活用共轭复数性质解题

2018高考共轭复数类型题全解(附答案)

共轭复数的运算专项练习(2016—2018高考)(附答案) 2018年 1、（全国卷1）设z=i i +-11+2i , 则z =（ ） A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 2、（全国卷2）=-+i i 2121（ ） A.i 5354-- B.i 5354+- C.i 5453-- D.i 5453+- 3、（全国卷3）（1+i ）（2-i ）=（ ） A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 4、（浙江卷）复数i -12（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 5、（江苏卷）若复数z 满足i ·z=1+2i,其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______ 6、（天津卷）i 是虚数单位，复数 =++i i 2176_______ 7、（北京卷）在复平面内，复数i -11的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2018答案 1、 因为,22)1)(1(211)1(2i i i i i i i i i z i =+-=+-+=++-= -所以,1=z 故选C 。 2、 i i i i i i i 5 453)21)(21()21)(21(2121+-=+-++=-+，故选D 3、 i i i i i i +=-+-=-+322)2)(1(2，选D 4、 因为i i i i i i i +=-+=+-+=-11)1(2)1)(1()1(2122，所以复数i -12的共轭复数为1-I,故选B.

5、 复数i i i i i z -=-+=+= 2))(21(21的实部是2. 6、 i i i i i i i i -=-=-+-+=++45520)21)(21()21)(76(2176 7、 i i i 21212111+=+=-，其共轭复数为i 2121-，对应的点为（21，2 1-），故选D. 2017年 1、设有下面四个命题 1P :若复数z 满足R z ∈1，则R z ∈ 2P :若复数z 满足R z ∈2 ，则R z ∈ 3P : 若复数21,z z 满足R z z ∈21，则21z z = 4P : 若复数R z ∈，则R z ∈. 其中的真命题为 A. 1P ,3P B 1P .4P C. 2P ,3P D. 2P ,4P 2、=++i i 13 A.1+2i B.1-2i C.2+i D. 2-i 3、设复数z 满足（1+i ）z=2i,则z = A.21 B.22 C. 2 D. 2 4、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则a= A.1或-1 B. 7-7或 C. 3- D. 3 5、已知R a ∈，i 为虚数单位，若 i i +-2a 为实数，则a 的值为________. 6、已知i R b a bi a 43,,)(2+=∈+（i 是虚数单位），则=+22b a ________,

共轭复数的多项式性质

共轭复数的多项式性质 时贞军张祖华 平阴县职业教育中心山东平阴250400 曲阜师范大学运筹与管理学院山东日照276826 摘要：本文发现了共轭复数的多项式性质。 关键词：复数共轭复数多项式。 据百度百科介绍，共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate). 根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反.

共轭复数有些有趣的性质: ︱x+yi︱=︱x-yi︱(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2 另外还有一些四则运算性质. 2代数特征编辑（1）|z|=|z′|；（2）z+z′=2a （实数），z－z′=2bi；（3）z· z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）； 加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i. 减法法则两个复数的差为实数之差加上虚数之差（乘以i）即：z1-z2=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+(b-d)i 乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac －bd)+(bc+ad)i. 除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。即：开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）共轭法则 z=x+iy 的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy 即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2 即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。 z=x+iy 和 z*=x-iy 被称作共轭对

复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用

1 复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用 酒泉市实验中学 冯德福 一．复数模的两个主要性质 性质1. 2121z z z z = 性质 2.)0(22 121≠=z z z z z 即：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，两个复数商的模等于它们的模的商。 证明：性质1.设bi a z +=1，di c z +=2，则 1222 2222222222222222()() ()()()()22z z a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc a c abcd b d a d abcd b c a c b d a d b c =++=-++=-++= -++++= +++ 又 2 22222222222222221))((c b d a d b c a d c b a d c b a z z +++=++=++= 所以 2121z z z z = 2.由性质1易得， 上述证明用的是高中数学的方法，如果使用复数的三角形式或者指数形式证明就更简单了。有兴趣的同学可以自学大学数学中《复变函数》这部分内容，提前感受大学数学的魅力。 二．在高考解题中的应用 例1.设复数z 满足 （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解：5543432 22=?=?+=?+=z z i z i z ，故填5 点评：这道题目一般做法是先根据复数的乘方求出复数z ，再由模的公式求出z 的模，而直接使用性质1就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模，省去了乘方运算。 例2. 若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，|z|=( ) 212221222121 z z z z z z z z z z z z ===

