集合的基本运算练习题
《集合的基本运算》
一、交集、并集概念及性质
思考1．考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：
（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},1,2,3,4,5,6B C ==；
（2）{}A x x =是有理数，{}{},B x x C x x ==是无理数是实数；
并集的定义：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A
与集合B 的并集（union set ）.记作：A ∪B （读作：“A 并B”），即 {},A B x x A ?=∈∈或x B .
用Venn 图表示：
这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即A B ?= C.
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件.
讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？
A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪
B B ∪A
A ∪
B ＝A ? , A ∪B ＝B ? .
巩固练习（口答）：
①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ；
②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ；
③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ .
2.交集的定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、
B 的交集（intersection set ），记作A∩B （读“A 交B”）即：A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}
用Venn 图表示：（阴影部分即为A 与B 的交集）
常见的五种交集的情况：
例1给出下列六个等式：①A A A ?=；②()U A C A U ?=；③()U A C A ?=?；④()A A B A B ??=?；⑤()()A B A B A B ???=?；⑥()A B A A ??=（其中,A B 为全集U 的子集）.其中正确的有 个.
【解析】④、⑤不正确，如{1,2},{2,4}A B ==.
例2 已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.
(1)若A
B =?,求a 的取值范围； (2) 若A
B B =,求a 的取值范围. 解:(1)A B =?, ∴135
a a ≥-??+≤?，解之得12a -≤≤.
(2) A
B B =, ∴A B ?. ∴31a +<-或5a >， 4a <-或5a > ∴若A B =?,则a 的取值范围是[1,2]-；若A B B ?=,则a 的取值范围是(,4)(5,)-∞-?+∞.
二、 全集、补集概念及性质
1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe set ）,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念.
2.补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集（plementary set ），记作：U C A ，
读作：“A 在U 中的补集”，即{}
,U C A x x U x A =∈?且
用Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）
讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？借助Venn 图分析
,,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??== ,U U C U C U =??=
A
例3已知222{|190},{|560}A x x ax a B x x x =-+-==-+=,是否存在实数a ,使A ,B 同时
满足下列三个条件:①A B ≠,②A B B ?=,③?
()A B ?.若存在,试求出a 的值;若不存在,请说明理由.
解:{2,3}B =, ∵A B B ?=, ∴B A ?, ∵?
()A B ?, ∴B ≠?,又A B ≠, ∴{2}A =或{3}A =. 当{2}A =时,有2()4194
a a --=??-=?,此方程组无解. 当{3}A =时,有2()6199a a --=??-=?
,此方程组也无解. ∴不存在满足条件的实数a .
例4设全集U R =，{|M m =方程210mx x --=有实数根}，{|N n =方程20x x n -+=
有实数根}，求()U C M N ?.
解：当0m =时，1x =-，即0M ∈；当0m ≠时，140,m ?=+≥即14
m ≥-，且0m ≠ ∴14m ≥-，∴1|4U C M m m ??=<-???
? 而对于N ，140,n ?=-≥即14n ≤，∴1|4N n n ??=≤???
?. ∴1()
|4U C M N x x ??=<-????. 拓展提升 1.设集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为 （ ）
A ．0X ?
B ．{}0X ∈
C ．X φ∈
D ．{}0X ?
2.设集合{|A y y ==，{|B x y =，则下列关系中正确的是（ ） A ．A B = B ．A B ? C ．B A ? D ．[1,)A B ?=+∞
3.下列说法中，正确的是 （ ）
A.任何一个集合必有两个子集
B.若,A
B φ=则,A B 中至少有一个为φ
C.任何集合必有一个真子集
D.若S 为全集，且,A
B S =则A B S == 4.若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =，则x = .
5. 已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________.
6.设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ??的集合 C 为 .
7.设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{}
2|(1)0B x x m x m =+++=； 若()U C A B =?，求m 的值.
8．设全集{}|010,U x x x N *=<<∈，若{}3A B =，{}1,5,7U A C B =，{}9U U C A C B =，
则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8 9已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤，
{}|2A B x x =>-，求实数a 、b 的值．
解：由32320x x x ++>得(1)(2)0x x x ++>，∴21x -<<-或0x >，
∴(2,1)(0,)A =--+∞，又∵{}|02A B x x =<≤，且{}|2A B x x =>-，
∴[1,2]B =-，∴1-和2是方程20x ax b ++=的根，
由韦达定理得：
{1212a b -+=--?=，∴{
12
a b =-=-．
参考答案
1. D
2. D 【提示】{|0}A y y =≥，{|11}B x x x =≥≤-或.
3.D 【提示】A 错，因为空集只有一个子集；B 错，如{1,2},{3,4}A B ==，有；A
B φ=；
C 错，空集就没有真子集.
4.2,2,0-或 【提示】A B B =， ∴B A ?, ∴24x =或2x x =,且21x ≠. 对所得到的x 进行检验即得.
5.{|0}y y ≤ 【提示】A 表示函数221y x x =-+-的值域，B 表示函数21y x =+的值域.
6.{(1,2)}或? 【提示】{(1,2)}A B ?=，{(1,2)}C ?.
7.解：{}2,1A =--，由(),U C A B B A =??得，
∵方程2(1)0x m x m +++=的判别式:22(1)4(1)0m m m ?=+-=-≥, ∴B ≠?, ∴{}1B =-或{}2B =-或{}1,2B =--.
①若{}1B =-,则1m =；
②若{}2B =-,则应有(1)(2)(2)4m -+=-+-=-且(2)(2)4m =-?-=,这两式不能同时 成立 ,∴{}2B ≠-；
③若{}1,2B =--,则应有(1)(1)(2)3m -+=-+-=-且(1)(2)2m =-?-=,
由这两式得2m =.
经检验知1m =和2m =符合条件.
∴1m =或2.