分数指数幂和无理数指数幂(导学案)

分数指数幂和无理数指数幂（导学案）学习目标

1.理解规定分数指数幂的意义

2.学会根式与分数指数幂之间的相互转化

3.理解有理数指数幂的含义及其运算性质

4.了解无理数指数幂的意义

一课前复习

1什么叫a的n次方根？

2.设，则,,的含义分别如何？

3.整数指数幂有哪些运算性质？

4. ,有意义吗？

二自主学习

1 设a>0，，，，分别等于什么？

2观察上述结论，你能总结出什么规律？

3按照上述规律,根式，, 分别可写成什么形式？

4反过来，表示一个什么数？，分别表示什么根式？

5你认为如何规定(a>0,m,n∈N，且n＞1)的含义？

三合作探究

6 怎样理解零的分数指数幂的意义？

7 ，，都有意义吗？当时，，何时无意义？

8 我们知道＝1．414 21356…,那么的大小如何确定？

四例题讲解

例1 求下列各式的值（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

例2 化简下列各式的值（1）

（2）

（3）

（4）(a)

五检测反馈

（1）

（2）

六小结

1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂.

2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再根据运算性质进行计算，计算结果一般用分数指数幂表示.

七作业

P54练习：2，3.

P59习题2.1A组：2.

分数指数幂教案

分数指数幂 一、 教学目标 1、 知识与技能目标 （1） 掌握分数指数幂的含义； （2） 掌握分数指数幂与根式之间的互化； （3） 掌握分数指数幂的运算性质. 2、 过程与方法目标 通过引导学生观察、比较、归纳得到分数指数幂的含义，并提高学生观察问题、解决问题的能力. 3、 情感态度与价值观 培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透“转化”的数学思想；以及对“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂”这一知识体系的不断扩充和完善的过程的学习，增强学生对数学本质的认识. 二、 教学重难点 1、 重点：分数指数幂的含义理解及其运算性质； 2、 难点：分数指数幂与根式之间的互化. 三、 教学方法：启发式教学法 四、 教学过程 1、 复习引入 (1) n 次方根 一般地，如果* (,1)n x a n N n =∈>，那么x 叫做a 的n 次方根. 练习：①9的平方根为 ； ②16的四次方根为 ； ③8的立方根为 ； ④—32的五次方根为 . (2)n 次根式 * ,1)n N n ∈>的式子叫做a 的n 次根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被 开方数.其中n a =；当n a =；当n ||a =.

练习：①4 = ；3= ；5= ； = = = . 2、 新课内容 2 2==，1025 22=105 2=； 5 3==，1553 33=153 3=； 3 a ==，123 4 a a =124 a =.（0a >） 通过计算并观察能得到什么结论 m n a =其中0a >且*,1n N n ∈>. (1) 引出正分数指数幂的含义： 规定：m n a =*,,1n m N n ∈>， ①当n 为奇数时，a R ∈，② 当n 为偶数时，a ≥0. 练习：47a = ；35(3)-= ；832= ；34 4= ； 问：正数a 的负分数指数幂该怎么处理呢即m n a - =. 回忆：初中学过的负整数指数幂1 (0)m m a a a -= ≠. 类似的，正数a 的的负分数指数幂的含义就可以得到解释了. （2）引出负分数指数幂的含义 规定：0m n a a -= ≠） . 练习：32 a - = ；1 2 2-= ；23 (3)--= ； 23 (3) --= ； （3）知识巩固 例1：将下列各根式写成分数指数幂的形式 分析：要把握好形式互化过程中字母的位置关系，按照公式，先正确找出公式的 m 和n ,再逆向进行形式的转化.

