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2018年高考数学一轮复习专题08函数与方程教学案理

2018年高考数学一轮复习专题08函数与方程教学案理
2018年高考数学一轮复习专题08函数与方程教学案理

专题08 函数与方程

1.考查函数零点的个数和取值范围;

2.利用函数零点求解参数的取值范围;

3.利用二分法求方程近似解;

4.与实际问题相联系,考查数学应用能力.

1.函数的零点

(1)定义:如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个

函数的零点.

(2)变号零点:如果函数图象经过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点.

(3)几个等价关系

方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.2.零点存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x0∈(a,

b),使f(x0)=0.

3.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

第一步,确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0;

第二步,求区间(a,b)的中点c1;

第三步,计算f(c1):

(1)若f(c1)=0,则c1就是函数的零点;

(2)若f(a)f(c1)<0,则令b=c1(此时零点x0∈(a,c1));

(3)若f(b)f(c1)<0,则令a=c1(此时零点x0∈(c1,b));

第四步,判断x0是否满足给定的精确度;否则重复第二、三、四步.

高频考点一函数零点个数的判断

例1、(1)函数f (x )=?

????x 2

-2,x ≤0,

2x -6+ln x ,x >0的零点个数是________.

(2)函数f (x )=2x

|log 0.5x |-1的零点个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4

(2)令f (x )=2x

|log 0,5x |-1=0,得|log 0.5x |=? ??

??12x

.

设g (x )=|log 0.5x |,h (x )=? ??

??12x

,在同一坐标系下分别画出函数g (x ),h (x )的图象(如图).由图象知,两函数的图象有两个交点,因此函数f (x )有2个零点.

答案 (1)2 (2)B

【方法规律】函数零点个数的判断方法:

(1)直接求零点,令f (x )=0,有几个解就有几个零点;

(2)零点存在性定理,要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数;

(3)利用图象交点个数,作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数.

【变式探究】f (x )=2sin x sin ?

????x +π2-x 2

的零点个数为________.

解析 f (x )=2sin x cos x -x 2

=sin 2x -x 2

,则函数的零点即为函数y =sin 2x 与函数y =x 2

图象的交点,如图所示,两图象有2个交点,则函数有2个零点.

答案 2

高频考点二、函数零点所在区间的判断

例2、(1)若a

A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内

(2)设f(x)=ln x+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解析(1)∵a0,

f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,

由函数零点存在性定理可知:在区间(a,b),(b,c)内分别存在零点,又函数f(x)是二次函数,最多有两个零点;因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b),(b,c)内,故选

A.

(2)法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下:

可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).

法二易知f(x)=ln x+x-2在(0,+∞)上为增函数,

且f(1)=1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0.

所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点.

答案(1)A (2)B

【方法规律】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法

(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是否连续,再看是否有f (a )·f (b )<0.若有,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内必有零点.

(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.

【变式探究】 已知函数f (x )=ln x -? ??

??12x -2

的零点为x 0,则x 0所在的区间是( )

A .(0,1)

B .(1,2)

C .(2,3)

D .(3,4)

解析 ∵f (x )=ln x -? ????12x -2

在(0,+∞)上是增函数,

又f (1)=ln 1-? ??

??12-1

=ln 1-2<0,

f (2)=ln 2-? ????120

=ln 2-1<0,f (3)=ln 3-12>0. 故f (x )的零点x 0∈(2,3). 答案 C

高频考点三、 函数零点的应用

例3、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x -4)=f (x ),且在区间[0,2]上f (x )=x ,若关于x 的方程f (x )=log a x 有三个不同的实根,求a 的取值范围.

由函数的图象(如图),必须有?????f (6)<2,f (10)>2,a >1.即????

?log a 6<2,log a 10>2,a >1.

解之得6

故a 的取值范围是(6,10).

【方法规律】已知函数有零点(方根有根)求参数值常用的方法:

(1)直接法,直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法,先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;

(3)数形结合,先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后观察求解.

【变式探究】(1)(已知函数f (x )=?

????e x

+a ,x ≤0,

3x -1,x >0(a ∈R ),若函数f (x )在R 上有两个零

点,则a 的取值范围是( )

A .(-∞,-1)

B .(-∞,0)

C .(-1,0)

D .[-1,0)

(2)(2016·山东卷)已知函数f (x )=?

????|x |,x ≤m ,

x 2-2mx +4m ,x >m ,

其中m >0.若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是________.

解析 (1)当x >0时,f (x )=3x -1有一个零点x =1

3.

因此当x ≤0时,f (x )=e x

+a =0只有一个实根, ∴a =-e x

(x ≤0),则-1≤a <0.

(2)在同一坐标系中,作y =f (x )与y =b 的图象.当x >m 时,x 2

-2mx +4m =(x -m )2

+4m -m 2

∴要使方程f (x )=b 有三个不同的根,则有4m -m 2

-3m >0.又m >0,解得m >3. 答案 (1)D (2)(3,+∞)

高频考点四、 二次函数的零点问题

例4、已知f(x)=x2+(a2-1)x +(a -2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a 的取值范围.

【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组.

【变式探究】若函数f(x)=(m -2)x2+mx +(2m +1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m 的取值范围是( )

A.? ????-12,14

B.? ????-14,12

C.? ????14,12

D.????

??-14,12 答案 C

解析 依题意,结合函数f(x)的图象分析可知m 需满足????

?

m≠2,-,,

即????

?

m≠2,[m -2-m +++,[m -2+m ++

+2m +

解得14

1.【2016高考新课标1卷】函数2

2x

y x e =-在[]2,2-的图像大致为

(A

)(B

(C

)(D )

【答案】

D

2.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调

递增.若实数a

满足1

(2)(

a

f f

->-,则a的取值范围是______.

