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专题8:立体几何中的向量方法——求空间角

专题8:立体几何中的向量方法——求空间角
专题8:立体几何中的向量方法——求空间角

专题8:立体几何中的向量方法——求空间角

学案设计:黄林城

一、考试大纲

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题;

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.

三、知识梳理

1.空间两个向量的夹角公式232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++?++++=

其中()321,,a a a a =,()321,,b b b b =.

2.向量法求异面直线所成的角(范围: )

若异面直线a ,b 的方向向量分别为a ,b ,异面直线所成的角为θ,

则cos θ=|cos 〈a ,b 〉|=|a ·b ||a ||b |. 3.向量法求线面所成的角(范围: )

求出平面的法向量n ,直线的方向向量a ,设线面所成的角为θ,

则sin θ=|cos 〈n ,a 〉|=|n ·a ||n ||a |

. 4.向量法求二面角(范围: )

求出二面角α-l -β的两个半平面α与β的法向量n 1,n 2,

若二面角α-l -β所成的角θ为锐角,则cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=|n 1·n 2||n 1||n 2|

; 若二面角α-l -β所成的角θ为钝角,则cos θ=-|cos 〈n 1,n 2〉|=-|n 1·n 2||n 1||n 2|

.

四、典例分析

【例1】如图,四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD ,PD ⊥底面ABCD.

(1)证明:PA ⊥BD.

(2)若PD=AD ,求二面角A-PB-C 的余弦值.

【例2】如图,在四棱锥P -ABCD 中,平面P AD ⊥平面ABCD ,PD PA ⊥,PD PA =,

AB ⊥AD ,AB =1,AD =2,5==CD AC .

(1)求证:PD ⊥平面P AB ;

(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值;

反馈练习:(2017·全国Ⅰ卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,

且90

∠=∠= .

BAP CDP

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,90

∠= ,求二面角A-PB-C的余弦值.

APD

五、课堂总结

1.利用空间向量求空间角的一般步骤

(1)建立恰当的空间直角坐标系;

(2)求出相关点的坐标,写出相关向量的坐标;

(3)结合公式进行论证、计算;

(4)转化为几何结论.

2.求空间角应注意的3个问题

(1)两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β,即cos α=|cos β|.

(2)直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值,注意函数名称的变化.

(3)两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,有可能为两法向量夹角的补角.

六、课后检测

1.如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P在圆柱OQ的底面圆周上,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,侧面积为83π,∠AOP=120°.

(1)求证:AG⊥BD;

(2)求二面角P-AG-B的平面角的余弦值.

2.如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF =2BE=2,EF=

3.

(1)证明:平面ACF⊥平面BEFD;

(2)若二面角A-EF-C是直二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值.

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l ,m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ,m

2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a r 为l 的方向向量,n r 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式:设1n r ,2n r 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r (需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a

(二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=o ,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0)O , (2,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)S , 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ,(1,1,0)AB =-u u u r ,(1,1,0)OB =u u u r ,(0,0,1)OS =u u u r , (1)cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r , 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . (2)设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r , 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ,即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =,则1y =,2z =,所以(1,1,2)n =r , sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . (3)由(2)知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r , 又OC ⊥Q 平面AOS ,OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量, 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ,则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b | ? , 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向 向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量, φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | ? . 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ,如图(2)(3). 两异面直线所成的角为锐角或直角,而不共线的向量的夹角为(0,π),所以公式中要加绝对值. 直线与平面所成角的范围为????0,π 2,而向量之间的夹角的范围为[0,π],所以公式中要加绝对值. 利用公式与二面角的平面角时,要注意〈n 1,n 2〉与二面角大小的关系,是相等还是互

补,需要结合图形进行判断. 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ=cos θ1cos θ2. 如图,若OA 为平面α的一条斜线,O 为斜足,OB 为OA 在平面α内的射影,OC 为平面α内的一条直线,其中θ为OA 与OC 所成的角,θ1为OA 与OB 所成的角,即线面角,θ2为OB 与OC 所成的角,那么cos θ=cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC =90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ,求线段AH 的长. [解] 由题意知,AB ,AC ,AP 两两垂直,故以A 为原点,分别以AB ―→,AC ―→,AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0). (1)证明:DE ―→=(0,2,0),DB ―→ =(2,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则????? n ·DE ―→=0,n ·DB ―→=0, 即????? 2y =0,2x -2z =0. 不妨取z =1,可得n =(1,0,1).

