2018朝阳高三二模数学理含答案

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试 （理工类）

2018．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合2{log 1}A x x =>，{

}1B x x =≥，则A

B =

A ．(1,2]

B ．(1

+)∞， C ．(1)2， D ．[1+)∞， 2．在ABC △

中，π

=1,=

6

AB AC C ∠，则B ∠= A ．

4π B ．4π或2

π

C ．

43π D ．4π或4

3π 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为

A ．10

B ．13

C ．40

D ．121

4．在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ+=与圆:2cos C ρθ=的位置关系为

A ．相交且过圆心

B ．相交但不过圆心

C ．相切

D ．相离

5．如图，角α，β均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点

A ，

B ，则OA OB ?=

A ．)sin(βα-

B ．)sin(βα+

C ．)cos(βα-

D ．)cos(βα+

6．已知函数22,,

(),,x x a f x x x a ?≥=?

则“0a ≤”是“函数()f x 在[0,)+∞上单调递增”的

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．某校象棋社团组织中国象棋比赛．采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

8．若三个非零且互不相等的实数123,,x x x 成等差数列且满足

123

112

x x x +=，

则称123,,x x x 成一个“β等差数列”.已知集合{}

100,M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为

A ．25

B ．50

C ．51

D ．100

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．计算

2

1

=(1i)

+______． 10．双曲线22(0)x y λλ-=≠的离心率是_____；该双曲线的两条渐近线的夹角是______．

11．若31()n

x x -展开式的二项式系数之和为8，则n =____，其展开式中的含

3

1

x 项的系数为______．（用数字作答）

12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是___．

13．已知不等式组0,

2,1(1)y x y y k x ≥??

+≤??+≥+?

在平面直角坐标系xOy 中所表示的平

面区域为D ，D 的面积为S ，则下面结论：

①当0k >时，D 为三角形； ②当0k <时，D 为四边形；

③当13k =时，4S =； ④当1

03

k <≤时，S 为定值．

其中正确的序号是______．

14．如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB ，其余的棱长均为1．四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x

正视图

侧视图

俯视图

弧度，且始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)

已知函数()2sin (sin cos )f x x x x a =+-的图象经过点(,1)2

π

，a ∈R . （Ⅰ）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若当[0,]2

x π∈时，不等式()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 16．(本小题满分13分)

某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和．根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：

（Ⅰ）若从交通得分前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；

（Ⅱ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，

求随机变量ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关

系？ （只写出结果） 17．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ．△PBC 是等腰三角形，且

3PB PC ==；在梯形ABCD 中，AB

DC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===．

（Ⅰ）求证：//AB 面PDC ；

（Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值；

（Ⅲ）在线段AP 上是否存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ？

请说明理由．

18．(本小题满分13分)

已知函数2()e 2x f x x ax ax =++()a ∈R ．

（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为30x y +=，求a 的值； （Ⅱ）当1

02

a -

≤<时，讨论函数()f x 的零点个数． 19． (本小题满分14分)

已知抛物线2:2C y x =．

（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；

（Ⅱ）过点(2,0)且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B ,且点B 关于x 轴的

对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ．

（ⅰ）求点M 的坐标；

（ⅱ）求OAM ?与OAB ?面积之和的最小值． 20． (本小题满分13分)

若无穷数列{}n a 满足：存在*(,,)p q a a p q p q =∈>N ，并且只要p q a a =，就有

(1,2,3,p i q i a ta i ++==；t 为常数），则称{}n a 具有性质T ．

（Ⅰ）若{}n a 具有性质T ，且3t =，12454,5,1,5a a a a ====，78936a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S b =+（b ∈R ），证明存在无穷多个b 的不同取值，使得数列{}n a 具有性质T ；

（Ⅲ）设{}n b 是一个无穷数列，数列{}n a 中存在p q a a =*(,,)p q p q ∈>N ，且

*1cos ()n n n a b a n +=∈N ．求证：“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的充分不必要条件．

