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几何问题

几何问题

问题1

今天看到了一道很有趣的几何题。如图,四边形ABCD 中,连接对角线AC 、BD ,若∠ABD = 40° ,∠ADB = 80° ,∠CBD = 70° ,∠CDB = 50° ,求∠BAC 的度数。

这道题看上去似乎非常简单,但稍作尝试你就会发现,仅仅是在这几个角度之间来回倒腾,是没法求出∠BAC 的度数的。听说过Langley 问题(就是那个臭名昭著的20-80-80 三角形)的人就会知道,这种类型的题目往往会非常非常地复杂。据说这是1989 - 1990 年加拿大亚伯达省中学数学竞赛中的一道题目,当时只有一个人做对,并且解答过程用到了非常繁琐的三角函数运算。然而,这道题实际上有一个非常漂亮的秒杀方法,完全不需要使用三角函数。你能想到吗?

问题2

这是一个非常经典的问题。如图,三角形ABC 是一个直角三角形,∠A = 90° 。D 是斜边BC 上的一个动点。过点D 作AB 和AC 的垂线,垂足分别为E 和 F 。问题:当D 点运动到什么位置的时候,线段EF 最短?

变化:

下面是一个稍微有些挑战性的问题:如果去掉∠A = 90° 这个条件,其他条件都不变,那么这一次,D 点应该运动到什么地方,才能让EF 最短呢?

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

解析几何专题含答案

椭圆专题练习 1.【2017浙江,2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C .23 D .5 9 2.【2017课标3,理10】已知椭圆C :22 221x y a b +=,(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为 A .3 B .3 C .3 D .13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1:+y 2=1(m >1)与双曲线C 2:–y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1, e 2分别为C 1,C 2的离心率,则() A .m >n 且e 1e 2>1 B .m >n 且e 1e 2<1 C .m 1 D .m b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(–1, 2),P 4(1,2 )中恰有三点在椭圆C 上. (1)求C 的方程; (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 8.【2017课标II ,理】设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2 212 x y +=上,过M 作x 轴的垂线, 垂足为N ,点P 满足NP =u u u r u u u r 。

全国各地中考平面几何题目汇编

ABC ABC V :V 2017中考平面几何题目 (北京)28.在等腰直角ABC ?中,090ACB ∠=,P 是线段BC 上一动点 (与点B C 、不重合),连接AP ,延长BC 至点Q ,使得CQ CP =,过点Q 作QH AP ⊥于点H ,交AB 于点M . (1)若PAC α∠=,求AMQ ∠的大小(用含α的式子表示). (2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系,并证明.( CP =) (成都)20. 如图,在ABC ?中,AB AC =,以AB 为直径作圆O ,分别交BC 于点D ,交CA 的延长线于点E ,过点D 作DH AC ⊥于点H ,连接DE 交线段OA 于点F . (1)求证:DH 是圆O 的切线; (2)若A 为EH 的中点,求EF FD 的值; 23 EF FD = (3)若1EA EF ==,求圆O 的半 径.( 1,,EA EF OD OF r BD BE BF ====== )1,,1,1EA FD r BF r AF r ===+=- 111EA AF r BF FD r r -=?=+ ,r = (安徽)23.已知正方形ABCD ,点M 为边AB 的中点. (1)如图1,点G 为线段CM 上的一点,且90AGB ∠=?,延长AG ,BG 分别与边BC ,CD 交于点E ,F . ② 证:BE CF =; ②求证:2BE BC CE =?.(,CEG CGB CG FC BE ==V :V ) (2)如图2,在边BC 上取一点E ,满足2BE BC CE =?,连接AE 交CM 于点G ,

连接BG延长交CD于点F,求tan CBF ∠的值. ( 51 tan 2 CBF - ∠=) H (CH=BE,CH/AM=CG/GM=FC/MB,FC=CH=BE,设BC=1,BE=x,得 51 x 2 -=,) (福州)24.(12分)如图,矩形ABCD中,AD=8,AB=6,P,Q分为线段AC、BC上一点,且四边形PDRQ是矩形, (1)若PDC V为等腰三角形,求AP;(三种情况,PD=DC时,取PC的中垂线较好。) (2)若AP=2,求线段RC的长。(△PND∽△QMP→△PQR∽△ABC∽△PMC,→PRCQ共圆,∠PCR=90°,△KRC∽△PMC,三边符合3:4:5,算 出RC=3 2 4 ) N K M (白银)27.如图,AN是M e的直径,// NB x轴,AB交M e于点C. (1)若点()()0 0,6,0,2,30 A N ABN ∠=,求点B的坐标;(3,2) (2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是M e的切线. (天水) (BC=62) (广东)25.如题25图,在平面直角坐标系中,O为原点,四边形ABCD是矩