利用空间向量解立体几何 完整版

向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离

点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法

利用向量法求空间角经典教案

利用空间向量求空间角 目标:会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法; 一、复习回顾向量的有关知识: (1)两向量数量积的定义:><=?,cos ||||(2)两向量夹角公式:| |||,cos b a b a >= < 二、知识讲解与典例分析 知识点1:两直线所成的角(范围:]2 , 0(π θ∈) (1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a′与b′,那么直线a′与b′ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与b 所成的角. (2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b , 问题1: 当与的夹角不大于90°时,异面直线 的角θ与 和 的夹角的关系? 问题 2:与的夹角大于90°时,,异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系? 结论:异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ 例1如图,正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2,求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤:1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解:如图建立空间直角坐标系xyz A -,则)2,,0(),0,2 1 ,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC - =,)2,2 1 ,23(1a a a CB = 即21323,cos 22 111111==>= <11,cos BE DF 与>

空间向量及立体几何练习试题和答案解析

. 1.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD, 点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4. 的中点;PB(1)求证:M为 的大小;A2)求二面角B﹣PD﹣( 所成角的正弦值.BDP(3)求直线MC与平面 【分析】(1)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接OM,利用线面平行的性质证明OM∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点; (2)取AD中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,再证明OG⊥AD.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小; (3)求出的坐标,由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 【解答】(1)证明:如图,设AC∩BD=O,

∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,连接OM, ∵PD∥平面MAC,PD?平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM, ∴PD∥OM,则,即M为PB的中点; (2)解:取AD中点G, . . ∵PA=PD,∴PG⊥AD, ∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG, 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD. 以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系, 由PA=PD=,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0,),C (2,4,0),B(﹣2,4,0),M(﹣1,2,), ,.

利用空间向量求空间角和距离

利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知M ,N 分别是BD 和AD 的中点,则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B .3015 C. 3010 D. 1515 解析:选C 建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则B 1(2,2,2),M (1,1,0),D 1(0,0,2),N (1,0,0),∴B 1M ―→ =(-1,-1,-2),D 1N ―→ =(1,0,-2), ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|= |-1+4|1+1+4×1+4=30 10 . 2.如图,已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =3,E 为线段AB 上一点,且AE =1 3AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B .277 C.33 D.24 解析:选A 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,3,1),D 1(0,0,1),E (1,1,0),C (0,3,0), ∴DC 1―→=(0,3,1),D 1E ―→=(1,1,-1),D 1C ―→ =(0,3,-1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则????? n ·D 1E ―→=0,n · D 1C ―→=0,即????? x +y -z =0,3y -z =0,取y =1,得n =(2,1,3). ∴cos DC 1―→,n =DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| =33535, ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲:立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生会求平面的法向量; 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法; 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量; 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式: 1、二面角的平面角:(范围:],0[πθ∈) 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形) Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图,ABCD 是一直角梯形,?=∠90ABC ,⊥SA 面ABCD ,1===BC AB SA ,

高中数学讲义微专题64 空间向量解立体几何(含综合题习题)

微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 (一)刻画直线与平面方向的向量 1、直线:用直线的方向向量刻画直线的方向问题,而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如:()()2,4,6,3,0,2A B ,则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面:用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度,何为法向量?与平面α垂直的直线称为平面α的法线,法线的方向向量就是平面α的法向量,如何求出指定平面的法向量呢? (1)所需条件:平面上的两条不平行的直线 (2)求法:(先设再求)设平面α的法向量为(),,n x y z =,若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==,则可列出方程组: 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如:()()1,2,0,2,1,3a b ==,求,a b 所在平面的法向量 解:设(),,n x y z =,则有20230x y x y z +=??++=? ,解得:2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- (二)空间向量可解决的立体几何问题(用,a b 表示直线,a b 的方向向量,用,m n 表示平面 ,αβ的法向量) 1、判定类 (1)线面平行:a b a b ?∥∥ (2)线面垂直:a b a b ⊥?⊥ (3)面面平行:m n αβ?∥∥ (4)面面垂直:m n αβ⊥?⊥ 2、计算类: (1)两直线所成角:cos cos ,a b a b a b θ?==

向量法求空间角(高二数学,立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1.(本小题满分10分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD 为正方形,四边形ADPQ 是直角梯形,DP AD ⊥,⊥CD 平面ADPQ ,DP AQ AB 2 1==. (1)求证:⊥PQ 平面DCQ ; (2)求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小. 2.(满分13分)如图所示,正四棱锥P -ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6. (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小; (2)若E 是PB 的中点,求异面直线PD 与AE 所成角的正切值; (3)问在棱AD 上是否存在一点F ,使EF ⊥侧面PBC ,若存在,试确定点F 的位置;若不存在,说明理由. B

3.(本小题只理科做,满分14分)如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. (1)求证:AF//平面BCE; (2)求证:平面BCE⊥平面CDE; (3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4.(本小题满分12分)如图,在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点. = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; (1)求证:// (2)求平面GEF和平面DEF的夹角.

