复射影空间中具有常数量曲率的全实子流形

利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能

利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
Revision No. : v1.0 Revision Date : 2010.1. Program Version : Civil2010 V.7.8.0 R1 Mail to : jwlee@https://www.wendangku.net/doc/963221372.html,

00. 目录
01. 概要 3 02. 建模 5 03. 材料本构模型 6
1. 混凝土本构 2. 钢材本构
04. 矩形截面的性能评价 8
1. 输入钢筋 2. 弯矩-曲率关系 3. 查看结果
05. 任意形状截面的性能评价 11
1. 1 2. 3.
输入钢筋 弯矩-曲率关系 查看结果
06. 计算书 15
07. 弯矩-曲率曲线在桥梁抗震设计中的应用 07 弯矩 曲率曲线在桥梁抗震设计中的应用 18
1. 按简化方法验算E2地震作用下的墩顶位移 2. 按非线性分析方法验算桥墩塑性铰区域的塑性转动能力
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01. 概要
在非线性抗震分析中经常要使用截面的非线性滞回特性，梁或柱截面的非线滞回性特性可以使用截 面的弯矩-曲率关系或荷载-位移关系曲线来描述。
弯矩-曲率曲线(Moment Curvature Curve)作为评价截面的抗震性能被广泛应用于钢筋混凝土截面 的抗震分析中。
与Pushover分析和动力弹塑性分析相比，利用截面尺寸和实配钢筋获得截面的弯矩-曲率曲线，使 用该曲线评价截面的抗震性能的方法，不仅简单而且节省分析时间。
Midas程序中提供了七种混凝土材料本构模型和四种钢材材料本构模型。用户定义了截面尺寸并输 入钢筋后，选择相应的材料本构模型，程序就会提供理想化的截面弯矩-曲率关系，并提供截面的 一些关键特性，例如屈服特性值、极限特性值。
本技术资料介绍了弯矩－曲率曲线的使用方法以及使用该曲线评价截面的性能的方法。
程序中提供的混凝土和钢材的材料本构模型如下。
1. 混凝土 1) Kent & Park Model 2) Japan Concrete Standard Specification Model 3) Japan Roadway Specification Model 4) Nagoya Highway Corporation Model 5) Trilinear Concrete Model 6) China Concrete Code (GB50010-02) 7) Mander Model
2. 钢材 1) Menegotto-Pinto Model 2) Bilinear Model 3) Asymmetrical Bilinear Steel Model 4) Trilinear Steel Model
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射影几何学

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计 划书》中提出用变换群对几何学进行分类 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

人口的数量变化 教学设计1

1.1人口的数量变化教学设计 【课程标准要求】 1、分析不同人口增长模式的主要特点及地区分布。 2、举例说明地域文化对人口和城市的影响。 【教学的三维目标】 知识与技能 1、了解人口数量变化在时间和空间上的差异。 2、了解人口增长模式类型及其转变。理解二战以后世界人口迅速增长的原因 3、掌握人口增长模式的判断方法。 过程与方法： 1、通过读图分析讨论，让学生归纳不同时期人口增长的特征和不同地区人口增长的差异， 理解相应国家不同的人口政策。 2、讲解人口增长模式的含义，借助图表、案例等的分析和讨论，让学生归纳三种人口增长 模式的特征及差异，引导学生对不同人口增长模式的形成、转变进行深入地分析。 情感、态度与价值观： 1、通过学习帮助学生树立科学的人口观 【教学重点】 1、理解人口数量增长在时间和空间上的差异及其成因。 2、理解三种人口增长模式的特点和转变的原因。 【教学难点】人口增长模式的转变。 【教学方法】读图分析法比较法 【课标解析】 课标：分析不同人口增长模式的主要特点及地区分布。 解析：1、理解人口自然增长率的的概念，读图说出世界各大洲人口自然增长的地区差异，了解人口基数对人口自然增长率、人口增长绝对数量的影响。 2、掌握人口增长的三种模式名称和特点，利用人口资料或图表，判断其所属的人口增长模式及其转变。 3、理解我国实行计划生育的人口政策。 预习：提前发导学案 附：导学案

【课标解析】 课标：分析不同人口增长模式的主要特点及地区分布。 解析：1、理解人口自然增长率的的概念，读图说出世界各大洲人口自然增长的地区差异，了解人口基数对人口自然增长率、人口增长绝对数量的影响。 2、掌握人口增长的三种模式名称和特点，利用人口资料或图表，判断其所属的人口增长模式及其转变。 3、理解我国实行计划生育的人口政策。 【主干知识点梳理】 一、人口的自然增长 1、世界60亿人口日（了解） 2、人口自然增长的决定因素： 一个地区的人口自然增长，是由和共同决定的。 3、人口自然增长的时空差异： （1）人口数量增长随时间的不匀速性 （2）世界人口增长在空间上的不均衡性 二．人口增长模式及其转变 1、人口增长模式指标： 人口增长模式是由、和三项指标共同决定的。