mfc空间几何变换之图像平移、镜像、旋转、缩放详解

MFC空间几何变换之图像平移、镜像、旋转、缩放详解 一. 图像平移 前一篇文章讲述了图像点运算(基于像素的图像变换),这篇文章讲述的是图像几何变换:在不改变图像容的情况下对图像像素进行空间几何变换的处理方式。 点运算对单幅图像做处理,不改变像素的空间位置;代数运算对多幅图像做处理,也不改变像素的空间位置;几何运算对单幅图像做处理,改变像素的空间位置,几何运算包括两个独立的算法:空间变换算法和灰度级插值算法。 空间变换操作包括简单空间变换、多项式卷绕和几何校正、控制栅格插值和图像卷绕,这里主要讲述简单的空间变换,如图像平移、镜像、缩放和旋转。主要是通过线性代数中的齐次坐标变换。 图像平移坐标变换如下: 运行效果如下图所示,其中BMP图片(0,0)像素点为左下角。

其代码核心算法: 1.在对话框中输入平移坐标(x,y) m_xPY=x,m_yPY=y 2.定义Place=dlg.m_yPY*m_nWidth*3 表示当前m_yPY行需要填充为黑色 3.新建一个像素矩阵ImageSize=new unsigned char[m_nImage] 4.循环整个像素矩阵处理 for(int i=0 ; i=Place && countWidth=Place && countWidth>=dlg.m_xPY*3) {//图像像素平移区域 ImageSize[i]=m_pImage[m_pImagePlace];//原(0,0)像素赋值过去 m_pImagePlace++;countWidth++; if(countWidth==m_nWidth*3) {//一行填满m_pImagePlace走到(0,1) number++;m_pImagePlace=number*m_nWidth*3; } } } 5.写文件绘图fwrite(ImageSize,m_nImage,1,fpw) 第一步:在ResourceView资源视图中,添加Menu子菜单如下:(注意ID号) 第二步:设置平移对话框。将试图切换到ResourceView界面--选中Dialog,右键鼠标新建一个Dialog,并新建一个名为IDD_DIALOG_PY。编辑框(X)IDC_EDIT_PYX 和(Y)IDC_EDIT_PYY,确定为默认按钮。设置成下图对话框:

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1 =+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合.

精典平面几何题(大全)(适合八年级)

一、等腰直角三角形 题一 ∠ACB=90°,AC=BC,ED ⊥DF,D 为AB 中点 ①②12 S △ABC =S △EDF +S △EFC ③S △EDF = 1 2 S △ABC +S △EFC ①另知:DE ⊥AC, DF ⊥BC ②E 、F 分别在AC 、BC 内 ②E 、F 分别在AC 、BC 外

题二 已知∠BAC=90°,CD 平分∠ACB ,AC=AB,CD ⊥AE,求证:CD=2(OA+OD ) 题三: 已知∠BAC=90°, AC=AB,D 为AB 中点, CD ⊥AE,求证:∠BDE=∠CDA 换说法:求证A 到DE 的距离等于OA 题四: 已知∠BAC=90°, AC=AB,D 为AC 中点, CF ∥AB,求证:CF=AD

题五: 已知∠ACB=90°, AC=BC,DA 平分∠BAC ,H 为AB 中点, BE ⊥AD,求证:CF=EC 。 判断:①AF=BE ,②AF=2BD ,③AF 垂直平分BE ,④AC+CF=AB ,⑤S △ACG = S △AHG ⑥AG=BD 垂直角平分线 题六: 已知AB=AE ,BC=CA ,BC ⊥CA ,AD 平分∠BAC ,H 为AB 的中点。求证:①△AFC ≌△BCE ②2DE=AF ,③判断△BDG 的形状并证明 垂直角平分线 题七: 已知∠B=45°,∠C=30°,DE ⊥CA ,AE=AF ,GE=DF ,求证:①△ADG 为等腰直角三角形,②GC=2BD ,③∠BAD=15° F A C E D B H G F A C E D B H G F A B D C G E F