【答案】

13 (,) 22

【解析】由题意()

f x在(0,)

+∞上单调递减,又()

f x

是偶函数,则不等式

3.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=

2(4,0,

lo g(1)1

3

,0

3)

a

x a x

a

x x

x

?+<

?

++≥

-+

?

(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|()|2

f x x

=-恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是()

(A)(0,

2

3

] (B)[

2

3

3

4

] (C)[

1

3

2

3

]{

3

4

}(D)[

1

3

2

3

){

3

4

} 【答案】C

【解析】由()

f x在R上递减可知

34013

31,0134

a

a

a a

-≥

?

?≤≤

?

≥<<

?

,由方程|()|2

f x x

=-恰好有两个不相等的实数解,可知

1

32,12

a

a

≤-≤,

12

33

a

≤≤,又∵

3

4

a=时,抛物线

2

(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切,也符合题意,∴实数的去范围是12

3

[

,]{}334

,故选C.

4.【2016年高考北京理数】设函数3

3,()2,x x x a

f x x x a

?-≤=?->?.

①若0a =,则()f x 的最大值为______________; ②若()f x 无最大值,则实数a 的取值范围是________. 【答案】2,(,1)-∞-.

【解析】如图,作出函数3

()3g x x x =-与直线2y x =-的图象,它们的交点是

(1,2),(0,0),(1,2)A O B --,由2'()33g x x =-,知1x =是函数()g x 的极小值点,

①当0a =时,3

3,0

()2,0

x x x f x x x ?-≤=?->?,由图象可知()f x 的最大值是(1)2f -=;

②由图象知当1a ≥-时,()f x 有最大值(1)2f -=;只有当1a <-时,3

32a a a -<-,

()f x 无最大值,所以所求的取值范围是(,1)-∞-.

【2015高考湖南,理15】已知3

2

,(),x x a

f x x x a ?≤=?>?

,若存在实数b ,使函数()()g x f x b =-有两个零点,则a 的取值范围是 .

【答案】),1()0,(+∞-∞ .

【解析】分析题意可知,问题等价于方程)(3a x b x ≤=与方程)(2

a x

b x >=的根的个数

和为2,

若两个方程各有一个根:则可知关于b 的不等式组??

?????≤->≤a b a b a b 3

1

有解,∴23

a b a <<,从而

1>a ;

若方程)(3a x b x ≤=无解,方程)(2

a x

b x

>=有2个根:则可知关于b 的不等式组??

???

>->a b a

b 3

1

有解,从而

0

【2015高考江苏,13】已知函数|ln |)(x x f =,??

?

>--≤<=1

,2|4|1

0,0)(2

x x x x g ,则方程

1|)()(|=+x g x f 实根的个数为

【答案】4

【解析】由题意得:求函数()

y

f x =与1()

y

g x =-交点个数以及函数()

y

f x =与

1()

y g x =--交点个数之和,因为

2

2

1,011()7,2

1,12

x y g x x x x x <≤??=-=-≥??-<

y

f x =与

1()

y g x =-有两个交点,又

2

2

1,01

1()5,2

3,12

x y g x x x x x -<≤??=--=-≥??-<

y

f x =与1()

y

g x =--有两个交点,因此共有4个交点

(2014·湖南卷)已知函数f (x )=x 2+e x -12(x <0)与g (x )=x 2

+ln(x +a )的图像上存在关

于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )

A .(-∞,

1

e

) B .(-∞,e) C.? ????-1e ,e D.? ????-e ,1e

【答案】B

【解析】依题意,设存在P (-m ,n )在f (x )的图像上,则Q (m ,n )在g (x )的图像上,则有m 2+e -m -12=m 2+ln(m +a ),解得m +a =ee -m -12,即a =ee -m

-12-m (m >0),可得a ∈(-∞,

e).

(2014·天津卷)已知函数f (x )=|x 2

+3x |,x ∈R.若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________.

【答案】(0,1)∪(9,+∞)

(2014·浙江卷)已知函数f (x )=x 3+ax 2

+bx +c ,且0

A .c ≤3 B.39 【答案】C

【解析】由f (-1)=f (-2)=f (-3)得?????-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,

-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ?

?????-7+3a -b =0,19-5a +b =0??

????a =6,b =11,则f (x )=x 3+6x 2

+11x +c ,而0

∴6

(2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=?

????-x 2

+2x ,x≤0,

ln (x +1),x >0.若|f(x)|≥ax,则a 的

取值范围是( )

A .(-∞,0]

B .(-∞,1]

C .[-2,1]

D .[-2,0] 【答案】D

【解析】方法一:若x≤0,|f(x)|=|-x 2

+2x|=x 2

-2x ,x =0时,不等式恒成立,x<0时,不等式可变为a≥x-2,而x -2<-2,可得a≥-2;

若x>0,|f(x)|=|ln(x +1)|=ln(x +1),由ln(x +1)≥ax,可得a≤ln (x +1)

x 恒成立,

令h(x)=ln (x +1)x ,则h′(x)=x

x +1-ln (x +1)x 2

,再令g(x)=x

x +1-ln(x +1),则 g ′(x)=-x

(x +1)2<0,

故g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)

x +1-ln (x +1)x

2

<0,故h(x)在(0,+∞)上单调递减,x→+∞时,h(x)→0, 所以h(x)>0,a≤0.综上可知,-2≤a≤0,故选D.

方法二:数形结合:画出函数|f(x)|=?

????x 2-2x ,x≤0,

ln (x +1),x>0与直线y =ax 的图像,如下图,

要使|f(x)|≥a x 恒成立,只要使直线y =ax 的斜率最小时与函数y =x 2

-2x ,x≤0在原点处的切线斜率相等即可,最大时与x 轴的斜率相等即可,

因为y′=2x -2,所以y′|x =0=-2,所以-2≤a≤0.