高等数学-第3章 3.3 曲线的弯曲程度——曲率

* §3.3 曲线的弯曲程度——曲率 一、曲率的概念 在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。 直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？ 如图3.6所示， 12M M 和 23M M 是两段等长的曲线弧， 23M M 比 12M M 弯曲得厉害些，当点2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α?比 从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α?要大些。 如图3.7所示， 12M M 和 12N N 是两段切线转角同为α?的曲线弧， 12N N 比 12M M 弯曲得厉害些，显然， 12M M 的弧长比 12N N 的弧长大。 这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。由此，我们引入曲率的概念。 如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时， 切线相应的转角为α?， 曲线弧 MN 的长为s ?。我们用s ??α来表示曲线弧 MN 的平均弯曲程 1M 图 3.6 图 3.7 图3.8

1 度，并称它为曲线弧 MN 的平均曲率，记为K ，即 K s α ?= ?。 当0s ?→（即N M →）时，若极限0lim s d s ds αα ?→?=?存在，从而极限 l i m s d s d s αα?→?=?存在，则称0lim s d s ds αα ?→?= ?为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记为K ，即 d K ds α = 。 （3.1） 注意到， d ds α 是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。 二、曲率的计算公式 设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式. 先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得 ())(11arctan 2y d y y d d ''+= '=αdx y y ''' +=2 11 （3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点 0M ，并以此为起点度量弧长。若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。 当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +?时，有 = ?2 )(s () ()()2 2 2 y x MN ?+?=≈， 即 22)(1)( x y x s ??+≈??， 图3.9

射影几何学

射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐

proe 曲面曲率

分析曲面曲率 模块概述 使用曲面特征设计产品时，曲面间的过渡扮演着重要的角色。曲面边的曲率连续性条件确定这些过渡的平滑程度。 在本模块中，您将学习如何分析曲面的曲率以及如何使用基于双向曲率的图形和着色曲率图形来确定曲面是否具有曲率连续性。此外，您将学习曲率连续曲面的创建方法。 目标 成功完成此模块后，您即可知道如何： ?分析曲面理论。 ?定义曲率和曲率连续性。 ?分析曲线的曲率。 ?分析曲面的曲率。 ?使用截面分析曲率。 ?使用法线分析曲率。 ?使用曲面的着色曲率。 ?使用着色截面曲率。 ?创建曲率连续曲面。

曲面分析理论 您可使用专用工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。 ?其目标是为了创建高质量的曲面。 ?分析曲面的原因： o预期的平滑度和连续性 o预期的曲率 o无扭曲或扭结 o适合于制造过程 ?常用分析选项： o快速 o已保存 o特征 查看着色曲率

“保存的分析”对话框 剖面分析 曲面分析理论 Pro/ENGINEER 提供了许多不同的工具，以满足不同的建模要求。您可根据自己的目标使用特定工具分析曲面模型，例如连续性、扭曲以及视觉特性。

分析曲面的原因 创建曲面时，目标是创建具有高质量的曲面。请考虑以下分析曲面的原因： ?创建具有预期平滑度和连续性的曲面。可使用分析工具检验相切和曲率连续性。 ?创建具有预期曲率的曲面。可检查是否存在不需要的高曲率区域，这些区域表示曲面有问题。例如，曲面中的扭结会使曲率显示为突然增大，借助Pro/ENGINEER 的分析工具可轻松找出此类扭结。 ?创建无扭曲的曲面。扭结或小曲面片是曲面模型中常见的问题。在创建实体零件或创建制造序列时，它们可能在添加厚度时引起一些问题。 ?创建适合于制造过程的曲面。许多操作(例如创建加工序列) 都会将曲面侧考虑在内。曲面模型中的面组应具有相应的正法向侧。 常用分析选项 使用Pro/ENGINEER 的模型分析工具时有三个选项可用： ?快速(Quick) - 允许计算测量而不保存分析或在模型树中创建特征。关闭对话框后此分析消失。 ?已保存(Saved) - 允许保存测量以备今后使用。关闭对话框后此分析保留。可以为分析指定一个唯一名称，以使以后它对您有意义。 可通过单击“分析”(Analysis) > “保存的分析”(Saved Analysis)来启用、禁用或编辑保存的分析的显示。已保存分析更新为模型几何更改。“保存的分析”对话框如左下图所示。 ?特征(Feature) - 允许将分析作为一种特征保存在模型树中。该分析更新为模型几何更改。 定义曲率 曲面的曲率定义为与1/R 成正比，其中R 为曲面在指定位置的半径。