2第二课时4.1.1(2)分数指数幂教学设计教案

课题 4.1.1.（2）分数指数幂课型新授第几 课时 2 教材分析 本节内容是在前面n次根式的基础上讨论和研究。分数上的指数幂的学习则在n次根式的学习的的基础上进行的拓展和延伸，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解根式这一基本概念，另一方面它又为接下来实数指数幂的运算法则的学习作必要的准备。 学情分析 1、现阶段的学生的运算能力较差。 2、学生在新知识的探究问题的能力稍有欠缺，合作交流的意识等方面发展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。 课时教学目标 1.理解分数指数幂的概念． 2.会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑思维能力． 3.培养学生用事物之间普遍联系的观点看问题． 教学重点与难点教学重点： 分数指数幂的概念以及分数指数幂的运算性质 教学难点： 根式、分数指数幂进行互化． 教学 方法 与 手段 问题解决教学法

板书设计 4.1.1.（2）分数指数幂 1．整数指数幂的概念． a n ＝a ×a ×a ×…×a (n 个a 连乘)； a 0＝1(a ≠0)；a －n ＝1 a n (a ≠0，n ∈N +)．例1： 一、根式的性质 (1)(n a )n ＝a ．例2： (2)当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝{a （a ≥0） －a （a ＜0）.小结： 二、分数指数幂a 1 n ＝n a (a ＞0)； a m n ＝n a m ＝(n a )m (a ＞0，m ，n ∈N +，且m n 为既约分数)． a －m n ＝1 a m n (a ＞0，m ，n ∈N +，且m n 为既约分数)． 作业设计 教材P74，练习4.1.1；1、2、3题 教学反思 本节课的是为让学生突破所学的根式，学会将一般的根式通过一定的方式方法转化为常用的分数指数幂的形式，从而能够达到用辩证的思维去看待不同的问题的目的，最终将有理指数幂推广到实数指数幂的形式。

2019-2020年高中数学 3.2.2分数指数幂教案 北师大必修1

2019-2020年高中数学 3.2.2分数指数幂教案 北师大必修1 一、教学目标： 1、知识与技能（1） 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．（2） 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2、 过程与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质．教学难点：分数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）、新课导入 前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如,若已知,你能表示出吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为． （二）新知探究 （Ⅰ）分数指数幂 1．的次幂:一般地,给定正实数,对于给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作．例如：,则；,则． 由于,我们也可以记作 2．正分数指数幂:一般地,给定正实数,对于任意给定的正整数,存在唯一的正实数,使得,我们把叫做的次幂,记作,它就是正分数指数幂．例如：,则；,则等． 说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式,即,例如：； 例1．把下列各式中的写成正分数指数幂的形式： () 5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N +===π∈ 解：（1）；（2）；（3） 练习1：把下列各式中的写成正分数指数幂的形式：（1）；（2） 例2：计算：（1）；（2） 解：（1）因为,所以=3；（2）因为,所以=8 练习：计算（1）；（2） 请同学们回顾负整数指数幂的定义,能否类似地引入负分数指数幂呢? 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定 m n m n 1a (a 0,m,n N ,n 1) a - += >∈>; 说明:（1）．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （2）规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数推广到有理指数．当我们把正整数指数幂推广到有理指数幂或时,对底数应有所限制,即． （3）对于每一个有理数我们都定义了一个有理指数与它对应,这样就可以把整数指数函数扩展到有理指数函数,一个定义在有理数集上的指数函数． 例3．把下列各式中的写为负分数指数幂的形式： () 5455m 2n (1)b 32;(2)b 3;(3)b m,n N ---+===π∈ 解：（1）；（2）；（3） 例4．计算：（1）；（2）

