§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.

(2)平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向

量,则求法向量的方程组为?

????

n ·

a =0,n ·

b =0. 2.用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ,y ,使v =x v 1+y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β?u 1∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2=0. (2)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2=0. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ,则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )

(6)若空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行.( × )

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1.下列各组向量中不平行的是( )

A .a =(1,2,-2),b =(-2,-4,4)

B .c =(1,0,0),d =(-3,0,0)

C .e =(2,3,0),f =(0,0,0)

D .g =(-2,3,5),h =(16,24,40) 答案 D

解析 选项A 中,b =-2a ?a ∥b ;选项B 中,d =-3c ?d ∥c ;选项C 中,零向量与任意向量平行;选项D ,不存在λ(λ∈R ),使g =λh .

2.已知平面α内有一点M (1,-1,2),平面α的一个法向量为n =(6,-3,6),则下列点P 中,在平面α内的是( ) A .P (2,3,3) B .P (-2,0,1) C .P (-4,4,0) D .P (3,-3,4)

答案 A

解析 逐一验证法,对于选项A ,MP →

=(1,4,1), ∴MP →·n =6-12+6=0,∴MP →⊥n ,

∴点P 在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.

3.已知AB →=(1,5,-2),BC →=(3,1,z ),若AB →⊥BC →,BP →

=(x -1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则实数x ,y ,z 分别为______________. 答案

407,-157

,4 解析 由题意知,BP →⊥AB →,BP →⊥BC →

. 所以?????

AB →·BC →=0,BP →·AB →=0,

BP →·BC →=0,

即????

?

1×3+5×1+(-2)×z =0,(x -1)+5y +(-2)×(-3)=0,3(x -1)+y -3z =0, 解得x =407,y =-15

7

,z =4.

4.若A (0,2,198),B (1,-1,58),C (-2,1,5

8)是平面α内的三点,设平面α的法向量n =(x ,

y ,z ),则x ∶y ∶z =________. 答案 2∶3∶(-4)

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

题型一 证明平行问题

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

例1 (2013·浙江改编)如图,在四面体A -BCD 中,AD ⊥平面BCD ,BC ⊥CD ,AD =2,BD =22,M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且AQ =3QC . 证明:PQ ∥平面BCD .

思维点拨 证明线面平行,可以利用判定定理先证线线平行,也可利用平面的法向量.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

证明 方法一 如图,取BD 的中点O ,以O 为原点,OD 、OP 所在射线为y 、z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系O -xyz . 由题意知,A (0,2,2),B (0,-2,0),D (0,2,0). 设点C 的坐标为(x 0,y 0,0). 因为AQ →=3QC →,

所以Q ????34

x 0,24+34y 0,1

2.

因为M 为AD 的中点,故M (0,2,1). 又P 为BM 的中点,故P ????0,0,1

2, 所以PQ →

=???

?34x 0,24+34y 0,0.

又平面BCD 的一个法向量为a =(0,0,1),故PQ →

·a =0. 又PQ ?平面BCD ,所以PQ ∥平面BCD .

方法二 在线段CD 上取点F ,使得DF =3FC ,连接OF ,同证法一建立空间直角坐标系,写出点A 、B 、C 的坐标,设点C 坐标为(x 0,y 0,0). ∵CF →=14CD →

,设点F 坐标为(x ,y,0)则

(x -x 0,y -y 0,0)=1

4

(-x 0,2-y 0,0),

∴???

x =34

x 0

y =24+3

4y

∴OF →=(3

4x 0,24+3

4

y 0,0)

又由证法一知PQ →=(3

4x 0,24+34y 0,0),

∴OF →=PQ →

,∴PQ ∥OF .

又PQ ?平面BCD ,OF ?平面BCD , ∴PQ ∥平面BCD .

思维升华 用向量证明线面平行的方法有:

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

(2014·湖北)如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP =BQ =λ(0<λ<2).

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;

(2)是否存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

方法一 (1)证明 如图(1),连接AD 1,由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,知BC 1∥AD 1.

当λ=1时,P 是DD 1的中点,

又F 是AD 的中点,所以FP ∥AD 1.所以BC 1∥FP . 而FP ?平面EFPQ ,且BC 1?平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ .

图(1)

(2)解 如图(2),连接BD .因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点,

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

图(2)

所以EF ∥BD ,且EF =1

2BD .

又DP =BQ ,DP ∥BQ ,

所以四边形PQBD 是平行四边形,故PQ ∥BD ,且PQ =BD , 从而EF ∥PQ ,且EF =1

2

PQ .

在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中,因为BQ =DP =λ,BE =DF =1,于是EQ =FP =1+λ2,所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形. 分别取EF ,PQ ,MN 的中点为H ,O ,G ,连接OH ,OG , 则GO ⊥PQ ,HO ⊥PQ ,而GO ∩HO =O ,

故∠GOH 是平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角的平面角.

若存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH =90°. 连接EM ,FN ,则由EF ∥MN ,且EF =MN ,知四边形EFNM 是平行四边形. 连接GH ,因为H ,G 分别是EF ,MN 的中点, 所以GH =ME =2.

在△GOH 中,GH 2=4,OH 2=1+λ2-(22)2=λ2+1

2

, OG 2=1+(2-λ)2-(

22)2=(2-λ)2+1

2

, 由OG 2+OH 2=GH 2,

得(2-λ)2+12+λ2+12=4,解得λ=1±2

2

故存在λ=1±2

2

,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.

方法二 以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系D -xyz .

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

图(3)

由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ),M (2,1,2),N (1,0,2),BC 1→

=(-2,0,2),FP →=(-1,0,λ),FE →=(1,1,0),MN →=(-1,-1,0),NP →

=(-1,0,λ-2). (1)证明 当λ=1时,FP →

=(-1,0,1), 因为BC 1→

=(-2,0,2), 所以BC 1→=2FP →

,即BC 1∥FP .

而FP ?平面EFPQ ,且BC 1?平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ .

(2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则由?????

FE →·n =0,FP →·

n =0,可得????

?

x +y =0,-x +λz =0.

于是可取n =(λ,-λ,1).

同理可得平面PQMN 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1).

若存在λ,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角,则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,

即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±2

2

.

故存在λ=1±2

2,使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角.

题型二 证明垂直问题

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

例2 如图所示,正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.求证:AB 1⊥平面A 1BD . 思维点拨 证明线面垂直可以利用线面垂直的定义,即证线与平面内的任意一条直线垂直;也可以证线与面的法向量平行.

证明 方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理,则存在实数λ,μ,使m =λBA 1→+μBD →.

令BB 1→=a ,BC →=b ,BA →

=c ,显然它们不共面,并且|a |=|b |=|c |=2,a ·b =a·c =0,b·c =2,以它们为空间的一个基底,

则BA 1→=a +c ,BD →=12a +b ,AB 1→

=a -c ,

m =λBA 1→+μBD →

=????λ+12μa +μb +λc , AB 1→·m =(a -c )·???

?????λ+12μa +μb +λc =4????λ+12μ-2μ-4λ=0.故AB 1→

⊥m ,结论得证. 方法二 如图所示,取BC 的中点O ,连接AO .

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

因为△ABC 为正三角形, 所以AO ⊥BC .

因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,平面ABC ⊥平面BCC 1B 1, 所以AO ⊥平面BCC 1B 1.

取B 1C 1的中点O 1,以O 为原点,分别以OB →,OO 1→,OA →

所在直线为x

轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则B (1,0,0),D (-1,1,0),A 1(0,2,3), A (0,0,3),B 1(1,2,0).

设平面A 1BD 的法向量为n =(x ,y ,z ),BA 1→=(-1,2,3),BD →

=(-2,1,0). 因为n ⊥BA 1→,n ⊥BD →

故?????

n ·BA 1→=0,n ·

BD →=0????

-x +2y +3z =0,-2x +y =0,

令x =1,则y =2,z =-3,

故n =(1,2,-3)为平面A 1BD 的一个法向量, 而AB 1→=(1,2,-3),所以AB 1→=n ,所以AB 1→

∥n , 故AB 1⊥平面A 1BD .

思维升华 用向量证明垂直的方法:

(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.

(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.

(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.

