★★★八(上)第四章四边形性质探索试题
第四章：四边形性质探索
一、中考要求：
1．经历特殊四边形性质的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验和体验，进一步培养合情推理能力，增强简单逻辑推理能力，和掌握说理的基本方法．2．掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系．
3．探索并掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用的判别方法．
4．探索并了解正多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形概念．
5．通过探索平面图形的密铺，了解三角形、四边形、正六边形可以密铺，能运用这三种图形进行简单的密铺设计．
二、中考卷研究
(一)中考对知识点的考查：
(二)中考热点：
四边形的折叠问题与函数图象一起考查是2004、2005年中考试题中的热点题型．
三、中考命题趋势及复习对策
四边形尤其是特殊的四边形，在近几年的中考试题中所占的比例较大，一般有两道题，一个是填空题或选择题，另一个是解答题，分值大约占总分的9％左右，多边形内角和的考题一般以填空题的形式出现；考查平行四边形及特殊的平行四边形时，可能出简单的填空、选择，考查它们的判定条件时多以开放型试题出现的较多，或利用性质计算等；一般情况下有关平行四边形的试题多数为解答题，它将把几种四边形综合在一起，有时也将三角形的知识添加进来，题型比较灵活，复习时要以基础知识和基本技能为主，但要注意各知识点的结合；近年来对平面图形的镶嵌考查的力度有所增加，主要以填空、选择为主，复习时要注重理解概念．
★★★(I)考点突破★★★
考点1：平行四边形的性质和判定
一、考点讲解：
平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一．
1．平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的定义要抓住两点，即“四边形”和“两组对边分别平行”．
四边形的边角按位置关系可分为两类：
对边（没有公共端点的两条边）
邻边（有一个公共端点的两条边）
对角（没有公共边的两个角）
邻角（有一条公共边的两个角）
对角线：不相邻的两个顶点连成的线段．
2．两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等．
3．平行四边形的性质：
文字表达：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
图形如图1－4－1
符号语言表达：
四边形ABCD是平行四边形
4．平行四边形的判定：
文字表达：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
图形如图l－4－2：
符号语言表达：
AB∥CD.BC∥AD 四边形ABCD是平行四边形
AB=CD，BC=AD?四边形ABCD是平行四边形．AB平行且相等CD或BC平行且相等AD?四边形ABCD是平行四边形．
OA=OC，OB=OD?四边形ABCD是平行四边形．∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB?边形ABCD 是平行四边形．
二、经典考题剖析：
【考题1－1】（2004、宁安）如图1―4―3，在□ABCD 中，如果点M为CD中点，AM与BD相交于点N 那么S
ΔDMN
：S□ABCD为（）
A．1：12 B．1：9 C．1：8 D．1：6
【考题1－2】（2004、海口）如图1―4―4，□ABCD 中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（）
A．1＜m＜11 B．2＜m＜22
C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
解：A 点拨：点O、A、B组成三角形，由三角形三边关系得1＜m＜11，故选A．
【考题1－3】（2004、南宁，2分）顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个___________四边形．解：平行四边形点拨：运用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理．
【考题1－4】（2004、深圳南山）如图1―4―5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由，
解：添加的条件__________，理由：
解：条件：对角线相等．理由：如图l－4－6，连结AC、BD，因为在△ABC中，AE=BE，PF＝CF，所以EF是△ABC的中位线．所以EF=·AC．同理可
得FG=1
2
BD，GH=
1
2
AC，HE=
1
2
BD．又因为
AC=BD（添加条件）所以
EF=FG=GH=HE．故四边形EFGH为菱形．
点拨：主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定定理．
【考题1－5】（2004、青岛）已知：如图1―4―7在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB 于Q.
(1)求四边形AQMP的周长；
(2)写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱
形？说明你的理由
.
解：（1）∵PM∥AB，QM∥AC
∴四边形AQMP为平行四边形
且∠1＝∠C，∠2＝∠B 又∵AB＝AC＝a
∴∠B＝∠C ∴∠1＝∠B＝∠C＝∠2
∴QB＝QM，PM＝PC∴四边形AQMP的周长为：AQ＋QM＋MP＋PA＝AP＋QB＋PC＋PA＝AB＋
AC＝2a；
（2）△ABC∽△QBM∽△PMC；
（三对中写出任意两对即可）
（3）当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为
菱形. 当M为BC中点时
∵PM∥AB. QM∥AC ∴PM
1
2
=AB＝
2
a QM
1
2
=AC＝
2
a
∴PM＝QM
由（1）知：四边形AQMP为平行四边形
∴四边形AQMP为菱形.
点拨：通过对四边形的基础知识的考查来增强同学们的探索能力和逻辑思维能力．
三、针对性训练：(45 分钟) (答案：233 )
1．在□ABCD中，∠C＝∠B+∠D，则∠A＝____ 2．已知□ABCD的周长为30㎝，AB：BC=2：3，那么AB=___________㎝.
3．平行四边形的面积为144㎝2，若相邻两边上的高分别为8cm和12cm，则这两个邻边的长分别是
_______和______，平行四边形的周长是_______． 4．四边形任意两个相邻的角都互补，那么这个四边形
是________．
5．在四边形ABCD 中，给出下列条件：
①AB ∥CD ，②AD=BC ，③∠A ＝∠C ，④AD ∥
BC ．能判断四边形是平行四边形的组合是_______． 6．下面给出四边形ABCD 中∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的
度数之比，其中能判别四边形ABCD 是平行四边形的是（）
A ．l ：2：3：4
B ．2：3：2：3
C ．2：3：3：2
D ．1：2：2：3 7．平行四边形一组对角的平分线（ ） A ．在同一条直线上． B ．平行 C ．相交 D ．平行或在同一直线上 8．以不在同一直线上的三点作平行四
边形的三个顶点，则可作出平行四边形（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．如果图1―4―9四边形ABCD 是平行四边形，BD
⊥AD ，OB=3，AD=4，求 AB 、AC 、BC 的长及S □ABCD
10 如图1―4―10，在□ABCD 中，
CE 是 ∠DCB 的平分线，F 是
AB 的中点，AB=6，BC=4，E 、EF 、FB 为多少？ 11 现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成
一个含有45○
角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由． 12 如图1―4―11，已知等边三角形
ABC 的边长为a ， P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在 BC 、AC 、AB
上，猜想：PD ＋PE+PF=______，并证明你的猜想． 13 如图1―4―12，在平行四边形ABCD 中，点E 、F
在对角线AC 上，且AE=CF ，请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．（只需说明一组线段相等即可）
（1）连接_______；（2）猜想________ （3）说明理由
.
14 如图1―4―13，某村有一块四边形池塘，在它的四个角A 、B 、C 、D 处均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能请说明理由．
考点2：矩形、菱形、正方形的性质 和判定
一、考点讲解：
l ．菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱
形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形．
3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的
对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩
形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条
边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②
有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
7．平行四边形与特殊
平行四边形的关系 如图1―4―14所示．
二、经典考题剖析：
【考题2－1】（2004、深圳南山）如图1―4―15，矩形ABCD 中 ，E 在 AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则 AE 的长是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
解：A 点拨：△AEF ≌△DCE ， 所以 AE=DC ，所以AE+ ED+DC=
16
2
?2AE+2=8 ?AE=3．
【考题2－2】（2004、贵阳）如图1―4―16，菱形A B CD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合）且PE ∥BC 交AB 于 E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是___ 解：2.5 点拨：由题可知，PE ∥BC ，PF ∥CD ．则四边形AEPF 为菱形．由菱形的性质可知，S ΔAEP =S ΔFEP ，所以阴影的面积为S 阴=S ΔABC =12 S 菱形=12 ×1
2 ×2×
5=2.5
【考题2－3】（2004、宁安）如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是_________
【考题2－4】（2004、贵阳，10分）如图13，四边形
ABCD 中，AC =6，BD =8且AC ⊥BD 顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A n B n C n D n .