高中数学苏教版必修一分数指数幂.doc

第 3 章指数函数、对数函数和幂函数 §3.1指数函数 3．1.1分数指数幂(一) 一、基础过关 4 1. － 2 4运算的结果是 ________． 2．若 2< a<3，化简2－ a 2＋4 3－ a 4的结果是________． 3．若 a＋ (a－ 2)0有意义，则 a 的取值范围是 ______．4．已知 xy≠0 且4x2y2＝－ 2xy，则有 ________． ①xy<0；② xy>0；③ x>0， y>0；④ x<0， y<0. 5．化简π－ 4 2＋3 π－ 4 3的结果为 ________． 6．若 x<0，则 |x|－ x2＋ x2 ＝ ________. |x| 7．写出使下列各式成立的x 的取值范围． (1)31 3＝ 1 ； x－3x－ 3 (2)x－ 5 x2－25 ＝(5－ x) x＋ 5. 8．计算下列各式的值： (1)n 3－πn(n>1 ，且 n∈ N * )； (2)2n x－y 2n(n>1，且 n∈ N* )； (3) 5＋ 2 6＋7－4 3－6－4 2. 二、能力提升 3 4 3 5－ 4 3的值为 ______． 9. －6 3＋5－4 4＋ 10．当 2－ x有意义时，化简x2－ 4x＋4－x2－ 6x＋9的结果是 ________． 11．已知 a∈ R，n∈N *，给出下列四个式子：① 6 － 2 2 n；② 5 a2；③ 6 －3 2n＋1；④ 9 －a4， 其中没有意义的是________． (填序号 )

12．已知 a1， n∈ N*，化简n a－ b n＋ n a＋ b n. 三、探究与拓展 2x－xy 13．若 x>0，y>0 ，且 x－xy－2y＝ 0，求的值．

分数指数幂教学设计

分数指数幂 一、教学目标 〖知识与技能〗 （1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教学情景设计 1、复习讨论 （1）根式的相关概念 （2）整数指数幂：a a a a n ???= 运算性质：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。 2、问题情境设疑 问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2 1 (t P =，考古学家 根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。 例如： 当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为 21，2)21(，3 )2 1(，…… 当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000 )21(， 573010000 )2 1 (，5730 100000 )21(。 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322?？ 分析：6623626 3332222222=?=?=?，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单

分数指数幂教案

§ 12.7 分数指数幂（1） 教学目标： 1. 理解分数指数幂的意义.

3 5 5 4 4) 2 1 33 通过 3 2 2 3 ， 4 33 34， 33 3 2的转 化， 讨论方根与幂的形式如何互化？(学生讨论) 二、学习新课 1．分数指数幂概念 师：把指数的取值范围扩大到分数，我们规定 m n a m a n (a 0) (其中 m 、 n 为整数， n 1). m 1n a n (a 0) nm a 1 【说明】在说明 a p 1p 同样适用后，导出后 a p 一个负分数指数幂 . mm 上面规定中的 a n 和a n 叫做分数指数幂 ，a 是 底数. 揭示课题： 12.7 分数指数幂 [ 说明] 指数的取值范围扩大到有理数后， 方根就 可以表示为幂的形式， 开方运算可以转化为乘方 形式的运算 . 2. 有理数指数幂 整数指数幂和分数指数幂统称 有理数指数幂 . 3．例题分析 例1 把下列方根化为幂的形式： 1) 3 5； 2) 3) 4) 每一题问： 如何转化？谁做分数指数幂中指数的 分母？ 预设回答：被开方数中 的底数转化为了幂的底 数，被开方数中的指数 转化为幂的指数中的分 子，根指数转化为幂的 指数中的分母 . 预设： 解：(1) 3 5 1 53 3) 453 1 2 53 3 1 4 9 94 通过观察得出 方根与幂的形 式的转化， 从而 得出分数指数 幂的意义 . 对比分析方根 与幂的互化过 程，体会两者间 的联系. 体 会 从特殊到一般 的研究方法 . 帮助学生理解 分数指数幂的 概 念，学生能够 直接应用概念 . 1 若 学生写 9 4 也 行.

