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数学基础知识0

高中数学基础知识

一、集合与简易逻辑

1.集合的元素具有无序性和互异性.和确定性。

2.对集合A B 、，A B =? 时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；求集合的子集时是否注意到?是任何集合的子集、?是任何非空集合的真子集.

3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n

2，12-n

，12-n .22-n

4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B = ”；“并的补等于补的交，即

()U U U C A B C A C B = ”.

5.判断命题的真假

关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.

7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.

注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” ?.

8.充要条件

二、函数

1.指数式、对数式，

m n

a =1m m n

a -=，log a N

a N =，log (0,1,0)

b a a N N b a a N =?=>≠>，. 01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，

log log log c a c b b a

，.log log m

n a a n b b m =.

2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的

元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.

(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个. (3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. (4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）. 注意：①1

()()f a b f b a -=?=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，

但1

1[()][()]f f

x f f x --≠.

②?函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+. 3.单调性和奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称 .确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.

对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.

（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.

（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等. （4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.

(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”. (6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）. (7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）

4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）

(1)函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称.

推广一：如果函数()x f y =对于一切x ∈R ，都有()()f a x f b x +=-成立，那么()x f y =的图像关于直线2

a b x +=

（由“x 和的一半()()

a x

b x x ++-=确定”）对称.

推广二：函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2

b a

x -=

（由a x b x +=-确定）对称. (2)函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称.

推广：函数()x f y =与函数()y A f x =-的图像关于直线2

A y =对称（由“y 和的一半

[()][()]

f x A f x y +-=

确定”）.

(3)函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称.

推广：函数()x f y =与函数()y m f n x =--的图像关于点(,)22

n m 中心对称.

(4)函数()x f y =与函数()1

y f x -=的图像关于直线y x =对称.

推广：曲线(,)0f x y =关于直线y x b =+的对称曲线是(,)0f y b x b -+=；曲线(,)0f x y =关于直线y x b =-+的对称曲线是(,)0f y b x b -+-+=.

如果()y f x =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么()()()f x nT f x n ±=∈Z . 特别：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =.

若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =.若1

()(0)()

f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =.

如果()y f x =是周期函数，那么()y f x =的定义域“无界”. 5.图像变换

(1)函数()y f x =的图像按向量(,)a k h =

平移后，得函数()y h f x k -=-的图像.

(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.

(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“鱼钩函数()0k

y x k x

=+>”及函数()0k y x k x

=+<等）相互转化.

注意：①形如2

y ax bx c =++的函数，不一定是二次函数.

②形如(0,)ax b y c ad bc cx d

+=≠≠+的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线d x c

=-(由分母为零

确定)、直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，双曲线的中心是点(,)d a c c

三、数列

1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n 项和公式的关系：

{

11,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==

-≥(必要时请分类讨论).

注意：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ；121121

n n n n n a a a a a a a a ---=???? . 2.等差数列{}n a 中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

（2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；p q m n p q m n a a a a +=+?+=+.

(3)1(1){}n k m a +-、{}n ka 也成等差数列. (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++ 仍成等差数列.

（6）1()2n n n a a S +=

，1(1)2n n n S na d -=+

，21()22

n d d

S n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n n

n A a

f n f n B b =?=-.

(7),()0p q p q a q a p p q a +==≠?=；,()()

p q p q S q S p p q S p q +==≠?=-+；

m n m n S S S mnd +=++.

(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和； “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和；

(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.

（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解. (11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式). 3.等比数列{}n a 中：

（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性. （2）11n n a a q -=n m m a q -=； p q m n p q m n b b b b +=+??=?.

(3) {||}n a 、1(1){}n k m a +-、{}n ka 成等比数列；{}{}n n a b 、成等比数列{}n n a b ?成等比数列. (4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列. (5)1211,,m k k k m a a a a a a ++-++++++ 成等比数列.

（6）1111

11 (1) (1)(1) (1) (1)1111n n n n na q na q S a a a a q a q q q q q q q q ==????