(2013·安徽卷)若函数f(x)=x 3

+ax 2

+bx +c 有极值点x 1,x 2,且f(x 1)=x 1,则关于x 的方程3(f(x))2

+2af(x)+b =0的不同实根个数是( )

A .3

B .4

C .5

D .6

【答案】A

【解析】因为f′(x)=3x 2

+2ax +b ,3(f(x))2

+2af(x)+b =0且3x 2

+2ax +b =0的两根分别为x 1,x 2,所以f(x)=x 1或f(x)=x 2,

当x 1是极大值点时,f(x 1)=x 1,x 2为极小值点,且x 2>x 1,如图(1)所示,可知方程f(x)=x 1有两个实根,f(x)=x 2有一个实根,故方程3(f(x))2

+2af(x)+b =0共有3个不同实根;

当x 1是极小值点时,f(x 1)=x 1,x 2为极大值点,且x 2

综合以上可知,方程3(f(x))2

+2af(x)+b =0共有3个不同实根.

(2013·安徽卷)函数y =f(x)的图像如图1-2所示,在区间[a ,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x 1,x 2,…,x n ,使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=…=f (x n )x n

,则n 的取值范围是( )

图1-2

A .{3,4}

B .{2,3,4}

C .{3,4,5}

D .{2,3} 【答案】B

【解析】问题等价于直线y =kx 与函数y =f(x)图像的交点个数,从图中可以看出交点个数可以为2,3,4,故n 的取值范围是{2,3,4}.

(2013·湖南卷)函数f(x)=2ln x 的图像与函数g(x)=x 2

-4x +5的图像的交点个数为( )

A .3

B .2

C .1

D .0 【答案】B

【解析】法一:作出函数f(x)=2ln x ,g(x)=x 2

-4x +5的图像如图:

可知,其交点个数为2,选B. 法二:也可以采用数值法:

可知它们有2个交点,选B.

(2013·山东卷)设函数f(x)=x

e 2x +c(e =2.718 28…是自然对数的底数,c∈R).

(1)求f(x)的单调区间、最大值;

(2)讨论关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数. 【解析】解:(1)f′(x)=(1-2x)e -2x

.

由f′(x)=0,解得x =1

2

当x<1

2时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

当x>1

2

时,f′(x)<0,f(x)单调递减.

所以,函数f(x)的单调递增区间是-∞,12,单调递减区间是12,+∞,最大值为f ? ????12=

1

2e -1

+c.

(2)令g(x)=|lnx|-f(x)=|lnx|-xe

-2x

-c ,x∈(0,+∞).

①当x∈(1,+∞)时,lnx>0,则g(x)=lnx -xe -2x

-c ,所以g′(x)=e

-2x

e

2x

x

+2x -1.因为2x -1>0,e

2x

x

>0,所以g′(x)>0.

因此g(x)在(1,+∞)上单调递增.

②当x∈(0,1)时,lnx<0,则g(x)=-lnx -xe -2x

-c ,

所以g′(x)=e

-2x -e

2x

x

+2x -1.

因为e 2x

∈(1,e 2

),e 2x

>1>x>0,所以-e

2x

x

<-1.

又2x -1<1,

所以-e

2x

x +2x -1<0,即g′(x)<0.

因此g(x)在(0,1)上单调递减.

综合①②可知,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e -2

-c.

当g(1)=-e -2

-c>0,即c<-e -2

时,g(x)没有零点,故关于x 的方程|lnx|=f(x)根的个数为0;

当g(1)=-e -2

-c =0,即c =-e -2

时,g(x)只有一个零点,故关于x 的方程|lnx|=f(x)根的个数为1;

当g(1)=-e -2

-c<0,即c>-e -2

时,

综上所述,

当c<-e -2

时,关于x 的方程|lnx|=f(x)根的个数为0; 当c =-e -2时,关于x 的方程|lnx|=f(x)根的个数为1; 当c>-e -2时,关于x 的方程|lnx|=f(x)根的个数为2.

(2013·四川卷)已知函数f(x)=?

????x 2

+2x +a ,x<0,lnx ,x>0,其中a 是实数.设A(x 1,f(x 1)),

B(x 2,f(x 2))为该函数图像上的两点,且x 1

(2)若函数f(x)的图像在点A ,B 处的切线互相垂直,且x 2<0,求x 2-x 1的最小值; (3)若函数f(x)的图像在点A ,B 处的切线重合,求a 的取值范围.

【解析】解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).

(2)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为f′(x 1),点B 处的切线斜率为f′(x 2),故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时,有f′(x 1)f′(x 2)=-1. 当x<0时,对函数f(x)求导,得f′(x)=2x +2. 因为x 10.

因此x 2-x 1=1

2[-(2x 1+2)+2x 2+2]≥[-(2x 1+2)](2x 2+2)=1,

当且仅当-(2x 1+2)=2x 2+2=1,即x 1=-32且x 2=-1

2时等号成立.

所以,函数f(x)的图像在点A ,B 处的切线互相垂直时,x 2-x 1的最小值为1. (3)当x 1x 1>0时,f′(x 1)≠f′(x 2),故x 1<0

1+2x 1+a)=(2x 1+2)(x -x 1), 即y =(2x 1+2)x -x 2

1+a.

当x 2>0时,函数f(x)的图像在点(x 2,f(x 2))处的切线方程为 y -ln x 2=1x 2(x -x 2),即y =1

x 2·x+ln x 2-1.

两切线重合的充要条件是 ?????1x 2

=2x 1+2,①

ln x 2-1=-x 21+a.② 由①及x 1<0

由①②得,a =x 21+ln 12x 1+2-1=x 21-ln(2x 1+2)-1.

设h(x 1)=x 2

1-ln(2x 1+2)-1(-1

x 1+1<0.