初一数学实数运算与分数指数幂

课 题 实数的运算与分数指数幂 教学目标 1、掌握分数指数幂的运算公式和性质； 2、同底数幂的运算法则，幂的乘方以及积的乘方； 3、掌握实数的混合运算. 教学内容 一、课前知识检测 1．4的平方根是（ ） Ａ．２ Ｂ．2- Ｃ．2± Ｄ．4 2．7-的立方根用符号表示是（ ） Ａ．3 7-± Ｂ．37 Ｃ．37- Ｄ．3 7-- 3．下列说法正确的是（ ） Ａ．()483 2 -=-- Ｂ． 6427 的立方根是4 3 ± Ｃ．125-没有立方根 Ｄ．立方根等于它本身的数是0和1 4．27-的立方根与9的平方根的和是（ ） Ａ．0 Ｂ．6 Ｃ．6- Ｄ．0或6- 5．如果 ( ) 012552 =-x ，那么x 等于（ ） Ａ．5± Ｂ．5 Ｃ．25 Ｄ．25- 6．在实数1.414，23， 3030030003 .0,3 41 ，4π -，3 216，2 131?? ? ??--中，无理数的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 7．下列说法：①无理数包括正无理数、零、负无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③无理数是无限不循环小数； ④有理数、无理数统称实数。其中正确说法得我个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4。 二、填空题 8．16的平方根是 ，算术平方根是 。 9．一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 。 10．若53-=x ，则=x ，若，52 =x 则=x 11．满足73 x -的所有整数x 是 。 12．用“ ”“≤”或“＝”连接 1_______3 16, 6______27, 43_____34+。 13．当x 时，x 32-有意义；当x 时，3 52+x 有意义。 14．数轴上的点与 一一对应。 15．将坐标平面上的点( ) 2,5-A 向右平移2个单位长度，再向上平移 3个单位长度后，A 点的坐标为 。

人教版数学高中必修一教材《指数与指数幂的运算》教学设计

2.1.1 指数与指数幂的运算（二） （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解分数指数幂的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质； （4）培养学生观察分析、抽象等的能力 2．过程与方法 通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （3）让学生体验数学的简洁美和统一美. （二）教学重点、难点 1．教学重点：（1）分数指数幂的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂概念的理解 （三）教学方法 发现教学法 1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特 殊情形归纳出一般规律. 2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发 现规律，并由特殊推广到一般的研究方法. （四）教学过程 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 提出问题 回顾初中时的整数指数幂及运算性质 ,1(0) n a a a a a a a =?????=≠, 0无意义 老师提问，学生回答. 学习 新知前的 简单复

1(0) n n a a a -= ≠;()m n m n m n mn a a a a a +?==(),()n m mn n n n a a a b a b ==什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数. 习，不仅 能唤起学生的记 忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习 引入 观察以下式子，并总结出规律：a ＞0① 105 10 252 55 ()a a a a === ② 884242 ()a a a a === ③ 12 12 34 3 44 4 ()a a a a === ④5 10510 252 5 ()a a a a ===小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如： 23 2 3 (0)a a a ==> 1 2 (0) b b b ==>55 4 4 (0) c c c ==>即：*(0,,1) m n m n a a a n N n =>∈> 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根 式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形 式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义 数学中引进一 个新的概 念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的 形成概念 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： 学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导 让学生经历从“特殊一

分数指数幂教案

分数指数幂 编写人 王大毛 审核 数学组 上课时间 月 日 寄语：谁要游戏人生，他就一事无成，谁不能主宰自己，永远是一个奴隶 一、教学目标： 1、知识与技能（1） 在前面学习整数指数幂的运算的基础上引入了分数指数的概念及运算．（2） 能够利用分数指数幂的运算性质进行运算化简．2、 过程与方法（1）让学生了解分数指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义．（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要判断能否延用和拓展．3、情感．态度与价值观：使学生通过学习分数指数幂的运算体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心． 二、教学重点、: 分数指数幂的运算性质．教学难点：分数指数的运算与化简． 三、学法指导：学生思考、探究．教学方法：探究交流，讲练结合。 四、教学过程 （一）、新课导入 前面我们已经把正整数指数幂扩充到整数指数幂,还要进一步扩充到分数指数幂．有许多问题都不是整数指数．例如3327=,若已知3 a 27=,你能表示出a 吗？怎样表示？我们引入分数指数幂表示为13 a 273==． （二）新知探究 （Ⅰ）分数指数幂 1．a 的1 n 次幂:一般地,给定正实数a ,对于给定的正整数n ,存在唯一的正实数b ,使得n b a =,我们把b 叫做a 的1n 次幂,记作1 n b a =．例如：3 a 29=,则13a 29=；5 b 36=,则 1 5 b 36=． 由于3 2 48=,我们也可以记作23 84= 2．正分数指数幂:一般地,给定正实数a ,对于任意给定的正整数n m ，,存在唯一的正实数b , 使得n m b a =,我们把b 叫做a 的m n 次幂,记作m n b a =,它就是正分数指数幂．例如：32b 7=, 则23 b 7=；5 3 x 3=,则35 x 3=等． 说明: 有时我们把正分数指数幂写成根式的形式, 即 m n a 0)=>,例如 ：12255== ；23 279==

