实变函数复习题
邢台学院数学系《实变函数》复习手册
前言
本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。为以后学习其他课程打下良好的基础。
第一章集合
本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。为以后引入L积分打下了基础。
§1 集合的概念
理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。
§2 集合的运算
深刻理解并集或合集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。§3 对等与基数
1、掌握有限集、无限集、一一映射、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。
2、了解基数概念，会比较两个集的基数大小。
§4 可数集合
与自然数集合N对等的集合称为可数集合。
1、任何无限集包含一个可数子集。
2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则A B
?是可数集合。
3、有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。
4、有理数全体是一可数集，代数数全体是一可数集。
§5 不可数集合
1、实数集全体R不是可数集。其基数记为c，称与R对等的集合具有连续基数。
2、任何区间具有连续基数，可数个c集的并是c集，实数列全体E
的基数是c。
∞
3、不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。
练习题
一、选择题：
1、下列对象不能构成集合的是（）
0,1上的实函数全体D、全体大个子
A、全体自然数
B、0,1之间的实数全体
C、[]
2、下列对象不能构成集合的是（）
A、{全体实数}
B、{全体整数}
C、{全体小个子}
D、{|1}
x x>
3、下列对象不能构成集合的是（）
A、{全体实数}
B、{全体整数}
C、{|1}
x x>D、{全体胖子}
4、下列对象不能构成集合的是（）
A 、{全体实数}
B 、{全体整数}
C 、{|1}x x >
D 、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是（ ）
A 、{全体小孩子}
B 、{全体整数}
C 、{|1}x x >
D 、{全体实数} 6、下列对象不能构成集合的是（ ）
A 、{全体实数}
B 、{全体大人}
C 、{|1}x x >
D 、{全体整数} 7、设{}|1A x x ααα=-<≤，I 为全体实数，则I
A αα∈= （ ）
A 、(1,1)-
B 、(1,0]-
C 、(,)-∞+∞
D 、(1,)+∞
8、设1
1
{|11}i A x x i i =-+
≤≤-，i N ∈，则1
i i A == （ ） A 、(1,1)- B 、(1,0]- C 、[0,1] D 、[1,1]-
9、设1{|01}i A x x i
=≤<+，i N ∈，则1
i i A ∞
== （ ）
A 、(0,1)
B 、[0,1]
C 、[0,1)
D 、(0,)+∞
10、设1
1
{|12}i A x x i i =-
<<+，i N ∈，则1
i i A ∞
== （ ） A 、[1,2] B 、(1,2) C 、(0,3) D 、(1,2]
11、设3{|}2
i A x i x i =≤≤+，i N ∈，1
i i A ∞
== （ ）
A 、(1,1)-
B 、[0,1]
C 、Φ
D 、{0}
12、设11
{|}i A x x i
i =-
<<，i N ∈，1
i i A ∞
== （ ）
A 、(1,1)-
B 、[0,1]
C 、Φ
D 、{0} 13、设21211[0,2],[0,1],21
2n n A A n N n n
-=-
=+
∈-，则lim n x A →∞
=（ ）
A 、[0,2]
B 、[0,2)
C 、[0,1]
D 、[0,1) 14、设21211[0,2],[0,1],21
2n n A A n N n n
-=-
=+
∈-，则lim n x A →∞
=（ ）
A 、[0,2]
B 、[0,2)
C 、[0,1]
D 、[0,1) 15、设(0,),n A n n N =∈，则lim n x A →∞
=（ ）
A 、Φ
B 、[0,]n
C 、R
D 、(0,)∞
16、设1
(0,),n A n N n
=∈，则lim n x A →∞
=（ ）
A 、(0,1)
B 、1
(0,)n
C 、{0}
D 、Φ
17、设2121
(0,),(0,),n n A A n n N n
-==∈，则lim n x A →∞
=（ ）
A 、Φ
B 、1
(0,)n
C 、(0,)n
D 、(0,)∞
18、设2121
(0,),(0,),n n A A n n N n
-==∈，则lim n x A →∞
=（ ）
A 、Φ
B 、1
(0,)n
C 、(0,)n
D 、(0,)∞
19、设A 、B 、C 是三个集合，则()A A B --=（ ） A 、B B 、A C 、A B ? D 、A B ? 20、设A 、B 、C 是三个集合，则()A B C -?=（ ）
A 、()()A
B A
C -?- B 、()()A B A C -?- C 、A B ?
D 、A C ? 21、设A 、B 、C 是三个集合，则()A B C -?=（ ）
A 、()()A
B A
C -?- B 、()()A B A C -?- C 、A B ?
D 、A C ? 22、设A 、B 、S 是三个集合，且,A S B S ??，则()S A B -=e（ ）
A 、S
S
A B ?痧 B 、S
S
A B ?痧 C 、S A B ?e D 、S A B ?e
23、设A 、B 、S 是三个集合，()S A B ?=e（ ）
A 、S
S
A B ?痧 B 、S
S
A B ?痧 C 、S A B ?e D 、S A B ?e
24、设A 、B 、C 是三个集合，则()A B C --=（ ）
A 、A C
B ?- B 、A B
C -- C 、()()A B A C -??