所以,h(x 1)(-1h(0)=-ln 2-1, 所以a>-ln 2-1.

又当x 1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x 1)无限增大, 所以a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).

故当函数f(x)的图像在点A ,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).

(2013·天津卷)函数f(x)=2x

|log 0.5x|-1的零点个数为( )

A .1

B .2

C .3

D .4 【答案】B

1.函数f (x )=3x

-x 2

的零点所在区间是( ) A .(0,1) B .(1,2)

C .(-2,-1)

D .(-1,0)

解析 由于f (-1)=-23<0,f (0)=30

-0=1>0,

∴f (-1)·f (0)<0.则f (x )在(-1,0)内有零点. 答案 D

2.已知函数f (x )=?

????2x

-1,x ≤1,

1+log 2x ,x >1,则函数f (x )的零点为( )

A.1

2

,0 B .-2,0 C.1

2

D .0 解析 当x ≤1时,由f (x )=2x

-1=0,解得x =0;当x >1时,由f (x )=1+log 2x =0,解得x =1

2

,又因为x >1,所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0.

答案 D

3.函数f (x )=2x

-2x

-a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )

A .(1,3)

B .(1,2)

C .(0,3)

D .(0,2)

解析 因为函数f (x )=2x -2x -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数f (x )=2x

-2x

-a 的一

个零点在区间(1,2)内,则有f (1)·f (2)<0,所以(-a )(4-1-a )<0,即a (a -3)<0,所以0

答案 C

4.已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数,若函数y =f (2x 2

+1)+f (λ-x )只有一个零点,则实数λ的值是( )

A.14

B.18

C .-7

8

D .-3

8

解析 令y =f (2x 2

+1)+f (λ-x )=0,则f (2x 2

+1)=-f (λ-x )=f (x -λ),因为f (x )是R 上的单调函数,所以2x 2

+1=x -λ,只有一个实根,即2x 2

-x +1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78

.

答案 C

5.已知函数f (x )=?

???

?0,x ≤0,e x ,x >0,则使函数g (x )=f (x )+x -m 有零点的实数m 的取值范围

是( )

A .[0,1)

B .(-∞,1)

C .(-∞,1]∪(2,+∞)

D .(-∞,0]∪(1,+∞)

解析 函数g (x )=f (x )+x -m 的零点就是方程f (x )+x =m 的根,画出h (x )=f (x )+x

=?

????x ,x ≤0,

e x +x ,x >0的大致图象(图略). 观察它与直线y =m 的交点,得知当m ≤0或m >1时,有交点,即函数g (x )=

f (x )+x -m 有零点.

答案 D

6.已知f (x )=??

?

e -x

,x ≤0,x ,x >0,

g (x )=f (x )-12

x -b 有且仅有一个零点时,b 的取值范围

是________.

7.若f (x )=?

??

??

x 2

-x -1,x ≥2或x ≤-1,

1,-1

解析:要求函数g (x )=f (x )-x 的零点,即求f (x )=x 的根, ∴???

?

?

x ≥2或x ≤-1,x 2

-x -1=x

或????

?

-1

解得x =1+2或x =1. ∴g (x )的零点为1+2,1. 答案:1+2,1

8.已知0

??

??

a x

,x ≥0,

kx +1,x <0,若函数g (x )=f (x )-k 有两个零点,

则实数k 的取值范围是______.

解析:函数g (x )=f (x )-k 有两个零点,即f (x )-k =0有两个解,即y =f (x )与y =k 的图象有两个交点.分k >0和k <0作出函数f (x )的图象.当01或k <0时,没有交点,故当0

答案:(0,1)

9.已知函数f (x )=x 3-x 2

+x 2+14,证明:存在x 0∈? ??

??0,12,使f (x 0)=x 0.

证明:令g (x )=f (x )-x .

∵g (0)=14,g ? ????12=f ? ????12-1

2

=-18,

∴g (0)·g ? ??

??12<0. 又函数g (x )在??????0,12上是连续曲线, ∴存在x 0∈? ??

??0,12,使g (x 0)=0,即f (x 0)=x 0. 10.已知二次函数f (x )=x 2

+(2a -1)x +1-2a .

(1)判断命题:“对于任意的a ∈R,方程f (x )=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;

(2)若y =f (x )在区间(-1,0)及? ??

??0,12内各有一个零点,求实数a 的取值范围.

解:(1)“对于任意的a ∈R,方程f (x )=1必有实数根”是真命题; 依题意f (x )=1有实根,即x 2

+(2a -1)x -2a =0有实根,

因为Δ=(2a -1)2

+8a =(2a +1)2

≥0对于任意的a ∈R 恒成立,即x 2

+(2a -1)x -2a =0必有实根,从而f (x )=1必有实根,

(2)依题意知,要使y =f (x )在区间(-1,0)及? ??

??0,12内各有一个零点,

只需???

??

f -,f ,f ? ??

??12>0,即?????

3-4a >0,1-2a <0,34-a >0,

解得12

.

故实数a 的取值范围为? ??

??12,34. 11.已知二次函数f (x )=x 2

+(2a -1)x +1-2a ,

(1)判断命题:“对于任意的a ∈R ,方程f (x )=1必有实数根”的真假,并写出判断过程;

(2)若y =f (x )在区间(-1,0)及? ??

??0,12内各有一个零点,求实数a 的取值范围.

解 (1)“对于任意的a ∈R ,方程f (x )=1必有实数根”是真命题. 依题意,f (x )=1有实根,即x 2

+(2a -1)x -2a =0有实根,

因为Δ=(2a -1)2

+8a =(2a +1)2

≥0对于任意的a ∈R 恒成立,即x 2

+(2a -1)x -2a =0必有实根,从而f (x )=1必有实根.

(2)依题意,要使y =f (x )在区间(-1,0)及? ??

