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概率论高等数学习题解答

习题二

（A ）

三、解答题

1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．

解: (1)

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次

中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612?C （这里1

C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为61

2?C 多

算了一次）或151

+?C 种，故{}36

3615361-611212=+?=?==C C X P ,其他结果类似可得.

(2)

???

???≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6

165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，

???

?????????????≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 3632

43 3627

323620

2136111 0 x x x x x x x ，

，，，，，， 2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．

解：

注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}126

2995

10===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!

}{>===λλ k k a

k X P k

为常数，试求常数a ．

解：因为1!

==-∞

=∑λλae k a

k k

，所以λ-=e a .

4．设随机变量X 的分布律为

(1) 求X 的分布函数；

(2) 求}21{≤X P ，}25

23{≤

解：

(1) ????

????

?≥<≤<≤-<=???????≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13

243214

1-1x 03

x 132}2{}1{21}1{-1

x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x F ， (2) {}41121=-==??????≤

X p X P 、 {}212252

===??

????≤

323232=

=+=====≤≤X P X P X X P X P . 5．设随机变量X 的分布律为 ,2,1,21

}{===k k X P k

求： (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3的倍数}

解：(1) {}312112

1121lim 2

121212

22242=????

??-??? ?

?-=++++==∞→i

i i X P 偶数， (2) {}{}16116151212121

211415432=-=?

?????+++-=≤-=≥X P X P ，

(3) {}712

1121121

lim 2

3=-??????????? ??-===∞→∞

=∑

i i i i X P 的倍数.

6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）

(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率．解：

(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .

7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概

率．

解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X ,

{}{}∑=--=≤-=≥1

0400400,98.002.01112k k k k

C X P X P

由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X 近似服从泊松分布P (λ)（其中λ=400×0.02），所以

P {X ≥2}∑=--≈1

!81k k e k ，

查表泊松分布函数表得：

P {X ≥2}9972.028.01=-≈

8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．

解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X 则指示灯发出信号的概率

{}{})7.03.07.03.07.03.0(1313322

541155005C C C X P X P p ++-=<-=≥=

1631.08369.01=-=.

9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}．解：因为X 服从参数为5的指数分布，则5

1)(x

x F --=，{}2

)10(110-=-=>e F X P ，

()

25~-e B Y ，,

则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---k k k

e e C k Y P .

0.516711}0{-1}1{5

2=--===≥-）（e Y P Y P

10．设随机变量X 的概率密度为????

>≤=2

||,02||,cos )(π

πx x x a x f ，试求： (1) 系数a ； (2) X 落在区间)4

0(π

内的概率．

解：(1) 由归一性知：??

-∞

+∞

-===22

2cos )(1π

πa xdx a dx x f ，所以2

a .

(2) .4

2|sin 21cos 21}40{4

040=

==<

ππ

x xdx X P . 11．设连续随机变量X 的分布函数为??

???≥<≤<=1,110,0,

0)(2x x Ax x x F 试求：

(1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度．解（1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-

→+

→，即A=1.

（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .

（3）X 的概率密度?

??<<='= ,01

0,2)()(x x x F x f .

12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程02442

=+++X Xx x 有实根的概率．

解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以??

???<<=其他05

051

)(x x f

若方程02442

=+++X Xx x 有实根，则03216)4(2≥--=?X X ，即

0)1)(2(≥+-X x ，得2≥X 或1-≤X ，所以有实根的概率为

{}{}5

3510511252

==+=-≤+≥=??

-∞-x dx dx X P X P p 13．设X ～N (3，4)

(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤

(3) 设d 满足9.0}{≥>d X P ，问d 至多为多少? 解: (1) 因为4)(3~，N X

所以

}12

5.0{}23523232{

}52{≤-<-=-≤-<-=≤

5328

.016915.08413.01)5.0()1()5.0()1(=-+=-+=--ΦΦΦΦ

{}=≤<-104X P )2

4()2310(----=ΦΦ 9996

.019998.021

)5.3(2)5.3()5.3(=-?=-=--=ΦΦΦ

{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P

[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-= [])

5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977

.0= {}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=.