D 、()C B A -- 二、选择题
1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合，若A n =，则B =
2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合，若A 是一可数集，则B =
3、若,A c B c ==，则A B ?=
4、若A c =，B 是一可数集，则A B ?=
5、若,A c B n ==，则A B ?=
6、若{}n A 是一集合列，且n A c =，1
n n A ∞
==
7、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则I
A αα∈=
8、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，则I
A αα∈=
9、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()S I
A αα∈= e
10、若{}I A αα∈是任意集族，其中I 是指标集，S 是一集合，则()S I
A αα∈= e
11、若{}n A 是任意一个集合列，则lim n n A →∞
=
12、若{}n A 是任意一个集合列，则lim n n A →∞
=
三、判断题
（ ）1、{0,1}{1,0}=。
（ ）2、任意两个集合A 、B ，都有A B ?，或B A ?。 （ ）3、任意集合都有子集。 （ ）4、{}a a ?。 （ ）5、{}Φ=Φ。 （ ）6、{0}Φ=。
四、简答题
1、构造{自然数全体}到{偶数全体}的一一映射。
2、构造(0,1)到R 的一一映射。
3、构造(0,1]到[0,)∞的一一映射。
4、构造{能被3整数整除的正整数}到{正整数全体}的一一映射。
5、构造(0,1)到(0,1](2,3)?的一一映射。
6、构造{奇数全体}到{偶数全体}的一一映射。 五、证明题
1、任意无穷集合包含一可数子集。
2、若A 是一个可数集合，B 是一个有限集合，则A B ?是可数集。
3、若A 和B 都是可数集合，则A B ?是可数集。
4、有理数全体成一可数集。
5、证明由直线上互不相交的开区间作为集A 的元素，则A 至多为可数集。
6、空间2R 中，{(,)|,}x y x Z y Z ∈∈是一个可数集合。
第二章 点集
本章讨论了特殊的集合——空间中的点集中的一些基本概念及性质，主要讨论了开集及闭集的结构。为以后引入L 积分打下了基础。
§1 度量空间 n 维欧式空间
熟记距离、领域、点列的收敛、直径、有界集、n 维空间中的区间及区间的体积的定义；会判断二元函数为距离。
§2 聚点 内点 界点
熟记并深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点、开核、边界、导集、闭包的定义。 §3 开集 闭集 完备集
深刻理解开集、闭集的性质；记住自密集、完备集的定义。 §4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
理解构成区间的定义、了解康脱集的构造。
练习题
一、选择题
1、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的（ ） A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包
2、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的（ ） A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包
3、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的（ ） A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包
4、E —E ’所成的集合是（ ）
A 、开核
B 、边界
C 、外点
D 、{
E 的全体孤立点} 5、E 的全体边界点所成的集合称为E 的（ ） A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 6、设点P 是集合E 的边界点，则（ ）
A 、P 是E 的聚点
B 、P 是E 的孤立点
C 、P 是E 的内点
D 、P 是
E e的边界点 7、设(0,1)(2,3)G =?,则下列哪一个是G 的构成区间（ ） A 、(0,1) B 、1
(,1)2
C 、[0,1]
D 、(0,2)
8、设12121
(0,1),(1,0)(,2),2G G G G G ==-
?=?，则下列哪一个是G 的构成区间（ ）
A 、(0,1)
B 、(0,2)
C 、1(1,)2
- D 、(1,2)-
9、设1212(0,4),(0,1)(3,4),G G G G G ==?=?，则下列哪一个是G 的构成区间（ ）
A 、(0,1)
B 、(3,4)
C 、(0,4)
D 、(1,4)
10、设1212(0,1),(1,2)(3,4),G G G G G ==?=?，则下列哪一个是G 的构成区间（ ）A 、(0,1) B 、(0,3) C 、(0,4) D 、(1,4)
11、设1212(0,2),(1,2)(3,4),G G G G G ==?=?，则下列哪一个是G 的构成区间（ ） A 、(0,1) B 、(0,2) C 、(1,2) D 、(1,4)
12、设121213
(0,1)(1,2),(1,0)(,),22G G G G G =?=-?=?，则下列哪一个是G 的构成区
间（ ）
A 、13
(,)22 B 、(1,2) C 、(0,1) D 、(1,0)-
13、若A B ?，则下列命题错误的是（ ）
A 、00A
B ? B 、''A B ?
C 、A B ???
D 、A B ? 14、若A B C ?=，则下列命题正确的是（ ） A 、000A B C ?= B 、'''A B C ?=
C 、A B C ???=?
D 、{}{}A B ?的孤立点的孤立点 15、若A B C ?=，则下列命题错误的是（ ） A 、000A B C ?= B 、'''C A B ??