如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,PC =

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

2,在四边形ABCD 中,∠B =∠C =90°,AB =4,CD =1,点M 在PB 上,PB =4PM ,PB 与平面ABCD 成30°角. (1)求证:CM ∥平面P AD ; (2)求证:平面P AB ⊥平面P AD .

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

证明 (1)以C 为坐标原点,分别以CB 所在直线为x 轴,CD 所在直线为y 轴,CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz , ∵PC ⊥平面ABCD ,

∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角, ∴∠PBC =30°.

∵PC =2,∴BC =23,PB =4.

∴D (0,1,0),B (23,0,0),A (23,4,0),P (0,0,2), M (

32,0,32

),∴DP →=(0,-1,2),DA →

=(23,3,0), CM →

=(32,0,32

),

令n =(x ,y ,z )为平面P AD 的一个法向量,

则?????

DP →·n =0,DA →·

n =0,即???

-y +2z =0,23x +3y =0,

∴???

z =12

y ,x =-3

2

y ,

令y =2,得n =(-3,2,1).

∵n ·CM →

=-3×32+2×0+1×32=0,

∴n ⊥CM →

,又CM ?平面P AD , ∴CM ∥平面P AD .

(2)取AP 的中点E ,则E (3,2,1),BE →

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

=(-3,2,1). ∵PB =AB ,∴BE ⊥P A .

又∵BE →·DA →=(-3,2,1)·(23,3,0)=0, ∴BE →⊥DA →

,∴BE ⊥DA ,

又P A ∩DA =A ,∴BE ⊥平面P AD , 又∵BE ?平面P AB ,∴平面P AB ⊥平面P AD . 题型三 解决探索性问题

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

例3 如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD . (1)求证:BD ⊥AA 1;

(2)求二面角D -A 1A -C 的余弦值;

(3)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由.

思维点拨 设BD 与AC 交于点O ,连接A 1O ,证明OB ,OC ,OA 1两两垂直,从而以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系.(1)证明AA 1→·BD →=0;(2)根据两个平面的法向量夹角余弦值求二面角的余弦值;(3)设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,利用CP →=λCC 1→

,求出点P 坐标,再根据BP →

与平面DA 1C 1的法向量垂直求λ的值.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

解 (1)设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1=2,AO =1,∠A 1AO =60°,

∴A 1O 2=AA 21+AO 2-2AA 1·

AO cos60°=3, ∴AO 2+A 1O 2=AA 21,

∴A 1O ⊥AO .

由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,∴A 1O ⊥平面ABCD .

以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3). 由于BD →=(-23,0,0),AA 1→

=(0,1,3), AA 1→·BD →=0×(-23)+1×0+3×0=0, ∴BD →⊥AA 1→

,即BD ⊥AA 1.

(2)由于OB ⊥平面AA 1C 1C ,∴平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1=(1,0,0). 设n 2=(x ,y ,z )为平面DAA 1D 1的一个法向量,则?????

n 2·

AA 1→=0,n 2·

AD →=0,

即?

??

y +3z =0,

-3x +y =0,

取n 2=(1,3,-1),则〈n 1,n 2〉即为二面角D -A 1A -C 的平面角,∴cos 〈n 1,n 2〉=

n 1·n 2|n 1||n 2|=55

, 所以,二面角D -A 1A -C 的余弦值为

55

. (3)假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1, 设CP →

=λCC 1,P (x ,y ,z ),则(x ,y -1,z )=λ(0,1,3). 从而有P (0,1+λ,3λ),BP →

=(-3,1+λ,3λ). 设n 3⊥平面DA 1C 1,则?????

n 3⊥A 1C 1→,

n 3⊥DA 1→,

又A 1C 1→=(0,2,0),DA 1→

=(3,0,3),

设n 3=(x 3,y 3,z 3),???

2y 3=0,

3x 3+3z 3=0,

取n 3=(1,0,-1),因为BP ∥平面DA 1C 1, 则n 3⊥BP →,即n 3·BP →

=-3-3λ=0,得λ=-1, 即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C =CP .

思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证.另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即

找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.

如图所示,四棱锥S —ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点. (1)求证:AC ⊥SD .