（1）证明：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（6分）
（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积；（2分） （4）求四边形A 5B 5C 5D 5的周长.（4分） （1）证明∵点A 1，D 1 分 别是AB 、AD 的中点， ∴A 1D 1是△ABD 的中 位线 ∴A 1D 1∥BD ，
1112A D B D
=
，同理：
B 1
C 1∥B
D ，1112
B C B D = ∴
11A D ∥11B C ，
11A D =11B C ，∴四边形1111A B C D 是平行四边形
∵AC ⊥BD ，AC ∥A 1B 1，BD ∥11A D ，∴A 1B 1⊥11A D 即∠B 1A 1D 1=90° ∴四边形1111A B C D 是矩形 （2）四边形1111A B C D 的面积为12；四边形2222A B C D 的面积为6；
（3）四边形n n n n A B C D 的面积为1242
n
?
；
（4）方法一：由（1）得矩形1111A B C D 的长为4，宽为3； ∵矩形
5555A B C D ∽
矩形1111A B C D ；∴可设矩形
5555A B C D 的长为4x ,宽为3x ，则5
14324,2
x x =
?
解得14
x =
；∴341,34
x x ==；
∴矩形5555A B C D 的周长=372(1)4
2
+=
.
方法二：矩形5555A B C D 的面积/矩形1111A B C D 的面积 =（矩形5555A B C D 的周长）2/（矩形1111A B C D 的周长）2即34
∶12 =（矩形5555A B C D 的周长）2∶142
∴矩形5555A B C D 的周长
72
点拨：本题是识图题，除考查基本的数学知识外，特别考查观察能力和想象能力，第比⑶、⑷题既可以从几何的角度写出结论，也可以从代数的 角度写出结论．适合于不同的思维特征的考查． 三、针对性训练：( 60分钟) (答案：233 )
1．延长等腰三角形ABC 顶角平分线AD 到E ，使DE =AD ，连结BE 、CE ，则四边形ABEC 是_____形． 2．菱形的周长为40cm ，它的一条对角线长为10cm ，
则菱形相邻的两个角分别是_______和_________． 3．菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5：4 则它的各内角度数为_______．
4．对角线AC=13cm ，BC=12cm 的矩形ABCD ，其面
积为_____
5．若菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个
角为（ ） A ．60
○
B ．45
○
C ．30
○
D ．15○
6．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．四个角都是直角 B ．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角线互相垂直7．正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（）
A、
2
2
a B、
2
4
a C、
a
2
D、2 2 a
8．如图1―4―19，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC= 10cm，AE平分∠BAD，DF
平分∠ADC，则四边形
AEFD的面积为（）
A．28cm2 B．26 cm2 C．24 cm2 D 20 cm2 9．如图1―4―20，在菱形ABCD中，AC、BD相交
于点O，且CA：BD=l：3 ,若AB=2，求菱形
ABCD
的面积．
10 如图1―4―2l，在边长为a的菱形ABCD中，∠
DAB＝60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD 上的动点，满足A E＋CF=a，说明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形．
11 已知如图l－4－22，E是矩形ABCD边AD上一点，
且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，
PG⊥AD，垂足分别为F、G，则PF＋PG=AB
成立
吗？为什么？
12 已知：如图l－4－23，以△ABC的三边长为边在
BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△ACF、△BCE，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
13在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．
请问：你同意谁的看法．要解决此题，需建构数学
模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图1－4－24，四边形ABCD中，AB∥CD，AD ∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形
ABCD的形状．
14 检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩
形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。
15 如图1－4－25，在△ABC中，∠ACB＝90○，BC
的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE的延长线上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当上B的大小满足什么条件时，四边形A CE F是菱形？请回答并证明你的结论；
（3）四边形A CEF有可能为正方形吗？为什么？
考点3：等腰梯形的性质和判定
一、考点讲解：
1．定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫等腰梯形．一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形．
2、等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等;
等腰梯形的对角线相等．
3．等腰梯形的判定：①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．②对角线相邻的梯形是等腰梯形．4．等腰梯形常见的作辅助线的方法．
（1）作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图l
－4－26
（2）平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形．如图l－4－27．
（3）平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图l－4－28．
（4）如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图1
－4－29．
二、经典考题剖析：如图――
【考题3－1】（2004、潍坊）如图l－4－30，请写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：
解：∠A＝∠B；∠C=∠D；AD=BC等
点拨：主要考查等腰梯形的性质，要把等腰梯形和一般梯形的性质区分开．
【考题3－2】（2004、北碚）如图l－4－31有一直角梯形零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D=120o，则该零件另一腰AB的长为____ _______（结果不取近似值）
解：5 3 点拨：平移腰AB，可以得到含30o角的直角三角形，再根据勾股定理，可得AB=5 3
【考题3－3】（2004、青岛，3分）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，则梯形的高是_________cm．
解：5 点拨：通过平移对角线构造出等腰直角三角形，等腰直角三角形的高就是梯形的高．
【考题3－4】（2004、贵阳）同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形吗？如果是，请给出证明（要求画出图形，写出已知、求证、证明）；如果不是，请给出反例（只需画图说明）.
已知：梯形ABCD，AD∥BC且∠B=∠C（或∠A=∠D）求证：梯形ABCD是等腰梯形
证明：过点A作AE∥DC，交BC于E
∵AD∥BC AE∥DC
∴四边形AECD是平行四边形，∴∠AEB=∠C，AE=DC∵∠B=∠C ∴∠AEB=∠B∴AB=AE
∴AB=DC ∴梯形ABCD是等腰梯形
【考题3－5】（2004、南宁，10分）26、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）
⑴他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单
价为8元/2
m，当△AMD地带种满花后（图10-1中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用。
⑵若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供
选择，单价分别为12元/2
m和10元/2
m，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
⑶若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图10-2），
请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使
得△APB≌△DPC且S
△APD
=S△BPC，并说出你的理由。
点拨：本题是阅读理解题，重视考查“用数学”的意识，试题素材贴近生活．通过观察——发现的思维，自主探索，发现有意义的结论，积极创设思考空间，以探究性试题考查探究能力．
三、针对性训练：( 60分钟) (答案：234 )
1．等腰梯形上底与高相等，下底是高的3倍，则底角为（）
A．30o B．45 o C．60 o D．75 o
2．顺次连结梯形四边中点，所成的四边形是（）A．梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形3．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，则腰与下底的夹角为（）
A．60 o B．30 o C．45 o D．15 o
4．如图l－4－34，在直角梯形
ABCD中，AD∥BC，AB⊥
BC，△BCD是等边三角形，
若BC=2，则AD=_______，
AB=_______.