??0,12内各有一个零点, 只需???

??f (-1)>0,

f (0)<0,f ? ??

??12>0,即?????3-4a >0,

1-2a <0,3

4-a >0,

解得12

4.

故实数a 的取值范围为??????a ???12

2018年高考数学—导数专题

导数 (选修2-2P18A7改编)曲线y=sin x x在x= π 2处的切线方程为() A.y=0 B.y=2π C.y=- 4 π2 x+ 4 π D.y= 4 π2 x 解析∵y′=x cos x-sin x x2,∴y′|x= π 2=- 4 π2 , 当x=π 2时,y= 2 π , ∴切线方程为y-2 π =- 4 π2? ? ? ? ? x- π 2 ,即y=- 4 π2 x+ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)=(2x+1)e x, 所以f′(x)=2e x+(2x+1)e x=(2x+3)e x, 所以f′(0)=3e0=3. (2017·西安月考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=________. 解析y′=a- 1 x+1 ,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2, 所以a=3. (2017·威海质检)已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0

解析 ∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0). 又∵f ′(x )=1+ln x ,∴?????y 0=x 0ln x 0, y 0+1=(1+ln x 0)x 0, 解得x 0=1,y 0=0. ∴切点为(1,0),∴f ′(1)=1+ln 1=1. ∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________. 解析 法一 ∵y =x +ln x ,∴y ′=1+1 x ,y ′|x =1=2. ∴曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1. ∵y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切, ∴a ≠0(当a =0时曲线变为y =2x +1与已知直线平行). 由?????y =2x -1,y =ax 2 +(a +2)x +1消去y ,得ax 2+ax +2=0. 由Δ=a 2-8a =0,解得a =8. 法二 同法一得切线方程为y =2x -1. 设y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切于点(x 0,ax 20+(a +2)x 0+1). ∵y ′=2ax +(a +2),∴y ′|x =x 0=2ax 0+(a +2). 由?????2ax 0+(a +2)=2,ax 20+(a +2)x 0+1=2x 0-1,解得???x 0=-12,a =8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )=x 3-x +3在点P 处的切线平行于直线y =2x -1,则P

(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算

第十三章概率与统计本章知识结构图

第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容,在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容,题型及分值稳定,难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下: ①必然要发生的事件叫必然事件; ②一定不发生的事件叫不可能事件; ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下,做次重复实验,事件A 发生次,测得A 发生的频率为,当很大时,A 发生的频率总是在某个常数附近摆动,随着的增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做A 的概率,记作。对于必然事件A ,;对于不可能事件A ,=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中,不可能再分的事件称为基本事件,所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件:1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件:每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ,A 的几何度量(长度、面积、体积或时间)记为 A μ.

()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥,则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥,且其中必有一个发生,称事件A,B 对立,记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件,即“事件A ,B 对立”是”事件A ,B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型,古典概型特征有二:有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的;其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数;最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =,()2,n b n = ,其中{}, 1.2,3,4m n ∈ (1)请列出有序数组(),m n 的所有可能结果; (2) 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ,求事件A 发生的概率。 分析:两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,从而可得m 与n 的关系,再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的,即得事件A 包含的基本事件个数。 解析:(1)由{}, 1.2,3,4m n ∈,有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 , ()()() 1,2,1,3,1,4, ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4, ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4, ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 (2)因为(),1m a m =,()2,n b n =,所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-,得 ()(),12,10m m n ?--= ,即22m 10m n -+-= ,所以()21n m =- 。故事件A 包含的

(word完整版)2018高考数学专题复习三角换元法

三角换元法 摘要:本文归纳总结了三角换元法的基本用法,以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。 大家知道,换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式,以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种,它以三角函数为“元”,将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题,三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下,在运用三角换元的题目中,往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征,这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用,因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22t k -、t k +2或22k t -的形式,其中t 为变量,k 为非负常量。现对于此类问题归纳如下: 1.形如),(22x a x f y -=的形式,其中f 是x 和 22x a -的代数函数。令 )2 2 ,0(,sin π π ≤ ≤- >=t a t a x 此时,[]a a x ,-∈或令),0,0(,cos π≤≤>=t a t a x 同理[]a a x ,-∈, 2.形如),(22a x x f y +=的形式,其中f 是x 和22x a +的代数函数。令 ),2 2 ,0(,tan π π < <- >=t a t a x 此时,),(+∞-∞∈x 或令),0,0(cot π<<>=t a t a x ),(+∞-∞∈x 。 3.形如),(22a x x f y -=的形式,其中f 是x 和22a x -的代数函数。令 ),2 3 ,20,0(,sec πππ <≤<≤>=t t a t a x 此时,),,[],(+∞?--∞∈a a x 或令t a x csc = ),2 0,02 ,0(π π ≤ <<≤- >t t a 其中),[],(+∞?--∞∈a a x 。 注:上面替换中应注意,t 的范围应满足: 1°根式中变量的取值要求。 2°二次根式的化简唯一。 以上是常见的用法,其具体应用现分类介绍如下: 一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。 例1. 解方程:12 351 2= -+ x x x 解:该方程的根必然为正(否则左负右正),所以设)2 0(,sec π ≤ ≤=t t x ,则方程变为