H P G F E D C B 5.如图,在直三棱柱111AB C A B C -中,平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. (Ⅰ)求证:AB BC ⊥; (Ⅱ)若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6.如图,四边形ABCD 是正方形,EA ⊥平面ABCD ,EA PD ,2AD PD EA ==,F ,G , H 分别为PB ,EB ,PC 的中点. (1)求证:FG 平面PED ; (2)求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小.

第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)

第43讲 利用空间向量求空间角和距离 思维导图 知识梳理 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b |, 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a ·n | |a ||n | 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). (2)平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|= |n 1·n 2| |n 1||n 2| ,如图(2)(3). 4.利用空间向量求距离 (1)两点间的距离

设点A (x 1,y 1,z 1),点B (x 2,y 2,z 2),则|AB |=|AB ―→ |=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2+(z 1-z 2)2. (2)点到平面的距离 如图所示,已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到平面α的距离为|BO ―→|=|AB ―→ ·n | |n | . 题型归纳 题型1 异面直线所成的角 【例1-1】(2020?济南模拟)已知直角梯形ABCD 中,//AD BC ,AB BC ⊥,1 2 AB AD BC == ,将直角梯形ABCD (及其内部)以AB 所在直线为轴顺时针旋转90?,形成如图所示的几何体,其中M 为CE 的中点. (1)求证:BM DF ⊥; (2)求异面直线BM 与EF 所成角的大小. 【分析】(1)建立空间坐标系,得出BM ,DF 的坐标,根据向量的数量积为0得出直线垂直; (2)计算BM 和EF 的夹角,从而得出异面直线所成角的大小. 【解答】(1)证明: AB BC ⊥,AB BE ⊥,BC BE B =, AB ∴⊥平面BCE , 以B 为原点,以BE ,BC ,BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -,如图所示: 设1AB AD ==,则(0D ,1,1),(1F ,0,1),(0B ,0,0),M 0), ∴(2BM =,0),(1DF =,1-,0),

利用向量方法求空间角

利用向量方法求空间角 导学目标:1?掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围2掌握异面直线所成 的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别.3?体会求空间角中的转化思想、 数形结合思想,熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角. 课前准备里」回扣戟材夯宴基础______________________________________________ 【自主梳理】 1.两条异面直线的夹角 (1)定义:设a, b是两条异面直线,在直线 a上任取一点作直线 a'// b,则a'与a的夹角叫做a与b的夹角. (2) 范围:两异面直线夹角0的取值范围是 __________________________________________ . (3)___________________________________________________________________________ 向量求法:设直线 a, b的方向向量为a, b,其夹角为購则有cos 0= ___________________________ = 2.直线与平面的夹角 (1)定义:直线和平面的夹角,是指直线与它在这个平面内的射影的夹角. ⑵范围:直线和平面夹角0 的取值范围是 (3)向量求法:设直线I的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为0, a与u的夹角为為则有sin 0= ____________ 或cos 0= sin ? 3.二面角 (1) _____________________________ 二面角的取值范围是. (2)二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面角a I—B的两个面内与棱I垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①). 胖I ① ② ③ ②设ni,n2分别是二面角 a— I —B的两个面 a B的法向量,则向量 m与匝的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③). 自我检测】 1.已知两平面的法向量分别为 m= (0,1,0),n = (0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A. 45 ° B. 135 ° C. 45。或135 ° D. 90 ° 2?若直线l1,I2的方向向量分别为a= (2,4,- 4),b= (-6,9,6),则() A . I1 / I2 B. I1 丄丨2 C. l1与12相交但不垂直 D.以上均不正确 3.若直线I的方向向量与平面a的法向量的夹角等于 120。,则直线I与平面a所成的 角等于() A . 120 ° B. 60 ° C. 30° D.以上均错 4.(2011湛江月考)二面角的棱上有 A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平

第8讲立体几何中的向量方法求空间角 (1)

第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角 一、选择题 1.(2016·长沙模拟)在正方体A1B1C1D1-ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为() A.π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体边长为1,则A(0,0,0),C(1,1,0),B1(1,0,1),D(0,1,0). ∴AC→=(1,1,0),B1D →=(-1,1,-1), ∵AC→·B1D →=1×(-1)+1×1+0×(-1)=0, ∴AC→⊥B1D →, ∴AC与B1D所成的角为π2. 答案 D 2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正弦值为() A. 3 2 B. 3 3 C. 3 5 D. 2 5 解析设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如 图所示.则B(1,1,0),B1(1,1,1),A(1,0,0),C(0,1, 0),D1(0,0,1), 所以BB1→=(0,0,1),AC→=(-1,1,0),AD1 →=(-1,0,1). 令平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则n·AC→=-x+y=0,n·AD1 →=-x+z =0,令x=1,可得n=(1,1,1),