第七招复数的常用化简式 (学生版)

§7 复数的常用化简式 秒杀知识点 公式1：2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，2(1i)(1i)=+-． 公式2：1i i =-，1i i 1i +=-，1i i 1i -=-+． 这里只证明公式2中后两式． 【证明】：2 (1i) 1i 2i i 1i (1i)(1i)2++===--+； 2(1i) 1i 2i i 1i (1i)(1i)2 ---===-++-； 记忆方法：1i 1i +-中分子中间为正，即等于i +． 1i 1i -+中分子中间为正，即等于i - 秒杀思路分析 复数简单代数运算是高考重要考点之一，也是高考试卷中最基础题型．如能熟练掌握化简公式，即可避免出错，又能大大提高答卷速度，达到“秒杀”效果． 【示例1】（2016年天津卷文 9）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)2z +=，则z 的实部为 ． 【示例2】（2017 年新课标全国卷Ⅰ文3）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2i(1i)+ B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 【示例3】（2014 年新课标全国卷）22 (1i)(1i)+=-（ ） A ．1i + B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+ 方法对比 【例1】（2017年新课标全国卷Ⅱ理1）3i 1i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【例2】（2017年山东卷文 2）已知i 是虚数单位，若复数z 满足i 1i z =+，则2z =（ ） A ．2i - B ．2i C ．2- D ．2 【例3】（2015 年湖南卷）已知2(1i)1i z -=+（i 为虚数单位） ，则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --

复数性质及其在数学上的应用毕业论文

【标题】复数性质及其在数学上的应用 【作者】齐耀秋 【关键词】数学复数应用 【指导老师】王进 【专业】数学与应用数学 【正文】 １引言 复数是中学数学知识的重要交汇点，它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则，决定了它与代数、几何、三角的紧密联系。代数与几何是中学数学的两大重要内容，在代数中复数及其相关性质是重要的学习内容，探讨怎样巧用复数性质解决数学问题十分有意义。通过对一些具体例子的论证，说明利用复数及其相关性质解决某些数学问题往往能起到避繁就简、化难为易的作用。本课题从复数在代数中的应用、复数在几何中的应用、复数在三角中的应用三个方面展开讨论。 2复数概念及性质 2.1复数概念 形如的数叫做复数。 复数的表示形式有： 代数形式；三角形式；指数形式。 几何形式： 用向量表示复数； 用点表示复数。 向量的长度称为复数的模，记为：，即。 向量与轴正半轴间的角即为复数的辐角，即为：。 复数与互为共轭复数。 2.2复数性质 设,于是有： ；纯虚数或零；。 ；；。 ；。 ；。 棣莫弗公式：。 3复数性质在数学中的应用 3.1利用复数性质解决代数问题 例１设，求函数的最小值 分析：由于直接利用二次函数或根式的性质都不能求解，配方，联想复数的模可设复数，从而利用复数模性质将本题解决。 解： 设， 因为 而， 所以

因此函数的最小值为５。 由此例可见，巧设复数，利用复数的模能使问题得以快速解决。 例２设复数满足：，它们在复平面内分别对应于不同的点A点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积． 解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系． 首先，，所以，，解这个关于的方程，得：． 所以，， 因此， 所以， 等号成立当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为。 本课题通过复数的几何表示法及复数模的性质，平均值不等式求解三角面积的最大值显得尤为简单。 例３设a、b、x、y都是实数，求证： 分析：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。如果考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了。 证明：设，则 ，则 ，则 ，则 又因为 所以 由模的性质可知 所以 例４设a为任意实数，求证： 证明：因为 设， 根据（等号仅当同向时成立） 因，故有 例５：求证: 分析：由于，可以用数学归纳法证明以上等式，但由等式联想棣莫弗公式和二项

