练习1(极限与连续)

数列的极限、函数的极限与连续

一、单项选择题

1 若a x n n =∞

→lim ,则数列{}n x 在a 的任一ε邻域之外(其中0>ε)数列中的点( )。 A. 必不存在 B. 至多只有有限个

C. 必定有无穷多个

D. 可以有有限多个,也可以有无限多个

2 考察下列命题

○1若数列{}n x 满足:+∈>N n x n ,0,且a x n n =∞

→lim ,则0>a 。 ○2若数列{}n x 满足:+∈>N n x n ,0,且a x n n =∞

→lim ,则0≥a 。 ○3设a x n n =∞→lim ,且0>a ,则存在0>N ,当N n >时,有3

a x n >。 ○4设a x n n =∞

→lim ,且0≥a ,则存在0>N ,当N n >时,有0≥n x 。 正确的命题是( )。

A. ○

1○3 B. ○2○3 C. ○1○2○3 D. ○2○3○4 3 下列结论错误的是( )。

A. 当0→x 时,函数x x f 1sin

)(=存在极限 B. 函数x

x f 1sin )(=是有界函数 C. 函数x x f 1sin )(=是奇函数 D. 当0→x 时, x x x f 1sin )(=是无穷小量 4 下列结论正确的是( )。 A. 11

sin

lim 0=→x

x x B. 11sin lim 0=→x x x C. 11sin lim =∞→x x x D. 1sin lim =∞→x x x 5 设b a <<0,则=+∞→n n

n n b a lim ( )。 A. 1 B. 0 C. a D. b

6 设3)32)(1)(1(lim

0-=+--+→x

a x x x x ,则=a ( )。 A. 1- B. 2- C. 1 D. 2

7 设x x x f +-=11)(,x x g -=1)(,则当1→x 时,( )。 A. f 和g 是等价无穷小量 B. f 是g 的高阶无穷小量

C. f 是g 的低阶无穷小量

D. f 和g 是同阶无穷小量,但非等价无穷小量

8 极限=---→11

211

1lim x x e x x ( )。 A. 0 B. 2 C. ∞ D. 不存在,但不为∞

9 设n

n x x x f 211lim )(++=∞→,讨论函数)(x f 的间断点,其正确结论为( )。 A. )(x f 不存在间断点 B. 1=x 是)(x f 的间断点

C. 0=x 是)(x f 的间断点

D. 1-=x 是)(x f 的间断点

10 设?????≥-<-=002)1sin()(x a x x x e x f x 在0=x 处连续,则=a ( )

。 A. 2 B. 2- C.

21 D. 2

1- 11 下列运算正确的是( )。 A. 00001lim 11lim 1lim )1111(

lim =+++=+++++=+++++∞→∞→∞→∞→ n n n n n

n n n n n n n B. 0lim tan sin lim 3030=-=-→→x

x x x x x x x C. 2

142lim 4arcsin 2tan lim 00==→→x x x x x x D. 0)1sin lim ()lim (1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x 二、填空题

1 设e a

x a x x x =-+∞→2222

)(lim ,则=a 。 2 =-→x x x 30)21(lim 。 3 )0(~12→-x x x βα,则=α ,=β 。

4 当0→x 时,12134-+x 与βαx 是等价的无穷小量,则=α ,=β 。

5 x x

x f 1

1

2221)(-+=,则0=x 是函数)(x f 的第 类间断点,1=x 是函数)(x f 的第

类间断点。

6 已知2)

2(lim 0=→x f x x ,则=→x x f x )(lim 0 。 7 当0→x 时,)(1122x o bx ax x +++=+,则=a ,=b 。 8 =+---+∞→x