所以sin θ=|cos 〈n ,BB 1→ 〉|=13×1=3 3 . 答案 B 3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz ,设棱长为1, 则A 1(0,0,1), E ? ????1,0,12,D (0,1,0), ∴A 1D →=(0,1,-1), A 1E →=? ????1,0,-12, 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1=(1,y ,z ),所以有???A 1D →·n 1=0,A 1E →·n 1=0,即???y -z =0,1-12z =0,解得????? y =2,z =2. ∴n 1=(1,2,2). ∵平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1), ∴ cos 〈n 1,n 2〉=23×1=23. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 答案 B 4.(2017·西安调研)已知六面体ABC -A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱,D 是侧棱CC 1的中点,则直线CC 1与平面AB 1D 所成

向量法求空间角(有答案)

姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 17向量法求空间角 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l 1与l 2所成的角θ 设l 1与l 2的方向向量为a ,b ,则cos θ=___________=_______________ (0,π 2 ] 直线l 与平面 α所成的角θ 设l 的方向向量为a ,平面 α的法向量为n ,则sin θ=___________=________ [0,π 2] 二面角α-l -β的平面角θ 设平面α,β的法向量为n 1, n 2,则|cos θ|=___________=|n 1·n 2| |n 1|·|n 2| [0,π] 类型一 异面直线所成的角 例1、如图,在三棱锥V -ABC 中,顶点C 在空间直角坐标系的原点处,顶点A ,B ,V 分别在x 轴、y 轴、z 轴上,D 是线段AB 的中点,且AC =BC =2,∠VDC =θ. 当θ=π 3时,求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值 【自主解答】 由于AC =BC =2,D 是AB 的中点,所以C (0,0,0),A (2,0,0),B (0,2,0),D (1,1,0) 当θ=π 3 时,在Rt △VCD 中,CD =2,∴V (0,0,6),∴AC →=(-2,0,0),VD → =(1,1,-6), ∴cos 〈AC → ,VD → 〉= AC →·VD → |AC →||VD →| =-22×22=-24. ∴异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24. 1.几何法求异面直线的夹角时,需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角,再解三角形来求解,过程相当复杂;用向量法求异面直线的夹角,可以避免复杂的几何作图和论证过程只需对相应向量运算即可. 2.由于两异面直线夹角θ的范围是(0,π 2],而两向量夹角α的范围是[0,π],故应有cos θ=|cos α|,求解时要特别注意. 变式1、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知DA =DC =4,DD 1=3,求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值. 【解】 以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如图,则A 1(4,0,3),B (4,4,0),B 1(4,4,3),C (0,4,0),

利用空间向量解立体几何完整

利用空间向量解立体几何(完整版)

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向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直,线面垂直,线线平行,线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成角,面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角,而如何用向量证明线面平行,计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多,给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难,下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法,起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离: 方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 002 2 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ u u u r , 计算平面α的法向量n , 计算PQ u u u r 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤:

利用空间向量求空间角

2-? AB,n?或 2,所以sinθ 利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角 范围:两条异面直线所成的夹角的取值范围是0 ≤θ≤90 。 向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,若a与b的夹角为锐角,则θ=cos?a,b?,若a与b的夹角为钝角则θ=π-?a,b?,所以有cosθ=cos?a,b? 练习在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. (2)直线与平面所成的角 定义:直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。 范围:直线和平面所夹角的取值范围是0 ≤θ≤90 。 向量求法: 若n是平面α的法向量,AB是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ= π θ=?AB,n?- π=cos?AB,n? 练习:1:正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是AB,C1D1的中点,求A1B1与平面A1EF 所成的角

A = | AB | ? 2:在三棱锥 P —OCB 中,PO ⊥ 平面 OCB,OB ⊥ OC ,OB=OC= 2 ,PC=4,D 为 PC 的中点, 求 OD 与平面 PBC 所成的角 (3)二面角 二面角的取值范围是 0 ≤ θ ≤ 180 。 二面角的向量求法: 方法一:在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量,则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小; 方法二:设 n 1 , n 2 分别是两个面的法向量,则向量 n 1 与 n 2 的夹角(或其补角 )即 为所求二面角的平面角的大小。 (4)点到平面的距离 A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 A B 及垂线 AH.,斜线 AB 与平面α 的夹角为θ | AH |=| AB | ? s in θ =| AB | ? | cos < AB , n >| | AB ? n | | AB | ? | n | = | AB ? n | | n | n B H 典题赏析 题目 1:如图,在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD , AB = 3 , BC = 1 , PA = 2 , E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N ,使 NE ⊥ 面 PAC , 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离. 解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A , B , C , D , P , E 的坐标为 A (0,0,0) 、