C 、A B C ?=
D 、{}{}A B ?的孤立点的孤立点 16、设A e是A 的余集，则下列命题正确的是（ ）
A 、0
()()A A =痧 B 、()A A ?=?e C 、(')()'A A =痧 D 、()A A =痧 17、设A B C -=，则下列命题正确的是（ ）
A 、A
B
C ?-?=? B 、00A B C -=
C 、'''A B C -=
D 、{}{}A B -的孤立点的孤立点 18、下列命题错误的是（ ）
A 、A 是闭集
B 、'A 是闭集
C 、A ?是闭集
D 、0A 是闭集 19、若A 是闭集，B 是开集，则A B -是（ ） A 、开集 B 、闭集 C 、既非开集又非闭集 D 、无法判断 20、若A 是开集，B 是闭集，则A B -是（ ）
A 、开集
B 、闭集
C 、既非开集又非闭集
D 、无法判断
21、若{}n A 是一开集列，则1
n n A ∞
= 是（ ）
A 、开集
B 、闭集
C 、既非开集又非闭集
D 、无法判断
22、若{}n A 是一开集列，则1
n n A ∞
= 是（ ）
A 、开集
B 、闭集
C 、既非开集又非闭集
D 、无法判断
23、若{}n A 是一闭集列，则1
n n A ∞
= 是（ ）
A 、开集
B 、闭集
C 、既非开集又非闭集
D 、无法判断
24、若{}n A 是一开集列，则1
n n A ∞
= 是（ ）
A 、开集
B 、闭集
C 、既非开集又非闭集
D 、无法判断 二、填空题
1、欧式空间n R 中，任意两点1212(,,,),(,,,)n n x x x x y y y y =???=???的距离(,)d x y =
2、[,]C a b 空间中，任意两元素(),()x t y t 的距离(,)d x y =
3、2l 空间中，任意两元素1212(,,,),(,,,)n n x x x x y y y y =???=???的距离(,)d x y =
4、欧式空间2R 中，任意两点1212(,),(,)x x x y y y ==的距离(,)d x y =
5、欧式空间3R 中，任意两点123123(,,),(,,)x x x x y y y y ==的距离(,)d x y =
6、欧式空间4R 中，任意两点12341234(,,,),(,,,)x x x x x y y y y y ==的距离(,)d x y =
7、设2
2
2
,{(,)|1}X R E x y x y ==+<，则E = 8、设3
2
2
2
,{(,,)|1}X R E x y z x y z ==++<，则E =
9、设222
,{(,)|1}X R E x y x y ==+<，则E ?=
10、设222
,{(,)|1}X R E x y x y ==+<，则'E =
11、设3222
,{(,,)|1}X R E x y z x y z ==++<，则E ?=
12、设3222
,{(,,)|1}X R E x y z x y z ==++<，则'E = 13、设[0,1],[3,4]A B ==，则(,)d A B =
14、设C 是康托完备集，[0,1],(,)G C d C G =-=则
15、设C是康托完备集，则C的直径()
C
δ=
16、两个非空集合A，B距离的定义为(,)
d A B=
17、一个非空集合A的直径的定义为()A
δ=
18、设[0,1]
A Q
=?，则()A
δ=
三、判断题
（）1、若一个点不是E的聚点，则必然也不是E的内点。
（）2、{E的外点全体}和E的余集是相同的。
（）3、E的内点必然属于E。
（）4、E的孤立点必然属于E。
（）5、E的边界点一定不属于E。
（）6、E的聚点必然属于E。
第三章测度论
本章主要是讨论n
R中点集的可测性与可测集的测度（度量）问题，它是建立新积分的理论基础。学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。
§1 约当测度
第一，要弄清确界的概念；第二，了解约当测度，并知道[0,1]中全体无理点集是约当不可测的。
§2 外侧度
第一，重点掌握L外测度的定义及其三条基本性质，并会用定义讨论一些简单集合（如有限集，可数集）的外侧度；第二，知道任意区间I的外侧度为*
m I I
=。
§3 可测集
第一，需重点掌握L内测度及其性质，L可测集的两种定义方法；第二，深刻理解课本定义3，并会用它证明一些集合的可测性，如定理1，定理2等；第三，会用内外测度相等论证一些集合的可测性；第四，掌握可测集的运算性质，知道L可测集类是σ环（主要指对运算的封闭性）；第五，一定要知道可测集的极限运算和测度运算的换序条件，一定要注意差运算和测度运算换序的条件（包含和测度有限），需理解可测集的测度有限与集合有界的关系。
§4 可测集（续）
本节首先给出了常见的L可测集（如零测集、区间、开集、闭集、康脱尔集及其条集）
及其测度的计算方法；说明J可测集皆L可测；并从G
δ集，F
σ
集到波雷尔集均可测，得到
了可测集和G
δ集，F
σ
集，波雷尔集的关系，揭示了L可测集的结构。
开集类、闭集类?G
δ型集类，F
σ
型集类?波雷尔集类?可测集类=n
R中的一切子集
类
§5 不可测集
知道存在L 不可测集
练习题
一、选择题
1、若[0,1],E Q mF =?=则( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
2、下述结论（ ）正确
A 、**m E m E >
B 、**m E m E ≥
C 、**m E m E <
D 、**m
E m E ≤ 3、若[0,1],E Q mE =-=则（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 4、下列说法不正确的是（ ）
A 、E 的测度有限，则E 必有界
B 、E 的测度无限，则E 必无界
C 、有界点集的测度有限
D 、n R 的测度无限 5、0P 是康托尔（cantor ）集，则0m P =（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、设A 是B 的真子集，则（ ）