2017-2018年高考数学总复习:极坐标

2017-2018年高考数学总复习:极坐标 x cos sin y ρθ ρθ =?? =? 222x y ρ+= 考点一。直角坐标化极坐标 (1)点M 的直角坐标是(1-,则点M 的极坐标为______. 解:点M 极坐标为:2(2,2),()3 k k Z π π+ ∈. (2)求直线3x-2y+1=0的极坐标方程。 解:极坐标方程为01sin 2cos 3=+-θρθρ。 (3)在极坐标系中,圆心在π)且过极点的圆的极坐标方程为______. 解:圆心:)02(,-,22(2x y +=。圆的极坐标方 程为ρθ。 考点二。极坐标化直角坐标 (1)求普通方程)3 R ∈=ρπ θ(。 解:y=kx,且k=33 tan =π ,则x 3y =的直线。 (2)将曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化 成直角坐标方程。 解:将ρ=2 2y x +,sin θ= 2 2y x y +代入ρ=4sin θ,得x 2+y 2=4y ,即x 2+(y-2)2 =4. (3)求过圆4cos =ρθ的圆心,且垂直于极轴的直线极坐标方程. 解:由θρcos 4=得θρρcos 42=.所以x y x 42 2=+,22(2)4x y -+=圆心坐标(2,0) 直线方程为2=x .直线的极坐标方程为2cos =θρ。 (4)将极坐标方程4sin 2 θ=3化为普通方程。 解:由4sin 2 θ=3,得4·2 22y x y +=3,即y 2=3 x 2 ,y=±x 3. (5)化极坐标方程2 4sin 52 θ ρ?=为普通方程。

解:2 1c o s 4s i n 4 22c o s 52 2 θ θρρρρθ-?=?=-=, 即25x =,化简225 54 y x =+ .表示抛物线. (6)求点 (,)π 23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离。 解:)3 , 2(π化为)3,1(,圆θρcos 2=化为0222=-+x y x ,圆心的坐标是)0,1(,故距 离为3。 (7)求点M (4, )到直线l :ρ(2cos θ+sin θ)=4的距离. (8)已知21,C C 极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==(2 0,0θρ<≤≥),求曲线1 C 与2C 交点极坐标. 解:21,C C 分别为4)2(,32 2=+-=y x x ,且0≥y ,两曲线交点为(3,3). 所以,交 点的极坐标为?? ? ? ?6, 32π。 考点三。极坐标应用 命题点1.求面积(12121 A B S =sin -2 ραρβρραβ?∴(,),(,) ()) (1)在极坐标系中,已知两点A ,B 的极坐标分别为? ????3,π3,? ????4,π6,求△AOB 的面积. 解: 由题意得S △AOB =12×3×4×sin ? ????π3-π6=1 2 ×3×4×sin π6=3. (2)在极坐标系中,已知两点A ,B 的极坐标分别为 ),)和(,(6 5-53 4π π ,求△AOB 的面积. 解: 由题意得5))6 5(3sin(5421S =--???= ?π π. )化成为()

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度, 所得的部分图象如右图所示,则?的值为( ) A .6 π B .3 π C .12 π D .23 π 2.已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ,为了得到()sin 2g x x =的图象,则 只需将()f x 的图象( ) A .向右平移3π个长度单位 B .向右平移6 π个长度单位 C .向左平移6π个长度单位 D .向左平移3 π 个长度单位 3.若113sin cos αα +=sin cos αα=( ) A .13- B .13 C .13-或1 D .13或-1 4.2014cos()3 π的值为( ) A .12 B . 3 2 C .12- D .32 - 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -.2 1k - C 2 1k -.2 1k k -- 6.若sin a = -45 ,a 是第三象限的角,则sin()4 a π +=( ) (A )-7210 (B ) 7210 (C )2 - 10 (D ) 210

7 .若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα,且)2 ,4(ππα∈,则α2tan 的值为( ) A .3 4- B .4 3- C .4 3 D .3 4 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是 ( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C .)(x f 的最大值为2 D .)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数2(ωφ),φ<2 π的图象,那么 A.ω=11 10,φ=6 π B.ω=10 11,φ6π C.ω=2,φ=6 π D.ω =2,φ6 π 10.要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象,只需要将函数sin 4y x =的 图象( ) A .向左平移3 π个单位 B .向右平移3 π 个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12 π个单位 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象

2018年高考数学专题23基本初等函数理

专题2.3 基本初等函数 【三年高考】 1. 【2017课标1,理11】设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则 A .2x <3y <5z B .5z <2x <3y C .3y <5z <2x D .3y <2x <5z 【答案】D 【解析】试题分析:令235(1)x y z k k ===>,则2log x k =,3log y k =,5log z k = ∴ 22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =?=>,则23x y >,22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32 x k z k =?=<,则25x z <,故选D. 2. 【2017天津,理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为 (A )a b c << (B )c b a << (C )b a c << (D )b c a << 【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数,所以在0x >时,()0f x >,从而()()g x xf x =是R 上的偶函数,且在[0,)+∞上是增函数,22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=,0.822<,又4 5.18<<,则22log 5.13<<,所以即0.8 202 log 5.13<<<, 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<,所以b a c <<,故选C . 3. 【2017北京,理8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与 M N 最接近的是( )(参考数据:lg3≈0.48) (A )1033 (B )1053 (C )1073 (D )1093 【答案】D 4. 【2016高考新课标3理数】已知4 32a =,254b =,13 25c =,则( ) (A )b a c << (B )a b c << (C )b c a << (D )c a b << 【答案】A 【解析】因为422335244a b ==>=,122333 2554c a ==>=,所以b a c <<,故选A .