基于空间射影变换的视角转换方法

基于空间射影变换的视角转换方法 一、介绍 现有关于辅助泊车系统的文献中进行透视图视角转换的方法主要有两种： 一种是基于空间射影变换的视角转换方法，使用一个4 × 4的可逆矩阵来完成射影变换，这个可逆矩阵含有15个自由度，需要根据线性变化法计算出其中的12个参数；另一种是基于图像单应性矩阵的DLT算法，但是需要在图像坐标系中标定n组对应点，计算出8个未知参数来完成视角转换。这两种方法虽然都能完成图像视角的转换，但是参数求解过程较为复杂。本文档根据坐标系之间的关系，利用摄像头视角等已知参数对图像进行逆投影转换的方法，转换过程较为简单。 二、原理 1. 世界坐标系 镜头所成图像与现实世界被成像区域关系如下： 取路面上一点P，P 点在世界坐标系中坐标为(Px ,Py )，P 点在图像坐标系中对应的点P′坐标为((P'x ,P'y )，图1中o为相机位置，A，B，C，D为进入成像区域的路面，G为相机光轴与成像面交点。 图1 图2为图1的纵截面示意图，h为相机安装高度，2α为相机垂直可成像范围，r为光轴与地面交角。

图2 图3为图1的横截面示意图，2β为相机水平可成像范围。 图3 2. 图像坐标系 根据小孔成像原理，如图4所示：在世界坐标系中任意一点P，在摄像头所获取到的图像上对应点为P’。 图4 因此，以摄像头获取到的图像中心点为坐标原点建立图像坐标系，如图5所示：

图5 其中，A’B’C’D’区域对应于世界坐标系ABCD 区域，G’为摄像机广州OG 与地面的焦点。H 和W 为图像纵向和横向像素的大小。 通过图像逆投影变换处理之后，获取到的俯视效果图所确定的坐标系称之为计算图像坐标系。计算图像坐标系以图像左上角为原点，以像素为单位，如图 6 所示，图像坐标系原点为图像左上角，像素坐标为(1, 1)。 图6 根据图 1，图 2，图 3 通过三角变换可以得到 P 点到 P ′的转换关系为： (tan 2'tan ) 2tan 'x y y y P h H P P H P γαα??=??+?=?-? (1) 对上述方程进行反解，就得到图像坐标到世界坐标的映射关系： 'tan 2tan tan 2tan x y y y P P H Hh P P h γγαα?=???-?=?+? (2) 由于90度俯视图就是对世界坐标的缩放与离散抽样表达，因此依据世界坐标的值就可得俯视图像。

关于无穷远元素与射影平面

引言 在欧氏平面上，通过引入无穷远元素扩充欧氏平面的方法给出射影平面的概念。 1.中心射影 1.1.直线与直线间的中心射影 设l ，'l 是共面二直线，点o 是此平面内l 与'l 外任一点。若o 与l 上任一点A 之连线OA 交'l 于'A 。 则我们定义： 定义1 'A 叫做 A 点从o 投影到'l 上 的中心射影下的对应点。 OA 叫做投射线，o 叫做 投射中心，简称射心。 图（1） 显然A 也是'A 在l 上以o 为射心的中心射影下的对应点。取不同的射心，就得到不同的中心射影。 如果l 与'l 相交与C 点，则C 位自对应点，如图（1） 在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果l 上的一点P 使OP 平行于'l ，则P 的对应点'P 将不存在。同样在'l 上也有一点'Q ，使'OQ 平行于l ，所以'Q 在l 上的对应点也不存在。我们将P 与'Q 分别称为l 与'l 上的影消点。 1.2.平面与平面之间的中心射影 设π与'π是二平面，点o 是平面外一点，若o 与π上任一点A 之连线OA 交 'π与'A 。则我们定义：图（2） 定义2 'A 叫做 A 点从o 投影到平面'π的中心射影下的对应点。OA 叫做 O A ' A B ' B C ' Q l ' l P