(2)

{}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}2

1=≤c X P 2

1)2

3()(=-Φ==c c F ，

经查表得

21)0(=

Φ，即

=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) {}{}d X P d X P ≤-=>1)(1d F -=9.0)2

(1≥-Φ-=d ，则1.0)23(

≤-Φd ，即9.0)2

-(≥-Φd ，经查表知9015.0)29.1(=Φ，故29.12

≥-d ，即42.0≤d . 14．设随机变量X 服从正态分布),0(2σN ，若1.0}{(=>k X P ，试求}{k X P <．解：{}

{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σ

σk

k -

Φ+Φ-=

)(22σ

Φ-=1.0=

所以 95.0)(=Φσ

，}{95.0)()(=Φ==<σ

k k F k

X p ；由对称性更容易解出.

15．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，试问：随着σ的增大，概率P {|X – μ | < σ}是如何变化的？

解：),(~2

σμN X 则 {}

}{σ

μσμσμ+<<-=<-X P X P

)()(σμσμ--+=F F

)()(σ

σμσμσμ--Φ--+Φ= )1()1(-Φ-Φ=

0.68261)1(2=-Φ=.

上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，{}

σμ<-X P 都不会改变； 16．已知离散随机变量X 的分布律为

试求2

X Y =与X Z =的分布律．解：由X 的分布律知

所以 Y 的分布律是

Z 的分布律为

17．设随机变量X 服从正态分布),(2

σμN ，求Y = e X 的概率密度．

解：因为X 服从正态分布),(2

σμN ，所以2

22)(21)(σμσ

π--

x X e

x f ，

{}

y e P y F X Y ≤=)(，

当0≤y

时，0)(=y F Y ，则0)(=y f Y

当0>y 时，{}

{})lny (ln )()(X X

Y F

y X P y e P y Y P y F =≤=≤=≤=

2)(ln ''

211)(ln 1)](ln [)()(σμσ

π--

==y X X Y Y y

y f y y F y F y f e

所以Y 的概率密度为??

???≤>=--

00,e 211)(2

2)(ln y y y y f y Y ，σμσ

π；

18．设X ～U (0，1)，试求Y = 1 – X 的概率密度．解因为)1,0(~U X ，

1)(<

?=x x f ， {}{})1(111)()(y F Y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=

所以])1(1[)()('

'--==y F y F y f X Y Y

?<<=???<-<=-=其他

其他)1(0,1

01,0,1101,y y y f X 19．设X ～U (1，2)，试求X e Y 2=的概率密度．解：)2,1(~U X ，则其他

1)(<

?=x x f

{}{}

y e P y Y P y F X Y ≤=≤=2)(

当0≤y 时，{}0)(2=≤=y e

P y F X

，

当0>y 时，

)

(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X =???

???≤=，

其他

2''

212ln 21

0021

)

ln 2

1(21)]ln 21([)()(e x e y y y y f y y F y F y f X Y Y <

?????====

20．设随机变量X 的概率密度为

?<<-=其他,011,23)(2

x x x f 试求下列随机变量的概率密度： (1) ;31X Y = (2) ;32X Y -= (3) 23X Y =．

解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11

???

≤=y X P 31)31(y F X =

1(31)]31([)()(''

11y f y F y F y f X Y Y ===

因为其他

3)(2

<<-???

??=x x x f X

所以)31(31)(1y f y f X Y =其他,13

11,01812<<-?????=y y 其他,3

3,0

1812<<-?????=y y (2) {}{}{})3(133)(22

y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=，

)3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y -=--== 因为其他

3)(2

<<-???

??=x x x f X ，

所以)3()(2y f y f X Y -=?????<-<--=其他0,131,)3(232y y ?????<<-=其他

0,4

2,)3(23

2y y

（3）{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=2

3)(3

当0≤y 时，{}0)(2

=≤=y X

P y F Y ，0)()('33

==x F y f

Y Y

当0>y 时，{

}

())()(3y F y F y X y P y F X

Y --=≤≤-=， ()())]([21

)]([)()('

33y f y f y

y F y F

x F y f X

Y Y -

+=-

-==

所以 ()0

)]([21

)(3≤>??

??-+=y y y f

y f y

y f X

X Y ，因为其他110

23)(2<<-???

??=x x x f X ，

所以其他,10,0

3)(3<

四、应用题

1. 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在1分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的．为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，应至少有多少电话线路？

解：设X 为同时打电话的用户数，由题意知().20,10~ B X 设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则

99.0!

.02.0}{0

1010

=≈=≤∑

∑=-=-k

i i

e i C k X P λλ，其中,2=λ

查表得k=5.