==--??-+≠=≠??----??

. 特别：1

23221()()n

n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++ .

(7) m n m n

m n n m S S q S S q S +=+=+.

(8)“首大于1”的正值递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.

（10）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数,a b 同号时，实数,a b 存在等比中项.对同号两实数,a b 的等

比中项不仅存在，而且有一对G =也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有

一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.

(11)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式). 4.等差数列与等比数列的联系

(1)如果数列{}n a 成等差数列，那么数列{}n a A (n a

A 总有意义)必成等比数列. (2)如果数列{}n a 成等比数列，那么数列{log ||}(0,1)a n a a a >≠必成等差数列.

(3)如果数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列；但数列{}n a 是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件. 5.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），

③1123(1)n n n ++++=+ ，2222

1123(1)(21)n n n n ++++=++ ，

135(21)n n ++++-= ，2135(21)(1)n n +++++=+ .

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. （4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n 和公式的推导方法之一）.

(5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①

111(1)1n n n n =-++， ②1111()()n n k k n n k =-++，③22

11111()1211k k k k <=---+， 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k

-=<<=-++--， ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++ ，⑤11

(1)!!(1)!n n n n =-++,

⑥

-<<,

⑦1(2)n n n a S S n -=-≥，⑧11

11m m m m m m n n n n n n

C C C C C C --+++=?=-. 特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.

四、三角函数

1.α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z . α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上)?. α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .

一般地：α终边与θ终边关于角β的终边对称?22()k k αβθπ=-+∈Z .

α与2

的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.

2.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2

11||22

S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ .

3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：sin15cos7575cos15?=?=

?=?=

tan15cot752cot152====+ sin18?=

4.三角函数线的特征是：正弦线“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线“站在点(1,0)A 处(起点是A )”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’?‘纵坐标’、‘余弦’?‘横坐标’、‘正切’?‘纵坐标除以横坐标之商’”；务必记住：单位圆中角终边的变化与sin cos αα±值的大小变化的关系.α为锐角?sin tan ααα<<.

5.三角函数

同角关系中，

平方关系的运用中，务必重视

“根据已知角的范围

和三角函数的取值，精确

确定角的范围，并进行定号”；

6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.

7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”!

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.

如()()ααββαββ=+-=-+， 2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--

αβ

αβ++=?

，

(

)()

2αβ

ααβ+=-

等.

常值变换主要指“1”的变换：

22221sin cos sec tan tan cot tan sin cos042

x x x x x x ππ=+=-=?==== 等.

三角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和

式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次. 辅助角公式中辅助角的确定

：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号

确定，θ角的值由tan b

θ=

确定)在求最值、化简时起着重要作用. 8.三角函数性质、图像及其变换：

(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin cos y x x =+x x y cos sin +=的周期为

三角形中三角函

内角和：三角，任意两与第三角总互

?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的

平方. (2)正弦定理：

2sin sin sin a b c R A B C

===(R 为三角形外接圆的半径). 注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：222222

()2cos ,cos 122b c a b c a a b c bc A A bc bc

+-+-=+-=

=-等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型.

(4)面积公式：11sin 224a abc S ah ab C R

===.

10.反三角函数：

(1)反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2

,2(],,0[],2,2[π

πππ

π--

(2)异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是(0,]2

π，

[0,],[0,][0,]2

ππ，.

直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的范围依次是[0,),[0,),(0,

ππ.

五、向量

1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.

2.几个概念：零向量、单位向量(与AB

共线的单位向量是||

AB AB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b

上的

投影是cos ,a b

a a

b b

?=<>=∈R

3.两非零向量平行(共线)的充要条件//a b a b λ?= 22

()(||||)a b a b ??= 12120x x y y ?+=.

两个非零向量垂直的充要条件0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=-

12120x x y y ?+=.

特别：零向量和任何向量共线. λ=是向量平行的充分不必要条件!

