初一第6课时三角形(二)

三角形（二）

二、知识梳理

1．全等图形：能够__________的两个图形,叫做全等图形. 性质：全等图形的____________________.

2.全等三角形:___________________________________.

3.全等三角形的性质:(1) ,(2) ________. 符号语言：∵△ABC ≌△DEF

∴?????===_______________________________________

___________________

??

?

??===__________________________________________________________ 4.判定三角形全等的方法

(1)如图：△ABC 与△DEF 中 (2)如图：△ABC 与△DEF 中

∵?????===_______________________________________

___________________ ∵??

?

??===__________________________________________________________

∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ） (3)如图：△ABC 与△DEF 中 (4)如图：△ABC 与△DEF 中

∵?????===_______________________________________

___________________ ∵??

?

??===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ） 四、考点剖析

1、 全等三角形的性质

例1.如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD= ．

例2.如图所示，已知△ABC ≌△EFD ,且∠A =78°, ∠B =32°,BF =2cm ,求∠D 的度数与CD 的长

★例3.如图:△ABC ≌△DEC,CA 和CD ,CB 和CE 是对应边,∠ACD 和∠BCE 相等吗?为什么?

练习：

1.如图,Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ,下列结论中错误的是( ) A.△ABC ≌△DEF B.90DEF ∠= C.=AC DF D.EC CF =

2.如图:△ABC ≌△CDA ,AB 和CD 是对应边,则其他对应边为 , 对应角分别为 、 、 .

第1题 第2题 第3题

3.如图:△ABN ≌△ACM ,∠B 和∠C 是对应角,AB 和AC 是对应边,则其他对应边分别是 、 ,其他对应角分别是 、 .

4.已知△ABC ≌△DEF ,其中3,4,6===AB AC BC ,则△DEF 的最长边的长为 .

6.如图:△EFG ≌△NMH ,∠F 和∠M 是对应角.在△EFG 中,FG 是最长边. 在△NMH 中,MH 是最长边. 2.1, 1.1, 3.3===EF cm EH cm NH cm . (1)写出其他对应边及对应角. (2)求线段NM 及线段HG 的长度.

★7.如图,△ABC ≌△PEF ,试找出图中互相平行的线段,并说明理由.

2、全等三角形的判定

一、已知两边对应相等 思路1：找已知两边的夹角对应相等，利用“SAS ”探索.

例1（2005年湖北省宜昌市实验区）已知：如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，点D 、E 分别在AB 、AC 上．∠B 与∠C 相等吗？为什么？

思路2：找第三边对应相等，利用SSS 探索. 例2（2004年福州市）“三月三，放风筝”. 下图2是小明制作的风筝. 他根据DE = DF ,

EH = FH ，不用度量，就知道∠DEH =∠DFH. 请你用所学的知识给予证明.

E D C B A （图1）

二、已知两角对应相等

思路1：找已知两角的夹边对应相等，利用“ASA ” 探索.

例3（2005年盐城市）如图，已知，在△ABC 中，F 是AC 的中点，E 为AB 上一点，D 为EF 延长线上一点，∠A ＝∠ACD. CD 与AE 平行吗？说明理由.

思路2：找已知一角的对边相等，利用“AAS ” 探索. 例4如图4，∠A =∠D ，∠B =∠DEF ，BE = CF. 则AC = DE 吗？为什么？

三、已知一边及某一邻角对应相等

思路1：找已知角的另一邻边对应相等，利用“SAS ” 探索. 例5如图5，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，AD

= CB ，∠A =∠C ，AE = CF. 则∠B =∠D 吗？为什么？

思路2：找已知边的另一邻角对应相等，利用“ASA ” 探索. 例6如图6，AC 与BD 相交于点O ，OA = OC ， ∠A =∠C ，则OB = OD 吗？

思路3：找已知边的对角对应相等，利用“AAS ” 探索.

例7（2004年福建泉州市中考题）如图7，已知：AB = CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，

垂足分别为E 、F ，∠B =∠D ，则AF = CE 吗？为什么？

四、已知一边与其对角对应相等

思路：找另一角对应相等，利用“AAS ” 探索.