5．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝120°，若AD=15，BC=49，则腰AB=_______
6．已知梯形的上底为4，两腰分别为6和8，两底角
互余，则下底长为
_________
7．如图l －4－35，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，说明： （1）AE 与1BE 有怎样的位置关系？为什么？ （2）AE 、BE 是否是∠BAD 和∠ABC 的平分线？ 请说明理由．
8．如图l －4－36，在梯形ABCD 中，AD ⊥BC ，AB=CD,
∠B ＝60○ ,AD=8，BC=14，求梯形ABCD 的周长． 9．在四边形ABCD 中，AB=CD ，AC=BD ，AC 、BD 相交于O ，AD ≠BC ，
（1）四边形ABCD 是怎样的四边形？请说明理由． （2）若去掉已知条件中的AD ∥BC ，其他条件不变,
四边形ABCD 又是怎样的四边形？说说你的理由．
10 已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 上BD ，
AD=3cm ，BC=7cm ，求梯形的面积S.
11如图1－4－37，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B
＝ 90○ ，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿边AD 向D 以1cm/秒的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边 形、等腰梯形？
12 如图1－4－38，等腰梯形ABCD 中，AD ∥B C ，AB
=CD ，∠ DBC ＝45○ ,翻折梯形使点B 重合于点 D ，折痕分别交边 AB 、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8，求BE 的长．
考点4：多边形的内角和及外角和
一、考点讲解：
1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直
线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多
边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
2．多边形的内角和：n 边形的内角和=(n －2)180°． 3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多
边形叫做正多边形．
4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向
延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°．
5．过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形
共有
(3)
2
n n 条对角线．
6．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形． 二、经典考题剖析：如图――
【考题4－1】（2004、贵阳）正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n=______ 解：8 点拨：主要考查n 边形的内角和公式． 【考题4－2】（2004、青岛）四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论. 问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？
（1）为了更直观的发现 问题，我们不 妨先在特 殊的四边形――平行四边 形中，研究这个问题：
已知：在平行四边形ABCD
中，O 是对角线BD 上任意一点（如图①）；
求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAE ·S △OCD .
（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。
已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意
D
B
O
C
A ②
C
O
A
D ③
①
A
D
C
O
B
一点（如图②）求证：_________________。 （3）在三角形中（如图③），你能否归纳出类似的结论？若能，用文字叙述你归纳出的结论，并写出已知、求证和证明过程；若不能，说明理由. 解：（1）证明：分别过点A 、C ，做AE ⊥DB ，交DB 的延长线于E ，CF ⊥BD 于F ，则有： S △AOB 12
=
BO·AE
S △COD 12
=DO·CF
S △AOD 12
=
DO·AE
S △BOC 12
=BO·CF
∴S △AOB ·S △COD 14
=BO·DO·AE·CF
S △AOD ·S △BOC 14
=
BO·DO·CF·AE
∴S △AOB ·S △COD ＝S △AOD ·S △BOC .
（2）能.从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等.或S △AOD ·S △BOC ＝S △AOB ·S △DOC 已知：在△ABC 中，D 为AC 上一点，O 为BD 上一点 求证：S △AOD ·S △BOC ＝S △AOB ·S △DOC
证明：分别过点A 、C ，作AE ⊥BD ，交BD 的延长线于E ，作CF ⊥BD 于F ，则有：S △AOD 12
=DO·AE ，
S △BOC 12
=
BO·CF S △OAB 12
=
OB·AE ，S △DOC 12
=OD·CF
∴S △AOD ·S △BOC 14
=OB·OD·AE·CF
S △OAB ·S △DOC 14
=
BO·OD·AE·CF
∴S △AOD ·S △BOC ＝S △OAB ·S △DOC
点拨：本题综合运用四边形和三角形的有关性质 ，考查了探索能力和逻辑思维能力。
【考题4－3】（2004、鹿泉，8分）在图1－4－42给出的四个正方形中，各画出一条直线（依次是：水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线、任意的直线），将每个正方形都分割成面
积相等的两部分；
（2）一条竖直方向的直线m 以及任意的直线n ，在由左向右平移的过程中，将正六边形分成左右两部分，其面积分别记为S 1和S 2．
①请你在图12-2中相应图形下方的横线上，分别填写的S 1和S 2的数量关系式（用“<”、“=”、“>”连接）； ②请你在图12-3中分别画出反映S 1和S 2三种大小关系的直线n ，并在相应图形下方的横线上，分别填
写的S 1和S 2的数量关系式（用“<”、“=”、“>”连接）．
（3）是否存在一条直线，将一个任意的平面图形（如图12-4）分割成面积相等的两部分？请简略说明理由
（3）存在，对于任意一条直线l ，在直线l 从平面图形的一侧向另一侧平移的过程中，当图形被直线l 分割后，设直线l 两侧图形的面积分别为S 1、S 2 ，两侧图形的面积为S 1＜S 2或（S 1＞S 2）的情形，逐渐变为S 1＞S 2或（S 1＜S 2）的情形，在这个平移过程中，一定会存在S 1=S 2的时刻，因此，一定存在一条直线，将一个任意的平面图形分割成面积相等两部分．
点拨：本题是操作探究题，形成新颖的入口宽、出口窄一种题型，让读者在特殊的操作过程中，联想探索一般的平面图形成立的结论，主要考查了操作探究能力和从特殊到一般的数学思想方法． 三、针对性训练：( 分钟) (答案： ) 如图―― 1．n 边形的每个内角等都等于120○ ，则n 等于_____ 2．一个正多边形的每个外角都是36○
，则这个多边
形是_________边形．
3．从n 边形的一个顶点引出的对角线把n 边形分成
D B
O C A E F
C
O
A
B
D
E
F
_______个三角形，n 边形内角和为_________. 4．一个多边形的外角和等于它内角和的2
3
，则这个多
边形的边数为____________-.
