幂函数、零点与函数的应用.板块二.函数的零点.学生版

题型一：函数的零点

【例1】 若1

()x f x x

-=

，则方程(4)f x x =的根是( ) A ．

12

B ．－12

C ．2

D ．－2

【例2】 若函数1y ax =+在(0,1)内恰有一解，则实数a 的取值范围是（ ）.

A. 1a >-

B. 1a <-

C. 1a >

D. 1a <

【例3】 已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值

范围是 .

【例4】 函数()23x f x =-的零点所在区间为（ ）

A. （-1，0）

B. （0，1）

C. （1，2）

D. （2，3）

【例5】 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.

A. (1, 2)

B. (2 , 3)

C. (3, 4)

D. (4, 5)

【例6】 函数()2log 21f x x x =+-的零点必落在区间 （ ）

A.??

? ??41,81

B.??

?

??21,41

C.??

?

??1,21

D.(1,2)

【例7】 函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为 （ ） .A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2）

D ．（1，e ）

【例8】

若函数()()01x

f x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 .

【例9】 利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：

（1）3()21f x x x =--+； （2）1()32x f x e x +=++.

【例10】 已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.

典例分析

板块二.函数的零点

【例11】 画出函数3()231f x x x =-+的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，

(0.8，1.5)内有无零点，并判断零点的个数.

【例12】 求函数3222y x x x =--+的零点，并画出它的图象.

【例13】 函数()y f x =的图象是在R 上连续不断的曲线，且(1)(2)0f f >，则()y f x =在

区间[1,2]上（ ）. A. 没有零点

B. 有2个零点

C. 零点个数为偶数

D. 零点个数为k ，k N ∈

【例14】 已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：

给出下列四个命题：

①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是 ．（将所有正确的命题序号填在横线上）.

【例15】 若函数()f x 的零点与()422x

g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则

()f x 可以是

A. ()41f x x =-

B. ()2(1)f x x =-

C. ()1x f x e =-

D. ()1ln 2

f x x ??=- ?

?

?

题型二：二次函数的零点与方程

函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、讨论方程的实

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系

高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=

专题分段函数与函数零点答案

11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)

函数与函数的零点知识点总结

函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域

函数零点的题型总结

函数零点的题型总结 例题及解析 考点一函数零点存在性定理的应用 【例1】已知函数f(x)=(1 2 )x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是( ) (A)(0,1 3) (B)(1 3 ,1 2 ) (C)(1 2,2 3 ) (D)(2 3 ,1) 解析:f(0)=1>0,f(1 3)=(1 2 )13-(1 3 )13>0, F(1 2)=(1 2 )12-(1 2 )13<0,f(1 3 )f(1 2 )<0, 所以函数f(x)在区间(1 3,1 2 )内必有零点,选B. 【跟踪训练1】已知函数f(x)=2 x -log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 解析:由题意,函数f(x)=2 x -log3x为单调递减函数, 且f(2)= 2 2-log32=1-log32>0,f(3)= 2 3 -log33=-1 3 <0, 所以f(2)·f(3)<0, 所以函数f(x)=2 x -log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.

【教师备用巩固训练1】设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( ) (A)[0,1] (B)[-1,0] (C)[0,2] (D)[-1,1] 解析:f(1)=ln 2>0, 当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D; 当a=2时,f(1 2)=ln 3 2 -1 2 <0,所以f(x)在(1 2 ,1)上至少有一个零点,舍 去C.因此选A. 考点二函数零点的个数 考查角度1:由函数解析式确定零点个数 【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( ) (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知f(x)=2x x +x-2 x ,则y=f(x)的零点个数是( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:(1)由题意可知x=0或cos(x2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以 x2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x2-2x-3)=0时,x2-2x-3=kπ+π 2 ,k ∈Z,在相应的范围内,k只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B. 解析:(2)令2x x +x-2 x =0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由 图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.

