2016年春季新版湘教版九年级数学下学期1.1、二次函数教案3
1.1 二次函数
【知识与技能】
1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.
【过程与方法】
经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
【情感态度】
体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识.
【教学重点】
二次函数的概念.
【教学难点】
在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程.
一、情境导入，初步认识
1.教材P2“动脑筋”中的两个问题：矩形植物园的面积S(m 2
）与相邻于围墙面的每一面墙的长度x(m)的关系式是S=-2x 2+100x,(0 2.对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围是否会有一些限制呢?有. 二、思考探究，获取新知 二次函数的概念及一般形式 在上述学生回答后,教师给出二次函数的定义:一般地,形如y=ax 2+bx+c(a, b,c 是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量,a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意:①二次函数中二次项系数不能为0.②在指出二次函数中各项系数时,要连同符号一起指出. 三、典例精析，掌握新知 例1 指出下列函数中哪些是二次函数. (1)y=(x-3)2-x 2 ；(2)y=2x(x-1)；(3)y=32x-1；(4)y=22x ；(5)y=5-x 2+x. 【分析】先化为一般形式，右边为整式，依照定义分析. 解:(2)(5)是二次函数,其余不是. 【教学说明】判定一个函数是否为二次函数的思路: 湘教版二次函数的应用（2） 二次函数与一元二次方程的联系 教学目标： 知识与技能：掌握求二次函数图象与X 轴交点方法； 过程与方法：经历观察图象求二次函数图象与X 轴交点的过程，找出二次函数与一元二次方程的联系； 情感态度与价值观：培养学生观察，拓展的思维能力。 教学重难点： 重点：二次函数图象与X 轴交点方法； 难点：通过二次函数图象估算一元二次方程的值。 教学过程： 复习：建立二次函数要注意的问题。 新知：掷铅球时，铅球在空中经过的路线是抛物线. 已知某运动员掷铅球时，铅球在空中经过的抛物线的解析式为 其中x 是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度，你能求出铅球被扔出多远吗？ 学生交流讨论。 铅球的着地点A 的纵坐标y=0，横坐标x 就是铅球被扔出去的水平距离，由抛物线的解析式①，得 219=++1. 4020 y x x -①2190 = ++1. 4020x x - 即 ： x 2-18x-40=0. 通过十字相乘法解得： x 1=20，x 2=-2(不合题意，舍去). 所以，铅球被扔出去20m 远. 当铅球离地面高度为2m 时，它离初始位置的水平距离是多少(精确到0.01m)？ 因此，我们可以在直角坐标系中画出铅球所经过的路线图. 如图2-14所示. 从上面例子，求铅球被扔出去多远的解题过程中，你看到在求抛物线与x 轴的交点的横坐标时，需要做什么事情？ 需要令y=0，解所得的一元二次方程. 学生思考二次函数与一元二次方程的联系是什么？ 例2 求抛物线y=4x 2+12x+5与x 轴的交点的横坐标. 解 ： 4x 2+12x+5=0， （2x+5）（2x+1）=0 解得： 所以抛物线y=4x 2+12x+5与x 轴的交点的横坐标为21 -或2 5- 。 12 15= = .22 x x --, 1.5 二次函数的应用 知|识|目|标 1．通过回顾建立方程模型解决实际问题的基本方法，在探究“动脑筋”的基础上，理解通过建立二次函数模型解决实际问题的方法． 2．根据几何图形及其性质建立二次函数关系，并能解决有关面积的问题． 3．能够利用二次函数的最大(小)值解决实际问题中的最值问题． 目标一理解建立二次函数模型解决实际问题的方法 例1 教材“动脑筋”改编有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20 m，拱顶距离水面4 m. (1)在如图1－5－1所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的函数表达式； (2)在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽为d m，求d关于h的函数表达式； (3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行． 图1－5－1 【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的“五步骤”： (1)恰当地建立平面直角坐标系； (2)将已知条件转化为点的坐标； (3)合理地设出所求函数表达式； (4)代入已知条件或点的坐标求出函数表达式； (5)利用函数表达式解决问题． 目标二能利用二次函数解决几何图形的面积问题 例2 高频考题如图1－5－2，把一张长15 cm、宽12 cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为x cm. (1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积． (2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130 cm2? (3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值，若有，请求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，请说明理由． 第2章 二次函数检测题 （本检测题满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.抛物线向右平移3个单位得到的抛物线对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 2.已知二次函数的图象如图所示，则对应a ,k 的符号正确的是（ ） A. B. C. D. 3.把二次函数2 1 3212--- =x x y 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的解析式是（ ） A.x y (21- = B.x y (21- = C.x y (2 1- = D.x y (2 1- = 4.一次函数 与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） 5.在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴的交点的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0 x y O 第2题图 6.抛物线轴的交点的纵坐标为（ ） A.-3 B.-4 C.-5 Ｄ.-1 7.对于任意实数，抛物线 总经过一个固定的点，这个点是（ ） A.（1，0） B.（，0） C.（ ，3） D.（1，3） 8.已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，那么（ ） A. B. C. D. 9.若（2， 5），（4， 5）是抛物线 上的两点，则它的对称轴是（ ） A. 