5．一个多边形的内角与外角的总和为2160°， 则此
多边形是_________边形．
6．当多边形的边数由n 增加到n ＋1时，它的内角和
增加（ ）
A ．180○
B ．270○
C ．360○
D ．120○ 7．下面角度中，不能成为多边形内角和的只有（ ） A ．540
○
B ．280
○
C ．1800
○
D ．900○
8．若多边形的边数由3增加(n 为正整数)，则其外角
和的度数（ ）
A ．增加
B ．减少
C ．不变
D ．不能确定 9．有两个多边形，它们边数的比为
l ：2，内角和的比为1：4，能确定它们各是几边形吗？ 10 如图l －4－45，求∠A ＋∠B ＋
∠C ＋∠D+∠E ＋∠F+∠G 的和．
11 如图l －4－46，求图中能用字
母表示的9个角的度数． 12 一个多边形的内角和比它的外
角和的3倍少180°,这个多边形的边数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
13 在学校的大操场，小明从A 点出发向前直走50m ，
向左转18°继续向前走50m ，再左转18°他以同样走法回到A 点时，共走了________m ．
考点5：平面的密铺
一、考点讲解：
1．定义：把形状、大小完全相同的一种或几种平面图
形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌． 2．对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边
形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，密铺图的每个顶点都必须集中在几个多边形的顶角，于是在每个顶点集中的顶角刚好拼成一个周角． 二、经典考题剖析：
【考题5－1】（2004、南宁，3分）如果要用正三角形
和正方形两种图形进行密铺，那么至少需要（ ） A ．三个正三角形，两个正方形 B ．两个正三角形，三个正方形 C ．两。河三角形，两个正方形 D ．三个正三角形，三个正方形
解：A 点拨：正三角形的一个内角为60°正四边形的一个内角是90o ，而3 ×60 o +2×90 o －360 o ，所以需3个正三角形，2个正方形可以密铺． 【考题5－2】（2004、宁安，3分）使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ）
A ．正六边形地砖
B 正五边形地砖
C ．正方形地砖
D 正三角形地砖
解：B 点拨：正五边形的一个内角为108 o 而不是整数，所以正五边形不能密铺．
【考题5－3】（2004、潍坊，2分）某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A ．正三角形
B ．矩形
C ．正八边形
D ．正六边形 解：C 点拨：正八边形的一个内角是135 o
而36001350
不是整数，用2个则留空隙，若用3个就重叠，所以不能选正八边形。
三、针对性训练：( 10分钟) (答案：235 )
1．当围绕一点拼接在一起的几个多边形的内角加在一
起恰好组成__________时，多边形可以密铺． 2．用正四边形一种图形进行平面图形的密铺时，在它
的一个顶点周围的正四边形的个数为_______. 3．如果只用一种正多边形作平面图形的密铺，而且在
每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多方形，则该正多边形的边数是__________．
4．某人到瓷砖商店去购买一种正多边形形状的瓷砖，
铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ） A ．正三角形 B ．正四边形
C ．正六边形
D ．正十二边形
5．下列多边形中，只用一种即可进行密铺的图形个数
为（ ）
⑴正五边形，⑵正四边形，⑶正三角形，⑷正六边
形，⑸正七边形，⑹正八边形． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
6．请在能够进行平面图形的密铺的图形后打“√”若
不能打“ ×”
（1）正方形（ ）； （2）正七边形（ ）； （3）正六边形（ ）；
（4）正三角形与正十边形（ ）； （5）正方形与 正八边形（ ）；
（6）正三角形、正方形与正六边形（ ）； （7）任意四边形（ ）；（8）任意三角形（ ）． 7．用正三角形和正方形可以密铺吗？若能，请说明在
一个顶点处各需要几个正三角形和几个正方形；若不能，请说明理由．
考点6：中心对称图形
一、考点讲解：
1．定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转180○ ，
如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 2．性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线
段都被对称中心平分．
3．中心对称与旋转对称的关系：中心对称是旋转角是
180o 的旋转对称．
4．中心对称的判定：如果两个点的连线被某一点M 平分，则这两个点关于点M 成中心对称． 二、经典考题剖析：
【考题6－1】（2004、衢州，3分）下列几个图形（见图1－4－47）是国际运用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（ ）
解：D 点拨：判定一个图形是不是中心对称图形， 看其绕某一点旋转180o 后能否和原图形重合．
【考题6－2】（2004、浙江绍兴，3分）4张扑克牌如 (图1－4－48⑴）所示放在桌子 上小敏把其中一张旋转180°后 得到如图（1－4－48⑵）所示， 那么她所旋转的牌从左数起是 （ ）
三、针对性训练：(10 分钟)
1．在我们学过的图形：线段、直线、射线、角、等腰
三角形、平行四边形、矩形展形、正方形、等腰梯形、圆中，其中轴对称图形是一，中心对称图形是
_______________，既是轴对称图形又是中心对称
图形的是_______________．
2．在图1－4－49中，既是轴对称图形，又是中心对
称图形的是（ ）
3．下列图形中，既不是中心对称图形，又不是轴对称
图形的是（ ）
A ．直角梯形
B ．两条相交直线
C ．正五边形
D ．把一张纸对折，任意剪成一个形状，把它打开后，所得到的图形
4．图1－4－50中，由正三角形和正方形拼成的图形
中是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
5．(2005，长沙）下列说法中，正确的是（ ） A ．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形 B ．正方形的对角线互相垂直平分且相等
C ．矩形是轴对称图形且有四条对称轴
D ．菱形的对角线相等 6．已知四边形ABCD ，如图1
－4－51，求作四边形 ABCD 关于点A 的对称图形．
7．已知四边形ABCD 和AB 的中点O ，求作四边形
ABCD 关于点O 的对称图形． 8．如图1－4－52，已知直线l 1⊥l 2，
垂足为O ，作线段PM 关于直线
l 1、l 2的对称线段M 1P 1、M 2P 2 ，
并说明M 1P 2和M 2P 2关于点O 成中心对称．
★★★(II)2005年新课标中考题一网打尽★★★
（79分，45分钟）答案(P236)
【回顾1】（2005、北京，5分）如图1－4－53，矩形ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，BE ⊥AC 于 E ，CF ⊥BD 于 F ．求证：BE=CF ．
【回顾2】（2005、北京，5分）如图l－4－54，梯形
ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，E为BC上一点，
且AE⊥ED．若BC=12，DC＝7，BE：EC=1：2，
求AB的长
【回顾3】（2005、内江）如图1－4－56，将矩形ABCD
沿对角线BD折叠，使C落在C＇处，BC＇交AD
于E，则下列结论不一定成立的是（）
A、AD＝BC′
B、∠EBD＝∠EDB
C、△ABE∽△CBD
D、
ED
AE
ABE=
∠
sin
【回顾4】（2005、衢州，9分)已知：
如图1－4－56，AG∥BC，
DE∥AG，GF∥AB，点点E为
AC的中点，求证：DE=FC
【回顾5】（2005、临沂）．如图1－4－57，顺次连结
圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝
10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为（）
(C)6．(D)9．
【回顾6】（2005、临沂）．如图1－4－58，Rt△ABC
中，∠A＝90?，AB＝4，AC＝3，D在BC上运动
(不与B、C重合)，过D点分别向AB、Ac作垂线，
垂足分别为E、F，则矩形AEDF的面积的最大值为
________________
【回顾7】（2005、重庆）如图1
－4－59，是根据四边形的不
稳定性制作的边长均为15㎝
的可活动菱形衣架．若墙上钉
子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠1＝_____度
【回顾8】
（2005、在直线l上依次摆放着七个正方形(如
图1－4－60所示)。已知斜放置的三个正方形的面
积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次
是S
1
、S
2
、S
3
、S
4
，则S
1
＋S
2
＋S
3
＋S
4
＝_________。
【回顾9】（2005、小明家用瓷砖装修卫生间，还有一
块墙角面未完工(如图1－4－61甲所示)，他想在现
有的六块瓷砖余料中(如图1－4－61乙所示)挑选2
块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同
的铺设方案(在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，
并标出所选用每块余料的编号)
【回顾10】（2005、南充）如图1-4-62，正方形ABCD
的边长为1 cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，
EF⊥AC．（1）求证：BE＝CF．（2）求BE的长．
【回顾11】（2005、南充）如图1-4-63，矩形ABCD
中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不
包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积
为y．
（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x范围．
（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面
积与ΔP AD面积之和为常数”．请你说明此判断是否
正确，并说明理由
【回顾12】（2005、武汉）将矩
形ABCD沿AE折叠，得到如
图1-4-64所示的图形，已知
∠C E D'=60°，则∠AED的
大小是（）如图1-4-64
A．60°.B．50°. C．75°. D．55°
【回顾13】（2005、武汉）如图
-65，在四边形ABCD
AC、BD相交于点O，已知∠
＝∠BCD，AD＝BC，
C
求证：AO ＝BO.