高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：

导数在函数零点中的应用

方程根的个数 图像法 1. 已知函数?（x ）=2 -x e x （1）求?（x ）的单调区间 增),3(+∞减)3,2()2,( -∞ （2）判断关于x 的方程e x =k(x-2)(k ∈R)的解的情况 2已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 利用单调性 1已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式)(x f ＞x 2的解集为（-1，3）。 （1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式 34)(2++-=x x x f （2）若函数)()(x xf x g =在区间?? ? ??∞-3,a 内单调递减，求a 的取值范围 (]1,-∞- （3）当a =-1时，证明：方程12)(3 -=x x f 仅有一个实数根 2、已知a ＞0，l x n x ax x f ),1(112)(2+++-=是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线 （1）求l 的方程 1+-=x y （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值 2 1=a （3）证明：对任意的),(*N ∈=n n a 函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 的单调递减区 间的长度的取值范围（区间[]21,x x 的长度=12x x -） (] 2,1 分离参数求值域 1. 已知函数=)(x f log 4)()14(R x kx x ∈++是偶函数 （1）求k 的值 2 1-=k （2）若方程0)(=-m x f 有解，求m 的取值范围 m ≥ 21

函数零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾

1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根

函数的零点及应用

函数的零点及应用 一、要点扫描 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根． 二、典型例题剖析 1．求函数的零点 例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点． 解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1， ∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1. 评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2 x ＋1 (a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数． 解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2 x ＋1 ，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x ) 与f 2(x )的交点的横坐标．

函数的零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念

对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点.

函数应用、零点、二分法知识点和练习

一、方程的根及函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象及x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象及x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象及x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象及x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象及x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是 函数()f x 零点的个数。即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区

函数的应用函数的零点

函数的应用函数的零点 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

《函数的零点》教学设计 【教学目标】 1、学生能够结合具体二次方程，说出方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点横坐标三者的关系； 2、学生能利用函数图象和性质判断二次函数的零点个数，并会求二次函数的零点； 3、通过对具体例题的讨论，学生能总结出函数零点存在性定理，能说出图象连续不断的意义及作用；能举例说明定理的逆命题不成立； 4、学生能运用零点存在性定理证明函数在某区间上存在零点； 5、学生初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．【课堂实录】 一、创设情境，引入新课 1.你会解方程0 3 2 2= -x x吗方法是什么 - 学生众：会。可以用因式分解，配方，求根公式…… 2.你会解方程x lg吗你能确定上述方程的解的个数吗 =3 x- 学生众：（第一个问号）不会。 学生1：可以作函数x y- =3的图象，两个函数交点的横坐标就 =和x y lg 是方程x lg的根，由图可知，两个函数有且只有一个交点，所以方程的=3 x- 解有一个。 教师：这位同学说的非常完美。我们在现实问题的解决中经常会遇到无法用公式法等求解的方程，这位同学将方程的问题转化为函数来解决，这正是本

章要研究的一个重要思想与方法——函数与方程。为了理清两者的关系，我们从简单的一元二次方程和一元二次函数的关系出发进行研究。 二、问题引动，明晰概念 问题1：方程x2-2x-3=0与函数y= x2-2x-3有怎样的联系呢？ 学生2：方程x2-2x-3=0的根就是函数y= x2-2x-3的图象与x轴交点的横坐标，也就是函数y= x2-2x-3中令y=0时的x的解。 教师：很好。我们把函数y= x2-2x-3中使y=0时的x的解称为函数y= x2-2x-3的零点。“零点”是一个新的概念，但它的本质我们并不陌生。（在黑板上板书一元二次函数零点的定义，及零点、交点横坐标、方程的根三者之间的等价关系） 例1求证：二次函数y=x2-2x-1有两个不同的零点。 学生3：（略） 问题2：你能将这个特殊的二次函数推广到一般的二次函数来研究它的零点吗？ 学生4：用对应方程的Δ的正负判断零点的 个数。Δ>0，函数有两个零点；Δ=0，函数有一 个零点；Δ<0，函数无零点。 学生一起归纳：二次函数零点的判定（填写右表） 问题3：你能将零点的概念推广到一般函数吗？ 学生归纳定义：一般地，我们把使函数y＝f(x) 的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点。

