4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+
304022220700111
1
=
---按第3行展开
32340
(7)(1)222
111
+----23
2r r +340
70
4111
--
按第2行展开
34
28
2811
-=---
12.已知 10121
103
11101254
-=
-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一:
虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道,第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。
1212212231324142122232420a A a A a A a A A A A A +++=-+-=
方法二:构造一个新的行列式,即111
1211
03111011
11
--=
D 由性质可知道10=D ;
1,D D 的代数余子式414243,,,A A A A 是完全一样的,按照第二列展开得12223242A A A A -+- 由性质和展开式可知122232420A A A A -+-=
(2)由于,ij ij A a 无关,可构造一个新的行列式,即110121
103
11101
111
-=
D ,则有1,D D 的代数余子式41424344,,,A A A A 是完全一样的. 而
141424344414243441111A A A A A A A A =?+?+?+?=+++D
11012110311101111
-=
D 34
r r -+1012110311100001
-4按第行展开
1011101
11
-1=-
13. 计算下列行列式.
(1)
3214235110235413--- (2) 1111111111111111a a b b
+-+- (3) 22222a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a (4) 1
2
2
2
2222
2232222n
(5) 1211
311211231
2
3111
11
n n n n
x
a a a a x a a a a x
a a a a x a a a a ---=
n+1D (6) 1000
1
1000
11000110
011a
a a a a a
a a a
---=------5D
解
(1)
3214235110235413
---232331534
r r r r r r -+-+-+0255
03951023041112
-----按第一列展开
255
39
54
1112
----
32
c c +205
3454112-----213
r r -+205
345012
-----
223
c c -+2
5
3413010
----按第二列展开
25
41313
-=---
(2)2
2222a a a a a a a a a
a a a a a a a a a a a (42)
a +各列都加到第一列提出()11242121212
a a a a
a a a
a a a a a a a a a a +
第一行乘以(-1)加到各行
()1020
00420020
002000002a a a a a a a
a a
-+--- ()()4
224a a -+=
(3)
1111
1111
11111111a a b b
+-+-2143
c c c c -+-+00
1111
0011
11a a a b b b
--
1234
r r r r -+-+000
110000101a a b b
--按第一行展开
000
1a a b
b
-- 按第一行展开
2
220
1b a a b b
-=-
(4)1222
22222232
222n
2-1第列乘()
加到各列上
1
2
0200
2100202
n --
按第一列展开
200210
(1)
20n 2
-- 2(n 2)!=-- (5) 1211
311211231
2
3111
11
n n n n
x a a a a x a a a a x
a a a a x a a a a ---=
n+1D
-1第(n+1)列乘()加到各列上
1
12231223123
110
10100010
1
n n n n n n n
x a a a a a a a x a a a a a a x a a a x a -------------
()()()12n x a x a x a =---
(6) 10
00
1
1000
11000110
011a
a
a a a a
a a a
---=------5D
各列均加到第1列按第1列展开
5151400
100
(1)
(1)110011a a a a a a a a a
a
++---=------44D D 继续使用这个递推公式,有 41
34(1)
a a a +=--=+433D D D
3123(1)a a a +=--=-323D D D
而初始值21a a =-+2D 故 2
3
4
5
1a a a a a =-+-+-5D 14.求下列方程的根.
(1) 653
3
22022x x x
--+=- (2) 2
2
11
23
1223
023
1523
19x x -=-
解 (1) 6
53
3
22
2
2x x x --+-21
c c +153
12202x x x x
--+
12
r r -+1530310
2
x x x
---
按第一列展开
()
3112x x x
---()()1[32]x x x =--+()()2
12x x =--
所以有()
()2
120x x --= 方程的根是1231
2x x x ===
(2)
2
2
11
231223231523
19x x --12213214
r r r r r r -+-+-+22
11
23
0100
01310133x x -----
按第二行展开
()2
2
1
2
3
1031033x
x -----按第一列展开
()2
231
133x x -----
()()()()()2
2
2
13333122x x x x x ??----=-+-??
所以有()()()2
31220x
x x -+-= 方程的根是1
2341
122x
x x x ==-=-=
15. 用克拉姆法则解下列方程组.
1234123412423421
21
(1)21x x x x x x x x x x x x x x ---=-??+-+=??++=??+-=? (2)12341341
23123422244321224
x x x x x x x x x x x x x x -+-=??-+=??++=-??-+-+=-?