【回顾14】（2005、自贡，4分）张珊的父亲打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面时既没缝隙，又不重叠，所购瓷砖形状不能是（ ） A ．正三角形B ．正方形C ．正六边形D ．正八边形 【回顾15】（2005、自贡，4分）从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周长等于三角形的（ ） A ．两腰长的和 B ．周长的一半
C ．周长
D ．一腰长与底边长的和 【回顾16】（2005、杭州）在平行四边形ABCD 中, ∠B=110O ,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF ，则∠E+∠F 的值为( )
(A)110 O (B)30 O (C)50 O (D)70 O
★★★(III)2006年中考题预测★★★
( 100分 60分钟) 答案(236 )
一、基础经典题(36 分) (一)选择题(每题3分，共18分)
【备考1】下列四边形中，两条对角线一定不相等的 是（ ）
A ．正方形
B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．直角梯形 【备考2】如图1－4－67，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=10，BD=8，AB=x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1＜x ＜9 B ．2＜x ＜18 C ．8＜x ＜10 D ．4＜x ＜5
【备考3】某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形 形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（ ） A ．正方形B ．正六边形C.正八边形 D.正十二边形【备考4】如图1－4－68，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80 ，AB 的垂直平分线EF 交对角线A C 于点F 、E 为垂足，连结DF ，则∠CDF 等于（ ）
A ．80°
B ．70°
C ．65°
D ．60°
【备考5】下列四个命题中，假命题是（ ） A ．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B ．菱形的一条对角线平分一组对角
C ．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四
边形
D ．等腰梯形的两条对角线相等
【备考6】如图1－4－69，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ） A ．98 B ． 96 C ．280 D ．284
（二）填空题（每题3分，共18分）
【备考7】已知一个多边形的内角和是它的外角和的 3倍，那么这个多边形的边数是_________． 【备考8】已知AD 为∠ABC 的角平分线，E 、F 分别 为边AB 、AC 中点，连接DE ，DF ，在不再添加其他线段的前提下，要使四边形AEDF 为菱形，还需添加一个条件，这个条件是__________
【备考9】直角梯形下底与一腰的夹角为60°，此腰与上底长都为8，则中位线长为_______． 【备考10】如图l －4－70，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-
【备考11】如图1－4－71，ABCD 是面积为a 2 的任意四边形，顺次连结ABCD 各边中点得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连结各边中点得到四边形A 2B 2C 2D 2重复同样的方法直到得到四边形A n B n C n D n 则四边形A n B n C n D n 的面积为___________
【备考12】如图1－4－72，在矩
形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、DC 上，BF ∥DE ，若AD=12cm ，A B=7cm ，且A E ：EB=5：2，则阴影部分的面积为_________㎝2.
二、学科内综合题（每题10分，共20分）
【备考13】如图1－4－73，已知等腰梯形ABCD 中，
AD ∥BC ， （1）若AD=5，BC=11，梯形的高是4，求梯形的周长；（2）若AD=a ，BC=b ，梯形的高是 h ，梯形的周长为C ，则C=___________（请用含a 、 b 、c 的代数式表示，答案直接填在空格上，不要求证明) （3）若AD=3，BC=7，BD=5 5 ， 求证：AC ⊥BD ．
【备考14】阅读材料：多边形上或内部的一点与多边 形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1－4－74给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形． 请你按照上述方法将图l4刁5中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n 边形．
三、跨学科渗透题(8分)
【备考15】如图1－4－76，小明想把平面镜MN 挂在墙上，要使小明能从镜子里看见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米） 四、实际应用题(10分)
【备考16】师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行（1）如图1－4－77，先裁出两对符合规格的铝合金窗料（如图1－4－77①），使AB=CD ，EF= GH ； （2）摆放成如图1－4－77②的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是__________． （3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图1－4－77③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图1－4－77④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是
______________
五、渗透新课标理念题
【备考17】(开放题）用三种不同的方法把平行四边
形面积四等分．（在所给的图形图如图1－4－78中，画出你的设计方案，画图工具不限）．
【备考18】（探究题）如图如图1－4－79，在矩形AB CD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/秒的速度移动，如果P 对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0＜t ＜6），那么： （1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？ （2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果
有关的结论
【备考19】（猜想题）如图l －4－80，已知正方形ABC D 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ．
（1）证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以∠BOE ＝∠AOF ＝90o ，BO=AO ，又因为AG ⊥EB ，所以∠l+∠3 =90°=∠2+∠3，所以∠l ＝∠2，所以 Rt △BOE ≌Rt △AOF ，所以OE=OF ．
解答此题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
四边形性质探索
四边形性质探索（单元教案） 荣成十二中姜夕水 一、视点导读 四边形是日常生活中经常见到的几何图形，是基本的几何图形之一，四边形的性质，尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等特殊四边形的性质，在实际生活和工作中具有广泛的应用。四边形的有关知识是学习相似形、圆等知识的基础。同时本章还是中考命题的重要知识点和热点。 本章学习的主要内容可分为四大板块，这四大板块分别是： 1、平行四边形的性质和判定方法。 2、菱形、矩形、正方形的性质和判定方法。 3、多边形的内角和与外角和 4、平面密铺和中心对称图形 二、单元知识结构梳理： 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在六年级下册“空间与图形”有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和进行简单推理，将为学生对空间和图形后继内容的学习打下基础。作为第三学段“四边形”的主要内容，本章将从多种角度引导学生探索四边形的性质，重点研究平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形等四边形的有关性质和常用判别方法，并进行简单推理。在已经掌握平行线和相交线的有关几何事实以及初步的观察、操作等活动经验的基础上，本章又将探索多边形的内角和和外角和，研究平面图形的密铺，同时在上学期学习了轴对称的基础上学习中心对称图形。 具体地，本单元首先通过拼图引入平行四边形，逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的常用判定方法，然后借助直观或现实的情景分别探索并研究菱形、矩形、正方形、梯形等特殊四边形的有关性质和常用判别方法；最后通过“多边形广场”等现实情境比较自然地引导学生进行多边形内角和、外角和的探索活动，并在平面图形的密铺中进一步强化学生对多边形内角和及有关几何事实的认识。 三、单元教学目标 1、经历特殊四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情推理能力，增强学生的简单逻辑推理意识，使学生掌握说理的基本方法 2、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的概念，了解他们之间的关系。
平行四边形的性质(一)
第六章平行四边形 １. 平行四边形的性质（一） 杨家湾二中顾怀林 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在三角形有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结
第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”。 2．小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。
四边形性质探索单元测试题含答案.doc
?、精心选1选 （每题3分，共30分） 1.下列四边形中, 对角线一定互相垂直平分的是（ ）. B.菱形 C.等腰梯形 D.矩形 正确的是（ ） 2. A . C. 3. 下列美丽的图案中，是中心对称图形的有（ ）? A. AB=CD AD 〃BC B. AB//CD AB=CD C . AB=CD AD=BC D. AB 〃CD AD//BC 四边形性质探索单元测试题 A.平行四边形 在下列命题中， 一组对边平行的四边形是平行四边形 B.有一个角是直角的四边形是矩形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3尊曲◎ A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列条件中，不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）. 5.在下面给出的同一种平面图形中，不能进行密铺的是（ ）. A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 6.如图，在平面四边形A 中，CEA.AB, E 为垂足.如果ZA = 125°,则ZBCE=（ ） 7. 如图，某花木场有一块等腰梯形ABCD 的空地，其各边的中点分别是点E 、F 、G 、H,测量得对 角线AC=10米，现想用篱笆围成四边形EFGH 场地，则需篱笆总长度是（ ）. A. 40 米 B. 3。米 C. 20 米 D. 10 米 8. 如图，在周长为20cm 的QABCD 中，AB 尹AD, AC 、BD 相交于点O, OE_LBD 交AD 于E, 则AABE 的周长为（ ）. 25° D. 30°