新高一数学第16讲-函数的零点与应用问题

主题函数的零点与应用问题 教学内容 1. 理解函数零点的概念，会求函数的零点； 2. 掌握常见类型函数的应用。 问题：已知二次函数6 2- - =x x y ①求0 = y时x的值. ②作出函数的简图，并观察方程0 6 2= - -x x的根与函数图象与x轴交点之间的关系. 1.零点的定义：一般地，如果函数) (x f y=在实数a处的值等于零，即0 ) (= a f，则a叫做这个函数的零点； 2.函数零点的求法：求函数) (x f y=的零点就是求相应的方程0 ) (= x f的根，一般可以 借助求根公式或因式分解或二分法等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点. 思考：如何判断函数) (x f y=在区间] , [b a上是否存在零点. 问题：完成下表，回答问题： 方程 3 2 2= - -x x 1 2 2= + -x x0 3 2 2= + -x x 函数 3 2 2- - =x x y 1 2 2+ - =x x y3 2 2+ - =x x y 图像 x y －2 3 x y －1 3 x y 1 x y

方程的根 11-=x ，32=x 121==x x 无实根 函数零点 3. 函数)(x f y =在区间],[b a 上存在零点的条件：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图像是一条不间断的曲线，且0)()(b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(

函数的性质及其零点应用问题

函数的性质及零点应用问题 1. 已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当X ≥0时，f （x ）=3x +m （m 为常数），则f （-log 35）的值为_________ 2. 已知偶函数f （x ）在 [ 0,+∞）上单调递减，f （2）= 0 ，若f （x -1）> 0，则x 的取值范围是________ 3. 函数f （x ）是周期为4的偶函数，当x ∈[ 0 ，2 ]时，f （x ）=x -1，则不等式xf （x ）> 0在[-1，3]上的解集为______ 4. 设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[-1，1）时，f （x ）= -4x 2+2 （-1≤x ＜0），f （x ） = x （0≤x ＜1），则f （3/2）的值为_____ 5. 已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，|x 2-2x+2 1|，若函数y=f （x ）-a 在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围______ 6. 已知函数f （x ）=|lnx|，g （x ）=0 （0＜x ≤1）；g （x ）= |x 2-4|-2 （x ＞1），则方程|f （x ）+g （x ）| = 1 实根的个数为______ 7. 已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则使得f （x ）＞f （2x -1）成立的x 的取值范围是________ 8. 已知函数f （x ）为定义在[2-a ，3]上的偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f （-m 2-5a ）＞f （-m 2+2m -2），则实数m 的取值范围是_________ 9. 已知函数{x f 0 x ,3)42(20x 1x loga =+-+≥+）（＜，），（a x a x （a ＞0且a ≠1），在R 上单调递减，且方程|f （x ） |=2又两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____

利用导数研究函数零点(完美总结)

利用导数研究含参函数零点问题 利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法： （1）利用导数研究函数 f （ x ）的最（极）值，转化为函数 f （x ） 图像与 x 轴的交点问题，主 要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）分离参变量， 即由 f （x ） 0分离参变量， 得 a g （x ），研究 y a 与 y g （x ）图像交 点问题。 x 1 例 1．已知函数 f x a x e x 1 lna （ a 0且 a 1）， e 为自然对数的底数． a （Ⅰ）当 a e 时，求函数 y f x 在区间 x 0,2 上的最大值； （Ⅱ）若函数 f x 只有一个零点，求 a 的值． Ⅰ）求函数 f x 的单调区间； Ⅱ）当 m 0 时，讨论函数 f x 与 g x 图像的交点个数． 例 2.（2014 年湖北卷 ）已知函数 f x lnx 1ax 2（ a R ） 变 1：设函数 1 x 2 mln x ， 2 gx x 2 m 1 x ．

2 （1）求函数f x 的单调区间； （2）讨论函数f x 在区间1,e2上零点的个数. 变2：（2017 年全国卷1）已知函数f （x） a e2x（a 2） e x x （1）讨论f （ x）的单调性； （2）若f （x）有两个零点，求 a 的取值范围.

练习1．( 2018 年全国卷2)已知函数 f (x) e x ax2． (1)若 a 1 ，证明：当x≥0时， f (x)≥1； (2)若f(x)在(0, )只有一个零点，求a． 1 2.(2018 年福建联考)已知函数f (x) (x 1)e x ax2 2 ( 1)讨论f ( x) 的单调性； ( 2)若f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围.