4.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2.

5.三点A B C 、、共线? AB AC

、

共线；向量 PA PB PC

、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+ 且1αβ+=.

6.向量的数量积：22||()a a a a ==? ，1212||||cos a b a b x x

y y θ?==+

，

cos ||||a b

a b θ?==

||cos ,||a b a b a a b b ?=<>==

在上的投影注意：,a b <> 为锐角?0a b ?>且 a b 、不同向；,a b <>

为直角?0a b ?= 且 0a b ≠ 、；

,a b <> 为钝角?0a b ?< 且 a b 、

不反向,0a b ?< 是,a b <>

为钝角的必要非充分条件. 向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，注意：对于

一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律，即)()(?≠?，切记两向量不能相除(相约).

7.||||||||||||a b a b a b -≤±≤+

注意： a b 、

同向或有0 ?||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ?||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+ ； a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)

8.平移与定比分点

(1)线段的定比分点坐标公式

设P （x ,y ）、P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2），且1

2PP PP λ= ，则.1212,x x y y x y λλλλ++==，121MP

MP MP λλ

+=+ . 特别：分点的位置与λ的对应关系.

中点坐标公式121222

x x x y y y +?=???+?=??， 122MP MP MP P +=? 为12PP 的中点. ABC ?中，AB AC +

过BC 边中点；()()||||||||

AB AC AB AC AB AC AB AC +⊥- ； ||

AB AB AB ±

与共线的单位向量是.1()3PG PA PB PC =++ ?G 为ABC ?的重心；特别0PA PB PC P ++=? 为ABC ?的重心.PA PB PB PC PC PA P ?=?=??

为ABC ?的垂心；

()(0)||||

AC AB AB AC λλ+≠

所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?

ABC ?的内心

1sin 2ABC S AB AC A =

= (2)平移公式：如果点P (x ，y )按向量a ＝(h ，k )平移至(,)P x y ''，则x x h

y y k

'=+??

'=+?. 曲线(,)0f x y =按向量a ＝(h ，k )平移得曲线(,)0f x h y k --=.

六、不等式

1.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

(2)解分式不等式()()

()0≠>a a x g x f 的一般解题思路：移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，标

根及奇穿过偶弹回

(3)含有两个绝对值的不等式：一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化

(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.

2. 利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2

()a b ab +≤等求函数的最值时，务必注意a ，b +

∈R （或a ，

b 非负），且“等号成立”时的条件是积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值(一正二定三等).

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）

4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响).

5.含绝对值不等式的性质：

a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-；

a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.

6.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题 1).恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

2). 能成立问题

若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,即()A x f >在区间D 上能成立, ,则等价于在区间D 上()max f x A >

若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,即()B x f <在区间D 上能成立, ,则等价于在区间D 上的()min f x B <.

七、直线和圆

1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；直线方向向量的意义((1,)a k λ=

或(0,1)(0)λλ≠)及其直线方

程的向量式(00(,)x x y y a λ--= (a

为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一

般可设直线的斜率为k ，但你是否注意到直线垂直于x 轴时，即斜率k 不存在的情况？

2.知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =；知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =.知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. 注意：

与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=；

过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=；过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=.

(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点.

3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是

(0,]2π，而其到角是带有方向的角，范围是(0,)π.相应的公式是：夹角公式121221

121212

tan ||||1k k A B A B

k k A A B B θ--==++，直线1l 到2l 角公式211221

121212

tan 1k k A B A B k k A A B B θ--=

++.注：点到直线的距离公式d . 特别：12121212121()0l l k k k k A A B B ⊥?=-?+=、都存在时；

{{1

121

1221

//()k k A B A B

l l k k b b AC A C

==?

?≠≠、都存在时；

{{122

2211221

()=A B A B k k

l l k k b b AC A C B C B C ==??==、重合、都存在时或.

4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.