2. 在一个电子仪器系统中，有10块组件独立工作，每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为λ

5-e

，其中λ 是与工艺、系统复杂性有关的因子．若该系统中损坏的组件不超过一

块，则系统仍能正常工作，那么，5小时后系统不能正常工作的概率（λ = 0.08）是多少？解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作

这一基本结果的概率为1-4

.0-e

，记X 为10块组件中不能正常工作的个数，则

)1,10(~4.0--e B X ，

5小时后系统不能正常工作，即{}2≥X ，其概率为

{}{}

8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.0110104.004.0010=----=≤-=≥-----e e C e e C X P X P

3. 测量距离时，产生的随机误差X 服从正态分布N (20，402)，做三次独立测量，求： (1) 至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率； (2) 只有一次误差绝对值不超过30m 的概率．解：因为)40,20(~2

N X ，所以

)30()30(}3030{}30{--=≤≤-=≤F F X P X P

49.01

8944.05187.01)25.1()25.0()40

30()402030(=-+=-Φ+Φ=--Φ--Φ=

设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则)4931.0,3(~B X ，

(1) 8698.00.5069-1)4931.01(4931.01}0{1}1{33003==--==-=≥C Y P Y P . (2) 3801.05069.04931.0}1{2113=?==C Y P .

4. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数．

解：当0

当20<≤y 时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知5

1)(y

e dx e y F ---==?

，

当2≥y 时，}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F ，

因此，Y 的分布函数为

???

????≥<≤<=-2,120e -10

, 0)(5

y y y y F y ，；

5. 有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次．

(1) 某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？

(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）．解：(1) 挑选成功的概率70

148=

C p ； (2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该??

? ?

?70110~，B X ，设10随机挑选成功三次的概率为：

0.00036)70

1()701(

}3{73

10≈-==k C X P ，以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B ）

1．设随机变量的概率密度为

????

?????≤≤≤≤=其它063,92

10,31

)(x x x f

若k 使得3/2}{=≥k X P ，求k 的取值范围．

解：由概率密度可得分布函数???????????>≤≤-+<<≤≤<=6,163),3(923131,3

10,31

0,0)(x x x x x x x x F

{}32=

≥k X P 由于，即3

)(=k F ，易知31≤≤k ； 2．设随机变量X 服从(-1，2)上的均匀分布，记??

?<-≥=0

10,

1X X Y ，试求Y 的分布律．

解： X 服从）（2,1-的均匀分布，其他，，2

31)(<<-?????=x x f ，又,,0011<≥???-=X X Y ，，

则{

)(}0{120

==≥==?

dx x f X P Y P ， 3

1}0{-1}0{}1{=

≥=<=-=X P X P Y P

所以Y 的分布律为

3．设随机变量X 的概率密度为,)

1(1

)(2

x x f +=

π求随机变量31X Y -=的概率密度)(y f Y ．

解：])1[(1})1({]1[)(333y F y X P y X P y F X Y --=-≥=≤-=，

[]{}[][][]

233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y --='---=--='

[]

R y y y ∈-+-=,)1(1)1(36

π； 4．设X 为连续型随机变量，其概率密度为f X (x )是偶函数，令Y = – X ，证明Y 与X 有相同的概率密度．

证明：因)(x f x 是偶函数，故)()(x f x f x x =-，

}{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y -≤-=-≥=≤-=≤=)

(1y F x --=所以

)()()()('

y f y f y F y f x x Y Y =-==

5．设随机变量X 的概率密度为

???

??∈=其它

,0]8,1[ ,31

)(32

x x x f F (x )是X 的分布函数．求随机变量Y = F (X )的分布函数．解：随机变量X 的分布函数为

??≥<<≤=8 ,181 ,1-1

, 0)(3x x x x x F ，显然]1,0[)(∈x F ，

})({}{)(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=，

当0

当10<≤y 时，y y X P y X P y F Y =+≤=≤-=})1({}1{)(33，

当1≥y 时，})({y X F ≤是必然事件，知1)(=y F Y ，

即 ??