C ? 8cm D . 10cm 9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）. A. 16 B. 22 C. 26 D. 22 或 26 10. 如图，梯形ABCD 中，AD 〃BC,对角线AC1BD ，且AC=8, BD=6,则此梯形的中位线长是 （）. A. 10 B. 5 C. 4 D. 3 二、细心填一填（每题3分，共24分） 11. 在QABCD 中，若ZA+ZC=100° ,则NB=. 12. 要证明一个四边形是菱形，可先证明它是平行四边形，再证明这个平行四边 形.（只需填一个你认为正确的方法即可） 13. 已知梯形的中位线长为6 cm,高为4 cm,则此梯形的面积为 cm 2. 14. 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形是 边形. 15. 在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,则下图中有 对全等三角形. 16. 如图，平行四边形ABCD 的周长是8厘米，AABC 的周长是7厘 米，则AC= ZB=90°，腰AB=5,两底之差为12,则另一腰 A . 4cm B . 6cm A D 17.如图，在梯形ABCD 中，AD 〃BC, CD=
数学：第四章四边形性质探索复习教案(北师大版八年级上)
第四章四边形性质探索知识点归纳 一．四边形的相关概念和性质 （1）在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺 次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母 来表示． 注意：表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或 逆时针的顺序．如图读作“四边形ABCD ” ． （2）在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线． 注意： ①四边形共有两条对角线． ②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法． （3）四边形的不稳定性： 三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性．但是，四边形四边长确定后，它的形状不能确定．这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用． （4）四边形的内角和等于 360． （5）四边形的外角和等于 360． 注意： 1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角； 2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角； 3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角． 二．多边形的概念和性质： （1）n 边形的内角和等于 180)2(?-n ．
（2）任意多边形的外角和等于 360． （3）n 边形共有2 )3(-n n 条对角线． （4）在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。 （5）正多边形的每个内角等于 n n 180 ).2(-三、平行四边形． 1．平行四边形的性质 (1)平行四边形的邻角互补，对角相等． (2)平行四边形的对边平行且相等． (3)夹在两条平行线间的平行线段相等． (4)平行四边形的对角线互相平分． （5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 (6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积． 2．平行四边形的判定 (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形． (3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． (4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形． (5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3．两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等． 注意： (1)距离是指垂线段的长度，是正值． (2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．
平行四边形及其性质
平行四边形及其性质
课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的
18.1.1 平行四边形的性质(教学设计)
第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 【岩帅中学李光兴】 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 【重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 【难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 平行四边形性质一：平行四边形的两组对边分别平行；
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质二：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质三：平行四边形的对角相等．
华东师大版八年级数学四边形性质探索单元试卷
四边形性质探索单元试卷 一、选择题 1．□ABCD中，如果∠B=100°，那么∠A、∠D的值分别是（） A．∠A=80°，∠D=100°B。∠A=100°，∠D=80° C．∠B=80°，∠D=80°D。∠A=100°，∠D=100° 2．已知菱形的周长为96㎝,两个邻角的比是1：2，这个菱形的较短对角线的长是（） A．21㎝ B.22㎝ C.23㎝ D.24㎝ 3、下列正多边形中，能够铺满地面的正多边形有（） （1）正六边形（2）正方形（3）正五边形（4）正三角形 A、1种 B、2种 C、3种 D、4 4、∠A和∠C是矩形ABCD的一组对角，则①∠ A与∠C相等；②∠A与∠C互补；③∠A是直角；④∠C是直角。以上结论中，正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、一个菱形两条对角线之比为1：2，一条较短的对角线长为4cm，那么菱形的边长为（） A.2cm B.4cm C.cm 5 2( D.2cm 2 )5 6、关于四边形ABCD：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC和BD相等以上四个条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7、如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°，所得的图形与原来的图形重合，那么这个四边形是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 8、（n+1）边形的内角和比n 边形的内角和大（） （A）1 （B）180°（C）360°（D）以上都不对 9、下列图形中，不是中心对称图形的是（） （A）线段（B）矩形（C）等腰梯形（D）正方形 10、下列叙述中，正确的是（） （A）只有一组对边平行的四边形是梯形 （B）矩形可以看作是一种特殊的梯形 （C）梯形有两个内角是锐角，其余两个角是钝角 （D）梯形的对角互补 11、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则图中的全等三角形共有（）Array（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对 12、小明用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状一定是（） （A）矩形（B）正方形（C）等腰梯形（D）无法确定 13、若菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，则其面积为（） （A）2402 cm（D）302 cm cm（B）1202 cm（C）602 14、若平行四边形一边长为10cm，则两对角线的长可以是…………………（） （A）4cm和6cm （B）6cm和8cm （C）8cm和10cm （D）10cm和12cm 二、填空题： 1、若一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则它是边形。
四边形性质探索复习测试
四边形性质探索复习测试 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 (第1题) (第5题) 2．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正三角形 3．在等腰梯形中，下列结论错误的是（） A．两条对角线相等 B．上底中点到下底两端点的距离相等 C．相邻的两个角相等 D．过上、下底中点的直线是它的对称轴4．已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形 C．五边形D．六边形5．如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（）A．bc-ab+ac+c2 B．ab-bc-ac+c2 C．a2+ab+bc-ac D．b2-bc+a2-ab 6．菱形的边长为5，一条对角线长为8，另一条对角线长为（）A．4 B．6 C．8 D．10 7．如图，周长为68的矩形ABCD被分成了7个全等的矩形， 则矩形ABCD的面积为（）
A．98 B．196 C．280 D．284 8．在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，若DE=5，则四边形ABED的面积为（） A．10 B．15 C．20 D．25 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于___．10．用同一种正多边形作平面镶嵌应满足的条件是______________． 11．平行四边形的一边长为8，一条对角线长为6，则另一对角线a的长应__．12．在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使EC=AC，连结AE交CD于F，那么∠AFC等于_______；若AB=2，那么△ACE的面积为_______．13．矩形的面积为12cm2，一条边长为3cm，则矩形的对角线长为_______．14．菱形的周长为40cm，两个相邻内角的度数的比为1：2，则菱形的面积___．15．如下图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=DC，∠A=45°，DE⊥AB于E，且DE=1，那么梯形ABCD的周长为_______，面积为_______． (第15题) (第16题) 16．如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，△BCD为正三角形，BC=8cm，则梯形ABCD的面积等于_______． 三、解答题（17～22题每题6分，23、24小题每题8分，共52分） 17．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 18．M为□ABCD的边AD的中点，且MB=MC，你能说明□ABCD一定为矩形吗？写出
四边形性质探索总结及其综合习题
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： ①“作高”：使两腰在两个直角三角形中． ②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． ③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形． ④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形． 综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题 分割、拼接 转化 三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现． 6、多边形的内外角和与外角和 n 边形内角和等于（n －2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°． 7、平面图形的密铺 对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺． 8、中心对称图形 如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形．