解 (1) 因为系数行列式 1
112
1
121
10011010
11
1
----=
=-≠-D
故方程组有惟一解,而
11121121921011111-----=
=--1D 111
2
1121
812010111----==--2D 11121111511210
111---=
=--3D 11111
121
311020
11
1
----=
=-4D 所以线性方程组的解为
12349413,,,105210
x x x x =
=======3124D D D D D D D D 解 (2) 因为系数行列式 111
1201
4
203210121
2
--=
=-≠--D 故方程组有惟一解,而
21114014212104212--=
=----1D 121
12414
431101412
-==----2D 11212044032101242-==---3D 11122014
132111214
--==-----4D
所以线性方程组的解为
12341
1,2,0,2
x x x x =
===-====3124D D D D D D D D 16. 问λ取何值时,下列齐次线性方程组有非零解?
(1)12312312
3(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=? (2)141241241234020(2)40
230
x x x x x x x x x x x x λλλ+=??+-=??
+-+=??++++=?
解
(1)1242311
1
1λ
λλ
--=
--D 1342111
1λλλλ
--+=
-- 3(1)(3)4(1)2(1)(3)λλλλλ=-+------- 32(1)2(1)3λλλ=-+-+-
齐次线性方程组有非零解,则0=D 所以 0,23λλλ===或方程组有非零解.
(2)00101
1201
31213(55)2104
2
14
2
13
λ
λ
λλλλ
-=
=--=--+-+-D 齐次线性方程组有非零解,则0=D 所以 1λ=方程组有非零解.
17. k 取什么值时,齐次线性方程组 0020kx y z x ky z x y z +-=??
+-=??-+=?
仅有零解.
解 系数行列式为
111
121
1
k
k
-=--D 3231
r r r r ++200
3102
11
k k +--()()20
2131
k k k k +=
=+--
若齐次方程组仅有零解,则必有0≠D ,所以 ()()210k k +-≠,即21k k ≠-≠且.
二、第1章自测题参考答案与评分标准
(一)填空题(本大题共10个小题,每小题2分,共20分)
1. 行列式
1
2345
432
321224
18
的122a =的代数余子式及其值是____________. 2. 若1
20
3
2
101
01
λλ-=,则1λ=____________,2λ=____________.
3. 1231231
20(1)00
x kx x kx x k x x kx ++=??
+++=??+=? 有非零解,则____________.
4. 在五阶行列式中,项1231544325a a a a a 的符号应取____________.
5. 在函数101
23()232112x
x x f x x x
=
中,3
x 的系数是____________. 6. 设15781
111
20361
23
4
=
D ,则41424344A A A A +++=____________. 7. 四阶行列式中,带负号且包含因子23a 和31a 的项为____________.
8.
21001210
012300
12
=____________. 9. 已知11
12
13
21
2223313233a a a a a a n a a a =,则21
2223
3111321233131121
1222
1323
222323232a a a a a a a a a a a a a a a ---=+++____________. 10. 2
1
2
00111
k
k =-的充分条件是k =____________.
解
1. 12532
3
12
218
M =12431
r r r r --532
22018110
----22
2281811
--=-=--
2. 3,任意实数
3.1k =-或1k =
4.正
5.1-
6. 0
7.14233142a a a a
8. 5
9. 6n 10. -2或3
(二)单项选择题(本大题共5个小题,每小题2分,共10分)
1.下列( )是4级奇排列
A.4321
B.4123
C.124
D.23415
2. 1223545i j k a a a a a 是5阶行列式ij a 中前面冠以负号的项,那么,,i j k 的值可以是( ) A. 1,,3i j k k === B. 4,1,3i j k === C. 3,1,4i j k === D. 4,3,1i j k ===
3. 已知行列式1011111
11111111
x ---=----D ,则行列式D 中x 的一次项系数是( )
A.1
B. 1-
C. 2
2 D. 2
2-
4. 当( )时,02020kx z x ky z kx y z +=??
++=??-+=?
有非零解
A. 0k =
B. 1k =-
C. 2k =
D. 2k =-
5. 设221
12
()1
12211
f x x x =-+,则()0f x =的根是( ) A.1,1,2,2 B. 1,1,2,2-- C. 1,1,2,2-- D. 1,1,2,2----
解 1.B 2.B 3.D 4.C 5.C (三)计算题(本大题共6小题,每小题8分,共48分)
1.
0345341002226272--- 2.
2512371
459274612
----- 3.
100110011001
a b c d --- 4. a b b
b b a b b b b a b b b
b a
5.