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

第二讲:立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往学生学习立体几何时,主要采取“形到形”的综合 推理方法,即根据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般 规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强,致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中,向量知识的引入,为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题,体现了数形结合的思想。并且引入向量,对于某些立体几何问题提供通法,避免了传统立体几何中的技巧性问题,因此降低了学生学习的难度,减轻了学生学习的负担,体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要,需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值,激发学生学习向量的兴趣,从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角,不需要繁杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法; 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量; 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识: 1

1、直线与平面所成的角:(范围:二? [0,—]) 2 思考:设平面:的法向量为n,则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 (图 ) 2

利用空间向量求空间角-教案

利用空间向量求空间角-教案

利用空间向量求空间角 备课人:龙朝芬授课人:龙朝芬 授课时间:2016年11月28日一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标

系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l , m 的方向向量分别为a ,b ,异面直线l ,m 所成的角 为θ,则cos cos ,a b θ== a b a b ?. 2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,θ为l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ== a n a n ?. α m b θ a l

3、面面角公式:设1 n ,2 n 分别为平面α、β的法向 量,二面角为θ,则12 ,n n θ= 或12 ,n n θπ=- (需要根据 具体情况判断相等或互补),其中121212 cos ,n n n n n n ?= . (二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=, SO ⊥ 面OABC ,且1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n a

利用空间向量求空间角检测题

利用空间向量求空间角检测题 (试卷满分100分,考试时间90分钟) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A .45° B.135° C .45°或135° D .90° 解析:选C ∵cos m ,n =m ·n |m ||n |=12=22,∴m ,n =45°. ∴二面角为45°或135°.故选C. 2.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AD =AA 1=1,AB =3,E 为线段AB 上一点,且AE =1 3AB ,则DC 1与平面D 1EC 所成角的正弦值为 ( ) A.33535 B.277 C.3 3 D.24 解析:选A 如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,3,1),D 1(0,0,1),E (1,1,0),C (0,3,0), ∴DC 1―→=(0,3,1),D 1E ―→=(1,1,-1),D 1C ―→ =(0,3,-1). 设平面D 1EC 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则????? n ·D 1E ―→=0,n · D 1C ―→=0,即????? x +y -z =0,3y -z =0,取y =1,得n =(2,1,3). ∴cos DC 1―→ ,n =DC 1―→·n | DC 1―→ |·|n |=33535, ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 . 3.把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使得平面ABD ⊥平面CBD ,则异面直线AD ,BC 所成的角为( ) A .120° B.30° C .90° D .60° 解析:选D 建立如图所示的空间直角坐标系,则A (2,0,0),B (0,2,0),C (0,0,

利用空间向量求空间角 教案

利用空间向量求空间角 备课人:龙朝芬授课人:龙朝芬 授课时间:2016年11月28日一、高考考纲要求: 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题.体会向量法在立体几何中的应用. 二、命题趋势: 在高考中,本部分知识是考查的重点内容之一,主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算,属中档题,综合性较强,与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能:能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题,了解向量法在研究立体几何问题中的应用; 过程与方法:通过向量这个载体,实现“几何问题代数化”的思想,进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力; 情感态度价值观:通过数形结合的思想和方法的应用,进一步让学生感受和体会空间直角坐标系,方向向量,法向量的魅力. 四、教学重难点 重点:用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角; 难点:将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 (一)空间角公式 1、异面直线所成角公式:如图,设异面直线l,m的方向向量分别为a,b,异面直线l,m b a b a b ? . bθ a

2、线面角公式:设直线l 为平面α的斜线,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,θ为 l 与α所成的角,则sin cos ,a n θ== a n a n ?. 3、面面角公式:设1n ,2n 分别为平面α、β的法向量,二面角为θ,则12,n n θ=或12,n n θπ=-(需要根据具体情况判断相等或互补) ,其中12 1212 cos ,n n n n n n ?=. (二)典例分析 如图,已知:在直角梯形OABC 中,//OA BC ,90AOC ∠=,SO ⊥面OABC ,且 1,2OS OC BC OA ====.求: (1)异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面SAB 所成角α的正弦值; (3)二面角B AS O --的余弦值. O A B C S

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