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【考试必备】2018-2019年长沙市雅礼中学初升高自主招生考试数学模拟试卷【11套精品试卷】

最新长沙市雅礼中学2008-2019年初升高自主招生考试

数学模拟精品试卷第一套

注意:

(1) 试卷共有三大题16小题,满分120分,考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.

一、 选择题(本题有6小题,每小题5分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1.在直角坐标系中,若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( )

(A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上

2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高25%,则相同距离的行车时间可节省k%,那么k 的值是 ( )

(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20

3.若-1<a <0,则a

a a a 1

,,,33一定是 ( )

(A) a 1最小,3a 最大 (B) 3a 最小,a 最大

(C) a 1最小,a 最大 (D) a

1

最小, 3a 最大

4.如图,将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°,得△ABF ,连结EF 交AB 于H ,则下列结论错误的是( )

(A) AE ⊥AF (B )EF :AF =2:1 (C) AF 2

= FH 2FE (D )FB :FC = HB :EC

5.在△ABC 中,点D ,E 分别在AB ,AC 上,且CD 与BE 相交于点F ,已知△BDF 的面积为10,△BCF 的面积为20,△CEF 的面积为16,则四边形区域ADFE 的面积等于( )

(A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44

6.某医院内科病房有护士15人,每2人一班,轮流值班,每8小时换班一次,某两人同值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( )

第4题

(A )30 (B )35 (C )56 (D ) 448 二、填空题(本题有6个小题,每小题5分,共30分)

7.若4sin 2A – 4sinAcosA + cos 2A = 0, 则tanA = ___ ___ . 8.在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、B 两艘船相会之后,A 船以每小

时12海浬的速度往南航行,B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后,观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形.

9.如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形,其长、宽分别为4、2,则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 . 10.桌面上有大小两颗球,相互靠在一起。已知大球的半径为20cm ,小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.

11.物质A 与物质B 分别由点A(2,0)同时出发,沿正方形BCDE 的周界做环绕运动,物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动,物质B 按顺时针方向,以2单位/

秒等速运动,则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 .

12.设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下:1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则

(1) 圆2C 的半径长等于 (用a 表示);

(2) 圆k C 的半径为 ( k 为正整数,用a 表示,

不必证明

)

(第9题

)

(第11题

)

第12题

三、解答题(本题有4个小题,共60分)解答应写出文字说明,证明过程或推

演步骤。

13.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD内接于圆O,

且AD是圆O的直径,DC与AB的延长线相交于E点,

OC∥AB.

(1) 求证AD = AE;

(2) 若OC=AB = 4,求△BCE的面积.

(1)证1.∵AD是圆O的直径,点C在圆O上,

∴∠ACD = 90?,即AC⊥DE.

又∵OC∥AE,O为AD中点∴AD = AE.

证2∵O为AD中点,OC∥AE,

∴2OC = AE,

又∵AD是圆O的直径,

∴ 2OC = AD,∴AD = AE.

(2)由条件得ABCO是平行四边形,∴BC∥

AD,

又C为中点,∴AB =BE = 4,

∵AD = AE,∴BC = BE = 4,

连接BD,∵点B在圆O上,∴∠DBE= 90?,∴CE = BC= 4,即BE = BC = CE= 4,

∴所求面积为43. 4分

14.(本题满分14分)已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M,

(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点;

(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A,B,求实数p的值使△ABM面积达到最小.

解:(1) ∵⊿ = 4p2– 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 ,

∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4

(2) 设A (x

1, 0 ), B( x

2

, 0),

第13题

则|AB|2 = |x 2 – x 1|2 = [ (x 1 + x 2)2 – 4x 1x 2]2 = [4p 2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2,

∴|AB| = 21)1p (2+-. 5分

又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .

当p =1时,|b|及|AB|均取最小,此时S △ABM = 2

1

|AB||b|取最小值1 . 5分

15 (本小题满分16分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表:

胜一场

平一场 负一场 积分 3 1 0 奖励(元/每

人)

1500

700

当比赛进行到12轮结束(每队均要比赛12场)时,A 队共积19分。 (1) 试判断A 队胜、平、负各几场?

(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元,设A 队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W (元),试求W 的最大值.

解:(1)设A 队胜x 场,平y 场,负z 场, 得???=+=++19y x 312z y x ,可得:?

??-=-=7x 2z x

319y 4

依题意,知x ≥0,y ≥0,z ≥0,且x 、y 、z 均为整数,

∴??

?

??≥≥-≥-0

x 07x 20

x 319 解得:

27≤x ≤

3

19

,∴ x 可取4、5、6 4分

∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况: 当x=4时, y=7,z=1;

当x=5时,y= 4,z = 3 ;

当x=6时,y=1,z= 5. 4分

(2)∵W=(1500+500)x + (700+500)y +500z= – 600x+19300

当x = 4时,W最大,W最大值= – 6034+19300=16900(元)

答略. 4分

16(本小题满分18分)已知:矩形ABCD,(字母顺序

如图)的边长AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐

标系xOy中,使AB在x轴正半轴上,而矩形的其它两

个顶点在第一象限,且直线y =

2

3x-1经过这两个顶

点中的一个.

(1)求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标;

(2)以AB为直径作⊙M,经过A、B两点的抛物线,y = ax2+bx+c的顶点是

P点.

①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部,求a的取值范围;

②过点C作⊙M的切线交AD于F点,当PF∥AB时,试判断抛物线与y轴的

交点Q是位于直线y =3

2

x-1的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说

明理由.

解:(1)如图,建立平面直有坐标系,

∵矩形ABCD中,AB= 3,AD =2,

设A(m 0)( m > 0 ), 则有B(m+3 0);C(m+3 2), D(m 2);

若C点过y =3

2

x-1;则2=

3

2

(m+3)-1,

m = -1与m>0不合;∴C点不过y=3

2

x-1;

若点D过y=3

2

x-1,则2=

3

2

m-1, m=2,

∴ A (2, 0), B(5,0),C(5,2 ),D(2,2);5分

(2)①∵⊙M以AB为直径,∴M(3.5 0),

由于y = ax2+bx+c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点,

042

0255

=++

=++

?

?

?

a b c

a b c

b a

c a

=-

=

?

?

?

7

10

2

∴y = ax2-7ax+10a

( 也可得:y= a(x-2)(x-5)= a(x2-7x+10) = ax2-7ax+10a )

∴y = a(x-7

2

)2-

9

4

a;∴抛物线顶点P(

7

2

, -

9

4

a)

∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,

∴3

2

<-

9

4

a <2,∴-

9

8

<a<–

3

2

.

3分

②设切线CF与⊙M相切于Q,交AD于F,设AF = n, n>0;

∵AD、BC、CF均为⊙M切线,∴CF=n+2, DF=2-n; 在Rt?DCF中,∵DF2+DC2=CF2;

∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=9

8

, ∴F(2,

9

8

)

∴当PF∥AB时,P点纵坐标为9

8

;∴-

9

4

a =

9

8

,∴a = -

1

2

;

∴抛物线的解析式为:y= -1

2

x2+

7

2

x- 5

3分

抛物线与y轴的交点为Q(0,-5),又直线y =3

2

x-1与y轴交点( 0,

-1);

∴Q在直线y=3

2

x-1下方.

3分

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