例5 如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作 等边△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？
例6 如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有 一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE． （1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由． （2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后， 如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由； 若不存在，也请你给出理由． 例7 阅读下面操作过程，回答后面的问题：在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图（2））． （1）这两种分割方法中面积之间的关系为：S1______S2，S3________S4； （2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种； （3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？ 例8如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作 直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角 平分线于点F． （1）试探索OE与OF之间的数量关系． （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并给出说理 过程． （3）在（2）的前提下，如果四边形AECF是正方形，那么△ABC将是什么三角形呢？请说明理由．
四边形性质的探索
《四边形性质的探索》分层练习及相关的中考题 1.如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、菱形、矩形或正方形 2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（） A、AB=CD，AD∥BC B、AB=CD，AB∥CD C、AB∥CD，AD∥BC D、AB=CD，AD=BC 3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（） A、88°，108°，88° B、88°，104°，108° C、88°，92°，88° D、88°，92°，92° 4.菱形的边长是2 cm ，一条对角线的长是则另一条对角线的长是（） A、4 cm B cm C、2 cm D 、cm 5.下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ) A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 6.在平行四边形ABCD中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C的度数为（） A、80° B、120° C、100° D、110° 7.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（） A、1∶2∶3∶4 B、1∶2∶2∶1 C、1∶1∶2∶2 D、2∶1∶2∶1 8.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（） A、2 B、4 C、6 D、8 9.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（） A、43 B、83 C、103 D、123 10.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、 F分别为BC、CD的中点，（如图）则∠EAF等于（） A、75° B、45° C、60° D、30° 11.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=________，∠D=__________. 12.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于____________. 13.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，若∠AOB=1000，则∠OAB=__________. 14.已知四边形ABCD是菱形，当满足条件_____ 时，它成为正方形．（填上你认
平行四边形的概念和性质
平行四边形的概念和性质（1） 冒合中学杜碧玲 [教学目标] 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 [教学重点、难点] （1）重点：掌握平行四边形的性质（2）难点：利用平行四边形的性质解决相关问题 [教学过程] 一、板书课题： 引入：在小学里，我们初步认识平行四边形，会计算平行四边形的周长和面积，这节课开始我们进一步来学习平行四边形的概念，研究它的性质—平行四边形的概念、和性质。 二、出示目标 出示事先写在小黑板上的教学目标： 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 三、自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。（二）出示自学指导 认真看课本（P83-84）练习前面的内容。 1．理解平行四边形的概念和记法； 2．掌握平行四边形的对边相等对角相等的性质，注意兰色书签的内容； 3．利用三角形全等证明上述性质。
四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。 （二）检测 1、过渡语：同学们，看完的请举手。懂了的请举手。好下面就比一比，看谁能正确做出检测题。 2、检测题P84：1、2、3 3、学生练习，请三名同学到黑板上进行板演，教师巡视。（改集错误解进行二次备课） 五、后教 （一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的板演，发现错解的请举手（指名更正） （二）讨论： 教师根据学生发言的情况进行评平行四边形的概念，研究它的性质价，（教师要强调解题格式） （三）归纳：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，你能说一说今天的收获吗？（指名说） 六、当堂训练 （一）讲述：让同学口答新知识，能运用新知识做对作业吗？好，要注意解题格式，书写工整。 （二）出示作业题： P90-91第1题2题第3题 （三）学生练习，教师巡视。
第四章 四边形性质探索单元测试(含答案)-
第四章四边形性质探索测试 （时间：60分钟满分：100分） 1、平行四边形的对角线；矩形的四个角，对角线 且；菱形的四条边，对角线，并且每条对角线平分一组；正方形的对角线且。 2、四条边的四边形是菱形；对角线的四边形是菱形；对角线 的四边形是矩形；对角线的四边形是正方形。 3、平行四边形的周长为24cm，一组邻边的差为1cm，则较长边的长为。 4、矩形的面积为48，一边长是6，那么矩形的对角线长是。 5、矩形两对角线夹角为60°，较短的边长为3.6cm，则对角线的长为。 6、已知菱形两邻角的比是1∶2，周长是9.2cm，则菱形的短对角线长为。 7、若正方形的边长是2，则对角线长为；面积为4的正方形的对角线长 为。 n；多边形的每个外角都为20°，则这是个8、若n边形的内角和是2160°，则 边形，它的内角和是。 9、我们学过的四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的 是、、。 10、在用正六边形进行密铺图案时，拼点处有正六边形。 二、选择题（每题3分，共30分） 1、下列条件不能确定平行四边形的是（） A、AB=CD，AD=BC B、AB=CD，AB∥CD C、AB∥CD，AD=BC D、AB∥CD，AD∥BC 2、矩形的两条对角线所夹的一个钝角为120°，那么矩形较短边与较长边的比是（） A、1∶2 B、3∶1 C、3∶3 D、1∶3 3、下面语句中错误的是（） A、有一组邻角相等的平行四边形是矩形 B、有四个角相等的四边形是矩形 C、对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形 D、有一组对角相等的平行四边形是矩形 4、下列说法中，错误的个数是（） ①线段是轴对称图形，也是中心对称图形；②角是轴对称图形
平行四边形的性质典型例题
《平行四边形的性质》典型例题 例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由. 例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF = 例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______. D C A B O
例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ， 若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.
参考答案 例 1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数. 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x ∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°. 例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长. 解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB === 60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB 8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB ∴.11,19====AD BC CD AB 答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm. 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ?????????,,，从而可说明.OF OE = 证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO = CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,， ∴)(AAS CFO AEO ???，∴.OF OE = 例4 分析 观察图形，AFD ?与DCE ?都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ?与AFE ?全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。 证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴?=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥Θ，∴?=∠=∠90C AFD ，
第四章 四边形性质探索单元考试