1111
1111
1111
1111
x
x
x
x
--
-+-
--
+--
6.
000
000
0000
000
000
x y
x y
x
x y
y x
解(1)
0345
3410
0222
0 692
-
=
-D…………3分
2
9
6
2-
2
2
5
4
3
3
=…………3分
.
96
=…………2分
(2)2512
3714
5927
4612
-
--
-
-
13
c c
?
2
4
6
1
7
5
9
2
4
3
7
1
2
2
5
1
-
-
-
-
-
-…………2分
12
213
14
r r
r r
r r
-+
-+
-+
2
1
3
1
1
6
1
2
2
2
5
1
-
-
-
-…………2分
43
242
r r
r r
+
+
2
1
3
3
6
3
2
2
5
1
-
-
-…………2分
24
r r
?
9
3
3
2
1
2
2
5
1
-
=
-
-
…………2分
(3)
100
110
011
001
a
b
c
d
-
-
-
21
ar r
+
010
110
011
001
ab a
b
c
d
+
-
-
-
…………2分
按第一列展开
21(1)(1)+--10
1
10
1ab a c d
+-- …………2分 23
dc c +1110
10
ab a
ad
c c
d +-+- …………2分 按第三行展开
32
(1)(1)+--111ab ad
cd
+-+=1abcd ab cd ad ++++ …………2分
(4)
a b b b b a b b b b a b b b b a
4321
r r r r +++a
b b b b a b b b
b a b b
a b a b a b a 3333++++…………2分
提取公因式
()
a
b b b b a b b b
b a b
b a 1111
3+ …………2分 121314
br r br r br r -+-+-+()
b
a b a b a b a ---+0000000
001
1113 ............2分 ))(3(b a b a -+= (2)
(5)
1111
111111111111
x x x x ---+---+--2341
111
111
111111
c c c c x x x x x x x +++---+----- …………2分
提取公因式
11111111
11111111
x x x
x ---+----- …………2分
121314
r r r r r r -+-+-+11
11000000
0x x x
x x x
----- …………2分
40
000x x
x x x x x
-=-=- …………2分
(6)
00000000000000
00
x y x y x x y y
x
按第一列展开
10000000000(1)000000000
00n x y y x x y x y x y y x
x
y
++-
…………4分
111(1)n n n x x y y -+-=?+-? …………2分 1(1)n n n x y +=+- …………2分
(四)解答题(本大题共8分)
问,λμ,取何值时,齐次线性方程组1231231
230020
x x x x x x x x x λμμ++=??
++=??++=?有非零解?
解 11
1
1121
λ
μμμλμ==-D , …………4分
齐次线性方程组有非零解,则0=D …………2分 即 0μμλ-= 得 01μλ==或
所以当01
,μλ==或时该齐次线性方程组确有非零解. …………2分 (五)证明题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
(1)222
22
211111
1p r r q q p p r r q q p p r r q q
p +++++++++2
2
2
1112r q p r q p r q p = (2)
2
22222222
2
2
2
22
2
2(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)
(2)
(3)
(1)(2)(3)a a a a b b b b c
c c c
d d d d ++++++=++++++
证明:(1) 2
22
22
211111
1p r r q q p p r r q q p p r r q q
p +++++++++ 把第一列分成两项
111112
22
22
p q r r p p q r r p p q r r p ++++++2
2222111
11
p r r q q p r r q q p
r r q q +++++++ …………2分把第一个行列式第三列分成两项把第二个行列式第二列分成两项
1
1112
22
2p q r r
p q r r p q r r +++22221111p r r q p r r q p
r r q
++++…………2分 把第一个行列式第二列分成两项把第二个行列式第三列分成两项
22
2
111
r q p r q p r
q p =2
22111p r q p r q p
r q
+ …………2分 2
2
2
111
2r q p r q p r
q p
= …………1分 (2) 222222222
2
2
2
2
222
(21)(2)(3)(21)(2)(3)(21)
(2)
(3)
(21)(2)(3)a a a a a b b b b b c
c c c c
d d d d d ++++++++=
++++++++左边
222
2
121314
21446921446921
44
69
214469
c c c c c c a a a a b b b b c
c c c
d d d d -+-+-+++++++++++++ …………2分
222
2
446944692
44
69
4469
a a a a
b b b b c
c c c
d d
d d ++++++++把第二列分成二项
222
21446914469144
69
14469
a a a
b b b c
c c
d d d +++++
++++ …………2分
2222
43
2
64243
2
942
49
494949c c c c c c c c a a b b c c d d
----第一项第二项2
2
22146146146146a a a b b b
c c c
d d d
+ …………2分
0= …………1分
《线性代数》习题集(含答案) 第一章 【1】填空题 (1) 二阶行列式 2a ab b b =___________。 (2) 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 (3) 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 (4) 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 (5) 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2 a b -;4.3 3 3 3x y z xyz ++-;5.4abc 。 【2】选择题 (1)若行列式12 5 1 3225x -=0,则x=()。 A -3; B -2; C 2; D 3。 (2)若行列式11 1 1011x x x =,则x=()。 A -1 , B 0 , C 1 , D 2 ,
(3)三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=()。 A -70; B -63; C 70; D 82。 (4)行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -;B () 2 2 2a b -;C 4 4 b a -;D 44 a b 。 (5)n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =()。 A 0; B n !; C (-1)·n !; D () 1 1!n n +-?。 答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。 答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。 (2)τ(217986354)=18,此排列为偶排列。 (3)τ(987654321)=36,此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数: (1)135 (2n-1)246 (2n );(2)246 (2n )135 (2n-1)。 答案:(1) 12n (n-1);(2)1 2 n (n+1) 【6】确定六阶行列式中,下列各项的符号:
第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4. 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6.在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1
7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ,则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ,则 12 8.若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号填“√”,错误的在括号填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 £ s £ n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
《线性代数》重点题 一. 单项选择题 1.设A 为3阶方阵,数 = 3,|A | =2,则 | A | =( ). A .54; B .-54; C .6; D .-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵,λ为实数,则|λA |=( ) A 、λ|A |; B 、|λ||A |; C 、λn |A |; D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =( ). 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0; B. ()2,2-; C. 22?? ?-??; D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量,矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4,则|-2A |=( ). A 、-32; B 、-4; C 、4; D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是( ). A .一个零向量一定线性无关; B .一个非零向量一定线性相关; C .含有零向量的向量组一定线性相关; D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关;不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关;不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关;对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.已知2阶行列式m b b a a =2121,n c c b b =2121,则=++2 21 12 1 c a c a b b ( B ) A .n m - B .m n - C .n m + D .)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121. 2.设A , B , C 均为n 阶方阵,BA AB =,CA AC =,则=ABC ( D ) A .ACB B .CAB C .CBA D .BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(. 3.设A 为3阶方阵,B 为4阶方阵,且1||=A ,2||-=B ,则行列式||||A B 之值为( A ) A .8- B .2- C .2 D .8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B . 4.????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ,????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ,????? ??=100030001P ,??? ? ? ??=100013001Q ,则=B ( B ) A .PA B .AP C .QA D .AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333. 5.已知A 是一个43?矩阵,下列命题中正确的是( C ) A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩(A )=2 B .若A 中存在2阶子式不为0,则秩(A )=2 C .若秩(A )=2,则A 中所有3阶子式都为0 D .若秩(A )=2,则A 中所有2阶子式都不为0 6.下列命题中错误..的是( C ) A .只含有1个零向量的向量组线性相关 B .由3个2维向量组成的向量组线性相关
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001000 ( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 1 10000 0100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 003232 1 1112)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若21 3332 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 222123 21 12 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若573411111 3263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23500101 1 110403--= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,, , 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2 分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,, , 21(3 s n )线性无关的充要条件是( )。 ① s ααα,, , 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,, , 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,, , 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα,, , 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ,B 均为n 阶方阵,下面结论正确的是( )。 ① 若A ,B 均可逆,则B A +可逆 ② 若A ,B 均可逆,则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆,则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆, 则 A ,B 均可逆 5. 若4321νννν,,,是线性方程组0=X A 的基础解系,则4321νννν+++是0=X A 的( ) ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分,共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵,且0=AB , 则必有:( ) (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???( ) (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. (A )A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 (B )A 是满秩矩阵。 (C )A 经初等变换可化为??? ? ??000r E (D )A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) (A ) s ααα ,,21均不是零向量. (B ) s ααα ,,21中任一部分组线性无关. (C ) s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. (D ) s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. (A )0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. (B )0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. (C )α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. (D )12γγ,是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数,则有( )