??≥<≤<=1 ,110

,0 , 0)(y y y y y F Y 。 6．设随机变量X 的概率密度为

?≤>=-0

,00

,)(x x e x f x 试求下列随机变量的概率密度： (1) ;121+=X Y (2) ;2X e Y = (3) 23X Y =．

（1）}2

-{}12{}{)(11y X P y X P y Y P y F Y ≤

=≤+=≤= 当

021≤-y 时，即1≤y 时，00}2

-{)(21

-1==≤=?-∞dx y X P y F y Y ，当

021>-y 时，即y >1时，2

121

0-1}2

-{)(1y

y x Y e dx e y X P y F ---==≤=?，

所以

其他，，11

,021)(211>???

??≤=-

y y e y f y

Y ；

（2）}{}{)(22y e

P y Y P y F X

Y ≤=≤=，

当0≤y 时，}{y e X ≤为不可能事件，则0}{)(2=≤=y e P y F X

Y ，

当10≤

∞

-dx y X P y e

P y F y

Y ，

当1>y 时，0ln >y ，则{}y

dx e y X P y F y

x Y 11ln )(ln 0

≤=?

-，根据)()(22y F y f Y Y '=得

???

??>≤=1,11 ,0)(22y y

y y f Y ；

（3）}{}{)(2

33y X P y Y P y F Y ≤=≤=，

当0≤y 时，0}{)(23=≤=y X P y F Y ，当0>y 时，{

}

y y

x Y e dx e y X y P y X P y F ---==≤≤-

=≤=?1}{)(0

3，

所以 ??

???>≤=-0,20 ,0)(3y y e y y f y

Y ；

7．设随机变量X 服从参数为1/2的指数分布，试证X e Y 21-=和X e Y 221--=都服从区间(0，1)上的均匀分布．

(1) 证明：由题意知00

,,0

2)(2≤>???=-x x e x f x 。

}{}{21211

y e P y Y P y F e Y X

Y x ≤=≤==--）（，，当0≤y 时，01=）（y F Y 即01

=）（y f Y ，当10<<

y 时，y dx e y X P y e P y F y x

Y ==??????-≥=≤=?∞+---2

ln 2222ln }{)(1，

当1≥y 时，122ln )(021==????

??-≥=?∞+-dx e y X P y F x

Y ，

故有 1

,01)(1<

Y X X Y x

≥=≤=≤==---，

当01≤-y 时，1}-1{)(22=≥=-y e P y F x

Y ，

当110<-

y dx e y X P y e P y F y x X Y ==?

?????

--≤=≥=?----2

)

1ln(0

2222)1ln(}-1{)(2

）（，

当11≥-y 时，002)1ln(}-1{)(2

)

1ln(22==?

?????

--≤=≥=?--∞

--dx y X P y e P y F y X

Y ，

由以上结果，易知 1

,01)(2<

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量为，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率统计试题库及答案

、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为，事件“A 、B 、 C 都发生”可表示为， 5、设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三个事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现；至少有一个事件出现；至少有两个事件出现。（ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销 ”，则其对立事件 A 表示。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3），试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否。（0，不成立） 14、设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ）。（0.7） 15、设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3，概率论与数理统计试题库不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ）；三个事件恰有一个发生为 ABC; ABC ABC ABC ）。；三个事件至少有一个发生为事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ）三个元件都正常工作；恰有一个元件不正常工作至少有一个元件正常工作。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）

高数题库

武科院试题一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有（A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在（D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题一、填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）（2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与C 不发生（2）A ，B 都发生，而C 不发生（3）A ，B ，C 中至少有一个发生（4）A ，B ，C 都发生（5）A ，B ，C 都不发生（6）A ，B ，C 中不多于一个发生（7）A ，B ，C 中不多于二个发生（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小的号码为5的概率。（2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。（2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高等数学、线性代数、概率论与数理统计

https://www.wendangku.net/doc/961552593.html, - 考研大纲】考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构高等教学约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构单选题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分高等数学一、函数、极限、连续