复数的模及共轭复数 答案

复数的模及共轭复数（答案） 1、有关复数的模你知道哪些？ （1） ||||||z a bi OZ =+==u u u r （2）2 2 Z Z Z Z == （注意22||z z ≠） （3）1212Z Z Z Z =? 11222 (0)Z Z Z Z Z =≠ n n Z Z = 如； 2 2(3)(1) (1) i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2| 如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] . 2、有关共轭复数你知道哪些？ 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =- 如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ?=? 11222 ()(0)z z z z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=- 3、设4 112 3(12),,(3)2z i z z i i +==--则2||z = 4 4、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1）a b a c b c >?+>+ （2）20a ≥ （3）2200a b a b +=?== （4）2 2a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =?=± 22a b a b =?=± （6）1 00a a a ≠?+ ≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？ （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=- （3）200a ab a ora b -=?== （4）00a b a b +=?== 6、判断下列是非，错误举出反例。 （1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （错） (2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈(错) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （错） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （错） （5）22z i z i +=- （ 对 ）

【高中数学】单元《复数》知识点归纳

【高中数学】单元《复数》知识点归纳 一、选择题 1．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++???+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 【答案】B 【解析】 【分析】 利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】 解：设2320192342020S i i i i =+++???+, 可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++???++， 则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++???+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i --=+++++???+-+-=-， 可得：2 (1)(1)(1)20202020202112 i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++= ==---， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 2．若复数21z i i = +-（i 为虚数单位），则||z =（ ） A B C D ．5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】 22(1) 12 1(1)(1) i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题. 3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( ) A B C ．3 D ．5

知识讲解_复数(基础)

高考总复习：复数 【考纲要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。 3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、复数的有关概念 1.虚数单位i : （1）它的平方等于1-，即2 1i =-； （2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -； （3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立； （4）i 的周期性：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）. 2. 概念

形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。 说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数集 全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系： 对于复数z a bi =+（,a b R ∈）， 当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数； 当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数； 当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数； 当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0. 所以复数的分类如下: z a bi =+（,a b R ∈）?(0)(0)00b b a b =?? ≠?=≠?实数；虚数当且时为纯虚数 5.复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即： 如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+?==且. 特别地: 00a bi a b +=?==. 应当理解: （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 6.共轭复数： 两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即： 复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。 考点二：复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。

复数的性质-总结

（1）复数—形如z=a+bi （其中）； （2）实数—当b = 0时的复数z=a+bi ，即a ； （3）虚数—当时的复数z=a+bi ； （4）纯虚数—①当a = 0且时的复数z=a+bi ，即b i. ②z 是纯虚数?z ＋z ＝0（z ≠0）; ③z 是纯虚数?z 2<0 R b a ∈，0≠b 0≠b

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝a ＋b i c －d i c ＋d i c －d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i≠0)． i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1 ;11;11i i i i i i -=+-=-+ i i 2)1(2±=± ④)(0321N n i i i i n n n n ∈=++++++ ⑤i bi a ai b )(+=+- ⑥a z z a z a z =?>+ ||)0(为实数或 ⑦ 若z 为虚数，则22||z z ≠ ⑧22||||z z z z ==?，z z z z z 111=?=?= ⑨i w 2 321+-=，,13=w w w w w ==++22,01，);(021N n n n n ∈=++++ωωω