5.圆的方程：最简方程222x y R +=；标准方程222()()x a y b R -+-=；

一般式方程22x y Dx ++220(40)Ey F D E F ++=+->；参数方程

{

cos (sin x R y R θθ

θ==为参数)；直径式方程121()()()x x x x y y --+-2()0y y -=.

注意：(1)在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是(,),22D E R --=(2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：

221cos ,sin x y x y θθ+=→==

，222,x y x y θθ+=→，

1cos ,sin (01)x y x r y r r θθ+≤→==≤≤，222x y +≤→cos ,sin (0x r y r r θθ==≤≤.

重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”

(1)过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：

200()()()()x a x a y a y a R --+--=，

过圆220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：

0000()()022

D E xx yy x x y y F ++++++=.

如果点00(,)P x y 在圆外，那么上述直线方程表示过点P 两切线上两切点的“切点弦”方程.

如果点00(,)P x y 在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于1O P (1O 为圆心)的直线方程，

21||O P d R ?=(d 为圆心1O 到直线的距离).

八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.

(1)注意：①圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用；②圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆?点点距除以点线距商是小于1的正数，双曲线?点点距除以点线距商是大于1的正数，抛物线?

2.势

.其中c e a =，椭圆中b a =

、双曲线中b

=.重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点

弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点

.注意：等轴双曲线的意义和性质.

3.①直线与圆锥曲线相交的必要条件式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.

②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理. ③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式 (||AB =22|||AB x x =-=,

12|||AB y y =-=)或“小小直角三角形”. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.

4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等)，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

1. 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

；

2. 给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点;

3. 给出0

=+,等于已知P 是MN 的中点;

乌鲁木齐市第一中学09届考前回归课本

4. 给出(

)

BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; 5. 给出以下情形之一

①AC AB //,②存在实数,,C A B A

λλ=使

③若存在实数B O A O C O

βαβαβα+==+使且,1,,,等于已知C B A ,,三点共线.

6. 给出λ

λ++=

1OP ，等于已知P 是的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=

7. 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,

给出=??+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/

9. 在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

10.

在平行四边形

ABCD

-=ABCD 是矩形; 11. 在ABC ?中，给出2

==，等于已知O 是ABC ?的外心； 12. 在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心；

13. 在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心； 14. 在ABC ?中，给出+

λ)(+∈R λ等于已知通过ABC ?的内心；

15. 在ABC ?中，给出=?+?+?c b a 等于已知O 是ABC ?的内心；

16. 在ABC ?中，给出()

AC AB AD +=

,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; 九、直线、平面、简单多面体

1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角，或建立空间坐标系转化为空间向量的夹角计算

(||a == 121212(,,)a b x x y y z z ±=±±± 、 121212a b x x y y z z ?=++ 、111(,,)()a x y z R λλλλλ=∈、 121212//(0),,,()a b b x x y y z z R λλλλ≠?===∈ , 1212120a b x x y y z z ⊥?++=

特别：111(,,)A x y z =，222(,,)B x y z =,

则AB OB OA =-=

222(,,)x y z - 111(,,)x y z =212121(,,)x x y y z z ---

cos ,a b <>=

，

||AB =

2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，12cos cos cos θθθ=)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等?斜线在平面上射影为角的平分线.

3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cos S S θ=

影

原

)、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.

4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.

5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：

线线关系线面关系面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.

特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化. ②如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.

6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.

如长方体中：对角线长l =4()a b c ++，全(表)面积为2()ab bc ca ++，(结合

2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，222cos cos cos 2(1)αβγ++=；

如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内?顶点

在底上射影为底面内心.

如正四面体和正方体中：

7.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱

锥?三棱柱?平行六面体 8.关于多面体的概念间有如下关系：

{多面体} {简单多面体} {凸多面体} {正多面体}； {凸多面体} {棱柱} {直棱柱} {正棱柱} {正方体}； {凸多面体} {棱锥} {正棱锥} {正四面体}

10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”. 球体积公式34

V R π=，球表面积公式24S R π=，是两个关于球的几何度量公式．它们都是球半径及的函数．

十、排列、组合和概率

1.排列数m

n A 、组合数m n C 中,1,0,n m n m n m ≥≥≥∈、N .