直线 B.直线 C.直线 D.直线 10.已知二次函数的图象如图所示,其 对称轴为直线，给出下列结论: (1)； (2) ＞0；(3) ； (4) ； (5) . 期中正确的结论是（ ） A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(4)(5) C.(2)(3)(4) D.(1)(4)(5) 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若抛物线 经过原点，则= . 12.如果二次函数1 6 图象顶点的横坐标为1，则的值为 . 13.对于二次函数 ， 已知当由1增加到2时，函数值减小3，则常数的值是 . 14.将抛物线3)3(22 +-=x y 向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______. 15.抛物线在轴上截得的线段长度是 . 16.二次函数 的图象是由函数 的图象先 向 （左、右）平移 个单位，再向 （上、 下）平移 个单位得到的. 17.如图，已知抛物线 经过点（0,－3）, 请你确定一个的值使该抛物线与轴的一个交点在(1,0) 第10题图 第17题图 2.3 二次函数的应用 目标与方法： 1、通过简单的实例，了解常量与变量的意义，能确定实际问题中的变量与常量； 2、初步掌握函数的概念，能判断两个变量之间的关系是不是函数关系，能分清函数关系中的自变量与函数（因变量）； 3、初步学会用变化的观点及思想去认识世界、解决问题。 重点与难点： 1、确定实际问题中的变量与常量；分清函数关系中的自变量与函数（因变量）； 2、判断两个变量之间的关系是不是函数关系。 教学过程： 一、引入 从甲地到乙地，座在匀速行驶 的列车上，小明、小丽、小亮和小华 谈论着车速、路程和时间，谈论着数 量的变化和位置的变化。你如果是 他们中的一员，请思考下列问题： 1、列车行驶这一过程中，哪些数量在改变，哪些数量没有变？（和小明、小丽、小亮和小华的答案作对比） 2、除了小明、小丽所说的那些不变的数量外，在这个问题中还有不变的数量吗？ 3、除了小亮、小华所说的那些变化的数量外，在这个问题中还有变化的数量吗？ 二、探索新知 在上面的过程中，列车行驶的速度，甲、乙两地的路程都始终保持同一数值；列车行驶的时间，列车与甲、乙两地间的路程不断变化。 ※在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量。 三、灵活应用 【例】(1)匀速直线运动中，速度是常量，时间与路程均为变量；(2)电影院里统计票房收入，对某一个场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量；(3)某日或连续几日测量某同学的身高，可以近似地看做常量；… 四、函数的引入 1、工作人员将水库的水位变化与水库蓄水量变化情况列成下表： 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/m3 2.30×1077.09×107 1.18×108 1.23×108… 2.3二次函数的应用 【知识要点】 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 课内同步精练 ●A 组 基础练习 1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ，与x 轴的交点是 ，当x= 时，y 有最 ，是 . 2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是 ，b 的符号 是 ，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0, 当x 时，y < 0 . 3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ） A .1 B. 0 C. 2 D. 0或2 4. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x =≠>的图象是（ ） ●B 组 提高训练 5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满 足函数关系y=-0.1x 2+2.6x +43（0≤x ≤30）.y 值越大，表示接受能力越强． (l) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐 步降低？ (2)某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？ (3)学生思考多少时间后再提出概念，其接受能力最强？ 课外拓展练习 ●A 组 基础练习 1. 抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象象经过第 象限 2. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ). 3. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的最大值为94 ，则m= ． 4. 正方形边长为 2 ，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与二的函数关系式 . 5. 二次函数y=4x 2 -x+1的图象与x 轴的交点个数是（ ） A. l 个 B.2个 C. l 个 D.无法确定 （一）二次函数2014 新湘教版九年级数学下 第一章二次函数 1、二次函数的概念：一般地，形如y =ax2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 、二次函数y =ax2+bx +c 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 最高次数是2． ⑵ a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的图像和性质 1、二次函数的基本形式 （1）二次函数基本形式：y =ax2的图像和性质： a 的符号开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 性质 a > 0 向上(0，0) y 轴 x > 0 时，y 随x 的增大而增大； x < 0 时，y 随x 的增大而减小； x = 0 时，y 有最小值0 ． a < 0 向下(0，0) y 轴 x > 0 时，y 随x 的增大而减小； x < 0 时，y 随x 的增大而增大； x = 0 时，y 有最大值0 ． （2）y =ax2+c 的图像和性质：（上加下减） a 的符号开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 性质 a > 0 向上(0，c) y 轴 x > 0 时，y 随x 的增大而增大； x < 0 时，y 随x 的增大而减小； x = 0 时，y 有最小值c ． a < 0 向下(0，c) y 轴 x > 0 时，y 随x 的增大而减小； x < 0 时，y 随x 的增大而增大； x = 0 时，y 有最大值c ． （3）y =a (x-h)2 的性质（左加右减） a 的符号开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 性质 a > 0 向上(h ，0) X=h x >h 时，y 随x 的增大而增大； x 湘教版2010年九年级下第二章 二次函数单元测试题 班级 姓名 成绩 一、 选择题 1.