坐标法解空间几何题常用模型

如何用坐标法解空间几何题专题 (中保高中2017届1,2班) 徐学松 2017.5 模型思考 空间几何中涉及的定义、定理和性质比较多,在解决综合问题时,运用多个定义、定理和性质形成的综合题时,遇到多种多样的题型,每一种题型的解法又有多种.学习和记忆名目繁多的题型和解法直接影响了学习立体几何的兴趣和效率.有没有一种比较统一的方法,能够使得解题过程比较一致,变化不多的模型呢?使得学生解题流程固定,方法比较简单,从而使学生解题思路流畅,正确率提高呢.坐标法作为一种工具,在解决立体几何问题中有着无比的优越性.运用坐标法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了,模式固定,流程明了. 模型例析 例1.(线线平行)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),求满足DB ∥AC ,DC ∥AB 的点D 的坐标. 解模与识模:这道题是一道线与线平行的问题.可设点D 坐标为(x ,y ,z), 则?→ ?DB = (-x ,1-y ,-z),?→ ?AC = (-1,0,2),?→ ?DC = (-x ,-y ,2-z), ?→ ?AB = (-1,1,0). ∵DB ∥AC ,DC ∥AB ,∴?→ ?DB ∥?→ ?AC ,?→ ?DC ∥?→ ?AB . 即???? ?? ???=--=--=--=--.02, 1 1,01,2 1z y x y z x ??????==-=.2,1,1z y x ,即此时点D 的坐标为(-1,1,2). 从这道题的推理过程可以看到在建立了坐标系的情况下,得到各点的坐标后,就能得到有关向量的坐标,根据向量的平行,利用公式建立方程组.这里的公式是若()111,,z y x a =→ , ()222,,z y x b =→ ,且222,,z y x 均不为零,→ →b a //? 2 1 2121z z y y x x ==.进而达到求解的目的. 例2(线线垂直)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是棱DD 1的中点,O 为正方形ABCD 的中心,求证:1OA ⊥AM . 解模与识模: 直线与直线的垂直可以转化为直线的方向向量互相垂直.设直线a ,b 的方向向量分别是()111,,z y x a =→ ,()222,,z y x b =→ ,a ⊥b ?→a ⊥→ b ?0212121=++z z y y x x .要想利用坐标法解决这一问题首先要建立空间坐标系.常见几何体的建系方法:

七年级数学平面几何练习题及答案

平面几何练习题 一. 选择题: 1. 如果两个角的一边在同一条直线上,另一边互相平行,那么这两个角( ) A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 相等且互补 2. 如图,l l 12//,AB l ABC ⊥∠=1130, ,则∠=α( ) A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 A l 1 B l 2 α C 3. 如图,l l 1211052140//,,∠=∠= ,则∠=α( ) A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 l 1 1 α 2 l 2 4. 如图,能与∠α构成同旁内角的角有( ) A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 4个 α 5. 如图,已知AB CD //,∠α等于( ) A. 75 B. 80 C. 85 D. 95 A B 120° α 25°C D 6. 如图,AB CD MP AB MN ////,,平分∠∠=∠=A M D A D ,,4030 ,则 ∠N M P 等于( )

A. 10 B. 15 C. 5 D. 75. B M C A N P D 7. 如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30 ,那么这两个角是 ( ) A. 42138 、 B. 都是10 C. 42138 、或4210 、 D. 以上都不对 二. 证明题: 1. 已知:如图,∠=∠∠=∠123,,B AC DE //,且B 、C 、D 在一条直线上。 求证:AE BD // A E 3 12 4 B C D 2. 已知:如图,∠=∠CDA CBA ,DE 平分∠C D A ,BF 平分∠C B A ,且∠=∠ADE AED 。 求证:DE FB // D F C A E B 3. 已知:如图,∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ,。 求证:∠=∠E F

空间解析几何习题答案解析(20210120005111)

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1.已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0. 计算 a b b c c a . 解:因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向,且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 , b c 0 , c a 0 所以 a b b c c a 0 2.已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|. 解: |a b| a b cos 3 (1) |a b| a bsin 4 ( 2) (1)2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4.已知向量 x 与 a (,1,5, 2) 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标. 解:设 x 的坐标为 x,y,z ,又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线,则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 (2) 又 x 与 a 共线, x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得

WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5

6.已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程. 解:因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等,设动点坐标为 M x,y,z ,则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7. 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标. 解: abc r 且它们两两所成的角相等,设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8.已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3), (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积. (2) 求三棱锥 A BCD 的体积. x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)

初中数学几何题100条秘籍——平面几何基础篇

线、角、相交线、平行线 规律1.如果平面上有≥(2)n n 个点,其中任何三点都不在同一直线上,那么每两点画一条直线,一共可以画出-1(1)2 n n 条. 规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成??++????1(1)12n n 个部分.规律3.如果一条直线上有n 个点,那么在这个图形中共有线段的条数为-1(1)2n n 条. 规律4.线段(或延长线)上任一点分线段为两段,这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例:如图,B 在线段AC 上,M 是AB 的中点,N 是BC 的中点. 求证:MN =12 AC 证明:∵M 是AB 的中点,N 是BC 的中点 ∴AM =BM = 12AB ,BN =CN =12BC ∴MN =MB +BN =12AB +12BC =12(AB +BC )∴MN =12AC 练习:1.如图,点C 是线段AB 上的一点,M 是线段BC 的中点. 求证:AM =12 (AB +BC ) 2.如图,点B 在线段AC 上,M 是AB 的中点,N 是AC 的中点.求证:MN =12 BC 3.如图,点B 在线段AC 上,N 是AC 的中点,M 是BC 的中点.求证:MN =12 AB 规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有-1 (1)2n n 个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点,则可构成小于平角的角共有2(1)-n n 个. 规律7.如果平面内有n 条直线都经过同一点,则可构成-(1)n n 对对顶角.

规律8.平面上若有≥(3)n n 个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形一共可作出--11()(2)6n n n 个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o . 规律10.平面上有n 条直线相交,最多交点的个数为-1(1)2 n n 个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时,同位角的角平分线互相平行,内错角的角平分线互相平行,同旁内角的角平分线互相垂直. 例:如图,以下三种情况请自行证明. 规律13.已知AB ∥DE ,如图⑴~⑹,规律如下: (1)360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=? (2)BCD ABC CDE ∠=∠+∠ (3)BCD CDE ABC ∠=∠-∠ (4)BCD ABC CDE ∠=∠-∠

高中数学平面解析几何知识点

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x .

如何用几何方法解决坐标问题

如何用几何方法解决坐标问题 初中数学曾老师 2009-2014年上海中考24题有4年直接考坐标问题(2009年、2011年、2013年、2014年),有1年间接考坐标问题(2012年),说明了坐标问题在压轴题24题中的重要性。中考的坐标问题都是由动点产生的,例如因动点产生的等腰三角形的坐标问题(2009年)、因动点产生的菱形的坐标问题(2011年)、因动点产生的相似三角形的坐标问题(2013年)、因动点产生的梯形的坐标问题(2014年)。如果直线与直线相交,交点坐标只有一个;如果直线与抛物线相交,交点坐标有两个。坐标问题可以联立两个方程解决,称为解析方法;也可以利用线段和差倍、全等三角形、相似三角形、锐角三角比值结合函数解析式解决,称为几何方法。有时用解析方法比较简单,有时用几何方法比较简单,具体问题具体分析。但是,分析近几年中考坐标问题,如果用解析方法解决会比较繁琐,而用几何方法就比较简单。现举例说明。 例题1:(2011年中考24题)已知平面直角坐标系xoy (如图1),一次函数334 y x =+的图像与y 轴交于点A ,点M 在正比例函数32 y x =的图像上,且MO =MA .二次函数y =x 2+bx +c 的图像经过点A 、M . (1)求线段AM 的长; (2)求这个二次函数的解析式; (3)如果点B 在y 轴上,且位于点A 下方,点C 在上述二次函数的图像上,点D 在一次函数334y x =+的图像上,且四边形ABCD 是菱形,求点C 的坐标. 分析: (1)AM = 2 13 (2)y =x 2-2 5x +3 (3)∵菱形ABCD 的字母排列是有顺序的 ∴不要分类讨论。 ∵△AOM 三边关系是勾3股4弦5 且△ADE ∽△AOM ∴设 t AD t AE 54== ∵菱形ABCD ∴t AD CD 5== ∵点D 在一次函数334 y x =+图像上 ∴()33,4+t t D 得到t DC DH CH 23-=-=(几何方法) ∴C ()t t 23,4-代入y =x 2-2 5x +3 解得()22,C 总结:△AOM 三边之间的关系是解决C 点坐标的关键。