2018届高三数学基础专题练习:导数与零点(答案版)

导数与函数的零点专题 研究方程根或函数的零点的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,根据题目要求,画出函数图象的走势规律,标明函数极(最)值的位置,通过数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 例题精讲 例1、已知函数f (x )=x 3-3x 2+ax +2,曲线y =f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2. (1)求a ;(2)证明:当k <1时,曲线y =f (x )与直线y =kx -2只有一个交点. 解析:f ′(x )=3x 2-6x +a ,f ′(0)=a . 曲线y =f (x )在点(0,2)处的切线方程为y =ax +2,由题设得-2 a =-2,所以a =1. (2)证明 由(1)知,f (x )=x 3-3x 2+x +2,设g (x )=f (x )-kx +2=x 3-3x 2+(1-k )x +4. 由题设知1-k >0. 当x ≤0时,g ′(x )=3x 2-6x +1-k >0,g (x )单调递增,g (-1)=k -1<0,g (0)=4,所以g (x )=0在(-∞,0]有唯一实根. 当x >0时,令h (x )=x 3-3x 2+4,则g (x )=h (x )+(1-k )x >h (x ). h ′(x )=3x 2-6x =3x (x -2),h (x )在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g (x )>h (x )≥h (2)=0. 所以g (x )=0在(0,+∞)没有实根. 综上,g (x )=0在R 有唯一实根,即曲线y =f (x )与直线y =kx -2只有一个交点. 例2、已知函数 . (I)讨论的单调性;(II)若 有两个零点,求a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)()(1)2(1)(1)(2)x x f x x e a x x e a '=-+-=-+. ( i )当0a ≥时,则当1x >时,()0f x '>;当1x <时,()0f x '< 故函数()f x 在(,1)-∞单调递减,在(1,)+∞单调递增. ( ii )当0a <时,由()0f x '=,解得:1x =或ln(2)x a =- ①若ln(2)1a -=,即2 e a =-,则x R ?∈,()(1)()0x f x x e e '=-+≥ 故()f x 在(,)-∞+∞单调递增.

精编2018年高考数学总复习全书汇编

专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数、算法、合情推理[高考领航]————————————摸清规律预测考情

考点一 集合、常用逻辑用语 1.设有限集合A ,card(A )=n (n ∈N *),则

(1)A 的子集个数是2n ; (2)A 的真子集个数是2n -1; (3)A 的非空子集个数是2n -1; (4)A 的非空真子集个数是2n -2; (5)card(A ∪B )=card A +card B -card(A ∩B ). 2.(1)(?R A )∩B =B ?B ??R A ; (2)A ∪B =B ?A ?B ?A ∩B =A ; (3)?U (A ∪B )=(?U A )∩(?U B ); (4)?U (A ∩B )=(?U A )∪(?U B ). 3.若p 以集合A 的形式出现,q 以集合B 的形式出现,即A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则关于充分条件、必要条件又可叙述为: (1)若A ?B ,则p 是q 的充分条件; (2)若A ?B ,则p 是q 的必要条件; (3)若A =B ,则p 是q 的充要条件. 类型一 集合的概念及运算 [典例1] (2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2x -3>0},则A ∩B =( ) A.? ????-3,-32 B.? ? ? ??-3,32 C.? ????1,32 D.? ?? ??32,3 解析:通解:(直接法)解x 2-4x +3<0,即(x -1)(x -3)<0,得1<x <3,故A ={x |1<x <3};

2020高考数学二轮专题复习 三角函数

三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看,对三角函数的考查:一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年,考查形式不变,选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主,解答题将会以向量为载体,考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合,以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质;和、差、倍角公式,正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;

2018年高考数学总复习专题1.1集合试题

专题1.1 集合 【三年高考】 1.【2017高考江苏1】已知集合{1,2}A =,2{,3}B a a =+,若{1}A B =,则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1 【解析】由题意1B ∈,显然233a +≥,所以1a =,此时234a +=,满足题意,故答案为1. 【考点】集合的运算、元素的互异性 【名师点睛】(1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =??等集合问题时,往往容易忽略空集的情况,一 定要先考虑?时是否成立,以防漏解. 2.【2016高考江苏1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析:{} {}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=-.故答案应填:{}1,2- 【考点】集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审错题意,属于基本题,难度不大.一要注意培养良好的答题习惯,避免出现粗心而出错,二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法,强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2.【2015高考江苏1】已知集合{ }3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】{123}{245}{12345}A B ==,,,,,,,,,,,则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练 一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系 平方关系:商数关系: 倒数关系:1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换:令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式: 2cos 12 sin αα -± =;2cos 12cos αα+±=; αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质 函数 x y sin = x y cos = x y tan =

2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考数学分类汇编》 第十三篇:极坐标与参数方程 一、填空题 1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切, 则a =__________. 2.【2018天津卷12】)已知圆22 20x y x +-=的圆心为C ,直线2 1,232 ? =-??? ?=-?? x y (t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则ABC △的面积为 . 二、解答题 1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2 2cos 30ρρθ+-=. (1)求2C 的直角坐标方程; (2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程. 2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数), 直线的参数方程为 (为参数). (1)求和的直角坐标方程; (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率. 3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数), xOy C 2cos 4sin x θy θ =??=?, θl 1cos 2sin x t αy t α =+?? =+?, t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=??=? , θ

过点且倾斜角为的直线与交于两点. (1)求的取值范围; (2)求中点的轨迹的参数方程. 4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中,直线l 的方程为π sin()26 ρθ-=,曲线C 的方程为 4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长. 参考答案 一、填空题 1.21+ 2. 2 1 二、解答题 1.解: (1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆. 由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与 2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两 个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为22 21 k =+,故 4 3 k =-或0k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当4 3 k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点. (02, αl O ⊙A B ,αAB P

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案)

2018高考数学专题---数列大题训练(附答案) 1 .数列{n a }的前n 项和为n S ,且满足11a =,2(1)n n S n a =+. (1)求{n a }的通项公式; (2)求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 .已知数列}{n a ,a 1=1,点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ,求函数)(n f 最小值. 3 .已知函数x ab x f =)( (a ,b 为常数)的图象经过点P (1,8 1)和Q (4,8) (1) 求函数)(x f 的解析式; (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数,n S 是数列{a n }的前n 项和,求n S 的最小值。 4 .已知y =f (x )为一次函数,且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列,f (8)=15. 求n S =f (1)+f (2)+…+f (n )的表达式. 5 .设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S c ca =+-,其中c 是不等于1-和0的实常数. (1)求证: {}n a 为等比数列; (2)设数列{}n a 的公比()q f c =,数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥,试写出1n b ?? ???? 的通项公式,并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 .在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *),满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线, 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12