(完整版)数形结合法在函数零点问题中的应用

数形结合法在函数零点问题中的应用 高三数学组 2017年3月15日 【教学目标】函数的零点一直是近年来全国各地高考卷上的热点，因其综合性强，让很多同学感到困难。本文通过对高考试卷中有关零点问题的研究，来说明如何将数形结合思想运用于函数零点的问题中，使零点问题变得直观形象，从而有效地将问题解决。 【教学思想、方法】数形结合分类讨论转化与化归函数与方程 【考向洞察】 1、针对题型 (1) 确定零点的大致范围，多出现在选择题中； (2) 确定零点的个数问题，多出现在选择题中； (3) 利用已知零点的个数求参数的范围，多出现在选择题、填空题、解答题中均有可能出现。 2、解决方案 (1) 直接画出函数图像，观察图像得出结论。 (2) 不能直接画出函数图像的，可以等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数或要求的参数范围。 【例题讲解】 例1、设函数 1 ()ln 3 f x x x =-，则函数() y f x =（ D ） A. 在区间 1 (,1) e ，(1,)e内均有零点 B. 在区间 1 (,1) e ，(1,)e内均无零点 C. 在区间 1 (,1) e 内有零点，(1,)e内无零点 D. 在区间 1 (,1) e 内无零点，(1,)e内有零点

解1：113'()33x f x x x -=-=，()f x 在1(,)e e 单调递减，11()103f e e =+>，1(1)03f =>，()103e f e =-<，由零点存在定理知，区间1(,1)e 内无零点，(1,)e 内有零点。 解2：令()0f x =，得1ln 3x x =，作出函数13 y x =和ln y x =的图象，如右图，显然在区间1(,1)e 内无零点，(1,)e 内有零点。 例2、设1()2,0()222,0 x x f x x x ?-≤?=??->?，则()y f x x =-的零点个数是__2____。 解：作出函数()y f x =和y x =的图象，如右图，由图可知直线 y x =与函数()f x 的图象有两个交点，所以()y f x x =-有2个零点。 例3、已知函数2,0()ln(1),0 x ax x f x x x ?+≤=?+>?，()2()F x f x x =-有2个零点，则实数a 的 取值范围是_______________。1(,]2 -∞ 解1： 0x >时，()2()2ln(1)F x f x x x x =-=+-，则21'()111x F x x x -=-=++ ∴当01x <<，()F x 单调递增；当1x >，()F x 单调递减； 而max (0)0,()(1)0F F x F ==>，(4)2ln540F =-<，此时有1个零点； 0x ≤时，()F x ，只有1个零点 ，则222x ax x +=的根为0或正数， 由22(21)0x a x +-=解得1202a x x -==或，120a ∴-≥，解得12 a ≤。 解2：令()0F x =，得()2x f x = ，作出()y f x =和2 x y =的图象 ∴当0x <时，22x x ax +>恒成立，12a x ∴<-，12a ∴≤

函数零点的综合应用

高中数学 函数零点的综合应用 编稿老师 王东 一校 张小雯 二校 黄楠 审核 孙溢 【考点精讲】 二次函数零点分布：设)0(,)(2≠++=a c bx ax x f （a ）二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21,x x 满足21x r x <>12?二次函数 )0(,)(2≠++=a c bx ax x f 两个零点21,x x 满足r x x >>12 ???????>>->-=??0 )(2042r af r a b ac b （c ）

（d ）二次方程)0a (0c bx ax 2 ≠=++的两个根满足q x p x <<<21?函数 )0a (c bx ax )x (f 2≠++=的零点满足q x p x <<<21? ? ?>

高考复习专题函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 222 3+--=x x x y 的零点. [解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程 02223=+--x x x 的根 [解析]令 32 220x x x --+=，∴2 (2)(2)0x x x ---= ∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴112x x x =-==或或 即函数222 3 +--=x x x y 的零点为-1，1，2。 [反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。 题型2：确定函数零点的个数。 [例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数. [解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增， 又有(1)(4)0f f ?<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。 方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 [反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法： ①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。 题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围 [例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数 ()a x ax x f --+=3222 ,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 [解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2 x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠. 令 ()2 48382440 a a a a ?=++=++=, 解得 a = ①当 a = 时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=?-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。 ③当 () y f x =在[ ] 1,1-上有两个零点时, 则 ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<-??-<- 或 32a --≤ 。 [反思归纳]①二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，也是高 考热点，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键. ②二次函数2()f x ax bx c =++的图像形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据。 考点3 根的分布问题 [例5] 已知函数2()(3)1f x mx m x =+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围 [解题思路]由于二次函数的图象可能与x 轴有两个不同的交点，应分情况讨论