A 、**m A m
B < B 、**m A m B ≤
C 、**m A m B >
D 、**m A m B ≥ 7、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则m G =（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、设12,S S 都可测，则12S S ?（ ）
A 、可测
B 、不可测
C 、可能可测也可能不可测
D 、以上都不对 9、((0,1)(1,2))m ?-=（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
10、A 可测，B 是A 的真子集，则（ ）
A 、m A m
B ≥ B 、*m A m B ≥
C 、*m A m B =
D 、以上都不对 11、([1,1](2,3])m -?=（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
12、L 可测集类，对运算（ ）不封闭。
A 、可数和
B 、有限交
C 、单调集列的极限
D 、任意和 13、外侧度不具有（ ）
A 、非负性
B 、单调性
C 、次可数可加性
D 、恒正性 14、下述哪种集测度肯定不为零（ ）
A 、可数集
B 、非空开集
C 、不可数集
D 、闭集 15、以下论述哪个不和
E 可测等价（ ）
A 、0,,*()G G E m G E εε?>??-<开集有，且
B 、0,,*()F F E m E F εε?>??-<闭集有，且
C 、 ,,*()0G G G E m E G δ???-=有且
D 、 ,,*()0F F F
E m E
F σ???-=有且 二、填空题
1、n
E R ?，对每一列覆盖E 的开区间1
i i I E ∞
=? ，定义*m E =
2、设{}n S 是一列递增的可测集合，则(lim )n n m S →∞
=
3、设A=“开集类”，B=“波雷尔集类”，C=“可测集类”，D=“G δ型集类”。那么A ，B ，C ，D 的关系是
4、I 是区间，则m I =
5、设n E R ?，E 有界，I 为任一包含E 的开区间，则*m E =
6、1
1
*()*i i
i i m A m A
∞
∞
==≤
∑ 称为测度的
7、若,**A B m A m B ?≤则，这称为外测度的 8、若集合G 能表示成 ，则称G 为G δ集。
9、设,n n E R T R ???若都有 则称E L 是可测的。 10、若集合F 能表示成 则称F F σ为集。
11、设{}n S 是一列递减可测集合，且,,(lim )k n n k mE m S →∞
?<∞=则
12、L 可测集和波雷尔集相差一个
13、设12,,,n E E E ???都是可数集，则12()n m E E E ??????= 三、判断题，并说出理由
（ ）1、若E F ?可测，则E 和F 都可测。
（ ）2、两个集合的某数相等，则它们的外测度相等。
（ ）3、设12,S S 都可测，则12S S -也可测，且1212()m S S m S m S -==。 （ ）4、无限集的外测度一定不为零。
（ ）5、若可测集A 是可测集B 的子集，且,()0mB mA m B A =-=则。 （ ）6、若E 可测，A 可测，且()0,()m A E mE m E A -==?则。 （ ）7、设E 为测度有限的集，则E 是有界可测集。
四、证明题
1、证明：集合E 可测的充要条件是对于任意,A E B E ??e，总有
*()**m A B m A m B ?=+.
2、证明：对n E R ?，E 可测的充要条件是E e可测。
3、证明：可数点集的外测度为零。
4、设12,,,n S S S ???是n 个互不相交的可测集合，,1,2,,i i E S i n ?=???。证明：
1212*()***n n m E E E m E m E m E ??????=++???+
5、若*0m E =，则E 可测。
6、设A 可测，B 为任意集合，证明：*()*()*m A B m A B mA m B ?+?=+。 五、简答题
1、请指出L 可测集和F σ集的关系。
2、请叙述L 测度的可列可加性。
3、从基数的角度请举出三种零测度集的例子。
第四章 可测函数
为了以后建立新积分理论的需要，本章引进一个新的函数类——可测函数类。为此先给出一般点集上函数的基本概念（如有限、无限）和性质，并在此基础上讨论了可测集上的可测函数的问题，学生一定要注意对概念、定理、记号的理解。
§1 可测函数及其性质
本节首先通过集合的可测性定义了可测函数及其逻辑形式，列出了连续、单调、简单函数的可测性，需重点掌握这些概念的定义，并会用这些理论进行简单论述，如集合限定转换和表示；还讲述了可测函数的运算（四则和极限），这使可测函数类变得很大；第三个重点是可测函数与简单函数的关系，这是可测函数的又一描述；学生一定要知道()f x +
和()f x -
的定义；第四个重点是几乎处处概念，学生要认识到这是与测度有关的。 §2 叶果洛夫（EropoB ）定理
本节主要通过叶果洛夫定理阐述了函数列的点态收敛与一致收敛的关系，要会证叶果洛夫定理的逆定理，要掌握证明时的思想方法。 §3 可测函数的构造
本节主要通过鲁金定理揭示了可测函数与连续函数的关系。我们常常应用鲁金定理把有关可测函数的问题转化为连续函数来处理，使问题得以简化。需会证鲁金定理的逆。 §4 依测度收敛
本节首先讲述了依测度收敛的概念，学生要会用该理论证明函数列的测度收敛和测度不收敛，其关键是对集()n E f f σ->的具体化；第二讲述了各种收敛的关系，学生一定要掌握这些关系及相应的反例。
?????
?依测度收敛存在子列几乎处处收敛
一致收敛几乎处处收敛基本一致收敛
练习题
一、选择题
1、下列说法正确的是（ ） A 、1()(0,1)f x x
=
在有限 B 、11()(
,1)2
f x x =
在无界
C 、1,(0,1](),0x f x x x ?∈?=??+∞=?，在[0,1]有限
D 、1,(0,1]
()1,0x f x x x ?∈?=??=?