线性代数期中练习 一、单项选择题。 1. 12 021 k k -≠-的充分必要条件是( )。 (A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2.若AB =AC ,当( )时,有B =C 。 (A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵 3.若三阶行列式M a a a a a a a a a =3332 31 232221 13 1211 ,则=---------33 32 312322 2113 1211222222222a a a a a a a a a ( ) 。 (A) -6M (B) 6M (C) 8M (D) -8M 4.齐次线性方程组123123123 000ax x x x ax x x x x ++=?? ++=??++=?有非零解,则a 应满足( )。 (A) 0a ≠; (B) 0a =; (C) 1a ≠; (D) 1a =. 5.设12,ββ是Ax b =的两个不同的解,12,αα是0=Ax 的基础解系,则Ax b = 的通解是( )。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+ + (B) 11212121 ()()2 c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121 ()()2 c c αββββ+-++ 二.填空题。 6.A = (1, 2, 3, 4),B = (1, -1, 3, 5),则A ·B T = 。 7.已知A 、B 为4阶方阵,且A =-2,B =3,则| 5AB | = 。 | ( AB )-1 |= 。 8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ??? 中,已知1-B 、1 -C 存在,而O 是零矩阵,则 =-1A 。
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆,则必有()
枣庄学院线性代数期末考试题样卷 一、填空题(将正确答案填在题中横线上。每小题2分,共10分) 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ,则=χ__________。 2.若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解,则λ应满足 。 3.已知矩阵n s ij c C B A ?=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是 阶矩阵。 4.矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5.n 阶方阵A 满足032 =--E A A ,则=-1 A 。 二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。每小题2分,共10分) 1. 若行列式D 中每个元素都大于零,则0?D 。( ) 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。( ) 3. 向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应的分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。( ) 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ,则A A =-1。( ) 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值,则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。每小题2分,共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=T A A ( )。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα,,, 21(3 ≤ s ≤ n )线性无关的充要条件是( ) 。 ① s ααα,,, 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα,,, 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα,,, 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示
《线性代数》复习一:选择题 1. 如果111213212223313233a a a a a a a a a = M ,则111213212223313233 222222222a a a a a a a a a = ( ) A. 8M B. 2 M C. M D. 6 M 2. 若A ,B 都是方阵,且|A |=2,|B |=-1,则|A -1B|=( ) A. -2 B.2 C. 1/2 D. –1/2 3. 已知可逆方阵13712A --??= ?-?? , 则A =( ) A. 2713-?? ?-?? B. 2713?? ??? C. 3712-?? ?-?? D. 3712-?? ?-?? 4. 如果n 阶方阵A 的行列式|A | =0, 则下列正确的是( ) A. A =O B. r (A )> 0 C. r (A )< n D. r (A ) =0 5. 设A , B 均为n 阶矩阵, A ≠O , 且AB = O , 则下列结论必成立的是( ) A. BA = O B. B = O C. (A +B )(A -B )=A 2-B 2 D. (A -B )2=A 2-BA +B 2 6. 下列各向量组线性相关的是( ) A. α1=(1, 0, 0), α2=(0, 1, 0), α3=(0, 0, 1) B. α1=(1, 2, 3), α2=(4, 5, 6), α3=(2, 1, 0) C. α1=(1, 2, 3), α2=(2, 4, 5) D. α1=(1, 2, 2), α2=(2, 1, 2), α3=(2, 2, 1) 7. 设AX =b 是一非齐次线性方程组, η1, η2是其任意2个解, 则下列结论错误 的是( ) A. η1+η2是AX =O 的一个解 B. 121122 ηη+是AX =b 的一个解 C. η1-η2是AX =O 的一个解 D. 2η1-η2是AX =b 的一个解 8. 设A 为3阶方阵, A 的特征值为1, 2, 3,则3A 的特征值为( ) A. 1/6, 1/3, 1/2 B. 3, 6, 9 C. 1, 2, 3 D. 1, 1/2, 1/3 9. 设A 是n 阶方阵, 且|A |=2, A *是A 的伴随矩阵, 则|A *|=( ) A. 21 B. 2n C. 12 1-n D. 2n -1 10. 若???? ? ??100321z x y 正定, 则x , y , z 的关系为( ) A. x +y =z B. xy =z C. z >xy D. z >x +y 参考答案:1.A 2.D 3. B 4. C 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. C 1. 设2301 λλ=-,则λ取值为( ) A. λ=0或λ=-1/3 B. λ=3 C. λ≠0且λ≠-3 D. λ≠0 2. 若A 是3阶方阵,且|A |=2,*A 是A 的伴随矩阵,则|A *A |=( ) A. -8 B.2 C.8 D. 1/2 3. 在下列矩阵中, 可逆的是( )
