北师大中考数学复习专题_解直角三角形和应用题

解直角三角形和应用题

解直角三角形既是初中几何的重要内容,又是今后学习解斜三角形,三角函数等知识的基础,同时,解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中,解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此,通过复习应注意领会以下几个方面的问题:

一、重点难点

解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。前者又是复习解直角三角形的难点,更是复习本部分内容的关键。 二、中考导向

掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此,解直角三角形既是各地中考的必考内容,更是热点内容。题量一般在4%~10%。分值约在8%~12%题型多以中、低档的填空题和选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题。几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。 【典型例题】

例1. 如图,点A 是一个半径为300米的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B 、C 两个村庄,现要在B 、C 两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通,经测得∠

ABC=45o ,∠ACB=30o

,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算进行说明。

解:在中,Rt ABH BH AH

?=?tan 45

在中,Rt ACH CH AH

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?=?

tan30

?+?

=AH AH

tan tan 45301000 ∴=->AH 5003500300 ∴不会穿过

例2. 如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD ,且建筑物周围没有开阔平整地带,该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得,从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ,可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。

(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。具体要求如下:测量数据尽可能少,在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A 、D 间距离,用m 表示;如果测D 、C 间距离,用n 表示;如果测角,用α、β、γ表示)。

(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG (用字母表示,测倾器高度忽略不计)。

B H C

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解:(1)在A处放置测倾器,测得点H的仰角为α

在B处放置测倾器,测得点H的仰角为β

()在中,

2Rt HAI AI

HI

DI

HI

AI DI m

?==-=

tan tan

αβ

HI

m

=

-

tan tan

tan tan

αβ

βα

HG HI IG

m

n

=+=

-

+

tan tan

tan tan

αβ

βα

例3. 某一时刻,一架飞机在海面上空C点处观测到一人在海岸A点处钓鱼。从C点处测得A的俯角为45o;同一时刻,从A点处测得飞机在水中影子的俯角为60o。已知海岸的高度为4米,求此时钓鱼的人和飞机之间的距离(结果保留整数)。

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例4. 在?ABC中,∠=?=

C A

901

,tan,那么cotB等于()

A B C D

....

321

3

3

分析:在Rt ABC

?中,已知tanA,求cotB可利用互余角的三角函数关系求解,应选C。

例5已知α为锐角,下列结论:

<>+=

11

sin cos

αα<2>如果α>?

45,那么sin cos

αα

>

解:在中,

Rt ABC BC AB

?=?

tan45

在中,

Rt ABG BG AB

?=?

tan60

AB AB

tan tan

60458

?-?=

∴=+

AB443

∴=+

AC4246

<3>如果cos α>

12

,那么α(sin )sin αα-=-112

正确的有( ) A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

分析:利用三角函数的增减性和有界性即可求解。 解:由于α为锐角知<1>不成立

当4590?<,即<2>正确;当cos α>1

2

时,α成立

又01≤≤sin α,即(sin )sin αα-=-112

正确。即<4>成立,故应选C 。

例6. (1)计算:sin cos cot tan tan 3060456030?+?-?-??? (2)计算:22459044211(cos sin )()()?-?+-?+--π 分析:(1)可利用特殊角的三角函数值代入直接计算;

(2)利用特殊角的三角函数值和零指数及负整数次幂的知识求解。注意分母有理化,可求得(1)-1;(2)4 例7 如图1,在?ABC 中,AD 是BC 边上的高,tan cos B DAC =∠。 (1)求证:AC =BD (2)若sin C BC =

=12

13

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12,,求AD 的长。 图1

分析:由于AD 是BC 边上的高,则有Rt ADB ? 和Rt ADC ?,这样可以充分利用锐角三角函数的 概念使问题求解。

解:(1)在Rt ABD ?中,有tan B AD BD =

, Rt ADC ?中,有cos ∠=DAC AD

AC

tan cos B DAC

AD BD AD

AC AC BD =∠∴==,故 (2)由sin C AD AC =

=12

13

;可设AD x AC BD x ===1213,

由勾股定理求得DC x =5, BC BD DC x =∴+==121812

即x =

23

∴=?