，在[0,1]有界
2、函数列()n n f x x =在[0,1]上（ ）于0,。
A 、,a e 一致收敛
B 、收敛
C 、一致收敛
D 、基本一致收敛
3、设E 是[0,1]中的不可测集，1,()1,[0,1]x E
f x x E ∈?=?-∈-?
，则下列函数在[0,1]上可测的是
（ ）
A 、()f x
B 、()f x +
C 、()f x
D 、()f x - 4、若()f x 可测，则它必是（ ）
A 、连续函数
B 、单调函数
C 、简单函数
D 、简单函数列的极限 5、下述论断正确的是（ ）
A 、()(0,)4f x tgx π=在无界
B 、[0,)2
()[0,]2,2tgx x f x x πππ
?
∈??=??+∞=??，在有限
C 、[0,)2
()[0,]21,2
tgx x f x x πππ
?
∈??=??=??，在有界 D 、()(0,)2f x tgx π=在有限
6、函数列1()2
n
n f x x =
（）在[0,2]上（ ）于0。
A 、收敛
B 、一致收敛
C 、基本一致收敛
D 、,a e 一致收敛 7、设,(),[0,1]x x
E f x x x E
∈?=?-∈-?，其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0,1]可测的是
（ ）
A 、()f x
B 、()f x
C 、()f x +
D 、()f x -
8、一个函数在其定义域中的（ ）处都是连续的。 A 、边界点 B 、内点 C 、聚点 D 、孤立点 9、下列说法正确的是（ ）
A 、()f x ctgx =在(,)42ππ
无界 B 、(0,]
()[0,]22,0
ctgx x f x x ππ?
∈?=??+∞=?
，在有限
C 、(0,]
()[0,]221,0
ctgx x f x x ππ?
∈?=??=?，在有界 D 、()f x ctgx =在(0,)2π有限
10、函数列()2n n n f x x =在1
[0,]2上（ ）于0。
A 、收敛
B 、一致收敛
C 、基本一致收敛
D 、,a e 一致收敛
11、设E 是[0,1]上的不可测集，22
,(),[0,1]x x E f x x x E
?∈?
=?-∈-??,则下列函数在[0,1]可测的是
（ ）
A 、()f x
B 、()f x +
C 、()f x
D 、()f x - 12、设
E 为可测集，则下列结论中正确的是（ ）
A 、若{()
}n f x 在E 上,a e 收敛于一个,a e 有限的可测函数()f x ，则()n f x 一致收敛于()f x
B 、若{()}n f x 在E 上,a e 收敛于一个,a e 有限的可测函数()f x ，则()n f x 基本上一致收敛于()f x
C 、若{()}n f x 在E 上,a e 收敛于一个,a e 有限的可测函数()f x ，则()()n f x f x ?
D 、若{()}n f x 在
E 上基本上一致收敛于()f x ，则()n f x ,a e 收敛于()f x
13、下列说法正确的是（ ）
A 、()sec f x x =在(0,)4
π上无界 B 、()sec f x x =在(0,)4
π
上有限
C 、sec [0,)2
()[0,]2,2x x f x x πππ
?
∈??=?
?+∞=??，在上有限 D 、sec [0,)2
()[0,]21,2
x x f x x πππ
?∈??=?
?=??，在上有界
14、函数列()3n n n f x x =在1
[0,]3
上（ ）于0。
A 、收敛
B 、一致收敛
C 、基本一致收敛
D 、,a e 一致收敛
15、设3
3,(),[0,1]x x E
f x x x E
?-∈?=?∈-??，其中E 是[0,1]上的不可测集，则（ ）在[0,1]可测。
A 、()f x
B 、()f x +
C 、()f x -
D 、()f x
16、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ ）
A 、它们是同一概念
B 、,a e 有限的可测函数是连续函数
C 、,a e 有限的可测函数是基本上连续的函数
D 、,a e 有限的可测函数是,a e 连续的函数 17、下列说法正确的是（ ） A 、2
1()(0,1)f x x
=
在有限 B 、2
11()[
,1]2
f x x
=
在无界
C 、21(0,1]()[0,1],0x f x x x ?∈?=??+∞=?，在有限
D 、21(0,1]
()[0,1]1,1x f x x x ?∈?=??=?
，在有界
18、函数列()sin n
n f x x =在[0,
]2
π
上（ ）于0。
A 、收敛
B 、基本一致收敛
C 、一致收敛
D 、,a e 一致收敛
19、设2
2,(),[0,1]x x E
f x x x E
?-∈?=?∈-??，其中E 是[0,1]上的不可测集，则（ ）在[0,1]上是可
测的。
A 、()f x
B 、()f x
C 、()f x +
D 、()f x -
20、关于简单函数与可测函数，下述结论不正确的是（ ）
A 、简单函数一定是可测函数
B 、简单函数列的极限时可测函数
C 、简单函数与可测函数是同一概念
D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念 21、下列说法正确的是（ ） A 、3
11(),1)2
f x x
=
在(
无界 B 、3
1(),1)f x x
=
在(0有限
C 、31(0,1]()[0,1],0x f x x x ?∈?=??+∞=?，在有限
D 、31(0,1]
()[0,1]1,0x f x x x ?∈?=??=?