初中数学平面几何建系专题讲课讲稿

初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境,引入新课 1.一位居民打电话给供电部门:“卫星路第8根电线杆的路灯坏了,”维修人员很快修好了路灯。 2.地质部门在某地埋下一个标志桩,上面写着“北纬44.2°,东经125.7°”。 3.某人买了一张8排6号的电影票,很快找到了自己的座位。 分析以上情景,他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗? 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题: (1)引入:影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号,以便确定每 个座位在影院中的位置,观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 (2)根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗?对于下面这个根据教师平面 图写的通知,你明白它的意思吗?“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论:(1,5),(2,4),(4,2),(3,3),(5,6)。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 ?

(2)排数和列数先后顺序对位置有影响吗?(2,4)和(4,2)在同一位置。 (3)假设我们约定“列数在前,排数在后”,你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识: (1)可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 (2)排数和列数先后顺序对位置有影响。(2,4)和(4,2)表示不同的位置,若约定“列数在前排数在后”则(2,4)表示第2列第4排,而(4,2)则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。(3)让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对:用含有两个数的词表示一个确定的位置,其中各个数表示 不同的含义,我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对,叫做有序数对,记作(a,b) 利用有序数对,可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 (1)以某一点为原点(0,0)将平面分成若干个小正方形的方格,利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 (2)以某一点为观察点,用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。(以后学习) 巩固练习:1、教材65页练习 2.如图,马所处的位置为(2,3). (1)你能表示出象的位置吗? (2)写出马的下一步可以到达的位置。

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0 范围:直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率:)2 (tan π α≠ =a k ,R k ∈ 斜率公式:经过两点),(111y x P ,),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式

能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ,则c c f b b f a a f ) (, )(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ,试求 2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为: 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ;当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交,交点坐标为方程组?? ?+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A

直线间的夹角: ①若θ为1l 到2l 的角,12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ②若θ为1l 和2l 的夹角,则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时,o 90=θ;直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α:) 2 (π θθα≤ =或 )2 (π θθπα>-=; 距离问题 1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-= 2.点到直线距离公式 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2 2 00B A C By Ax d +++= 3.两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax , 2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 4.直线系方程:若两条直线1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A 有交点,则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A +++0)(222=++C y B x A λ或 )(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数) 对称问题 1.中点坐标公式:已知点),(),,(2 211y x B y x A ,则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为??? ???? +=+=222121y y y x x x 点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --,直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问

坐标法解立体几何习题及解析

坐标法解立体几何 1空间直角坐标系:(1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;(2)在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -,点O 叫原点,向量 ,,i j k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面;2.空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使OA xi yj zk =++,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标.3.空间向量的直角坐标运算律:(1)若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---, 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ?=++, 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈,1122330a b a b a b a b ⊥?++=.(2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---.一个向量在直角坐标系 中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式:若 123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则222123||a a a a a a =?=++, 222 123||b b b b b b =?=++.5.夹角公式: 112233222222 123123 cos ||||a b a b a b a a a b b b ??= =?++++. 异面直线所成的夹角: 6.两点间的距离公式:若 111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2 222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-,或 222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-7、法向量 ①直线的法向量:在直线L 上取一个定向量,则与垂直的非零向量叫直线L 的 法向量 ②平面的法向量:与平面α垂直的非零向量叫平面α的法向量. 构造直线或平面的法向量,在求空间角与距离时起到了桥梁的作用,在解题过程中只须求出而不必在图形中作出来.在空间直角坐标系下,构造关于法向量坐标的三元一次方程组,得到直线(或平面)的法向量坐标的一般形式,再取特值. 其向上或向下的方向可根据竖坐标的符号来确定. 一、平面的法向量 例1 已知AB =(2,2,1),AC =(4,5,3),求平面ABC 的法向量解:设面ABC 的法向量(,,)n x y z =,则n ⊥AB 且n ⊥,即n ·AB =0,且n ·=0,即2x +2y +z=0且 4x +5y +3z=0,解得1,2,x z y z ? =???=-? ∴n =z (21 ,-1,1) 点评:一般情况下求法向量用待定系数法由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有 一个自由度,可把n 的某个坐标设为1,再求另两个坐标平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量。