(2)若SD ⊥平面P AC ,则侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面P AC .若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

(1)证明 连接BD ,设AC 交BD 于点O ,则AC ⊥BD . 由题意知SO ⊥平面ABCD .

以O 为坐标原点,OB →,OC →,OS →

所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图. 设底面边长为a ,则高SO =62

a , 于是S ?

???0,0,

62a ,D ???

?-22a ,0,0, B ??

??22a ,0,0,C ????0,22a ,0,OC →=???

?0,22a ,0,

SD →=????-22a ,0,-62a ,则OC →·SD →

=0.

故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .

(2)解 棱SC 上存在一点E ,使BE ∥平面P AC . 理由如下:

由已知条件知DS →

是平面P AC 的一个法向量, 且DS →=????22a ,0,62a ,CS →

=????0,-22a ,62a ,

BC →

=???

?-22a ,22a ,0.

设CE →=tCS →,则BE →=BC →+CE →=BC →+tCS →

=?

??

?-

22a ,22a (1-t ),62at , 而BE →·DS →=0?t =13

.

即当SE ∶EC =2∶1时,BE →⊥DS →

.

而BE 不在平面P AC 内,故BE ∥平面P AC .

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

利用向量法解决立体几何问题

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

典例:(12分)(2014·课标全国Ⅱ)如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明:PB ∥平面AEC ;

(2)设二面角D -AE -C 为60°,AP =1,AD =3,求三棱锥E -ACD 的体积.

(1)证明 连接BD 交AC 于点O ,连接EO . 因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB .[2分] 因为EO ?平面AEC ,PB ?平面AEC , 所以PB ∥平面AEC .[4分]

(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形, 所以AB ,AD ,AP 两两垂直.

如图,以A 为坐标原点,AB →的方向为x 轴的正方向,|AP →

|为单位长,建立如图空间直角坐标系A -xyz ,[6分]

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

则D (0,3,0),E (0,32,12),AE →=(0,32,12

). 设B (m,0,0)(m >0),

则C (m ,3,0),AC →

=(m ,3,0). 设n 1=(x ,y ,z )为平面ACE 的法向量, 则?????

n 1·

AC →=0,n 1·AE →=0,即?????

mx +3y =0,32y +12z =0,

可取n 1=(

3

m

,-1,3).[8分] 又n 2=(1,0,0)为平面DAE 的一个法向量, 由题设|cos 〈n 1,n 2〉|=1

2

,即

33+4m 2=12

解得m =3

2

.[10分]

因为E 为PD 的中点,所以三棱锥E -ACD 的高为1

2,

三棱锥E -ACD 的体积V =13×12×3×32×12=3

8

.[12分]

温馨提醒 (1)利用向量法证明立体几何问题,可以建坐标系或利用基底表示向量; (2)建立空间直角坐标系时,要根据题中条件找出三条互相垂直的直线;

(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直,线面、面面平行、垂直外,还可以利用向量求夹角、距离,从而解决线段长度问题、体积问题等.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

方法与技巧

1.用向量法解决立体几何问题,是空间向量的一个具体应用,体现了向量的工具性,这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算,降低了空间想象演绎推理的难度,体现了由“形”转“数”的转化思想.

2.两种思路:(1)选好基底,用向量表示出几何量,利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断.(2)建立空间坐标系,进行向量的坐标运算,根据运算结果的几何意义解释相关问题. 失误与防范

用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证明直线a ∥b ,只需证明向量a =λb (λ∈R )即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

A 组 专项基础训练 (时间:45分钟)

1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则( ) A .l ∥α B .l ⊥α C .l ?α D .l 与α相交

答案 B

解析 ∵n =-2a ,∴a 与α的法向量平行,∴l ⊥α.

2.若AB →=λCD →+μCE →

,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A .相交 B .平行

C .在平面内

D .平行或在平面内

答案 D

解析 ∵AB →=λCD →+μCE →,∴AB →、CD →、CE →

共面,∴AB 与平面CDE 平行或在平面CDE 内. 3.已知A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( ) A .(2,4,-1) B .(2,3,1) C .(-3,1,5) D .(5,13,-3) 答案 D

解析 由题意知,AB →=(-2,-6,-2),设点D (x ,y ,z ),则DC →

=(3-x,7-y ,-5-z ),因为AB →=DC →

,所以x =5,y =13,z =-3,故选D.