，在有界
22、函数列()cos n
n f x x =在[0,
]2
π
上（ ）于0。
A 、基本一致收敛
B 、收敛
C 、一致收敛
D 、,a e 一致收敛
23、设E 是[0,]2π
中的不可测集，sin ,()sin ,[0,]2
x x E
f x x x E
π
∈??
=?-∈-??，则下列函数在[0,]2π上可测的是（ ）
A 、()f x
B 、()f x
C 、()f x +
D 、()f x -
24、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ ）
A 、依测度收敛不一定一致收敛
B 、依测度收敛不一定收敛
C 、若{()}n f x 在E 上,a e 收敛于,a e 有限的可测函数()f x ，则()()n f x f x ?
D 、若()()n f x f x ?，则存在子列{()}n f x ,a e 收敛于()f x 25、下列函数在(0,)+∞上几乎处处为正的是（ ）
A 、()sin f x x =
B 、()ln f x x =
C 、()cos(2)f x x π=
D 、1,()1,x Q
f x x Q -∈?=???
二、填空题
1、设()f x 是定义在可测集n E R ?上的实函数，若a R ?∈，有 ，则称()f x 在E 上可测。
2、()()n f x f x ?的定义为 。
3、[,]a b 上的连续函数及单调函数都是 。
4、叶果洛夫定理反映了 与 的关系。
5、可测集n E R ?上的连续函数都是 。
6、可测函数列的极限 。
7、实变函数中的函数连续性是数学分析中函数连续性的 。
8、几乎处处是与 有关的概念。
9、E 上的简单函数，指的是对E 进行有限不交可测分解后，每一个可测子集上都取 的函数。
10、鲁金定理反映了 与 的关系。
11、两个可测函数的四则运算（假定它们都有意义）结果 。
12、函数列1,(0,]
()0,(,)n x n f x x n ∈?=?
∈+∞?
在(0,)+∞不一致收敛于且不 收敛于1。 三、判断题，并说出理由
（ ）1、若()()f x g x =，,a e 于E ，()f x 在可测集E 上可测，则()g x 也在E 上可测。 （ ）2、若()f x 在可测集E 上可测，则()E f =+∞也可测。 （ ）3、若m E <+∞且n f f ?，lim ()()n n f x f x →∞
=,a e 于E 。
（ ）4、若()f x 在可测集E 上可测，则()f x 在E 的任意可测子集上也可测。 （ ）5、若()f x 在可测集E 上可测，则()f x 在E 的任意子集上可测。
（ ）6、若,()r Q E f r ?∈>都可测，则f 在可测集E 上也可测。 （ ）7、设E 为可测集，,f g 在E 上可测，则()E f g ≠可测。 （ ）8、黎曼函数可测。 四、证明题
1、设()f x 在[,]E a b =上是,a e 有限的可测函数，则对于任何0,0δε>>，存在连续函数
()g x ，使()mE f g δε-≥<。
2、设函数列{()}n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，且()()n f x g x ≤，,a e 于E ，1,2,n = ，则()()f x g x ≤在E 上,a e 成立。
3、设函数列{()}n f x 在有界集E 上基本一致收敛于()f x ，证明()n f x 在E 上,a e 收敛于
()f x 。
4、证明：若n f f ?，n f g ?，则f g =在E 上,a e 成立。
5、设1(0,),(),1,2,,()(1)
n n E f x n f x x n x
=+∞=
==
+ ，试证()()n f x f x ?。
6、设1(0,),(),1,2,,()n E f x x n f x x n
=+∞=+== ，证明：()()n f x f x ?。
五、简答题
1、请说明：在(0,)E =+∞上函数列(),1,2,n x f x x n n
=+
= ，不测度收敛于()f x x =。
2、用可测函数的定义说明狄里克雷函数1,[0,1]()0,[0,1]x Q
D x x C ∈??=?∈??