投射线，o 叫做投射中心，简称射心。显然A 也是'A 在π上以O 为射心的中心射影下的对应点。 可以看出在中心射影下平面π内的一直线AB 对应平面'π上的直线''A B 。 图（2） 当π与'π相交时，其交线c 为自对应直线，其上的每一点C 都是自对应点。 同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图（2），如果平面π上的一点P 与o 的连线OP 平行于平面'π，那么P 在'π上的对应点便不存在，我们也称点P 为影消点。若通过o 作与'π平行的平面a 交平面π于直线m 。则直线m 在'π上的对应直线也不存在，我们称直线m 为影消线。类似的可以定义平面'π上的影消点与影消线。显然，影消点的轨迹是影消线。 2.无穷远元素 为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引进了无穷远元素。为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。 约定— 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点 在组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以P ∞，为区别起 O π A B C ' A ' B ' πc Q α m p

摄像机成像中的若干重要空间关系

第二章 摄像机成像中的若干重要空间关系 摄像机模拟人眼成像几何把三维场景空间关系投影到二维图像上，这一过程可以利用射影几何来刻划。借助射影几何以及齐次坐标、矩阵等代数工具，我们可以描述三维空间到二维图像的成像原理、两幅图像之间的极几何关系、空间中的特殊对象（例如平面等）的投影性质以及由图像重构三维空间物体形状的计算等。由于摄像机成像原理、极几何以及多视图几何等是计算机视觉研究的重要理论基础，因此有大量文献和著作给予讨论，其中比较系统的有Hartley 等所著的“Multiple View Geometry in Computer Vision” [1] 、马颂德等所著的“计算机视觉—计算理论与算法基础” [2] 等。 在本章中，我们仅就后续章节所用到的若干重要空间关系作一个扼要介绍。 2.1 视觉坐标系与成像几何原理 2.1.1 图像坐标系、摄像机坐标系和世界坐标系 为了定量描述摄像机成像过程，首先定义以下三个坐标系。 图像坐标系: C 图2-1 图像坐标系 摄像机摄取的图像在计算机内以Ｍ×Ｎ数组的形式存储，数组中的每一个元素称为象素（pixel ），其值表示图像点的亮度(或称灰度，若为彩色图像，则图像的象素亮度将由红绿蓝三种颜色的亮度表示)。如图2-1所示，在图像上定义直角坐标系u-v ，每一象素的坐标),(v u 分别是该象素在图像中的列数和行数。所以),(v u 是以象素为单位的图像坐标系的坐标。由于),(v u 只表示象素位于图像中的列数和行数，并没有用物理单位表示出该象素在图像中的物理位置，因而需要再建立以物理单位(例如毫米)表示的图像坐标系 x-y ，该坐标系以图像中某一点1C 为原点，x 轴、y 轴分别与u 轴、v 轴平行，如图２-1所示。在后续章节中， 如不加特别说明，),(v u 表示以象素为单位的图像坐标系的坐标，),(y x 表示以物理单位度量的图像坐标系的坐标。在x-y 坐标系中，原点1C 定义为摄像机光轴和像平面的交点，该点一般位于图像的中心处，称为图像的主点。但由于摄像机制作的原因，也会有些偏离。若1C 在u-v 坐标系中的坐标为),(00v u ，每个象素在x 轴和y 轴方向上的物理尺寸为dx ，dy ，则图像中任意一个像素在两个坐标系下的关系如下：

几何空间选论(第三讲 射影几何与射影空间)

第三讲射影几何与射影空间 一、射影几何的起源与确立 射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后，依然保持图形性质不变的几何学分支。射影几何也叫投影几何学，通过它可以把欧氏几何、仿射几何等联系起来。 射影几何的某些内容在公元前就已经 出现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线 来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。但射影几何直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。 1.达·芬奇（1452—1519） 射影几何的最早起源是绘画。达·芬奇是一位思想深邃，学识渊博，多才多艺的画家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、建筑和军事工程师。他广泛地研究与绘画有关的光学、数学、地质学、生物学等多种学科。

在《绘画专论》一书中，他对透视法作了详尽的论述。他的代表作《最后的晚餐》是基督教传说中最重要的故事。这幅画就是严格采用透视法的。 在数学方面，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了化圆为方的难题，另外他还研究过等腰梯形、圆内接多边形的作图，四面体的重心等。 此外，达·芬奇还发现了液体压力的概念，提出了连通器原理。达·芬奇在生理解剖学上也取得了巨大的成就，被认为是近代生理解剖学的始祖。他绘制了比较详细的人体解剖图。 在建筑方面，达·芬奇也表现出了卓越的才华。他设计过桥梁、教堂、城市街道和城市建筑。达·芬奇的研究和发明还涉及到了军事领域。他发明了簧轮枪、子母弹、三管大炮、坦克车、浮动雪鞋、潜水服及潜水艇、双层船壳战舰、滑翔机、直升飞机和旋转浮桥等。 看过《达·芬奇密码》的人大概都知道达·芬奇密码筒。达·芬奇设计的这种密