x x x x x x 22sin 3lim 3423 。

9 ?????≤+>=001sin )(2x x

a x x x x f 在0=x 连续,则=a 。 10 =∞→n n n 2

3sin 2lim 。 11 =++++∞→n

n n n 32321lim 。 12 =+++++∞→3

2

222)12(531lim n n n 。 13 =++++++∞→)1

21

11(lim n n n n n 。 14 =-+→x

x n x 1)1(lim 0 。 15 =+∞→x

x x 1sin lim α 。)0(>α 三、设函数x

x x f x x sin 121

2)(1

1--+=,讨论函数)(x f 的连续性,并指出间断点的类型。 思考,当x x x f x x sin 121

2)(1

1--+=呢? 四、设)1(lim )(-=∞

→n n x n x f ,求)(x f 的表达式。 五、计算 1 )11(lim 22-+-+--∞

→x x x x x 。 2 已知0)](42[lim 2=+-+--∞

→b ax x x x ,求a ,b 。 3 )tan 1sin 1(1lim 0x

x x x -→。 4 )(lim 3333x x x x x x --+∞

→。 5 )

21ln(1lim 30x e x x

x +-+→。 6 )

31ln(211lim 32

0x x x x ++-+→。

7 x x

x x x c b a 10)3

(lim ++→。 8 x x x tan 2

)

(sin lim π→。 9 11tan lim 20--→x x x x 。 10 )0(ln ln lim >--→a a

x a x a x 。 11 1

45lim 1---→x x x x 。 12 )(lim 22x x x x x +-++∞

→。 13 )

1ln(1)211(lim 3220x x x x +--→。 14 21)63(lim -∞→++x x x

x 。 15 e

x x e x --→1ln lim 。 16 x

x x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim 。 17 1

)1)(1(1

lim 3230-+-+--→x x e e e x x x x 。 18 x x x tan 3

0)21(lim +→。 19 )

1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x 。 20 1)1

232(lim +∞→++x x x x 。 21 用夹逼准则求极限]1[lim 0x

x x ?→。

六、设)(x f 是三次多项式,且14

)(lim 2)(lim

42=-=-→→x x f x x f x x ,求 (1) )2(f ,)4(f ; (2))(x f ; (3)3

)(lim 3-→x x f x 七、设)(x f 满足312)sin )(1ln(lim 0=-+→x x x x f ,求当0→x 时,)(x f 的等价量。 八、设11=x ,n

n n x x x ++=+111),,2,1(n n =,证明数列{}n x 收敛,并求n n x ∞→lim 。 九、确定a 与α,使下列各无穷小量或无穷大量等价于αax 1 323)(x x x u += ),0(+∞→→+x x 2 32131)(x x x u +-+= ),0(+∞→→x x

十、求下列函数的间断点,并指出其类型:

(1)2

3132+--=x x x y ; (2)x x y sin =; (3)x x y tan = 十一、设)(x f 在),(b a 上连续,b d c a <<<,q p ,是两个任意给定的正数,证明存在),(b a ∈ξ,使得)()()()(d qf c pf f q p +=+ξ。

十二、用Heine 定理证明x

x 1cos lim 0→不存在。 十三、用Cauchy 收敛准则证明下列数列收敛:

1 n n n q a q a a x +++= 10,其中M a q i ≤<<,10, ,2,1=i 。

2 221211n

x n +++

= 。 3 !1!21!111n x n ++++= 。 十四、写出Cauchy 收敛准则的否定叙述。

(1)证明数列n

x n 131211++++= 是发散的。 (2)设数列{}n x 满足条件0lim 1=-+∞→n n n x x ,问{}n x 是否一定收敛?

(3)设数列{}n x 满足条件)3,2,1(211 =<

-+n x x n

n n ,证明{}n x 是基本数列。

*十五、写出极限)(lim x f x +∞

→存在的Cauchy 收敛准则及其否定叙述,并证明下列: (1)当+∞→x 时,函数

x

x cos 存在极限。 (2)当+∞→x 时,函数x sin 不存在极限。

十六、 一致连续 1 x

x f 1)(=在]1,[a )10(<A 上一致连续,但在),0[+∞上非一致连续。 3 x

x f 1sin )(=在)1,0(上不一致连续,但在)1,(a 上一致连续)0(>a 。 4 2sin )(x x f =在),(+∞-∞上不一致连续,但在[0,A] )0(>A 上一致连续。 5 x x f cos )(=在),0[+∞上一致连续。 6 x x f =

)(在),1[+∞上一致连续。

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