考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内容

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高等数学练习题及答案

一、单项选择题1.0 lim ()x x f x A →=，则必有（）.（A ）()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界. (C) ()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界. 2.函数???≥+<=0 )(x x a x e x f x ，要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1. 3.若()()F x f x '= ,则()dF x =?（）.（A ）()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C + 4.方程 4 10x x --=至少有一根的区间是（）.（A ） 10,2?? ???. （B ）1,12?? ??? . （C ）(2,3). （D ）(1,2). 二、填空题1. 设 ()f x 在0x x =处可导,则0 lim x x y →?= ． 2．某需求曲线为1002000Q P =-+，则当10P =时的弹性为． 3．曲线3267y x x =+-在0x =处的法线方程为．4． 2 sin 2x t d e dt dx ?＝ . 三、求下列极限（1）2211lim 21x x x x →---.（2）1lim(1)2x x x →∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x x x →+. 四、求下列导数和微分（1）已知3cos x y x =，求dy . (2)求由方程l n2xy y e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx . 五、求下列积分（1） 2 21(sec )1x dx x ++? .（2 ）20 ? . （3） sin ?. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值. 七、求由直线2y x =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积．八、证明：当0x >时，(1)l n (1)x x x ++>. 九、某种商品的成本函数2 3()200030.010.0002c x x x x =+++（单位：元），求生产100件产品时的平均成本和边际成本. 一、 A ． B ． D ． D ．二、（1）0．（2）-1．（3）0x =．（4）] 2 sin cos x e x ?．三、求极限（1）解：原式=11(1)(1)12lim lim (21)(1)213 x x x x x x x x →→-++==+-+ （2）解：原式= 111 222220011lim[(1)][lim(1)]22x x x x e x x -----→→-=-= （3）解：这是未定型，由洛必达法则原式=00cos 22 lim lim2(1)cos 221 1 x x x x x x →→?=+=+ 四、求导数和微分（1）解：2 3l n3c os 3sin (c os )x x x x y x +'= ,2 3ln3cos 3sin (cos ) x x x x dy dx x += （2）解：方程两边对x 求导,()xy y e y xy ''=+, 1xy xy ye y xe '= - 五、积分1．原式=2 21sec xdx dx +??=tan arctan x x c ++ 2.原式 =2 20118(4)x --=-=?

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

《高等数学》练习题库完整

华中师大学网络教育《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )

A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

高等数学习题集[附答案及解析]

WORD 格式第一章函数与极限 §1 函数必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。二、证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

WORD 格式 §2 初等函数必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

高数、概率论复习重点

高等数学复习重点上册 300页例1, 304页第2题（1），315页第1题（1）（3）题，335页例1、例2、例3 下册 22页习题第2题、第9题，31页第6题、第7题，41页例6 42页第3题，49页第4题、第7题 75页第1题，79页例4，83页第12题，89页第4题 94页例4 99页例6、例7 106页例3，108页第8题，111页例4，141页例1，147页例5 154页第6题（2）（4）题，155页第12题（2）（4）题 155页第15题，161页例3，164页第9题，165页第11题（3） 189页例1，190页第3题（1）（2）（3）（4），214页第4题、第5题（2）（3） 218页例2，219页第5题，226页例2，236页习题第1题（1）（2）（4）（5）250页例3，268页第1题、第2题（1）（2）、第4题（1）（2）（3）（4）、第5题 273页例1、例5，277页第1题（4）（8），283页例5 285页第5题、第6题，306页例1，315页第1题（3）概率论与数理统计一、考试范围：第一章——第七章二、复习范围第1章全部内容，习题全部要求；第2章全部内容，习题全部要求；第3章不要求条件分布求法，对随机向量函数的分布，只要求掌握再生性的结论，习题中涉及前述两部分内容的题目不要求相应的设问；第4章第一、二节全部内容和习题；第三节（到矩那个部分为止），习题不要求P114的 11、12题；第四节掌握定理1、2、3、4的条件、结论及应用，习题要求P121的 1、2、3、4、6、7、10、11题；第5章全部内容（其中了解频率直方图），习题要求P134的1题，P142的2、3、4、5题；第6章不要求两个正态总体的区间估计和0—1分布参数的区间估计、单侧区间估计，习题要求P158的8题，P164的1、2、5题，P169的1、2题，P180的1、2、3、4、 5、6题；第7章只要求掌握基本概念和一个正态总体期望与方差的检验，习题要求P193—194的1、 2、3、4、5、6题；三、考试题型： 1.单项选择题（共10小题，20分） 2.填空题（共6小题，18分） 3.判断题（共5小题，10分） 4.大题5分（共52分），都是计算题、应用题，没有证明题四、一些说明 1.考试题目只涉及简单的计算，不必用计算器； 2.要求学生熟记常见分布的分布表达式（分布律或密度函数）、期望、方差，如题目中需要，可直接用结论，不必再推导。 3.除第一、二章总习题外，其余各章的不作要求。 4.考试题目围绕教材内容进行，所以建议学生的复习以教材为主要参考。

概率论 高等数学 习题解答