(1)排列数公式

!(1)(2)(1)()()!

m n n A n n n n m m n n m =---+=

≤- ；!(1)(2)21n

n A n n n n ==--? .

(2)组合数公式

()(1)(1)!()(1)21!!m m

n n

m m A n n n m n C m n m m m n m A ?-??-+===≤?-???- ；m m

n n

A m C =?！. (3)组合数性质：

(),m n m n n C C m n -=≤111()m m m n n n C C C m n ---=+≤,11k k n n kC nC --=, 1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .

2.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

3.解排列组合问题的规律是(优限法和间接法)：相邻问题捆绑法；不邻(相间)问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序问题用除法(组合法)；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法，特别地还有隔板法(什么时候用？)、字典法、构造法等.

4.(1)二项式定理：011()n n n r n r r n n

n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ ，其中各系数就是组合数r

n C ，它

叫做第r +1项的二项式系数；展开式共有n +1项，其中第r +l 项1r n r r

r n T C a b -+=.某项“加数b ”的指数≡该项的“项数减去1的差”，也可看成组合数的上标.

(2)二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：对称性、等距性、单调最值性和

01r

n n n

C C C +++ 2n n n C ++= . （3）应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项”“偶次(数)项”的系数和.如

024135

12n n n n n n n C C C C C C -+++=+++= ，奇(偶)次项系数和1[(1)(1)]2f f =--(1[(1)(1)]2

f f +-).

5.概率的计算公式：

(1)等可能事件的概率计算公式：()

()()

m card A p A n card I =

； (2)互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；

(3)对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )；

(4)独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ?B )＝P (A )?P (B )； (5)独立事件重复试验的概率计算公式是：

()(1)k k

n k n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n 的第(k +1)项). 十一、概率统计

１．必然事件 P(A)=1，不可能事件 P(A)=0，随机事件的定义 0

, 互斥事件（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时P(A ?B)=０）P(A+B)=P （A ）+ P(B),对立事件（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生。这时P(A ?B)=０）P （A ）+ P(B)＝１独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A ?B)＝P(A) ? P(B) 独立重复事件：

P n (K)=C n k p k (1－p)k

表示事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k ．次．的概率。P 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。

3.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）p i ≥0,i=1,2,...; (2) p 1+p 2+ (1)

4..二项分布：记作ξ～B （n,p ）,其中n,p 为参数，,)(k n k k n q p C k P -==ξ并记),;(p n k b q p C k n k k n =-；

5.几何分布：记作g （k ，p ）＝q k －

1p ，其中q ＝1－p ，k ＝1，2，3，…

（1）期望值E ξ＝ x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n + … ;

（2）方差D ξ＝???+-+???+-+-n n p E x p E x p E x 2222121)()()(ξξξ ; （3）标准差ξξξξξδξD a b a D b aE b a E D 2)(;)(;=++=+=

；

（4）若ξ～B （n,p ）,则E ξ＝np, D ξ＝npq,这里q=1－p;

（5）若()(,),P k g k p ξ==则E ξ＝

1p , D ξ＝2q

,这里q=1－p; 7.掌握抽样的三种方法：（1）1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少

时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（n N

）

注意：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商? (而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率?.