例8如图8，∠C =∠D ，AC = BD. 则△AOC ≌

△ BOD 吗？为什么？

A O

D

C

例9如图9， D F= CE ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ， 垂足为E 、F ，AE = BF. 则∠A =∠B 吗？为什么？

例

1、已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE ．求证：△ABE ≌△DCF

例2、已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。

例3、已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗？说明理由

★例4、已知:如图,AD 是BC 上的中线,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ． 练习：

1、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝（1）若以“SAS （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ；（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；

2、如图，已知∠CAB＝∠DB A ，要使△ABC≌△B AD ，只需增加的一个条件是 ；

A B C

D

F E A

B C

E

F

D F

E

D

C

B

A

图1 A

3、 如图，已知在ΔABC 中，∠C=90°，AD=AC ，DE ⊥AB 交BC 于E ，则由 可得ΔACE ≌ΔADE,若∠B=28°，则∠AEC= 度。

★4、已知：如图3，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足，DE BF =． 求证：（1）AF CE =；（2）AB CD ∥．

★★5、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？

五、直击中考

1.(2014?云南省)如图，在△ABC 和△ABD 中，AC 与BD 相交于点E ，AD =BC ，∠DAB =∠CBA ，求证：AC =B D ．

2.(2014?武汉)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =O D ． 求证：DC ∥A B ．

3.(2014?邵阳)如图，已知点A 、F 、E 、C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ． （1）从图中任找两组全等三角形； （2）从（1）中任选一组进行证明．

六、跟踪练习

A D E C

B F A

B

C E H

D A B

E O

B ′

C ′

D ′O ′A ′

O D C B A 图5

1、填空题：

(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A =∠A ′,∠B =∠B ′,∠C =70°，AB =10 cm,∠C ′= , A ′B ′=_____. (2) 如图1若OAD OBC △≌△，且6520O C ==，∠∠ ，则OAD =∠ (3)若△ABC ≌△DEF ，△DEF 的周长为32 cm ，DE =9 cm ，EF =12 cm ， 则AB =_____ cm ，BC =_____ cm,AC =_____ cm.

(4)若△ABC ≌△DEF ，AB =DE ，AC =DF ，∠A =80°，BC =9 cm,则∠D =_____， ∠D 的对边是_____=_____ cm. (5)如图2，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，BE=1.5cm ，∠A=25°，∠B=48°； 那么DE= cm ，EC= cm ，∠C= 度；∠D= 度；

(6)如图3在ΔABC 中，AD=AE ，BD=EC ，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE= 。 (7)如图4，AB=AC ，BD=DC ，由 可得ΔABD ≌ΔACD.

2.选择题

(1)用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是（ ）

A ．（S ．S ．S ．）

B ．（S ．A ．S ．）

C ．（A ．S ．A ．）

D ．（A ．A ．S ．）

(2)下列各组图形中，一定全等的是( ) A.各有一个角是45°的两个等腰三角形 B.两个等边三角形

C.各有一个角是40°，腰长都为3 cm 的两个等腰三角形

D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形

(3)如图6所示,AB=CD,AC=BD,则下列说法正确的是( )

A.可用“SAS ”证△AOB ≌△DOC

B.可用“SAS ”证△ABC ≌△DCB

C.可用“SSS ”证△AOB ≌△DOC

D.可用“SSS ”证△ABC ≌△DCB

★(4)如图7,已知AB ∥CF,E 为DF 的中点,若AB=9cm,CF=5cm,则BD 等于( )

A.2cm

B.3cm

C.4cm

D.5cm

(图6) (图7) (图8)

★★(5)如图8,△ABC 是等边三角形, 若在它边上的一点与这边所对的角的顶点的连线恰好将△ABC 分成两个全等三角形,则这样的点共有( )

A.1个

B.3个

C.4个

D.9个

3、解答题

(1)△ABE ≌△ACD ，AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，∠A =40o，∠B =30o，求∠ADC 的大小。

(2)如图,△AEC ≌△ADB ,点E 和点D 为对应点.试说明(1)BE =CD ；(2)∠DCO =∠EBO .

(3)已知，如图AB ⊥AC ,CD ⊥AC ，BE =DE ，且BE ⊥ED ，则： ①求证：△AEB ≌△CDE ；

②试说明：AC =AB ＋CD 。

★(4)已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，问AB ∥CD 吗？说明理由。

★★(5)已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？

★★(6)已知AB =AC ，AD =AE ，∠1=∠2，问CE =BD 吗？

七、当堂检测

1、如下图已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是

A C

D

B

E F G

1

2 A D E B C 1 2

A B C D E

a

b

c

C

B

A

72?

50?

58?

a

c

c

a

a

丙

乙

甲

50?

50?72?50?

A ．甲和乙

B ．乙和丙

C ．只有乙

D ．只有丙 2．下列命题：（1）只有两个三角形才能完全重合；（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；（3）两个正方形一定是全等形；（4）边数相同的图形一定能互相重合，其中错误命题的个数是（ ） 7.已知，AC ⊥C

E ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900

，问BD =AB +ED 吗？

8.已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC ∥DF ．

★9.AC=BC,AD=BD,M 、N 分别是AC,BC 的中点，求证DM=DN.

5. 如图，∠A ,∠D 为直角，AC 与DB 相交于点E ，BE 与EC 行说明？

A B C D

E