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试答案（理工类）

2018．5

三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）根据题意得2sin

(sin cos )1222

a πππ

+-=． 即2(10)1a ?+-=，解得1a =．

又()2sin (sin cos )1f x x x x =+-

22sin 2sin cos 1x x x =+-

sin 2cos 2x x =-)4

x π

=-

由222242k x k πππ

-+π≤-≤+πk (∈)Z ，

得322244k x k ππ-+π≤≤

+π，所以388

k x k ππ

-+π≤≤+π， 所以函数()f x 的单调递增区间是3[,

88k k k ππ

-+π+π](∈)Z ． ……7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4

f x x π

=-．

当[0,]2x π∈时，

2[,]444

x ππ3π-∈-，

所以sin(2)14

x π

≤-≤．

所以1()f x -≤

当244

x ππ

-

=-，即0x =时，()f x 取得最小值1-． 因为不等式()f x m ≥恒成立等价于()m f x ≤最小值， 所以 1m ≤-．

故实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ……13分

16．(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）由图可知，交通得分前5名的景点中安全得分大于90分的景点有3个． 故从交通得分前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为

3

5

．……3分 （Ⅱ）由图可知，景点总分前6名的景点中安全得分不大于90分的景点有2个． 设从景点总分前6名的景点中任取3个，安全得分不大于90分的个数为ξ，则ξ的取值为

0,1,2．

所以343641(0)205C P C ξ====； 122436123

(1)205C C P C ξ====；

21243641

(2)205

C C P C ξ====．

故ξ的分布列为

所以130121555

E ξ=?+?+?

=． ……10分 （Ⅲ）12x x >． ……13分

17．(本小题满分14分) 证明：（Ⅰ）因为AB

DC ，

又因为AB PDC ?平面，DC PDC ?平面， 所以//AB 平面PDC ． ……3分

（Ⅱ）取BC 中点F ，在PBC △中，因为PB PC =，所以PF BC ⊥.

又易知5,AC AB ==所以AF BC ⊥.

又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC 平面=ABCD BC ，

所以PF ⊥平面ABCD ．所以PF AF ⊥．

以F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． 在梯形ABCD 中，因为AB

DC ，AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，

所以BC =

，AF =

又因为3PB =，所以2PF =．

于是有(0,0,2),(0,P A B C ．

所以FA =

，(AB =-

，2)PB =-．

因为AF ⊥平面PBC

，所以FA =是平面PBC 的一个法向量． 设平面PBA 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则

0,0,AB PB ??=???=??m m

即0,20.

z ?-=?-=

所以2,

2.y x z =??= 令2y =

，则=m ．

所以cos ,FA <=

m ． 由图可知，二面角A PB C --为锐角，

所以二面角A PB C --

． ……9分 （Ⅲ）因为5,3AB DC ==

，且(AB =-，所以3

5

CD AB =-．

所以2

5

AD AB BC CD AB BC =++=

+

2((0,(5=

-+-=．

设平面ADP 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则

0,0,

AD AP ??=??

?=??n n

即11110,20.x y z ?=???-+=?

所以11112,.x y z =-??= 令12x =

，则(2,=-n ．

假设线段AP 上存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ，且设([0,1])AH AP λλ=∈．

所以((,0,2)AH AP λλλ==-=-．

所以(,0,2)),)BH BA AH λλλ=+=+-=-． 因为BH ⊥平面ADP ，所以//BH n ．

==．显然λ不存在． 所以假设不成立，故线段AP 上不存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ．……14分 18．(本小题满分13分)

解：由题意可知()(1)(e 2)x f x x a '=++．

（Ⅰ）因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为30x y +=，

所以(0)0,f =(0) 3.f '=- 由0e 23a +=-得2a =-． ……4分 （Ⅱ）当1

02

a -

≤<时，令()(1)(e 2)0x f x x a '=++=得1x =-或ln(2)x a =-． ①当ln(2)1a -<-，即1

(,0)2e

a ∈-时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以函数()f x 在(ln(2),1)a --上单调递减，在(,ln(2))a -∞-和(1,)-+∞上单调递增．

又因为2(ln(2))ln (2)0f a a a -=-<， (0)0f =， 所以函数()f x 有一个零点． ②当ln(2)1a -=-，即1

2e

a =-

时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以函数()f x 在(,+)-∞∞上单调递增． 又因为(0)0f =，所以函数()f x 有一个零点． ③当1ln(2)0a -<-<，即11

