高等数学同济大学第六版 4-3答案
习题4-4
求下列不定积分: 1. dx x x ?+3
3
; 解 dx x x x x dx x x dx x x ???+-+-+=+-+=+3
27)93)(3(327273233 ?
?+-+-=dx x dx x x 3
1
27)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 2792
3
3123.
2. ?-++dx x x x 1033
22;
解
C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++??|103|ln )103(1031103322
222.
3. ?--+dx x
x x x 3
458; 解 ???--++++=--+dx x
x x x dx x x dx x x x x 322
3
458)1(8 ???--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13
148213123
C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 82
1
3123.
4. ?+dx x 13
3;
解
???+-?++--?-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223
?
?-+-+
+-+--
+=)21
()2
3
()21(1
23)1(1121|1|ln 2
22
2x d x x x d x x x
C x x x x +-++-+=3
1
2arctan
31|1|ln
2. 5. ?+++)3)(2)(1(x x x xdx
;
解
dx x x x x x x xdx
)33
11
24
(21
)3)(2)(1(+-+-+=+++??
C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21
.
6. ?-++dx x x x )
1()1(1
2
2;
解 ??+--?++?=-++dx x x x dx x x x ])1(1
11211121[)1()1(12
22 C x x x +++-+-=11
|1|ln 21|1|ln 21
C x x +++-=11
|1|ln 212.
7. dx x x )
1(1
2+?;
解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+??)1ln(2
1||ln )11()1(1
22
2. 8. ?++))(1(22x x x dx
;
解
??+?-++?-=++dx x x x x x x x dx )11
2111211())(1(222
?++-+-=dx x x x x 1
1
21|1|ln 21||ln 2
??+-+-+-=dx x dx x x x x 11
211241|1|ln 21||ln 22
C x x x x +-+-+-=arctan 21
)1ln(41|1|ln 21||ln 2.
9. ?+++)
1)(1(22x x x dx
;
解
dx x x
x x x x x x dx )111()1)(1(2222??+-+++=+++
)1ln(2
111211122122
2+-++++++=
??x dx x x x x x ?++++-++=dx x x x x x 11
21)1ln(21|1|ln 21222
C x x x x +++
+-++=3
1
2arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10.
?+dx x 11
4;
解 dx x x x x dx x ??+-++=+)
12)(12(1
1122
4 ??+-+-++++=dx x x x dx x x x 1
221
421221422
2
??+----++++=dx x x x dx x x x 1
222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([8222222
2????+-+++++-+--++++=x x dx
x x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ?++--dx x x x 2
22)1(2
;
解 ???++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11
)1(1)1(22222
22
???++-++-+++=
dx x x dx x x dx x x x 11
)1(123)1(122122
222 ??++-++-++?-=dx x x dx x x x x 1
1)1(12311212
222, 因为
)3
1
2arctan(32)312()3
12(11321122+=+++=++??x x d x dx x x , 而
??
++=++dx x dx x x 2
2222])2
3()21[(1
)1(1
由递推公式 ??--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dx
n a x x
n a a x dx
,
得
??
++=++dx x dx x x 2
2222])2
3()21[(1
)1(1
3
1
2arctan 323211231)1121
()2
3(212222
+?++++?=++++++
=
?x x x x x x dx x x x , 所以 ?++--dx x x x 22
2)1(2
C x x x x x x x ++-+-+++-++?-=3
12arctan 32312arctan 3211221112122 C x x x x ++-
+++-
=3
12arctan
3
41
12
.
12. ?+x dx
2sin 3; 解
?
?
?+=-=+x d x dx x
x
dx
tan 3
tan 41
cos 41sin 32
2
2
C x
x d x +=+=?
3tan 2arctan 321tan )2
3(tan 1412
2. 1
3. ?+dx x
cos 31
;
解 ???+=+=+)
2sec 1(2cos )
2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ?
+=+=C x x x d 22tan
arctan 212
tan 22tan 2. 或
?
?+?++
=+du u u u x
u dx x
22
12
12312
tan
cos 31令 C x
C u du u +=
+=
+=?2
2tan arctan
2
12
arctan
2
1)
2(12
2
. 14.
?+dx x sin 21
;
解 ??
?+=+=+)
2cot 2(csc 2sin )
2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x
??+++-=++-=2
22)2
3()212(cot )
21
2(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x d C x
++-=3
1
2cot 2arctan 32.
或
?
?+?++
=+du u u u x
u dx x
22
12
12212
tan
sin 21
令 ?
?
++=++=du u du u u 2
22)2
3()21(1
1
1
C x
C u ++=++=3
1
2tan 2arctan 32312arctan 32. 15.
?++x x dx
cos sin 1;
解 ?
??+=+=+=++C x x x
d x x dx x x dx |2tan |ln 2
tan
1)
2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或
?
?+?+-+
++
=++du u u u u u
x u x
x dx
2
22212
111211
2
tan
cos sin 1令
C x
C u du u ++=++=+=?|12
tan |ln |1|ln 11. 16.
?+-5cos sin 2x x dx
;
解
?
?
?++=+?++--+=+-du u u du u
u u
u u x u x x dx
2
231125
111412
tan
5
cos sin 22
2
2
2
2令
C x
C u du u ++=++=++=
?
5
1
2tan 3arctan 51513arctan 51)3
5()31(1
312
2. 或
?
?+?++--+=+-du u
u u
u u
x u x x dx
2
2
2
2125
111412
tan
5
cos sin 2令
??++=++=du u du u u 2
22
)3
5()31(1
312231
C x C u ++=++=5
1
2tan 3arctan 51513arctan 51. 17.
?++dx x 3
1
11;
解
???++
-=?+=+=
++du u
u du u
u u
x dx x )11
1(3311
1111
2
33令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(2
3
|1|ln 332333322.
18.
?++dx x x 1
1)(3;
解
C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++??
23
22
332
21]1)[(1
1
)(.
19.
?++-+dx x x 1111;
解
???
++-=?+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )12
2(221111
11
1令 C u u u +++-=|)1|ln 222
1
(22
C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.
?
+4
x
x dx ;
解
??
?+=+du u
u u u x x
x dx 3
24
4
41
令
C u u u du u
u +++-=++
-=?|1|ln 442)11
1(42 C x x x +++-=)1ln(4244.
21.
?
+-x
dx
x x 11;
解 令u x x
=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 2
2)
1(4+-=,
???
++-=+-?-+?=+-du u
u du u u u u u x dx x x )11
11(2)1(411112
22222 C u u u +++-=arctan 2|11
|
ln C x
x
x
x x x ++-+++-+--=11arctan
2|1111|
ln . 22.
?-+3
4
2
)
1()1(x x dx .
解 令u x x =-+3
11, 则11
33-+=u u x , 2
32)1(6--=u u dx , 代入得 C x x C u du x x dx +-+-=+-=-
=-+??33
4
21
1
232323)1()1(.