复数模的最值求法

复数模的最值求法 根据不同的题设条件，选择不同的求复数模的最值的方法，从而简捷地解决问题，这是我们求复数模的最值时应当树立的正确意识.解复数问题的最常规的方法是设出相关复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题来求解，求复数模的最值也不例外，但这里介绍几种特殊的方法. 若已知复数z的模或辐角，则可设出其三角形式. 例1 已知复数z对应的向量OZ（O为坐标原点）与x轴正半轴的夹角为60°，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项，求|z|的值. 解析由题意，可设z=r(cos60°+isin60°)（r∈R且r＞0），则|z|=r 且z的实部为r/2, 由题设，可知|z-1|2=|z||z-2|，整理得r2+2r-1=0， 解得r=√2-1或-√2-1（不合题意，舍去）， 所以|z|=√2-1. 例2 设z∈C且|z|=1,求|z2-z+1|的最值. 解析可设z=cosθ+isinθ， 则|z2-z+1| =|cos2θ+isin2θ-cosθ-isinθ+1| =|(cos2θ+1-cosθ)+i(sin2θ-sinθ)| =|(2cos2-cosθ)+i(sin2θ-sinθ)| =(2cos2θ-cosθ)2+(sin2θ-sinθ)2 =|2cosθ-1|，

所以当cosθ=-1时，|z2-z+1|取得最大值3;当cosθ=1/2时，|z2-z+1|取得最小值0. 例2：已知，z∈C且|z|=1，求μ=|z+2+2i|的最大值和最小值。 解法一（代数法——复数问题实数化） 依题意，令z=a+bi（a，b∈R），其中a2+b2=1， 则μ2=|(a+2)+(b+2)i|2=(a+2)2+(b+2)2=a2+b2+8+4(a+b)=9+4(a+b), 但2ab≤a2+b2=1 所以(a+b)2= a2+b2+2ab≤2, -≤a+b≤, 故μ2max=9+4，μ2min=9-4， 从而μmax=2+1，μmin=2-1. 解法二（三角法——利用复数的三角形式） 依题意，令z=cosα+isinα， 则μ2=|(cosα+2)+(sinα+2)i|2 =(cosα+2)2+(sinα+2)2 =cos2α+sin2α+4(cosα+sinα)+8 =9+4sin(α+φ) 故μ2max=9+4，μ2min=9-4， 从而μmax=2+1，μmin=2-1. 解法三（几何法——利用模的几何意义）

复数模与方程典型例题

复数模与复数方程典型例题 例1在复数范围内分解：（1）2x 2+3x+3 (2)x 2+xy+2y 2 (3) x 4+x 2y 2+y 4 (4)x 4+y 4 例2求平方根： （1）3+4i (2) 5+12i 例3解方程：（1）z 2+z =0 （2）z 2-4z +3=0 (3)x 2-(5+i)x+5i=0 例4已知m ∈R,关于x 的方程x 2+(1-2i)x+3m-i=0有实根，求m 并解此方程。 例5已知1-i 是方程x 3-5x 2+8x-6=0的一个根，求方程的其它根？ 例6(1)已知z 满足2-z =1，求：i z 2+的取值范围？ (2)已知z 满足z =1,求z 2-z+1的模的最大与最小值？ 例7（1）已知方程x 2+x+m=0两虚根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。 （2）已知方程x 2+x+m=0两根为βα,,且βα-=3，求实数m 的值。 例8已知方程x 2+2x+m=0两根为βα,,且m ∈R ，求α+ β的值。 例9已知z 满足z =2且存在实数a ，使（z-a ）2=a, 求z 和a 的值。 例10设w 为x 2+x+1=0的根，则(1)1+w+w 2+w 3+… +w 2005 (2) w 2005+w 2005 例11设实系数方程2x 2+3ax+a 2-2a=0至少有一个模为2的根，求实数a 的值？ 例12设z 为虚数，ω=z+z 1是实数,且-1<ω<2 (1) 求z 的值及z 的实部的取值范围？ (2) 设u= z z +-11,求证：u 为纯虚数；（3）求ω-u 2的最小值。 例13已知：1z =2z =1，且21z z +=2,求21z z -的值? 例14已知: βα,是方程ax 2 +bx+c=0两虚根,且βα2 ∈R ，求βα的值。 例15在研究复数性质时规定：如果对n 个复数a 1,a 2…..a n ,存在不全为零的n 个实数k 1,k 2… k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+….+k n a n =0成立，那么a 1,a 2….a n 叫做“线性相关”，据此，请判断三个 复数1，-i,2+2i 是否线性相关？若线性相关，请给出一组实数。