4.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( )

A.627

B.637

C.607

D.657 答案 D

解析 由题意得c =t a +μb =(2t -μ,-t +4μ,3t -2μ),

∴????

?

7=2t -μ,5=-t +4μ,λ=3t -2μ,

∴?????

t =337

μ=17

7,

λ=657.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

5.如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB =2,AA 1=3,AD =22,P 为C 1D 1的中点,M 为BC 的中点.则AM 与PM 所成的角为( ) A .60° B .45°

C .90°

D .以上都不正确

答案 C

解析 以D 点为原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

依题意,可得,D (0,0,0),P (0,1,3),C (0,2,0),A (22,0,0), M (2,2,0).

∴PM →

=(2,1,-3),

AM →

=(-2,2,0),

∴PM →·AM →=(2,1,-3)·(-2,2,0)=0, 即PM →⊥AM →

,∴AM ⊥PM .

6.已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________. 答案 α∥β

解析 设平面α的法向量为m =(x ,y ,z ), 由m ·AB →=0,得x ·0+y -z =0?y =z , 由m ·AC →=0,得x -z =0?x =z , ∴m =(1,1,1),m =-n , ∴m ∥n ,∴α∥β.

7.设点C (2a +1,a +1,2)在点P (2,0,0)、A (1,-3,2)、B (8,-1,4)确定的平面上,则a =________. 答案 16

解析 P A →=(-1,-3,2),PB →

=(6,-1,4). 根据共面向量定理,设PC →=xP A →+yPB →

(x 、y ∈R ), 则(2a -1,a +1,2)=x (-1,-3,2)+y (6,-1,4) =(-x +6y ,-3x -y,2x +4y ), ∴????

?

2a -1=-x +6y ,a +1=-3x -y ,2=2x +4y ,

解得x =-7,y =4,a =16.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

8.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,棱长为a ,M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =2a

3

,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________. 答案 平行

解析 ∵正方体棱长为a ,A 1M =AN =2a

3

, ∴MB →=23A 1B →,CN →=23

CA →,

∴MN →=MB →+BC →+CN →=23A 1B →+BC →+23CA →

=23(A 1B 1→+B 1B →)+BC →+23

(CD →+DA →

)

=23B 1B →+13

B 1

C 1→. 又∵C

D →

是平面B 1BCC 1的法向量, ∴MN →·CD →=????23B 1B →+13B 1C 1→·CD →=0, ∴MN →⊥CD →

.又∵MN ?平面B 1BCC 1, ∴MN ∥平面B 1BCC 1.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

9.如图,四边形ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD ,PD ∥QA ,QA =AB =1

2

PD .证明:平面PQC ⊥平面DCQ .

证明 如图,以D 为坐标原点,线段DA 的长为单位长,射线DA 、DP 、DC 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D -xyz .

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

依题意有Q (1,1,0),C (0,0,1),P (0,2,0), 则DQ →=(1,1,0),DC →=(0,0,1),PQ →

=(1,-1,0). ∴PQ →·DQ →=0,PQ →·DC →=0.即PQ ⊥DQ ,PQ ⊥DC , 又DQ ∩DC =D ,故PQ ⊥平面DCQ , 又PQ ?平面PQC ,∴平面PQC ⊥平面DCQ .

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

10.如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,P A =AB =1,BC =2. (1)求证:EF ∥平面P AB ; (2)求证:平面P AD ⊥平面PDC .

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

证明 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),P (0,0,1),

∴E (12,1,12),F (0,1,12),EF →=(-12,0,0),PB →=(1,0,-1),PD →

=(0,2,

-1),AP →=(0,0,1),AD →=(0,2,0),DC →=(1,0,0),AB →

=(1,0,0). (1)∵EF →=-12AB →,∴EF →∥AB →

,即EF ∥AB ,

又AB ?平面P AB ,EF ?平面P AB , ∴EF ∥平面P AB .