=AD 122

3

8 例8. 如图2,已知?ABC 中∠=∠C Rt ,AC m BAC =∠=,α,求?ABC 的面积(用α的三角函数及m 表示)

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图2

分析:要求?ABC 的面积,由图只需求出BC 。 解:由tan ∠=

BAC BC

AC

∴=∠=∠=∴=∴=

?=?=BC AC BAC AC m BAC BC m S AC BC m m m ABC tan tan tan tan ,αααα?12121

2

2

例9. 如图3,沿AC 方向开山修路,为了加快施工速度,要在小山的另一边同时施工。从AC 上的一点B ,取∠=?=ABD BD 145500,米,∠=?D 55。要使A 、C 、E 成一直线,那么开挖点E 离点D 的距离是( ) A. 50055sin ?米 B. 50055cos ?米 C. 50055tan ?米

D. 50055cot ?米

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图3

分析:在Rt BED ?中可用三角函数求得DE 长。 解: A 、C 、E 成一直线

∠=?∠=?∴∠=?ABD D BED 1455590,,

在Rt BED ?中, cos cos D DE

BD

DE BD D =

∴=?, BD =500米,∠=?D 55

∴=?DE 50055cos 米,故应选B 。

例10. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O 点的正北方向10海里处的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/小时的速度向正东方向航行。为迅速实验检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问(1)需要几小时才能追上?(点B 为追上时的位置)(2)确定巡逻艇的追赶方向(精确到01.?)(如图4)

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图4

参考数据:

sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..sin ..cos ..66809191668039396740923167403846

68409298684036817060943270603322

?≈?≈?≈?≈?≈?≈?≈?≈,,,,

分析:(1)由图可知?ABO 是直角三角形,于是由勾股定理可求。 (2)利用三角函数的概念即求。 解:设需要t 小时才能追上。 则AB t OB t ==2426,

(1)在Rt AOB ?中, OB OA AB 2

2

2

=+,∴=+()()261024222

t t

则t =1(负值舍去)故需要1小时才能追上。 (2)在Rt AOB ?中

sin .∠=

=≈AOB AB OB t

t

242609231 ∴∠=?AOB 674. 即巡逻艇沿北偏东674.?方向追赶。

例11. 如图5,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD ,且建筑物周围没有平整地带,该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可直接测得,从A 、D 、C 三点可看到塔顶端H ,可供使用的测量工具有皮尺,测倾器。

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图5

(1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物,设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案,具体要求如下:<1>测量数据尽可能少;<2>在所给图形上,画出你设计的测量平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A 、D 间距离,用m 表示;如果测D 、C 间距离,用n 表示;如果测角,用αβγ、、等表示,测倾器高度不计)。

(2)根据你测量的数据,计算塔顶端到地面的高度HG (用字母表示)。

分析:本题实际是一道图形设计和数据的测量计算,依题意可有几种方案。如测三个数据、测四个数据、测五个数据等。但又要使测得的数据尽可能少,于是以三个数据为例。 解:如图5(1)测三个数据。 (2)设HG x =

在Rt CHG ?中,CG x =cot β 在Rt DHM ?中,DM x n =-()cot α

∴=-x x n cot ()cot βα,即x n =

-cot cot cot α

αβ

1. 测量底部不可以到达的物体的高度,可以按下列步骤进行:(如图所示,以测量MN 的高度为例)

①在测点A 处安置测倾器,测得此时M 的仰角∠=MCE α。

②在测点A 与物体之间的B 处安置测倾器(A 、B 与N 在一条直线上),测得此时M 的仰角∠=MDE β。

③量出测倾器的高度AC BD a ==,以及测点

A 、

B 之间的距离AB=b 。

M

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E

N

(1)根据测量数据,你能求出物体MN 的高度吗? 说说你的理由。

(2)若αβ=?=?==30600150,,,a m b m ., 试计算MN 的高度。

2. 公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠=?QPN 30,点A 处有一所中学,AP=160m ,一辆拖拉机以

3.6km/h 的速度在公路MN 上沿PN 方向行驶,假设拖拉机行驶时,周围100m 以内会受噪声影响,那么,学校是否会受到噪声影响?如果不受影响,请说明理由;如果受影响,会受影响几分钟?

N

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3. 某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案。甲方案:每千克9元,由基地送货上门。乙方案:每千克8元,由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元。

(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y (元)与所购买的水果质量x (千克)之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围。

(2)依据购买量判断,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由。

4. 某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨1/3,小利家去年12月的水费是15元,而今年7月份的水费则是30元。已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民的用水价格。

参考答案

1. 解:()1MN

b

a =

-+tan tan tan tan αββα

()225301MN =+.

2. 解:

1008030sin 1<=?=?AP AP APB Rt 中,)在(

∴会影响

N

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()在中

(米)

2100806022

Rt ABD BD ?=-=

602

361000

6022??=∴.(分钟)分钟

3. 解:y x 甲

=9 y x 乙=+85000

当时选乙

时选甲时一样

x x x ><=500050005000 4. 解:设去年x 元,今年4

3

x 元 1530

4

3

5x x =- x =15. 432x = 答:今年用水价格2元。

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