《分数指数幂》教学设计

教学设计：《分数指数幂》 教学目标 〖知识与技能〗 （1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。 教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 教学情景设计 1、复习讨论 （1）根式的相关概念 （2）整数指数幂：a a a a n ???= 运算性质：n n n m n n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。 2、问题情境设疑 问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2 1(t P =，考古学家 根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。 例如： 当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为 21，2)21(，3 )2 1(，…… 21，2)21(，3 )2 1(，……是正整数指数幂。 当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000)21(， 573010000 )21(，5730 100000 )2 1 (。 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322?？ 分析：6623626 3332222222=?=?= ?，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单 化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？

高一数学教案：指数

第1页 共3页 课题：§2.1.1指数 教学目的：（1）掌握根式的概念； （2）规定分数指数幂的意义； （3）学会根式与分数指数幂之间的相互转化； （4）理解有理指数幂的含义及其运算性质； （5）了解无理数指数幂的意义 教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的 运算性质 教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程： 一、 引入课题 1． 以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2． 由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性； 3． 复习初中整数指数幂的运算性质； n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)()( 4． 初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立 方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 二、 新课教学 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根（n th root ），其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此 时，a 的n 次方根用符号n a 表示． 式子n a 叫做根式（radical ），这里n 叫做根指数（radical exponent ），a 叫做被

第2页 共3页 开方数（radicand ）． 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 例1．（教材P 58例1）． 解：（略） 巩固练习：（教材P 58例1） 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 引导学生解决本课开头实例问题

高一数学：指数(教案)

高中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 高中数学 / 高一数学教案 编订：XX文讯教育机构

指数(教案) 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于高中高一数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 教学目标 1.理解分数指数的概念,把握有理指数幂的运算性质. (1) 理解n次方根,n次根式的概念及其性质,能根据性质进行相应的根式计算. (2) 能熟悉到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广,了解它是根式的一种新的写法,能正确进行根式与分数指数幂的互化. (3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算. 2.通过指数范围的扩大,使学生能理解运算的本质,熟悉到知识之间的联系和转化,熟悉到符号化思想的重要性,在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力. 3.通过对根式与分数指数幂的关系的熟悉,使学生能学会透过表面去认清事物的本质. 教学建议 教材分析 (1)本节的教学重点是分数指数幂的概念及其运算性质.教学难点是根式的概念和分数指

数幂的概念. (2)由于分数指数幂的概念是借助次方根给出的,而次根式, 次方根又是学生刚刚接触到的概念,也是比较生疏的.以此为基础去学习熟悉新知识自然是比较困难的.且次方根,分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的,学生在接受理解上也是比较困难的.基于以上原因,根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点. (3)学习本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数,为指数函数的研究作好预备.且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂,也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围,为对数运算的出现作好了预备,而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入. 教法建议 (1)根式概念的引入是本节教学的关键.为了让学生感到根式的学习是很自然也很必要的,不妨在设计时可以考虑以下几点: ①先以具体数字为例,复习正整数幂,介绍各部分的名称及运算的本质是乘方,让它与学生熟悉的运算联系起来,树立起转化的观点. ②当复习负指数幂时,由于与乘除共同有关,所以出现了分式,这样为分数指数幂的运算与根式相关作好预备.