解析几何基础100题

解析几何基础100题 一、选择题: 1. 若双曲线22 221x y a b -=-的离心率为54,则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043 X Y ±= 解 答:C 易错原因:审题不认真,混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。 2. 椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是 解 答:D 易错原因:短轴长误认为是b 3.过定点(1,2)作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切,则k 的取值范围是 A k>2 B -32 D 以上皆不对 解 答:D 易错原因:忽略题中方程必须是圆的方程,有些学生不考虑 2240D E F +-> 4.设双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>的半焦距为C ,直线L 过(,0),(0,)a b 两点, 已知原点到直线L 的距离为 4 ,则双曲线的离心率为

A 2 B 2或 3 解答:D 易错原因:忽略条件0 a b >>对离心率范围的限制。 5.已知二面角β α- -l的平面角为θ,PAα ⊥,PBβ ⊥,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A、B到二面角的棱l的距离为别为y x,,当θ变化时,点) , (y x的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答: D 易错原因:只注意寻找,x y的关系式,而未考虑实际问题中,x y的范围。 6.若曲线y=(2) y k x =-+3有两个不同的公共点,则实数 k 的取值范围是 A 01 k ≤≤ B 3 4 k ≤≤ C 3 1 4 k -<≤ D10 k -<≤ 解答:C 易错原因:将曲线y=转化为224 x y -=时不考虑纵坐标的范围;另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 7.P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱+︱RQ︱最小,则m=()

空间坐标法解立体几何题

空间坐标法解立体几何题(工具:向量) 例1(2011届景德镇市二检卷文19)正四棱柱1111D C B A ABCD -中,底面边长为6,侧棱长为4,E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点 (1)求证:平面EF B 1⊥平面11BDD B (2)求点1D 到平面EF B 1的距离d 1. 概念:什么是点到平面的距离? 过该点做已知平面的垂线段,所作垂线段的长度就叫做点到平面的距离(如下图所示) 2.怎样用向量表示点到平面的距离? 如图,PO ⊥α于O ,A 是平面α内任意一点,点P 到 平面α的距离设为d ,为平面α的一个法向量,则有: ==||d θcos ||= ||n = 3.怎样用坐标法求点到平面的距离? 解答例1第2问 如图建立空间坐标系,分析:要求点1D 到平面 EF B 1的距离d ,由公式:d 11=, 只要求出11B D 的坐标和平面EF B 1的一个法向

量坐标,11B D 坐标很好求,因为1D 坐标为: (0,0,4),1B 坐标为(6,6,4),所以11B D 坐标为:(6,6,0); 下面求平面EF B 1的一个法向量n 坐标 分析:如何求平面的一个法向量坐标? 基本思想:初中的数学思想:“设、列、求”。即设平面的一个法向量n 坐标为:(x ,y ,z),然后列出它们的方程,最后解方程求出x 、y 、z 根据法向量的含义,法向量和平面垂直,故法向量和平面内任何一条直线都垂直,根据直线和平面垂直的判定定理,知道只要和两个不共线的向量垂直即可,在本题中可推出法向量⊥E B 1,F B n 1⊥,所以01=?E B n ,01=?F B n ,由于1B 坐标为(6,6,4),E 坐标为(3,6,0),F 坐标为(6,3,0),所以B 1的坐标为:(3-,0,4-),B 1的坐标为: (0,3-,4-),利用坐标法,得到:? ??=--=--043043z y z x ,由于法向量有长有短,方向可以朝上,还可以朝下,所以法向量有无数多个,但法向量不可以是零向量,故z 不能取0,为简单起见,取3=z ,得:4-=x ,4-=y ,所以法向量n =4(-,4-,3) 代入公式d 11=,得点1D 到平面EF B 1的距离为: 4141 4841483)4()4(| 30)4(6)4(6|222==+-+-?+-?+-?=d 例2(2010全国卷一6)直三棱柱111C B A ABC -中,若?=∠90BAC ,1AA AC AB ==,则异面直线 1BA 与1AC 所成的角等于( ) A.30° B. 45° C. 60° D. 90° 1. 概念:什么是两条异面直线所成的角? 如图:a 、b 是两条异面直线,O 是空间任意一点,过点O 作a '∥a , 作b '∥b ,a '、b '是两条相交直线,它们构成四个角,我们把那个不大 于90°的角称为两条异面直线所成的角。

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