，在[0,1]可测。
3、若()f x 在可测集E 上可测，则,()c R cf x ?∈在E 上也可测。
第五章 积分论
在数学分析中遇到的函数大部分是连续函数，它们在有界闭区间上是黎曼可积函数的。但黎曼可积函数不能满足科学发展的需要。在1902年法国数学家Lebesgue 成功地引入了一
种新的积分，即L 积分，大大地扩充了可积分函数的范围，成为分析数学的不可缺少的工具。在本章中将详细给出L 积分的定义及性质。 §1 黎曼函数
了解黎曼积分的定义和三个R 可积的充要条件。本节不作为考核内容。
§2 勒贝格积分的定义
掌握有界函数在有界可测集上L 积分的定义、性质及充要条件；了解R 积分与L 积分的关系；利用定理4求一些函数的L 积分。 §3 勒贝格积分的性质
熟练掌握L 积分的性质
§4 一般可积函数
掌握非负可测函数和一般可测函数L 积分的定义及性质；会计算一些函数的积分，熟记L 积分的性质。 §5 积分的极限定理
掌握积分的极限定理（定理1至定理5）；勒贝格控制收敛定理的条件及结论；会用L 控制收敛定理求一些积分的极限。
练习题
一、单项选择题
1、设()f x 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x （ ）
A 、必可积
B 、必几乎处处有限
C 、必积分确定
D 、不一定积分确定 2、设()f x 在可测集
E 上可积，则在E 上（ ）
A 、()()f x f x +-与只有一个可积
B 、()()f x f x +-与皆可积
C 、()()f x f x +-与不一定可积
D 、()()f x f x +-与至少有一个不可积 3、设0()m
E E =≠Φ，()f x 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ ） A 、()f x 在E 上不一定可测 B 、()f x 在E 上可测但不一定可积 C 、()f x 在E 上可积且积分值为0 D 、()f x 在E 上不可积 4、()f x 在可测集E 上（L ）可积的充要条件是：()f x 为（ ）
A 、连续函数
B 、几乎处处连续函数
C 、单调函数
D 、几乎处处有限的可测函数 5、设()D x 为狄里克雷函数，则[0,1]
()f x dx =?（ ）
A 、0
B 、1
C 、
12
D 、不存在
6、设()f x 为Cantor 集的特征函数，则[0,1]
()f x dx =?（ ）
A 、0
B 、
13
C 、
23
D 、1
7、设,(),x x f x x x -?=??当为有理数时
当为无理数时
，则[0,1]
()f x dx =?（ ） A 、0 B 、
12
C 、12
-
D 、1
8、设2,()0,x x f x x ??=???当为有理数时
当为无理数时
，则[0,1]
()f x dx =?（ ）
A 、0
B 、12
C 、
13
D 、1
二、填空题
1、设()f x 在可测集E 上可积，则[]mE f =∞= 。
2、（叙述积分的绝对连续性）设()f x 在E 上可积，则对任何可测集A E ?，有
lim
()A
m A f x dx →=?
。
3、设0P 为Cantor 集，则0
sin P xdx =? 。
4、设0P 为Cantor 集，则0
cos P xdx =? 。
5、设Q 为有理数集，则x Q
e dx =? 。
6、设N 为自然数集，则ln N
xdx =? 。
7、设()f x 在E 上可积，且()0E
f x dx =?，则()f x 在E 上几乎处处为 。
三、计算题
1、设1
,(),x f x x x x ??
=???
当为有理数时当为无理数时，计算[0,1]
()f x dx ?。 2、设2
,(),x x e x f x e x ??=???当为有理数时
当为无理数时
，计算[0,1]
()f x dx ?。 3、设cos ,()sin ,x x f x x x ?=??当为有理数时
当为无理数时
，计算[0,1]
()f x dx ?。 4、设0P 为Cantor 集，200,(),[0,1]x x P f x x x P ?∈?=?∈-??当时
当时
，计算[0,1]
()f x dx ?。 5、设0P 为Cantor 集，2
00,(),[0,1]x x e x P f x e x P ?∈?=?∈-??当时
当时
，计算[0,1]
()f x dx ?。 6、设0P 为Cantor 集，00cos ,()sin ,[0,1]x x P f x x x P ∈?=?∈-?当时
当时
，计算[0,1]
()f x dx ?。 7、设0P 为Cantor 集，00sin ,[1,2]()cos ,,[0,1]x x f x x x P x P ππ∈??
=∈??
∈-?当时1当时
，计算[0,2]
()f x dx ?。 8、求15
2
2
lim ()sin 1n nx R nxdx n x
→∞
+?
。
9、求1/212
2
lim ()sin 1n nx
R nxdx n x
→∞
+?
。
10、求12
2
2
lim ()cos 1n nx R nxdx n x
→∞
+?
。
11、求2/312
2
lim ()cos 1n nx
R nxdx n x →∞
+?
。
12、求2
12
42
lim ()(sin cos )1n n x R nx nx dx n x →∞
++?
。
13、求3
3/2142
lim ()1n n x
R dx n x
→∞
+?
。
14、求14
2
lim ()(sin 1)1n nx R nx dx n x
→∞
++?
。
四、证明题
1、设()f x 是[0,1]E =上的可积函数，则lim []0n mE f n →∞
≥=。
2、设m E <+∞，()f x 是E 上的有界可积函数，则对任何可测集A E ?，有
lim
()0A
m A f x dx →=?
。
3、设由[0,1]中取出n 个可测子集12,,,n E E E ，假定[0,1]中任一点至少属于这n 个集中的q 个，试证必有一集，它的测度大于或等于/q n 。
4、试从
2
3
1(1)(),011x x x x x
=-+-+<<+ ，求证：111ln 212
3
4
=-
+
-
+ 。
5、设{()}n f x 为E 上的可积函数列，()()n f x f x →,a e 于E ，且()n E
f x dx K
常数，则()f x 可积。
6、设()f x 在E 上（L ）可积，()0f x ≥且()0E
f x dx =?，则()0f x =,a e 于E 。
7、设{()}n f x 为E 上的非负可积函数列，若()0n E
f x dx →?，则()0n f x ?。
实变函数期末考试卷A卷完整版
实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数 期末考试
黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11
（5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分)
实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）
试卷共8 页第 1 页
实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数： 试卷 共 8 页 第 2 页
()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系： ()f x = ， ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是： 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡ （非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为： ()E x dx ?= ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为： ()E f x dx = ?， 这个积分值可能落在区间 中，但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f - ， 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ；但只有当 时 才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为： ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式： ； 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论： 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论：
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
(20080619)实变函数期末复习指导(文本)
（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
聊城大学实变函数期末试题
《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是（ C D ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? （C ）1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（B ）。 （A ）1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ???