函数零点性质的应用

函数零点性质的应用 函数零点的性质不仅体现了函数与方程的紧密联系，而且有着广泛的应用． 应用一：判断方程是否存在实根 例1 判断方程3210x x -+=在区间[1 0]-，内有没有实根，并说明理由． 解析：设32()1f x x x =-+，则()f x 的图象是一条连续曲线． ∵32(1)(1)(1)110f -=---+=-<，32(0)00110f =-+=>，(1) (0)0f f -<·． ∴()f x 在区间[1 0]-，内有零点，即方程3210x x -+=在[10]-，内有实根． 点评：要判断方程()0f x =是否存在实根，若无法直接求出根可判断对应的连续函数()y f x =的图象是否与x 轴有交点，即只要看能否找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可． 应用二：求函数的零点（即方程的根）的个数 例2 设3()f x x bx c =++是[11]-，上的增函数，且11022f f ????-< ? ??? ?? ·，则方程()0f x =在 [11]-，内（ ） A ．可能有3个实数根 B ．可能有2个实数根 C ．有惟一的实数根 D ．没有实数根 解析：由11022f f ????-< ? ?????·，知方程()0f x =在1122??-???? ，，内有实数根，而()f x 在[11]-，上递增，故102f ??-< ???，102f ??> ??? ，所以方程()0f x =在[11]-，内只有惟一实数根，故选（C ）． 点评：在区间[]a b ，上单调且图象连续的函数()y f x =，若()()0f a f b <· ，则函数()y f x =在()a b ，内有惟一的零点． 应用三：求参数的取值范围 例3 已知函数()24f x mx =+，若在[21]-， 上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．542??-???? ， B ．(][)21--+ ，，∞∞ C ．[1 2]-， D ．(21)-， 解析：∵()f x 在[21]-，上存在0x ，使0()0f x =，则(2)(1)0f f -·≤， ∴(44)(24)0m m -++≤，解得2m -≤或1m ≥． 故答案为（B ）． 点评：一次函数具有性质：设在给定区间[]a b ，上的一次函数()y f x =，则①()f x 恒大于零()0f a ?>且()0f b >；②()f x 恒小于零()0f a ?<且()0f b <；③()f x 恒正或恒负()()0f a f b ?>·；④()f x 有正有负()()0f a f b ?<·． 应用四：解决实际应用问题 例4 一张四条腿等长的方桌放在不平的地面上，是否总有办法使四条腿同时着地？ 解析：如右图，以A B C D ，，，分别表示方桌的四条腿的终端，则ABCD 是一个正方形，

第19讲 导数的应用——利用导数研究函数零点问题(学生版)

第19讲 导数的应用——利用导数研究函数零点问题 思维导图 知识梳理 1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0. 2.已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x )中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. 题型归纳题型1 讨论函数的零点个数 【例1-1】（2020?漳州三模）已知函数()1sin x f x e ax x =--+． （1）当2a =时，证明：()0f x ； （2）当1a 时，讨论函数()f x 的零点个数．

【跟踪训练1-1】（2020?宜宾模拟）函数3214()2333 f x x x x =+++的零点个数为 ． 【跟踪训练1-2】（2020?西安二模）已知函数()(x f x e kx m k =--、m 为实数，e 为自然对数的底数，2.71828)e ≈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当2k =，1m =时，判断函数()f x 零点的个数并证明． 【名师指导】 根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法：一种是利用单调性与零点存在性定理求解，另一种是化原函数为两个函数，利用两个函数图象的交点来求解 题型2 由函数零点的个数求参数范围 【例2-1】（2020?新课标Ⅰ）已知函数()(2)x f x e a x =-+． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【跟踪训练2-1】（2020?广东二模）已知函数21()cos 1()2 f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(-∞，0][1，)+∞ C ．(-∞，1][1，)+∞ D ．(,0)[1-∞，)+∞