2015年成人高考专升本高数二真题及答案
2015年成人高考专升本高数二真题及答案
1. lim
x→?1x+1
x 2+1
=( )
A. 0
B.1
2
C.1
D.2
2.当x →0时,sin 3x 是2x 的()
A. 低阶无穷小量
B.等阶无穷小量
C. 同阶但不等价无穷小量
D.高阶无穷小量
3.函数f(x)= x+1,x <0,在x=0处()
x 2, x ≥0
A.有定义且有极限
B.有定义但无极限
C.无定义但有极限
D.无定义且无极限
4.设函数f(x)=x e π
2,则f'(x)=()
A.(1+x)e π2
B. (12
+x)e π2
C. (1+x
2
)e π2
D. (1+2x)e π
2
5.下列区间为函数f(x)=x 4-4x 的单调增区间的是()
A.(-∞,+∞)
B. (-∞,0)
C.(-1,1)
D. (1,+∞)
6.已知函数f(x)在区间[?3,3]上连续,则∫f(3x)1
?1
dx=( ) A.0 B.1
3∫f(t)3
?3dt C. 1
3∫f(t)1
?1
dt D.3∫f(t)3
?3dt
7.∫(x ?2+sin x)dx=( )
A. -2x -1+cos x +c
B. -2x -3+cos x +c
C. -x ?33
-cos x +c D. –x -1-cos x +c
8.设函数f(x)=∫(t ?1)dt x
,则f “(x)=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2
9.设二元函数z=x y ,则?z
?x
=( )
A.yx y-1
B. yx y+1
C. y x ln x
D. x y
10.设二元函数z=cos(xy),?2y ?x 2
=()
A.y 2sin(xy)
B.y 2cos(xy)
C.-y 2sin(xy)
D.- y 2cos(xy)
11.lim x→0
sin 1
x
= . 0
12.lim x→∞
(1?2x
)x
3= . e ?2
3
13.设函数y=ln(4x ?x 2),则y ′(1)= . 2
3
14.设函数y=x+sin x ,则dy= . (1+cos x )dx
15.设函数y=x 3
2+e ?x ,则y ”= . 3
4
x ?1
2+e -x
16.若∫f(x)dx =cos(ln x)+C,则f (x )= . -
sin(ln x)
x
17.∫x |x |1
?1
dx = . 0
18.∫d(x ln x)= . x ln x +C
19.由曲线y=x 2,直线x=1及x 轴所围成的平面有界图形的面积S= . 1
3
20.设二元函数z=e y
x ,则?z
?x
|(1,1)= . -e
21.计算lim
x→1e x ?e
ln x
lim
x→1e x ?e
ln x
=lim
x→1e x
1
x
=e
22.设函数y=cos(x 2+1),求y'.
y'=[cos(x 2+1)]'
=-sin(x 2+1)?(x 2+1)'
=-2xsin(x 2+1)
23.计算∫
x 4+x 2
dx
∫
x 4+x 2
dx=12∫1
4+x
2d(4+x 2)
=12
ln(4+x 2)+C
24.计算∫f (x )4
0 dx ,其中 f (x )={x,x <1
1
1+x
,x ≥1
∫f (x )4
0 dx =∫xdx 1
0+∫11+x
1 0
dx
=x 22
|10
+ln(1+x)|41
=12
+ln 5
2
25.已知f(x)是连续函数,且∫f(t)x 0e ?t dt=x,求∫f(x)1
dx . 等式两边对x 求导,得
f(x)e ?x =1
f(x)=e x
∫f(x)1 0dx = ∫e x 1
dx =e x |10
=e-1
26.已知函数发f(x)=ln x -x.
(1)求f(x)的单调区间和极值;
f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1
x
-1.
令f'(x)=0得驻点x=1.
当0
f(x)的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1,+∞).
f(x)在x=1处取得极大值f(1)=-1
(2)判断曲线y=f(x)的凹凸性。
因为f″(x)=-1
x2
<0,所以曲线y= f(x)是凸的.
27.求二元函数f(x,y)=x2
2
-xy+y2+3x的极值.
f′x=x-y+3, f′y=-x+2y
由{x?y+3=0
?x+2y=0
解得x=-6,y=-3
f″xx(x,y)=1, f″xy(x,y)=-1,f″yy(x,y)=2
A= f″xx(-6,-3)=1,B= f″xy(-6,-3)=-1,C= f″yy(-6,-3)=2
B2-AC=-1<0,A>0,
故f(x,y)在(-6,-3)处取得极小值,极小值为f(-6,-3)=-9.
28.从装有2个白球,3个黑球的袋中任取3个球,记取出白球的个数为X.
(1)求X的概率分布;
P{X=0}=C 0
2
?C3
3
C3
5
=0.1,
P{X=1}=C 1
2
?C2
3
C3
5
=0.6,
P{X=2}=C 2
2
?C1
3
C3
5
=0.3,
因此X的概率分布为
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3 (2)求X的数学期望E(X).
E(X)=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2