复数概念及公式总结

数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: 它的平方等于-1，即21 i=- 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数 a bi a b R 的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,) =+∈ z a bi a b R 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且 a bi a b R 仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都

是实数，就可以比较大小 当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示实数 （2）虚轴上的点都表示纯虚数 （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d c a d bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 （1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）2 2Z Z Z Z ==? （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论 （1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4） i i i =-+11 16.复数的模： （5） i i i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+ 点),(b a Z 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=,

复数概念及公式总结

复数概念及公式总结 1、虚数单位:它的平方等于-1，即 2、与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ 3、的周期性：4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n= 14、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0、5、复数集与其它数集之间的关系：NZQR C、6、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小、如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 8、复数z1与z2的加法运算律： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i、9、复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i、 10、复数z1与z2的乘法运算律：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i、 11、复数z1与z2的除法运算律：z1z2 =(a+bi)(c+di)=（分母实数化） 12、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数的共轭复数为。例如=3＋5i与=3－5i 互为共轭复数 13、共轭复数的性质（1）实数的共轭复数仍然是它本身（2）（3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14、复数的两种几何意义：15几个常用结论点向量一一对应一一对应一一对应复数（1），（2）（3），（4） 16、复数的模： （5）复数的模（6）有关计算：⑴怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）⑵是1的两个虚立方根，并且：3 复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z

I复数的四种表示形式

第八讲 复数 知识、方法、技能 I ．复数的四种表示形式 代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ） 几何形式：复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量OZ . 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θ i re z =. 复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实. II ．复数的运算法则 加、减法：;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+ 乘法：;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++ )];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+?+i r r i r i r 除法： ).0(2 222≠++-+++=++di c i d c ad bc d c bd ac bi c bi a )].sin()[cos()sin (cos )sin (cos 21212 1 222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 乘方：∈+=+n n i n r i r n n )(sin (cos )]sin (cos [θθθθN ）； 开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k n k i n k r n πθπθ III ．复数的模与共轭复数 复数的模的性质 ①|;)Im(|||,)Re(|||z z z z ≥≥ ②|;|||||||2121n n z z z z z z ?=? ③);0(| || ||| 22121≠=z z z z z

上教版高二数学教案——共轭复数运算

共轭复数及其四则运算 教学目标：1．掌握共轭复数概念及其性质； 2．通过对共轭复数加法，乘法运算的证明进一步体会复数问题转化为实数问题 的思想方法。 3．会运用四则运算及性质证明复数为实数。 教学重点：共轭复数的四则运算及性质 教学难点：合理利用共轭复数性质解决问题 教学过程： 一、复习引入 复习共轭复数的概念：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数。即.(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈ 二、新课讲授 引例：1232,43z i z i =+=+，计算12z z +和12z z +（学生计算） （提问学生）发现：1212z z z z +=+ （教师提出问题）对任意的两个复数，是否具有上述性质？更一般的，对任意两个复数，上述性质对减法，乘法，除法是否也成立？（引出课题） 共轭复数的四则运算： （1）1212z z z z ±=± （2）1212z z z z ?=? （3）11222 (0)z z z z z ??=≠ ??? （先验证（1），得出加法运算法则，类比让学生写出剑法，乘法，除法运算法则，再证明乘法法则） 验证（1）设1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈， 12112212121212()()()()z z a bi a b i a a b b i a a b b i +=+++=+++=+-+ 12112211221212()()z z a bi a b i a bi a b i a a b b i +=+++=-+-=+-+ 即1212z z z z +=+ 同样可得到其他性质的证明。 注：1.可把求复数的共轭复数作为一种运算，那么复数的四则运算法则实际上实现了四则运算与求共轭复数运算的交换。 2．共轭复数加法，乘法运算可推广到n 个，如： 1212n n z z z z z z +++=+++ 1212n n z z z z z z ???=??? 3．特别：①(),n n z z n N *=∈， ②()k z k z k R ?=?∈ 三、例题 例1：判断正误