广东深圳中学高中数学必修一导学案8分数指数幂

8．分数指数幂 张长印 学习目标 1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解n 次方根式的概念． 2．熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根． 3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化． 一、夯实基础 基础梳理 1．整数指数幂的概念． （1）正整数指数幂：()n *a n N n a a a =?∈个 ． （2）零指数幂：()010a a =≠． （3）负整数指数幂：()*1 0N n n a a n a -= ≠∈，． 2．整数指数幂的运算性质： （1）m n m n a a a +?=；（2）()n m mn a a =；（3）()n n n ab a b =． 3．如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根；如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根． 4．如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*N n ∈． （1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次 （2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次 负的n 次方根有符号正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成) 0a >． （3）负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00=． （4n 叫做根指数，a 叫做被开方数． （5）负数没有偶次方根；0的任何次方根都是00． 5．n 次方根的意义，n a =． 6．分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂：n m a =__________（ ） （2）正数的负分数指数幂：m n a =__________（ ） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 7．有理数指数幂的运算法则： （1）r s a a ?=__________（ ） （2）()s r a =__________（ ）

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指数教案 教学目的：(1)掌握根式的概念； (2)规定分数指数幂的意义； 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：课本 教学重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂 的运算性质 教学难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂． 教学过程： 一、 引入课题 1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性； 2．由实例引入，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性； 3．复习初中整数指数幂的运算性质； n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)()( 4．初中根式的概念； 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根； 二、 新课教学 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根用符号n a 表示． 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正

数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）． 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ． 思考： n n a =a 一定成立吗？． （学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a n n = 当n 是偶数时，? ??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(11 *>∈>==-n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 三、作业练习： 1．a 4·a m ·a n =（ ） A ．a 4m B ．a 4(m+n) C ．a m+n+4 D ．a m+n+4 2．（－x ）·（－x ）8·（－x ）3=（ ） A ．（－x ）11 B ．（－x ）24 C ．x 12 D ．－x 12 3．下列运算正确的是（ ）

分数指数幂运算

数学学科导学案 教师: 学生: 年级: 高一日期: 星期: 时段: 课题分数指数幂 学情分析 熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重． 教学目标理解分数指数幂的含义，掌握分数指数幂的运算方法. 教学重点分数指数幂的运算 考点分析分数指数幂的化简、求值是常考题型. 教学方法讲授法、训练法 学习内容与过程 1．根式 (1)根式的概念 如果一个数的n次方等于a(n＞1且，n∈N*)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*. (2)根式的性质 ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这 时，a的n次方根用符号n a表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的 n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号－ n a表示．正负两个n次方根可 以合写为±n a(a＞0)． 注：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

③? ????n a n ＝a . ④当n 为奇数时，n a n ＝a ； 当n 为偶数时，n a n ＝ |a |＝????? a a ≥0 －a a ＜0 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N * )； ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)； ③负整数指数幂：a －p ＝1 a p (a ≠0，p ∈N *)； ④正分数指数幂：a m n ＝n a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)． ⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r 、s ∈Q ) ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 指数幂的化简与求值 【例1】?化简下列各式(其中各字母均为正数)．

分数指数幂的运算

分数指数幂的运算 【知识要点】 1、整数指数幂运算性质 (1)=?n m a a ),(Z n m ∈ (2) =n m a a ),(Z n m ∈ (3) =n m a )( ),(Z n m ∈ （4）=?n b a )( )(Z n ∈ (5) 根式运算性质 ?? ?=为偶数为奇数n a n a a n n ,, 2、正数的正分数指数幂的意义 n m n m a a = （n m a ,,0>∈N *,且)1>n 注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式； （2）二是根式与分数指数幂可以进行互化. 3、对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定. (1)n m n m a a 1 =- （n m a ,,0>∈N * ,且)1>n (2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 4、有理指数幂的运算性质 (1)∈>=?+s r a a a a s r s r ,,0(Q ） (2) ∈>=s r a a a rs s r ,,0(）（Q ） (3) ∈>=?s r a b a b a r r r ,,0()(Q ） 注意：若p a ,0>是一个无理数，则p a 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 【典型例题】 例1、当0>a 时 ①5102552510)(a a a a ===②3124334312)(a a a a === ③323332 32)(a a a ==④21221)(a a a == 根据以上等式，找出规律，把下列各数化成上述形式()0>x .