二次函数522 -+=x x y 取最小值时，自变量x 的值是 （ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 2.函数12 +-=x y 的图象大致为 （ ） 3．已知二次函数y=x 2 +x+m ，当x 取任意实数时，都有y>0，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥ 14 B ．m>14 C ．m ≤14 D ．m<1 4 4.无论m 为何实数,二次函数y=x 2 -(2-m)x+m 的图象总是过定点( ) A.(1,3) B.(1,0); C.(-1,3) D.(-1,0) 5．二次函数y=mx 2 -4x+1有最小值-3，则m 等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．± 1 2 6.把抛物线1422 ++-=x x y 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是 （ ） A.6)1(22+--=x y B. 6)1(22 ---=x y C .6)1(22++-=x y D. 6)1(22 -+-=x y 7.把抛物线y=2x 2 -4x-5绕顶点旋转180o，得到的新抛物线的解析式是（ ） （A ）y= -2x 2 -4x-5 （B ）y=-2x 2 +4x+5 （C ）y=-2x 2 +4x-9 （D ）以上都不对 8.函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示, 那么关于x 的方程ax 2 +bx+c-3=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等实数根 D.无实数根 9．如图，Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=?t 截此三角 形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ） 10．已知不等式x 2 +px+q<0的解集是 -3 1.5 二次函数的应用 第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题 基础题 知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题 1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－1 25 x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C) A ．－20 m B ．10 m C ．20 m D ．－10 m 2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m ，此时距喷水管的水平距离为1 2 m ，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C) A ．y ＝－(x －1 2)2＋3 B ．y ＝－3(x ＋12)2 ＋3 C ．y ＝－12(x －1 2)2＋3 D ．y ＝－12(x ＋1 2 )2＋3 3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB ＝4 m ，顶部C 离地面高为4.4 m. (1)以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4 m ，请通过计算， 判断这辆汽车能否顺利通过大门． 解：(1)如图，过AB 的中点作AB 的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A ，B ，C 的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)． 设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋2)． 将点C(0，4.4)代入得 a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a ＝－1.1， ∴y＝－1.1(x －2)(x ＋2)＝－1.1x 2＋4.4. 故此抛物线的表达式为y ＝－1.1x 2＋4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4， ∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可． 将x ＝1.2代入抛物线，得 y ＝2.816＞2.8， ∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内． ∴这辆汽车能够通过大门． 知识点2 利用二次函数解决面积问题 4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C) A ．60 m 2 B ．63 m 2 C ．64 m 2 D ．66 m 2 5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B) A ．600 m 2 B ．625 m 2 C ．650 m 2 D ．675 m 2 6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是252 cm 2. 二次函数 第1课时二次函数 一、阅读教科书第2—3页 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y＝6x2；②y＝－3 2x 2＋30x；③y＝200x2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________． 2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋ 1 x 五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x m m 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A．y＝x＋ 1 2B．y＝3 (x－1) 2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝ 1 x2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A．28米B．48米C．68米D．88米 4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式 _______________________． 5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式； （2）当x＝4时，y的值； （3）当y＝－ 1 3时，x的值． 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题 1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点) 2．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题. 一、情境导入 如图所示，要用长20m 的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？ 