复数问题的题型与方法

复数问题的题型与方法 （3课时） 复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等． 一、数学规律： 1．共轭复数规律， ； 2．复数的代数运算规律 （1）i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ； （3）i n · i 1n +· i 2n +·i 3n +=-1， i n ＋i 1n +＋i 2n +＋i 3n +=0； ； 3．辐角的运算规律 （1）Arg （z 1·z 2）＝Argz 1＋Argz 2 （3）Argzn=nArgz （n ∈N ） …，n -1。 或z ∈R 。 要条件是|z|＝|a|。

（6）z 1·z 2≠0，则 4．根的规律 复系数一元n 次方程有且只有n 个根，实系数一元n 次方程的虚根成对共轭出现。 5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式 ||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|的运用。 即|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对应的向量共线且同向。 |z 1±z 2|≥|z 1|-|z 2|等号成立的条件是：z 1，z 2所对立的向量共线且异向。 二、主要的思想方法和典型例题分析： 1．化归思想 复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。 【分析】这是解答题，由于出现了复数z 和z ，宜统一形式，正面求解。 【解】解法一 设z ＝x ＋yi （x ，y ∈R ），原方程即为2 2 3313x y y xi i +--=+ 用复数相等的定义得： ∴1z =-1，2z =-1+3i. 两边取模，得：

复数 总结

复 数 一．本章知识结构 二．学习内容和要求 （一）学习目标 1．了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念； 3．掌握复数的代数形式； 4．掌握复数的代数形式的运算法则； 5．能进行复数的加、减、乘、除运算； 6．掌握某些特殊复数的运算特征 7．能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。 （二）本章知识精要 1．复数的概念： （1）虚数单位i ； （2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 3．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ； （4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+； （5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算： ① n i (n 为整数)的周期性运算； ② (1±i)2=±2i ； ③ 若ω=－21 +23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 4．共轭复数与复数的模 （1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0). （2）复数z=a+bi 的模， 且2||z z z ?==a2+b2. 三．学习方法与指导 （一）学习方法点拨： 1．数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。 要求熟悉我们已经学过的各种数集之间的内在联系。理解复数在其中所起到的重要作用，和各种数集之间的包含关系。 2．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

共轭复数的性质

共轭复数的性质 上海市奉贤中学 余意 教学目的：1、掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广； 2、能运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培养学生 类比推广思想、从特殊到一般的方法和探究方法。 3、力求激发学生学习的兴趣，让学生体验探索研究的乐趣，努力创设以学生为中心的课堂研究氛围。 教学重点：共轭复数性质的探究。 教学难点：共轭复数性质的应用。 教学过程： 复习共扼复数概念： 共扼复数：实部相等而虚部互为相反数的两个数。复数z 的共扼复数用z 表示。 若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi (a ，b ∈R) 互为共扼的两复数所对应的点关于x 轴对称。研究复数的模 发现1：| z |＝22b a +，|z |＝22b a + 研究结论1：| z |＝|z | （学生说出） 发现2： z ＋z ＝2a ，z －z ＝2bi ——共扼复数之和为实数，共扼复数之差为纯虚数？(后半句不正确！) ——若b ＝0 (z 是实数)，则z －z ＝0，即z ＝z (逆命题成立吗？) ——若a ＝0，则z ＋z ＝0，即z ＝－z (如何深入研究？) 研究结论2：z ＝z ?z ∈R (学生证明) 研究结论3：z ＝－z ( z ≠0) ? z 为纯虚数 (学生证明) 发现3：z z ＝a 2＋b 2 (联想到| z |＝22b a +) 研究结论4：| z |2＝z z —— 非常重要的一个结论：复数与实数进行转换 注意： 2 2 ||z z ≠，特别地1||=z 时，1=z z 让学生各自找两个复数，如z 1＝1＋2i ，z 2＝3－4i ，计算：(1)1z ＋2z (2) 2 1＋z z 解：(1) 1z ＋2z ＝i 2＋1＋i 4－3＝(1－2i)＋(3＋4i)＝4＋2i (2) 21＋z z ＝)i 4－3(＋)i 2＋1(＝i 2－4＝4＋2i 发现3：(1)21＋z z ＝1z ＋2z —— 是否巧合？能否证明？ 思考：能否推广到减法、乘法、除法运算？ 研究结论5：(1) 2 1＋z z ＝1z ＋2z (2) 2 1－z z ＝1z －2z (3) 21z ?z ＝1z ?2z (4) )z z ( 2 1＝ 2 1z z ( z 2≠0) 思考：能否推广到n 个复数的运算？ (1) n 21＋z ＋＋z z ＝1z ＋2z ＋…＋n z (2) 221z ??z ?z ＝1z ?2z ?…?n z 特别地，若1z ＝2z ＝…＝n z ＝z ，则n z ＝(z )n