第四章单元考试 姓名座号总分_________ 一、选择（每题3分） 1、两条对角线互相平分,互相垂直且相等的四边形是 ( ) A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形 2、在平行四边形中，四个角之比可以成立的是 ( ) A、1:2:3:4 B、2:2:3:3 C、2:3:3:2 D、2:3:2:3 3、正方形具有而矩形不具有的性质是 ( ) A、四个角都是直角 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、对角线互相垂直 4、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A、对角相等 B、对边相等 C、对角线互相垂直 D、对角线相等 5、不能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( ) A、AB = CD，AD = BC B、AB∥CD，AB = CD C、AD∥BC，AB = CD D、AB∥CD，AD∥BC 6、菱形的周长是40cm，两对角线的比为3∶4，则对角线的长分别是 ( ) A、12㎝，16㎝ B、6㎝，8㎝ C、3㎝，4㎝ D、24㎝，32㎝ 7、一个四边形的三个内角的度数依次如下，其中是平行四边形的是 ( ) A、88°，108°，88° B、88°，104°，108° C、88°，92°，88° D、88°，92°，92° 8、平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必 ( ) A、大于1 B、大于1且小于7 C、小于7 D、小于7或大于1 9、如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且 E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于 ( ) A、75° B、45° C、60° D、30° 10、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，△DEC的周长是 ( ) A、3 B、12 C、15 D、19 二、填空(每空3分) 1、在□ABCD中，∠B=70°，则∠A=______，∠D=______ 2、在□ABCD中，∠A = 2∠B，则∠C = 3、如图1，在□ABCD中，AC=6,BD=10,AB AC, ⊥ 则图中全等三角形共有_______对 AB=______,______ BC= 4、如图2，菱形ABCD中，∠ADC=120°，AB=10, 则BD=________,AC=__________, 菱形ABCD的面积=________ 5、如图4，矩形ABCD的面积是16， EF过矩形ABCD对角线的交点O， 阴影部分的面积是 6、如图5，等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=AD=DC B=45,1 AE ∠?=，则梯形ABCD的周长=____________， 梯形ABCD的面积________ = 图 1 图 2 图5
四边形性质的探索
第四章四边形性质的探索 第1课时平行四边形的性质（1） 、温故知新 2 ?学校的网状电动门，可以自由的伸缩是利用了平行四边的 ____________ ? 3 ?平行四边形的一边为 a ,这边上的高为 h ,则这个平行四边形的面积为 ______________ ? 二、自主学习 1 ?将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片?将它们相等的一组边重合，拼成一个四边形. ⑴你拼岀了怎 样的四边形 ？与同伴交流，并把拼岀的所有图形画在下面 （2）小明拼岀了如图所示的一个四边形，这个四边形的对边有怎样的位置关系 理 由： 四边形叫做平行四边形.记作： 三、课堂同步 3. 在口ABCD 中：/ ADC=125 ° / CAD=21 ° (1) / ABC = 阶梯一 基础训练 1 .如图 4-1-1， :ABCD 是平行四边形（已知） I I I I AB = ，AD = 图 4-1-1 图 4-1-2 _A = 2.在 口ABCD 中，/ A=48 ° BC=3cm ，则/ B = ，/ C = ，AD = 4.如图 4-1-2，已知 口 ABCD 中，AD=12，AB=13，贝U BC= ，CD = 5.如图 4-1-3，在口 ABCD 中，EF II BC ，GH II AB ，则下图中平行四边形有（ 图 4-1-3 C . 6个 ?说说你的理由！ 平行四边形的对边 _________ 叫做它的对角线 ，平行四边形的对角 _____ 邻角 (2) / CAB = 1 ?下列图形中是平行四边形的是
6?如图牛1-4，在口ABCD中，AE垂直于CD , E是垂足?如果/ B= 55 °那么/ D与/ DAE分别等于多少度？ 7 .如图4-1-5，已知口ABCD，AE 平分/ DAB , AB=5 , BC=3，求EC 长. 8.如图4-1-6，在口ABCD中，已知AB:BC=3:5，且周长等于48,求这个平行四形四条边的长. 9 .如图4-仁7, AB II CD，AC、BD 交于点0,且AC=BD，求证：OD=OC 阶梯三拓展练习 10 ?如图4-1-8，四边形ABCD是平行四边形，分别过点A、B作BC的垂线，垂足 分别为E、F . 求证：BE = CF. 阶梯二 能力应用 C
平行四边形的定义及性质
知识点讲解： 一、平行四边形定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD”。 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成 □ACBD，也不能表示成□ADBC。 二、平行四边形的性质 ①平行四边形的对边平行且相 等 四边形ACBD为平行四边形 ?AB CD ∥、AD BC ∥ ②平行四边形的对角相等； 四边形ACBD为平行四边形 A C B D ?∠=∠∠=∠ ， ③平行四边形的对角线互相平 分 四边形ACBD为平行四边形 OA OC OB OD ?== ， ④平行四边形是中心对称图 形，对称中心就是两条对角线 的交点；连接四边上任意一点 和平行四边形的对称中心，与 另一条边相交于一点，则这两 个点关于平行四边形的对称中 心对称。 四边形ABCD为平行四边形， E、F在AD，BC上，且线段 EF过点O?OE＝OF 平行四边形的定义及性质
⑤平行四边形中重要结论： O AOB BOC DOC D A S S S S ????=== AOB COD ??≌ AOD COB ??≌ ABC CDA ??≌ BCD DAB ??≌ 练个手先： 在□ABCD 中， ①若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝____； ②若周长为54cm ，AB －BC ＝5cm ，则AB ＝____cm ； ③若AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系为____。 ④若∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则ABCD S Y ＝ ____。 ⑤若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S ??+=，则ABCD S Y ＝ ____。
青海省西宁五中八年级数学《四边形性质探索》单元测试题
青海省西宁五中八年级数学《四边形性质探索》单元测试题 一、精心选一选！ 1．如图1，□ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足． 如果∠A ＝125°，则∠BCE ＝60°（ B ） Ａ．55° Ｂ． 35° Ｃ．25° Ｄ．30° 2．如图2，四边形ABCD 是菱形，过点A 作BD 的平行线交CD 的延长线于点E ，则下列式子不成立．．． 的是（ B ） A. DA=DE B. BD=CE C. ∠EAC ＝90° D. ∠ABC ＝2∠E 3．（2008年广州市）如图3，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ C ） A ． 3 B ． 2 C ．5 D ．6 4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，则下面条件能判定平行四边形ABCD 是矩形的是（ B ） A ．AC⊥BD B ．AC=BD C ．AC=B D 且AC⊥BD D ．AB=AD 5.如图4，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ D ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=900 时，它是矩形 D 、当AC=BD 时，它是正方形 6．如图5，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ B ） A ．32 B ．33 C ．34 D ．3 7．如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD ，AC ，BD 相交于O 点，∠BCD=60°，则下列说法不正确的是（ B ） A ．梯形ABCD 是轴对称图形 ； B ．梯形ABCD 是中心对称图形； C ． BC=2A D D ．AC 平分∠DCB 8．一个多边形内角和是1080，则这个多边形是（ C ） A ．六边形 B ．七边形 C ．八边形 D ．九边形 9．下列图形（图5）中，中心对称图形的是（ B ） （A ） （B ） （C ） （D ） A E B C D 图1 图3 图4 图5 图5 图6 A B C D E O 图2
平行四边形及其性质(一)
平行四边形及其性质(一) 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的．3．培养学生发现问题、解决的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等及对角线互相的性质，以及性质的应用． 2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是四边形。 平行四边形是我们常见的图形，请你在举出平行四边形在生活中应用的例 子。 你能说出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别的四边形是平行四边形． (2)如右图：平行四边形用符号“”来表示．读作。 2：平行四边的定义： ①用文字语言表示为： （如图是图形语言） 在四边形ABCD中，AB平行于DC，AD平行于BC，那么四边形ABCD是．②用符号语言表示为： ∵AB//DC，AD//BC，∴四边形ABCD是。（判定）；反过来： ∵四边形ABCD是。∴AB//DC，AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共的边，邻角是指有一条公的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角． 所以我说定义很特殊：既可以当用，又可以当用。 3;平行四边的性质： 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的一般性质（如内角和为360°）和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们进行探究．
我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，度量它的边和角，发现平行四边形的对边，对角，邻角， （1）证明，如图：∵AB∥CD，AD∥BC∴∠+∠BAD＝180°，∠+∠ =180°∴平行四边形中，相邻的角互为补角． （2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的线，通过作对角线，可以把四边形的问题转化为形的问题来解决．） 证明：连接AC，如图 ∵AB∥，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝，＝AD，∠＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：用文字语言表示为 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 用符号语言表示为： ∵如图在ABCD中∴AB＝，CB＝AD，∠B＝∠，∠A＝∠C． 五、例习题分析 例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 分析：要证AF=CE，需证△≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠=∠B ，AD= ，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得=DF．由“边角边”可得出所需要的结论． 证明．在ABCD中，∵AB=CD，又∵= ∴BE=DF. ∵CB＝AD，∠B＝∠D ∴△≌△∴. 六、随堂练习 1．填空： 50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （1）在ABCD中，∠A= （2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm． 2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足， 求证：BE＝DF． 七、课后练习
- 四边形性质探索
- 第四章 四边形性质探索
- 数学：第四章四边形性质探索同步测试(北师大版八年级上)
- 数学：第四章四边形性质探索复习教案(北师大版八年级上)
- 四边形性质的探索
- (北师大版)八年级数学上第四章《四边形性质探索》
- 四边形性质及探索
- 八年级上册第四章四边形性质探索检测题
- 四边形的性质探索
- 青海省西宁五中八年级数学《四边形性质探索》单元测试题
- 数学：第九章四边形性质探索复习课件(鲁教版七年级下)
- 四边形性质探索
- 四边形性质探索
- 华东师大版八年级数学四边形性质探索单元试卷
- 四边形性质探索
- 四边形性质探索
- 七年级数学下册 第九章《四边形性质探索》复习课件 鲁教版
- 四边形的性质探索
- 四边形性质探索
- 四边形性质探索检测