(2)∵AP →·DC →=(0,0,1)·(1,0,0)=0, AD →·DC →=(0,2,0)·(1,0,0)=0,

∴AP →⊥DC →,AD →⊥DC →

,即AP ⊥DC ,AD ⊥DC . 又AP ∩AD =A ,∴DC ⊥平面P AD .

∵DC ?平面PDC ,∴平面P AD ⊥平面PDC .

B 组 专项能力提升 (时间:30分钟)

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

11.如图,正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直,AB =2,AF =1,M 在EF 上,且AM ∥平面BDE ,则M 点的坐标为( ) A .(1,1,1) B .(23,2

3,1) C .(22,2

2,1) D .(

24,2

4

,1) 答案 C

解析 设M 点的坐标为(x ,y,1),AC ∩BD =O , 则O (

22,2

2

,0), 又E (0,0,1),A (2,2,0),

∴OE →=(-22,-22,1),AM →

=(x -2,y -2,1),

∵AM ∥平面BDE ,∴OE →∥AM →

∴???

x -2=-

22

,y -

2=-

2

2

???

?

x =22,y =22.

12.设u =(-2,2,t ),v =(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则t 等于( ) A .3B .4C .5D .6 答案 C

解析 ∵α⊥β,∴u ⊥v ,∴u ·v =0, ∴-12-8+4t =0

,t =5.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

13.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点,O 为底面正方形ABCD 的中心,M ,N 分别为AB ,BC 的中点,点Q 为平面ABCD 内一点,线段D 1Q 与OP 互相平分,则满足MQ →=λMN →

的实数λ有________个. 答案 2

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为2,则P (x ,y,2),O (1,1,0),∴OP 的中点坐标为

???

?x +12,y +12,1,

又知D 1(0,0,2),∴Q (x +1,y +1,0),而Q 在MN 上, ∴x Q +y Q =3,∴x +y =1,即点P 坐标满足x +y =1. ∴有2个符合题意的点P ,即对应有2个λ.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

14.如图所示,已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点.求证:

(1)DE ∥平面ABC ; (2)B 1F ⊥平面AEF .

证明 (1)如图建立空间直角坐标系A -xyz ,

令AB =AA 1=4,

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

则A (0,0,0),E (0,4,2),F (2,2,0),B (4,0,0),B 1(4,0,4). 取AB 中点为N ,连接CN , 则N (2,0,0),C (0,4,0),D (2,0,2), ∴DE →=(-2,4,0),NC →

=(-2,4,0), ∴DE →=NC →

,∴DE ∥NC ,

又∵NC ?平面ABC ,DE ?平面ABC . 故DE ∥平面ABC .

(2)B 1F →=(-2,2,-4),EF →=(2,-2,-2),AF →

=(2,2,0). B 1F →·EF →=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B 1F →·AF →=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.

∴B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →

,即B 1F ⊥EF ,B 1F ⊥AF , 又∵AF ∩EF =F ,∴B 1F ⊥平面AEF .

15.在四棱锥P —ABCD 中,PD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为正方形,PD =DC ,E 、F 分别

是AB 、PB 的中点. (1)求证:EF ⊥CD ;

(2)在平面P AD 内求一点G ,使GF ⊥平面PCB ,并证明你的结论.

§8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

(1)证明 如图,分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 设AD =a ,则D (0,0,0)、 A (a,0,0)、B (a ,a,0)、 C (0,a,0)、E ????a ,a

2,0、 P (0,0,a )、F ????

a 2,a 2,a 2.

EF →=????-a 2,0,a 2,DC →

=(0,a,0). ∵EF →·DC →=0,∴EF →⊥DC →,即EF ⊥CD .

(2)解 设G (x,0,z ),则FG →

=????x -a 2,-a 2,z -a 2, 若使GF ⊥平面PCB ,则

由FG →·CB →=???x -a

2,-a 2,z -a 2·(a,0,0) =a ????x -a 2=0,得x =a

2

; 由FG →·CP →=????x -a 2,-a 2,z -a 2·(0,-a ,a ) =a 22

+a ????

z -a 2=0,得z =0. ∴G 点坐标为????a 2,0,0,即G 点为AD 的中点.

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