______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题(每空3分,共15分) 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的,则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵,且2 1=A ,则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵,n βββ ,,21为A 的n 个列向量,若方程组0=AX 只有零解,则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题(每题3分,共15分) 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ,则下列结论正确的是( ) (A)当c b a ,,取任意实数时,方程组均有解 (B)当a =0时,方程组无解 (C) 当b =0时,方程组无解 (D)当c =0时,方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵,则( )成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ,??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则( )成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵,则AB 的伴随矩阵=*)(AB ( ) (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵,r A r =)(<n ,那么A 的n 个列向量中( ) (A )任意r 个列向量线性无关
行列式的概念 一、选择题 1. 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ; c d c ; c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ; (D) c d c . d d 答案: D 2.行列式 D n 不为零,利用行列式的性质对 D n 进行变换后,行 列式的值( ). (A) 保持不变; (B) 可以变成任何值; (C) 保持不为零; (D) 保持相同的正负号. 答案: C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析: log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析: 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中, x 3 的系数为 ; 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中, x 3 的系数为. 1 2 x 答案: -2 ; -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案: 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案: 5. 6.若 2x 8 0 ,则x= . 1 2 答案: 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中,当 i 线性代数考试练习题带答案 一、单项选择题(每小题 3分,共15分) 1.设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型. (A ) 1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥. 4.初等矩阵(A ); (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,, ,n ααα线性无关,则(C ) A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关; B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; D. 以上都不对。 二、填空题(每小题3分,共15分) 6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t 7.设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ,则1A -= 8.设A 是n 阶方阵,*A 是A 的伴随矩阵,已知5A =,则*AA 的特征值为 。 本科生2010——2011学年第 一 学期《线性代数》课程期末考试试卷(B 卷) 草 稿 区 专业: 年级: 学号: 姓名: 成绩: 一 、选择题(本题共 28 分,每小题 4 分) 1.设n 阶方阵A 为实对称矩阵,则下列哪种说法是错误的 ( B ) (A) A 的特征值为实数; (B) A 相似于一个对角阵; (C) A 合同于一个对角阵; (D) A 的所有特征向量两两正交。 2.设n 维列向量组)(,,21n m m <ααα 线性无关,则n 维列向量组m βββ ,,21线性无关的充要条件是 ( D ) (A)向量组m ααα ,,21可由向量组m βββ ,,21线性表示; (B) 向量组m βββ ,,21可由向量组m ααα ,,21线性表示; (C) 矩阵),,(21m ααα 与矩阵),,(21m βββ 等价; (D) 向量组m ααα ,,21与向量组m βββ ,,21等价。 3.设n 阶方阵A 的伴随矩阵为*A ,则 ( C ) (A) *A 为可逆矩阵; (B) 若0||=A ,则0||*=A ; (C) 若2)(*-=n A r ,则2)(=A r ; (D) 若0||≠=d A ,则d A 1||*= 。 4.设A 为n 阶非零方阵,E 为n 阶单位矩阵,30A =则 ( ) (A)()E A -不可逆,()E A +不可逆; (B) ()E A -不可逆,()E A +可逆; (C) ()E A -可逆,()E A +可逆; (D) ()E A -可逆,()E A +不可逆. 第 1页,共 6 页 5.实数二次型T f X AX =为正定二次型的充分必要条件是 ( ) (A) 负惯性指数全为零; (B) ||0A >; (C) 对于任意的0X ≠,都有0f >; (D) 存在n 阶矩阵U ,使得T A U U =. 6.设12,λλ为A 的不同特征值,对应特征向量为12,αα,则112,()A ααα+线性无关的充要条件为 ( ) (A)10λ≠; (B) 20λ≠; (C) 10λ=; (D) 20λ=. 7.设211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ,则 ( ) (A) A 与B 合同,但不相似;(B) A 与B 相似,但不合同; (C) A 与B 既合同又相似; (D) A 与B 既不合同也不相似. 二 、填空题(本题共 24分,每小题 4 分) 1.二次型2221231231213(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是 . 2.设01000 01000010 000A ?? ? ? = ? ? ?? ,则3A 的秩3()r A 为 . 3.设三阶矩阵A 的特征值为,2,3λ,若|2|48A =-,则λ= . 4.设向量123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,)T T T a ααα=-==,若123,,ααα构成的向量组的秩为2, 则a = . 5.设3阶矩阵123(,,)A ααα=,123123123(,24,39)B ααααααααα=++++++,且已知||1A =,则||B = . 第 2页,共 6 页线性代数考试练习题带答案大全(二)
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