如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y ＝x (20－2x )．试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？ 二、合作探究 探究点一：最大利润问题 某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示． (1)求y 2的解析式； (2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过(3，6)，(7，7)两点，∴? ????9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得???m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12，x 取整数)； (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过(4，11)，(8，10)两点，∴?????4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得?????k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14 x ＋12(1≤x ≤12，x 取整数)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214 (1≤x ≤12，x 取整数)，∴当x ＝3时，w 取最大值214 ，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214 元/千克． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 探究点二：几何面积问题 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米． (1)求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y 的最大值，与70比较大小，即可作出判断． 解：(1)y ＝x (16－x )＝－x 2＋16x (0＜x ＜16)； (2)当y ＝60时，－x 2＋16x ＝60，解得x 1＝10，x 2＝6.所以当x ＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米； (3)方法一：当y ＝70时，－x 2＋16x ＝70，整理得x 2－16x ＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场；方法二：y ＝－x 2＋16x ＝－(x －8)2＋64，当x ＝8时，y 有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场． 方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程，再利用函数和方程的思想进行解答． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 三、板书设计 - 1 - 二次函数单元测试题一 一、选一.选择题:（每题3分，共30 分） 1.2.3.关于二次函数y=x 2+4x －7的最大(小)值，叙述正确的是( ) A.当x=2时，函数有最大值 B.x=2时，函数有最小值 当x=－1时，函数有最大值 D.当x=－2时，函数有最小值 4.二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示，则下列结论正确的是（ ） a b c ><>000，， B. a b c <<>000，， C. a b c <><000，， D. a b c <>>000，， 5.如果二次函数 y ax bx c =++2（a ＞0）的顶点在x 轴上方，那么（ ） A.b 2 －4ac ≥0 B.b 2 －4ac ＜0 C.b 2 －4ac ＞0 D.b 2 －4ac ＝0 6.已知二次函数y=－12x 2－3x －5 2 ，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3， 且－3 第一章一元二次函数单元测试题 （时限：100分钟 总分：100分） 班级 姓名 总分 一、 选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为 （ ） A ．(1,1) B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-- 2. 二次函数2)1(2 -+=x y 的最小值是（） A ．1B ．－1 C ．2D ．－2 3．在下列函数解析式中，对称轴为直线x =2的二次函数是（ ） A.y =2x +1 B.122 +=x y C.142 +-=x x y D.142 ++=x x y 4．抛物线5)1(22 +-=x y 与y 轴交点的坐标是（ ） A.（0，5） B.（0， 2 5 ） C.（0，7） D.（1，5） 5．要得到函数12 +=x y 的图象，应将函数2 (2)3y x =--的图象（ ） A.先向下平移3个单位，再向下平移2个单位 B.先向左平移2个单位，再向上平移4个单位 C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D.先向右平移2个单位，再向下平移2个单位 6．根据下列表格中的二次函数c bx ax y ++=2 的自变量x 与对应y 值，判断方程 02=++c bx ax （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的一个解x 的范围是（） x 6.17 6.18 6.19 6.20 c bx ax y ++=2 -0.03 -0.01 0.02 0.04 A. 17.66< 1 / 19 初中数学湘教版九年级下册第一章1.5二次函数的应用练 习题 一、选择题 1. 设等边三角形的边长为x(x >0)，面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( ) A. y =1 2x 2 B. y =1 4x 2 C. y =√32x 2 D. y =√34 x 2 2. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线， 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度?(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表： 下列结论：① 足球距离地面的最大高度为20m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t =9 2；③足球被踢出9s 时落地；④足球被踢出1.5s 时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以看作是 抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y =ax 2+bx +c(a ≠0).下表记录了该同学将篮球投出后的x 与y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为( ) A. 1.5m B. 2m C. 2.5m D. 3m 4. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时间t 以(单位：s)的函数解析式是y = 60t ?3 2t 2.在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是( )s ． A. 10 B. 20 C. 30 D. 10或30 5.如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y= ?1 12x2+2 3 x+5 3 ，则此运动员把铅球推出多远() A. 12m B. 10m C. 3m D. 4m 6.烟花厂某种礼炮的升空高度?(m)与飞行时间t(s)的关系式是?=?2t2+20t+1， 若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为() A. 4s B. 5s C. 6s D. 10s 7.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产 品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=?n2+15n?36，那么该企业一年中应停产的月份是() A. 1月，2月 B. 1月，2月，3月 C. 3月，12月 D. 1月，2月，3月，12月 8.运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间的函数表 达式为y=?1 12x2+2 3 x+5 3 ，则该运动员的成绩是() A. 6m B. 12m C. 8m D. 10m 9.一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件．根据销售统计， 该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为() A. 5元 B. 10元 C. 0元 D. 6元 10.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度?(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式 ?=?t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 a=_________时，其图象开口向上；当a=_________时，其图 x cm(x<6)的小正方形，剩下的四方框形的面积 _________。 A(3，－9)，则其表达式为_________。 _________，顶点坐标是_________。 y=x 2 的交点坐标是_________。 ）。 图2 y=a(x －h)2 +k 的形式是（ ）。 B ．y=21(x －1)2+21 D ．y=2 1(x+2)2 －1 5，则自变量x 的值应为（ ）。 1 C ．±1 D ． 2 2 3 _____象限（ ）。 C ．三 D ．四 3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）。 B ．y=21(x －3)2 +2 D ．y=2 1(x+3)2 +2 2mx －m 的图象如图3所示，则m 的取值范围是（ ）。 m<0 C ．m<3 D ．0 y随x的增大而减小 分) －1)2；(3)y=x2+1；(4)y=x2－1的图象通过怎样 －2x+c与二次函数y=ax2+bx－4的图象都经过点A(1，－1)，二次函数 －m)x2+(m－1)x+m+1. m的值; m的值应怎样？ 2有最大值或最小值？ t(s)h=经过多长时间，火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s= 100 1 v2确定；雨天行驶时，这一 ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？ 60 km/h与80 km/h，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距 分) “已知二次函数y=ax2+bx+c图象过P(1，－4)，且有c=－3a，……求A(－1，0).”题中“……”部分是一段被墨水污染了无法辨 . 4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行 3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 2014新湘教版九年级数学下 第一章 二次函数 （一）二次函数 1、二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二 次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 、二次函数2 y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的图像和性质 1、二次函数的基本形式 （1）二次函数基本形式：2 y ax =的图像和性质： （2）2 y ax c =+的图像和性质：（上加下减） （3）()2 y a x h =-的性质（左加右减） a 的 符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a > 向上 () 00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大； 0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值0． 0 a < 向下 () 00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小； 0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值0． a 的符 号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 () 0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大； 0x <时，y 随x 的增大而减小； 0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 () 0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小； 0x <时，y 随x 的增大而增大； 0x =时，y 有最大值c ． a 的 符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a > 向上 () 0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 第1章 二次函数 1．1 二次函数 基础题 知识点1 二次函数的定义 1．下列函数是二次函数的是(C) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝x 2＋2 D ．y ＝12x －2 2．若y ＝(m －2)x 2＋2x －3是二次函数，则m 的取值范围是(C) A ．m ＞2 B ．m ＜2 C ．m≠2 D ．m 为任意实数 3．圆的面积公式S ＝πr 2中，S 与r 之间的关系是(C) A ．S 是r 的正比例函数 B ．S 是r 的一次函数 C ．S 是r 的二次函数 D ．以上答案都不对 4．下列哪些函数是二次函数？若是，请写出它们的二次项、一次项和常数项． (1)s ＝3－2t 2； (2)y ＝2x －2x 2； (3)3y ＝3(x －1)2＋1； (4)y ＝－0.5(x －1)(x ＋4)； (5)y ＝2x(x 2＋3x －1)． 