清华大学自主招生暨领军计划数学试题(精校word版,带解析)-历年自主招生考试数学试题大全

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

1．已知函数x e a x x f )()(2+=有最小值，则函数a x x x g ++=2)(2的零点个数为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．取决于a 的值

【答案】C

【解析】注意)()(/x g e x f x

=，答案C ．

2． 已知ABC ?的三个内角C B A ,,所对的边为c b a ,,．下列条件中，能使得ABC ?的形状唯一确定的有（ ）

A ．Z c b a ∈==,2,1

B ．B b

C a C c A a A sin sin 2sin sin ,1500=+= C ．060,0sin cos )cos(cos sin cos ==++C C B C B C B A

D ．060,1,3===A b a

【答案】AD ．

3．已知函数x x g x x f ln )(,1)(2

=-=，下列说法中正确的有（ ）

A ．)(),(x g x f 在点)0,1(处有公切线

B ．存在)(x f 的某条切线与)(x g 的某条切线平行

C ．)(),(x g x f 有且只有一个交点

D ．)(),(x g x f 有且只有两个交点

【答案】BD

【解析】注意到1-=x y 为函数)(x g 在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD ．

4．过抛物线x y 42=的焦点F 作直线交抛物线于B A ,两点，M 为线段AB 的中点．下列说法中正确的有（ ）

A ．以线段A

B 为直径的圆与直线2

3-

=x 一定相离 B ．||AB 的最小值为4

C ．||AB 的最小值为2

D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切

【答案】AB 【解析】对于选项A ，点M 到准线1-=x 的距离为

||2

1|)||(|21AB BF AF =+，于是以线段AB 为直径的圆与直线1-=x 一定相切，进而与直线23-=x 一定相离；对于选项B ，C ，设)4,4(2a a A ，则)1,41(2a

a B -，于是2414||22++=a

a AB ，最小值为4．也可将||AB 转化为AB 中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与||21BM 不一定相等，因此命题错误． 5．已知21,F F 是椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．下列说法中正确的有（ ）

A ．b a 2=

时，满足02190=∠PF F 的点P 有两个 B ．b a 2>时，满足02190=∠PF F 的点P 有四个

C ．21F PF ?的周长小于a 4

D ．21F PF ?的面积小于等于2

2

a