高考数学三角函数复习专题

三角函数复习专题 一、核心知识点归纳: ★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ?? ≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当22 x k π π=+ () k ∈Z 时,max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π=∈Z 时, max 1y =; 当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,22 2k k π πππ? ? - + ??? ? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k ππππ??++??? ? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数;在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π πππ? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ? ?+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴 ★★2.正、余弦定理:在ABC ?中有: 函 数 性 质

①正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===(R 为ABC ?外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ? =?? ? =?? ? =?? 注意变形应用 ②面积公式:111 sin sin sin 222 ABC S abs C ac B bc A ?= == ③余弦定理: 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? ? 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-?=???+-= ?? 二、练习题 1、角α的终边过点 b b 则且(,5 3 cos ),4,--=α的值( ) A 、3 B 、-3 C 、3± D 、5 2、已知2π θπ<<,3 sin()25 πθ+=-,则tan(π-θ)的值为( ) A .34 B .43 C .34- D .4 3 - 3、2(sin cos )1y x x =--是 ( ) A .最小正周期为2π的偶函数 B .最小正周期为2π的奇函数 4、为得到函数πcos 3y x ? ?=+ ?? ?的图象,只需将函数sin y x =的图像( ) A .向左平移π 6个长度单位 B .向右平移 π 6 个长度单位 C .向左平移5π 6 个长度单位 D .向右平移 5π 6 个长度单位 5、()sin()(0,0,||)2 f x A x A ωφωφπ =+>>< 是( ) A. y = 2sin(x -4π) B. y = 2sin(x +4π) C. y = 2sin (2x -8π) D. y = 2sin (2x +8 π )

2018年高考数学总复习 统计与统计案例

第三节 统计与统计案例 考纲解读 1. 理解随机抽样的必要性和重要性。 2. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法。 3. 了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画出频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点。 4. 理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差。 5. 能从样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字牲估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想。 6. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。 7. 会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系。 8. 了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。 9. 了解常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题。 (1)独立性检验 了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用。 (2)回归分析 了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。 命题趋势探究 1. 本节内容是高考必考内容,以选择题、填空题为主。 2. 命题内容为:(1)三种抽样(以分层抽样为主);(2)频率分布表和频率分布直方图的制作、识图及运用。(1)(2)有结合趋势,考题难度中下。 3. 统计案例为新课标教材新增内容,考查考生解决实际问题的能力。 知识点精讲 一、抽样方法 三种抽样方式的对比,如表13-7所示。 类型 共同点 各自特点 相互关系 使用范围 简单随机抽样 抽样过程都是不放回抽样,每个个体被抽到的机会均等,总体容量N ,样本容量n ,每个个体被抽到的概率n P N = 从总体中随机逐个抽取 总体容量较小 系统抽样 总体均分几段,每段T 个, 第一段取a 1, 第二段取a 1+T , 第三段取a 1+2T , …… 第一段简单随机抽样 总体中的个体个数较多 分层抽样 将总体分成n 层,每层按比例抽取 每层按简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 二、样本分析 (1)样本平均值:1 1n i i x x n ==∑。 (2)样本众数:样本数据中出现次数最多的那个数据。 (3)样本中位数:将数据按大小排列,位于最中间的数据或中间两个数据的平均数。

2018年高考数学—不等式专题

不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2-(m +1)x -m =0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ=[(m +1)]2+4m >0.即m 2+6m +1>0, 解得m >-3+22或m <-3-2 2. 答案 (-∞,-3-22)∪(-3+22,+∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件???x -y +1≥0, x +y -3≥0,x -3≤0, 则 z =x -2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x =3与直线x -y +1=0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z =x -2y 得到-5. 答案 -5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件???2x -y +1≥0, x -2y -1≤0,x ≤1, 则z =2x +3y -5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知, 当直线y =-23x +53+z 3过点A (-1,-1)时,z 取得最小值,即z min =2×(-1)+3×(-1)-5=-10.

(2017·西安检测)已知变量x ,y 满足???2x -y ≤0, x -2y +3≥0,x ≥0, 则z =(2)2x +y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m =2x +y ,由图象可知当直线y =-2x +m 经过点A 时,直线y =-2x +m 的纵截距最大,此时m 最大,故z 最大.由?????2x -y =0,x -2y +3=0,解得?????x =1,y =2, 即A (1,2).代入目标函数z =(2)2x +y 得,z =(2)2×1+2=4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ,y 满足???2x -y ≤0,x +y ≤3,x ≥0, 则2x +y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域,如图中阴影部分所示, 令z =2x +y ,则y =-2x +z ,当直线y =-2x +z 过点A (1,2)时,z 最大,z max =4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ,y 满足???x +y ≤2, 2x -3y ≤9,x ≥0, 则x 2+y 2的最大值是( )

2018年高考数学真题专题汇编----极坐标与参数方程

2018年高考数学真题专题汇编---- 极坐标与参数方程 一、填空题 1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切, 则a =__________. 2.【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ,直线1,232 ?=-+????=-?? x y (t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则ABC △的面积为 . 二、解答题 1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2 2cos 30ρρθ+-=. (1)求2C 的直角坐标方程; (2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程. 2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为 (为参数). xOy C 2cos 4sin x θy θ=??=?,θl 1cos 2sin x t αy t α =+??=+?,t

(1)求和的直角坐标方程; (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率. 3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数),过点且倾斜角为的直线与交于两点. (1)求的取值范围; (2)求中点的轨迹的参数方程. 4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26 ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长. 参考答案 一、填空题 1.21+ 2.2 1 二、解答题 1.解: (1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆. C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=??=? , θ(0,αl O ⊙A B ,αAB P

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