基于曲率的点云数据简化方法

基于曲率的点云数据简化方法 摘要：作为一种非接触型设备，它可以快速高精度的采集部分曲面数据，它变成最常用的设备，对于刻画部分曲面数据。然而，它产生大量的点云数据，为了减少计算时间和降低内存需求必须对这些点云数据进行精简。针对以往点云数据精简方法的局限性，本文提出一种基于曲率的新的精简方法。它包括搜索K个近临为了重建数据拓扑结构，计算和调整切平面法线，通过使用抛物线拟合的方法来估计曲率，并且给出数据精简原则。实验结果表明新的方法明显的减少了点云的数量，而且完好的保留了物体的几何特征。 关键字：数据精简、K个近邻、逆向工程、曲率 1简介 在逆向工程中，一种非接触式测量设备可以非常快速、高精度的扫描部件，它变成刻画部分曲面数据的主流设备。然而，获取的数据是稠密无序的，以至于难于直接给表面模型着色。这些数据需要大量的存储空间、并且大大的增加了计算的时间。因此，如何大量的精简点云数据的数量，并完美的保留数据的几何特征是点云数据精简的关键。 两个主要的趋势可以被观测到在这个实验尝试中。一个是格网简化。正如一个一般的缺点，它首先必须建立并维持网格数据结构，然后根据一些原则来减少数据，这个过程是很复杂和花费时间的。另一种是基于点的精简方法，这种方法减少点云数据通过使用部分几何信息。在文献3中，作者使用包围盒去构建分割面来将数据分割成线结构，然后根据弦角偏差法精简点云数据。在文献4中，作者使用基于局部曲面的点的法线值，这个局部曲面来自使用法线标准差生成的不规则三角网。数据精简是通过在每个网格中选择一个代表性的点，删除其他的点来完成的。 基于曲率减少点云是另一种基于点精简的方法。在参考文献5中，作者根据计算出来的每个点的曲率将点进行划分，并且不同的区间设立不同的误差值ξ，

§4 曲线的挠率和Frenet公式

第二章曲线的局部微分几何 §4曲线的挠率和Frenet公式 从上节内容已经知道，曲率是刻划曲线弯曲程度的一个重要的几何量；同时，曲率和弧长并不能够完全确定曲线的全部几何性质，例如曲率为常数的曲线可以是圆周，也可以是圆柱螺线．用专业术语来表达，此即曲率和弧长并不能够构成曲线的完全的几何不变量系统．从圆周和圆柱螺线的对照也可以观察到，需要另外的几何不变量来刻划密切平面的行为．为简便起见，本节中不声明时，总考虑无逗留点的弧长参数化曲线C: r=r(s) ，并且用“'”表示对弧长参数的导数，而对其他正则参数的导数则用微商表示． 注意到上节定理1*的一般结论，将从法向量对弧长求导，就可以刻划密切平面沿着曲线的变化状况；结合曲率向量的行为，就可进一步刻划Frenet标架沿着曲线的变化状况．再考虑到Frenet标架场与曲线之间的天然联系，则有理由预期，这样做是有意义的．以下将顺此思路进行考察． 一．挠率 首先分析从法向量B(s) 对弧长s求导所得向量B'(s) 的行为．由于从法向量是单位向量场，易知B'(s)⊥B(s)；而由B(s) =T(s)?N(s) 对弧长s求导得 B'=T'?N+T?N'=T?N'⊥T． 于是，B'∥N．把B'(s) 在Frenet标架 {r(s); T(s) , N(s) , B(s)} 下的分量抽象出来，将找到所需要的几何量． 定义1对于无逗留点的曲线C，称τ=- B'?N为曲线的挠率函数，其中B'为从法向量对弧长的导数；当挠率非零时，称其倒数为挠率半径． 可证（留作习题）挠率在容许参数变换下不变．按挠率定义和Frenet 标架的单位正交右手性质，可写 (4.1)B'(s) =-τN， (4.2)τ=-(T?N)'?N=-(T?N') ?N=(T , N , N')

平面曲线的曲率

知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法 在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ?欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一. 1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ?达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）. 大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +?之间夹角 α?关于弧长s ?的变化率|| lim 0 s s ??→?α引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）. 2 该知识点讲解方法 2.1讲解方法一： 曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义. 2.1.1曲率圆 1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L, 这样就可以用圆周运动的知识来分析