(1)721x (2) 416x (3) 93x (4) 126x 例2、求值： 43 32132)8116(,)41(,100 ,8---. 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式： a a a a a a ,,3232?? (式中0>a ) 4、计算：[].01.016)2()87() 064.0(2175.0343031-++-+----- 例5、化简：（1）52932232(9)(10)100- （2）322322+- （3） a a a a 【经典练习】 1.用根式的形式表示下列各式（0>a ) 3 2 53 4351 ,,,--a a a a 2、求下列各式的值： (1)2325 （2）3227 （3）23)49 36( （4）23)425(- （5）423 981? （6）63125.132?? 3. 用分数指数幂表示下列各式：（其中各式中的字母均为正数）

《分数指数幂》教学设计

教学设计：《分数指数幂》 一、教学目标 〖知识与技能〗 （1） 理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。 （2） 会对根式、分数指数幂进行互化。 （3） 了解无理指数幂的概念 〖过程与方法〗 通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。 〖情感、态度与价值观〗 通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。 二、教学重难点 根式、分数指数幂的概念及其性质。 三、教学情景设计 1、复习讨论 （1）根式的相关概念 （2）整数指数幂：a a a a n ???= 运算性质：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(,)1,,,0(*>∈>n N n m a 。 2、问题情境设疑 问题1、当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个 时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P 与死亡年数t 之间的关系5730)2 1(t P =，考古学家 根据这个式子可以知道，生物死亡t 年后，体内碳14含量P 的值。 例如： 当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，……年后，它体内碳14的含量P 分别为 21，2)21(，3 )2 1(，…… 当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P 分别为57306000 )21(， 573010000 )21(，5730 100000 )2 1 (。 设疑：以上三个数的含义到底是什么呢？ 问题2：如何计算：322?？ 分析：6623626 3332222222=?=?= ?，然而普通学生要找到该解法并不容易，如何把这种运算简单 化呢？能否类似于整数指数幂的运算来解决上题？

山东临清三中高中数学 2.1.12分数指数幂教案 新人教A版必修1

【教学目标】 1.通过与初中所学知识进行类比，理解分数指数幂的概念进而学习指数幂的性质. 2.掌握分数指数幂和根式的互化，掌握分数指数幂的运算性质培养学生观察分析、抽 象类比的能力 3.能熟练地运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学 正确的计算能力. 【教学重难点】 教学重点： （1）分数指数幂概念的理解. （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质. （3）运用有理数指数幂性质进行化简求值. 教学难点： （1）分数指数幂概念的理解 （2）有理数指数幂性质的灵活应用. 【教学过程】 1、导入新课 同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂 2、新知探究 提出问题 （1）整数指数幂的运算性质是什么？ （2）观察以下式子，并总结出规律：0 a> 10 25 a a ===； 8 42 a a ===； 12 34 a a ===； 10 52 a a ===. （3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？ * (0,,, x m n N >∈且n>1) (4)你能用方根的意义来解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？ 活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示. 讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书： 规定：正数的正分数指数幂的意义是* 0,,,1) n m a a m n N n =>∈>. 提出问题 （1）负整数指数幂的意义是怎么规定的？

分数指数幂公开课教案

《分数指数幂》教学设计 陈炜明(2013/3/5公开课) 一、教学目标： 知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。 过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。 情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。 二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质 三、教学难点：分数指数幂的概念 四、教学过程： 【问题情境】 里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。 假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则 （1）第3级地震所释放的能量为多少？ 31.6227 答：3 （2）第x级地震所释放的能量为多少？ y 答：31.6227x （3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？ 教师举例

引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？ （此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出） 【温故知新】 问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运 算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。 , ,(,0)(), ()m n m n m m n n m n mn m m m a a a a a m n a a a a a b a b +-==>≠== （此处板书） 在这里,m n 均为正整数。 问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？ 若m n <呢？ 答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到 01a =(0)a ≠。同理，可以对负分数指数幂进行规定。 小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。 问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？