复数性质解析

复数性质解析 复数有很多特殊的性质，如果能在解题的过程中灵活地加以运用，就会收到事半功倍的效果. 一、虚数i 的性质及其应用 与虚数单位i 相关的性质有： ①21i =-（即1-的平方根是i ±）； ②若n *∈N ，则41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =； ③2(1)2i i ±=±； ④11i i i +=-； ⑤1230n n n n i i i i ++++++=，1231()n n n n i i i i n +++*=-∈N ···． 例1 计算1998131i i i +??- ?-??·． 解析：9991998299921(1)(1)11(1)i i i i ??++??==-=-?? ?-+?? ??， 1998133(1)31i i i i i +??-=--= ?-??∴． 二、共轭复数的性质及其应用 设复数z 的共轭复数为z ，则有如下性质： ①z z =； ②1212z z z z ±=±； ③1212z z z z =··； ④11222 (0)z z z z z ??=≠ ???； ⑤z 为实数z z ?=，z 为纯虚数z z =-． 例2 设复数12z z ，满足12120z z A z A z ++=···，其中A =，求12z A z A ++·的值． 解析：121212z A z A z A z A z A z A ++=++=++···

121212()()z A z A z z A z A z A A =++=+++····， 把12120z z A z A z ++=···代入上式，得2125z A z A A A A ++===··． 三、22z z z z ==·的应用 例3 设复数z 满足2z =，求24z z -+的最值． 解析：由题意，24z zz ==，则224(1)z z z z zz z z z -+=-+=-+． 设(2222)z a bi a b =+--，≤≤≤≤，则2421221z z a bi a bi a -+=+-+-=-． ∴ 当12 a =时，2min 40z z -+=；当2a =-时，2max 410z z -+=． 四、纯虚数的性质及其应用 命题 设z 为非零复数，若z 为纯虚数，则对任意非零实数a ，有z a z a +=-成立．反之，若a 是非零实数，且z a z a +=-，则z 为纯虚数． 证明：由两复数差的模的几何意义可知，复数z 对应点的轨迹为复平面上复数a 与a -对应点连线的中垂线.显然其中垂线为虚轴.因而复数z 为纯虚数，反之亦然. 例4 解方程4465z i z i z i +--=+． 解析：原方程可化为6(445)z z z i =+---，若4450z z +---=，则0z =，原方程不成立，4450z z +---≠∴． z ∴为纯虚数． 由命题知，44z z +=-，65z i =-∴，即56 z i =-． 五、复数模的几何意义 例5.设C ∈z ，且01z =--+i z ，求ｚ在复平面内对应的点的轨迹方程. 【针对训练】 １．在复平面内，若复数ｚ满足1033z =--+z ，则ｚ在复平面内对应的点的轨迹方程为 .