(,)22e

a ∈-

-时， 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：

所以函数()f x 在(1,ln(2))a --上单调递减，在(,1)-∞-和(ln(2),)a -+∞上单调递增．

又因为22(2)2e +442e 0f a a ---=--=-<，1(1)e

f a -=--

， 2(ln(2))ln (2)0f a a a -=-<，(0)0f =，

所以当11(,)e 2e a ∈--

时，此时1

(1)0e f a -=--<，函数()f x 有一个零点；

当1

e

a =-时，此时(1)0f -=，函数()f x 有两个零点；

当11(,)2e a ∈--时，此时1

(1)0e

f a -=-->，函数()f x 有三个零点．

④当ln(2)0a -=，即1

2

a =-

时，显然函数()f x 有两个零点． 综上所述，（1）当1

(,0)e a ∈-时，函数()f x 有一个零点；

（2）当11

{,}e 2a ∈--时，函数()f x 有两个零点；

（3）当11

(,)2e

a ∈--时，函数()f x 有三个零点． ……13分

另外的解法提示：()(e 2)x f x x a x a =++，易知(0)

0f =.即可考虑()e 2x

g x a x a

=++的零点. 19．(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）由题意可知，抛物线的准线方程为1

2

x =-

． 抛物线C 的焦点到准线的距离为1． ……4分

（Ⅱ）由已知设直线:(2)l y k x =-，显然0k ≠；11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x ≠.

由22,(2),

y x y k x ?=?=-?得2240ky y k --=． 所以122

y y k

+=

, 124y y =-． （ⅰ）因为点,B D 关于x 轴对称，所以22(,)D x y -．

所以直线AD 的方程为12

1112

()y y y y x x x x +-=

--．

令0y =，得1121121221

1212

()()x y y y x x x y x y x y y y y +--+=

=

++ 22

12211212122()2

y y y y y y y y +===-+． 所以(2,0)M -． ……10分

（ⅱ）记OAM ?与OAB ?面积分别为OAM S ?，OAB S ?，设(2,0)P

则11211

+()22

OAM OAB S S OM y OP y y ??=

?+?+ 122y y =

+≥=．

当且仅当212y y =

，即1222y y ==时，

OAM ?与OAB ?

面积之和的最小值是 ……14分

20． (本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质T ，且3t =，525a a ==， 所以633,a a =7433,a a ==85315,a a ==96339,a a a ==

由78936a a a ++=，得3315936,a ++=所以32a =，经检验符合题意. ……3分 （Ⅱ）证明：因为无穷数列{}n a 的前n 和为n S ，且2n n S b =+，

所以12a b =+，当2n ≥时，11222n n n n a --=-=．若存在()p q a a p q =>，则1q =. 取1

2

2(,p b p -=-∈N 且2p ≥，p 为常数),

则112p p a a -==，对1

2p t -=，有111122(1,2,3,

)p i p p i i i a a ta i +--+++====，

所以{}n a 具有性质T ，且b 的不同取值有无穷多个． ……8分 （Ⅲ）证明：当{}n b 为常数列时，有n b m =（常数），*

1cos ()n n a m a n +=∈N ,

对任意的正整数1a ，因为存在p q a a =，则由cos cos p q m a m a =，必有11p q a a ++=，进而有(1,2,3,

p i q i a a i ++==），这时1t =，(1,2,3,

p i q i a ta i ++==），

所以{}n a 都具有性质T ．

所以，“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的充分条件．

取,21,

20,2n n k b k n k *π

?=-?=∈??=?N （），

，对任意正整数1a ，由11cos (2,)n n n a b a n n --=≥∈N

得，2111cos cos 2

a b a a π

==

，因为1a 为正整数，所以20a ≠，且12a a ≠. 322cos 0a b a ==，433cos 2

a b a π

==

，…， 即，当3n ≥时，0,21,,22,2

n n k a k n k *=+??

=∈?π=+??N （）．

对任意,p q ，则,p q 同为奇数或同为偶数. ① 若,p q 同为偶数，则(1,2,3,)p i q i a a i ++==成立； ② 若,p q 同为奇数，则(1,2,3,

)p i q i a a i ++==成立.

所以对于任意,p q 满足p q a a =，则取1t =，1p i q i a a ++=?. 故{}n a 具有性质T ，但{}n b 不为常数列，

所以“{}n b 为常数列”是“对任意正整数1,{}n a a 都具有性质T ”的不必要条件． 证毕 ……13分