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数历年考试真题汇总
第 1 页 共 6 页 陇东学院2011—2012学年第一学期实变函数(A) 一．填空.（每空2分，共20分） 1给出自然数集+N 与整数集Z 之间的一一对应关系 . 2设B A ,是两集合，B A <是指 . 3?? ?????????????=≠==0,00,1sin ),(x x x y y x E ,在2 R 内求= E ,='E ， 4.设, ,(),[0,1]\. x x x P f x e x P ∈?=? ∈?其中P 是Cantor 集,则[] =?1,0)(dx x f ________. 5.设n E R ?,则称E 是L 可测的是指: . 6.设()sin f x x =,[0,2]x π∈,则()f x + = ; ()f x -= . 7.称)(x f 为可测集E 上的简单函数是指 8.设⑴mE <∞;⑵ {}()n f x 是 E 上一列几乎处处有限的可测函数;⑶ lim ()()n n f x f x →∞ =..a e 于E ,且()f x <∞..a e 于E .则0δ?>,E E δ??,使得 mE δδ<,而{}()n f x 在 上一致收敛于()f x . 二.选择（每题2分，共10分） 1.若A 是有限集或可数集,B 是不可数集,则以下不对的是（ ）. A .A B 是可数； B .A B 是不可数； C .A B c =； D .A B B = 2.设E 是任一可测集,则( )． A .E 是开集; B .0ε?>,存在开集G E ?,使得(\)m G E ε<; C .E 是闭集; D . E 是 F σ型集或 G δ型集. 3.下列关系式中成立的是（ ） ①()A B B A =\ ，②()A B B A = \，③()B A B A ''=' ， ④() B A B A =，⑤()B A B A =，其中B A ,是二集合. A .①② B .③④⑤ C .③⑤ D .①②③④⑤ 4. 设n E R ?,mE <+∞,{}()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x .则( ). A ．{}()n f x 在E 上处处收敛于()f x ; B ．存在{}()n f x 的子列{}()i n f x ,使得{} ()i n f x 在E 上一致收敛于()f x . C . {}()n f x 在E 上一致收敛于()f x ; D . {}()n f x 在 E 上依测度收敛于()f x ; 5.设q R E ?为可测集，{}()n f x 是E 上的一列非负可测函数，则（ ） A ??∞→∞ →≤E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim B ??∞→∞ →≥E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim C ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim D ??∞→∞ →=E n n n E n dx x f dx x f )(lim )(lim 三．判断题(每题2分，共10分) 1. 0mE =E ?是有限集或可数集. （ ） 2. 若开集1G 是开集2G 的真子集,则12mG mG < （ ） 3. 直线上的开集至多是可数多个互不相交的开区间的并 （ ） 4. 设()f x ,()g x 是可测集E 上的可测函数,则()()f x g x 也是E 上的可测函数 （ ） 5.可测函数)(x f 在E 上L 可积?)(x f 在E 上L 可积 （ ） 四．证明题(每题8分，共40分) 1.证明： 设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数,则a R ?∈,{} ()E x f x a =>是 试 卷 密 封 装 订 线 院 系 班 级 姓 名 学 号
实变函数期末复习指导
实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
实变函数测试题与答案
实变函数测试题 一,填空题 1. 设1,2n A n ??=????, 1,2n =L , 则lim n n A →∞ = 、 2. ()(),,a b -∞+∞:,因为存在两个集合之间的一一映射为 、 3. 设E 就是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ?≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合,则E '= , E ?= 、 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集、 5. 若(),αβ就是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , 、 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = 、 7. 若()n mE f x →()0f x ??=?? , 则说{}()n f x 在E 上 、 8. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 就 是E 的聚点、 9. 设{}()n f x 就是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 就是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有 , 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x 、
10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 、 二, 判断题、 正确的证明, 错误的举反例、 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <、 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 就是E 的外点、 3. 点集11,2,,E n ??=???? L L 的闭集、 4. 任意多个闭集的并集就是闭集、 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合、 三, 计算证明题 1、 证明:()()()A B C A B A C --=-U I 2、 设M 就是3R 空间中以有理点(即坐标都就是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集、 3、 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i =L 、根据题意, 若有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 就是可测集、 4. 设P 就是Cantor 集, ()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈? =? ∈-?? 、 求1 0(L)()f x dx ?、 5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x , 而在0P 的余
实变函数复习题
1.若E有界,则m*E<正无穷 2.可数点集的外测度为零 3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c 4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En 5.若m*E=0，则E可测。
6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0 7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B） 8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e
9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。 10.设是一列可测集，证明和都是可测集且
11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0 12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A） 13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则 定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。 设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。 次可数可加性证明
卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限
1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2) 《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7) 《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13) 《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18) 《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27) 《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30) 《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32) 《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36) 《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41) 《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47) 《实变函数》期末考试题（一） (57) 《实变函数》期末考试题（二） (63)
《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）