解：(1)s ＝3－2t 2是二次函数，二次项是－2t 2，一次项是0，常数项是3. (2)y ＝2x －2x 2是二次函数，二次项是－2x 2 ，一次项是2x ，常数项是0. (3)3y ＝3(x －1)2＋1是二次函数，二次项是x 2，一次项是－2x ，常数项是43 . (4)y ＝－0.5(x －1)(x ＋4)是二次函数，二次项是－0.5x 2，一次项是－1.5x ，常数项是2. (5)y ＝2x(x 2＋3x －1)不是二次函数． 知识点2 建立二次函数模型 5．下列关系中，是二次函数关系的是(C) A ．当距离s 一定时，汽车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 B ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 之间的关系 C ．矩形周长一定时，矩形面积和边长之间的关系 课时训练(十六)二次函数的应用 (限时:45分钟) |夯实基础| 1.某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件.现需降价处理,且经市场调查:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,若设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,则y关于x的函数表达式为() A.y=-x2+10x+1200(0 图K16-1 4.[xx·沈阳]如图K16-2,一块矩形土地ABCD由篱笆围着,并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计),当AB= m时,矩形土地ABCD的面积最大. 图K16-2 5.某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫,前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下: (1)月销量y(件)与售价x(元)的关系满足y=-2x+400; (2)工商部门限制销售价x满足70≤x≤150.给出下列结论(计算月利润时不考虑其他成本): ①这种文化衫的月销量最小为100件; ②这种文化衫的月销量最大为260件; ③销售这种文化衫的月利润最小为2600元; ④销售这种文化衫的月利润最大为9000元. 其中正确的是.(把所有正确结论的序号都填上) 6.如图K16-3,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案,按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为m,到墙边的距离分别为m,m. (1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离; (2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案? 第二章 二次函数 §2.1 建立二次函数模型 一、自学导航： 1. 定义：如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为 ，它的一般形式是 ，其中（ ）。 2.二次函数定义中要求0a ≠，那么b 和c 是否可以为零呢？ 若0b =，则解析式为y ＝ 。 若0c =，则解析式为y ＝ 。 若0b c ==，则解析式为y ＝ 。 以上三种形式都是二次函数的特殊形式。 二、问题探究： 问题一：正确理解反比例函数的表达式。 例1.m 为何值时()2 32 1--+=m m x m y 是二 次函数。 问题二：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数的模型。 例2. 某服饰公司前年的总产值为100万元，去年与前年相比年增长率为x ，预计今年与去年相比年增长率仍为x ，今年的总产值为y 元。 （1）求y 与x 的函数关系式； （2）若使今年的总产量达到169万元，那么增长率x 应为多少？ 三、综合运用： 1．下列函数中，不是二次函数的是（ ） A ．y = B ．223y x =+ C ．2y r π= D ．234y x x =+- 2．在半径为4cm 的圆中，挖去一个半径为xcm 的圆面，剩下的圆环面积为ycm 2 ，则y 与x 之间的函数关系式为 （ ） A ．24y x π=- B ．2(2)y x π=- C ．2(4)y x =-+ D ．216y x ππ=-+ 3．函数2 4 (3)(2)3m m y m x m x +-=++++是 二次函数，那么m 的值是（ ） A ．﹣3 B ．2 C ．﹣3或2 D ．3或﹣2 4.二次函数722-+=x x y 的函数值是8，那么对应的x 的值是( )。 A.3 B.5 C.－3和5 D.3和－5 5．下列函数中，哪些是二次函数？哪些是一次函数？哪些是反比例函数？ ⑴．31y x =+ ⑵．2321y x x =++⑶．234y x =+ ⑷．23y x x =-+ ⑸．13y x = ⑹．2 13 y x = 单元测试(一) 二次函数(A 卷) (时间：45分钟 满分：100分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是(B) A ．xy ＋x 2＝1 B ．x 2 －y ＋2＝0 C ．y ＝1 x 2 D ．y 2 －4x ＝3 2．抛物线y ＝(x －1)2 ＋1的顶点坐标为(A) A ．(1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，1) D ．(－1，－1) 3．将二次函数y ＝x 2－4x －4化为y ＝a(x －h)2 ＋k 的形式，正确的是(D) A ．y ＝(x －2)2 B ．y ＝(x ＋2)2 －8 C ．y ＝(x ＋2)2 D ．y ＝(x －2)2 －8 4．抛物线y ＝2x 2 向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式为(A) A ．y ＝2(x －3)2－5 B ．y ＝2(x ＋3)2 ＋5 C ．y ＝2(x －3)2＋5 D ．y ＝2(x ＋3)2 －5 5．关于函数y ＝3x 2 的性质的叙述，错误的是(B) A ．顶点是原点 B ．y 有最大值 C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 D ．当x<0时，y 随x 的增大而减小 6．在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a(x －h)2 (a≠0)的图象可能是(D) A B C D 7．小颖用计算器探索方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x ＝－3.4，则方程的另一个近似根为(精确到0.1)(D) A ．4.4 B ．3.4 C ．2.4 D ．1.4 8．如图，某运动员在10 m 跳台跳水比赛时估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y ＝－256x 2＋10 3x(图中 标出的数据为已知条件)，运动员在空中运动的最大高度距离水面(D) A ．10 m B ．102 5 m C ．91 3 m D ．1023 m湘教版二次函数的应用(2)
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