十二、极限

1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论；

2. 数列极限（1）列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（2）常用的几个数列极限：C C n =∞

→lim （C 为常数）；01

lim

=∞

→n

n ，0lim =∞

→n n q （a <1,q 为常数）;

(3)无穷递缩等比数列各项和公式q

a S S n

n -==∞

→1lim 1（0<1

3.函数的极限：

（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==?-∞

→+∞

→)(lim )(lim

（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==?+

-→→)(lim )(lim 0

: （3）掌握函数极限的四则运算法则；

①A x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-

+→→)(lim )(lim 0

0 ②

x g A x f o

x x x x ==→→)(lim ,)(lim 则

A x g x f o

x x +=+→)]()([lim ；

A x g x f o

x x ?=?→)]()([lim ；

)0()()(lim

≠=→B B

x g x f o

x x ；)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→=；n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→=

4.函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00

x f x f x x =→，就

说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),

)

()

(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；

5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么

)()(lim 00

x f x f x x =→；

6.几种常见不定式的极限的求法：①“∞

∞

”型，分子、分母同除以各式中最大的项，再用商的极限法则求极限;②“

0”型，分子、分母约去一个零因子，再用极限的四则运算法则求极限;③“∞?0”型，“∞-0”型，先转化为上述两种情形之一，再求极限.

十三、导数

1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(l i m )(00

000

；或

0000/)

()(lim

)()(lim

)(0x x x f x f x x f x x f x f x x o

x --=?-?+=→→?

2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量

（2）);()(x f x x f y -?+=?(2)求平均变化率x x f x x f x y ?-?+=

??)

()(; （3）取极限,得导数x

y x f x ??='→?0lim )(;

3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；

4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是

);)((000x x x f y y -'=-3．若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在。反

之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数

)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线。

5.导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2

v u v u v u v u v u uv v u v u '

-'=''+'=''±'='± 6.常见函数的导数公式:cosx;)(sinx Q);(m mx )(x );(C 01-m m ='∈='='为常数C

;

log 1)(log ;x 1)(lnx lna;a )(a ;e )(e -sinx;)(cosx e a x

a x x x x x

='=

'=='=' 7.复合函数的导数：;

x u x u y y '?'=' 8.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程

0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，

那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）在区间 []b a ,上求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。 9.多项式函数的导数与函数的单调性：

在一个区间上()0f x '≥(个别点取等号)?()f x 在此区间上为增函数. 在一个区间上()0f x '≤(个别点取等号)?()f x 在此区间上为减函数. 10.导数与极值、导数与最值：

(1)函数()f x 在0x 处有0()0f x '=且“左正右负”?()f x 在0x 处取极大值；函数()f x 在0x 处有0()0f x '=且“左负右正”?()f x 在0x 处取极小值. 注意：①在0x 处有0()0f x '=是函数()f x 在0x 处取极值的必要非充分条件.

十四、复数

1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和复数的几何表示；

2.熟练掌握、灵活运用以下结论：(1)a+bi=c+di ?a=c 且c=d(a,b,c,d ∈R);(2)复数是实数的条件：①z=a+bi ∈R ?b=0 (a,b ∈R);②z ∈R ?z=z ;③z ∈R ?z 2≥0;

3.复数是纯虚数的条件: ①z=a+bi 是纯虚数?a=0且b ≠0(a,b ∈R); ②z 是纯虚数?z ＋z ＝0（z ≠0）;③z 是纯虚数?z 2<0;

4.复数的代数形式及其运算：（1）复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行，设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R) ; z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i. z 1.z 2 = (a+bi)· (c+di)＝（ac-bd ）+ (ad+bc)I ; z 1÷z 2 = i d c ad bc d c bd ac 2

222

+-+++ (z 2≠0) ; 5.几个重要的结论：;z z z )3(;)2();(2)1(22222221221221≠==?+=-++为虚数，则若z z z z z z z z z z 6.运算律仍然成立：（1）);,())(3(;))(2(;2121N n m z z z z z z z z z m m m m n n m n m n m ∈=?==?+

7.进行复数的运算时，常要注意,,的性质ωi 或适当变形创造条件，从而转化为关于的ω,i 计算问题.注意以下结论的灵活应用：()()

;11;112;2)1(12i i

i i i i i -=+-=-+±=± );(0)4();(0)3(32121N n i i i i N n n n n n n n n ∈=+++∈=+++++++ωωω

8.z

z z z z 1

11=?=?=；