(完整版)模2运算详解
模2运算
模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。
与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。
与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。
①模2加法运算定义为：
0＋0＝0
0＋1＝1
1＋0＝1
1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110，
列竖式计算：
0101
＋0011
──────
0110
②模2减法运算定义为：
0－0＝0
0－1＝1
1－0＝1
1－1＝0
例如0110－0011＝0101，
列竖式计算：
0110
－0011
──────
0101
③模2乘法运算定义为：
0×0＝0
0×1＝0
1×0＝0
1×1＝1
多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。
例如1011×101＝100111，
列竖式计算：
1011
×101
──────
1011
+0000
+1011
────────
100111
④模2除法运算定义为：
0÷1＝0 1÷1＝1
多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后
者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。
多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义的。
实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1
模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。
因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。
例如1100100÷1011＝1110 (110)
列竖式计算：
1110
────────
1011)1100100
1011
──────
1111
-1011
──────
1000 -1011
──────
0110
-0000 ──────
11
取模运算和取余运算
取模运算和取余运算 取模运算（“Modulo Operation”）和取余运算（“Complementation ”）两个概念有重叠的部分但又不完全一致。主要的区别在于对负整数进行除法运算时操作不同。取模主要是用于计算机术语中。取余则更多是数学概念。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是： 1.求整数商：c = a/b; 2.计算模或者余数：r = a - c*b. 求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。 例如计算：-7 Mod 4 那么：a = -7；b = 4； 第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）； 第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。
归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。 当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。 另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。 补充： 7 mod 4 = 3（商= 1 或2，1<2，取商=1） -7 mod 4 = 1（商= -1 或-2，-2<-1，取商=-2） 7 mod -4 = -1（商= -1或-2，-2<-1，取商=-2） -7 mod -4 = -3（商= 1或2，1<2，取商=1） 这里模是4，取模其实全称应该是取模数的余数，或取模余。 增加补充内容（以上五行）后，被爱吉吉桑修改商值，但是括号内容不变，出现奇怪矛盾。 在python下% 运算符代表取模，如要修改，请先用python做-7 % 4 运算，或其它语言做取模运算验证，理解后再动手。 概念 定义 给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式： n = kp + r ；
模运算
https://www.wendangku.net/doc/924504737.html,/jojoke/archive/2007/12/17/1003594.html 模运算2009-7-16 很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。 1. 模运算是取余运算(记做% 或者mod)，具有周期性的特点。 m%n的意思是n除m后的余数，当m递增时m%n呈现周期性特点，并且n越大，周期越长，周期等于n。 例如 0 % 20 = 0，1 % 20 = 1，2 % 20 = 2，3 % 20 = 3，...，19 % 20 = 19 20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3，...，39 % 20 = 19 2. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式 m = k * n + r (k为大于等于0的整数，r <= m） 3. 同余式，表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。 根据2的等式可以推出a = kn + b 或者a - b = kn 证明：∵ a = k1 * n + r1 b = k2 * n + r2 ∴a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2) a = k * n + (r1 - r2) + b ∵a, b对n取模同余，r1 = r2 ∴a = k * n + b (k = k1 - k2) 4. 模运算规则，模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下 (a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1） (a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2） (a * b) % n = (a % n) * (b % n) % n （3） a b % n = ((a % n)b) % n （4） （《ACM》P237规则有错，已改之） （1）式证明 ∵a = k1*n + r1 b = k2*n + r2 a % n = r1 b % n = r2
取模运算
取模运算 取模运算即模运算模运算即求余运算。“模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。例如11 Mod 2，值为1 上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理： Turbo Pascal对mod的解释是这样的： A Mod B=A-(A div B) * B （div含义为整除） 运算及其应用 本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。 一基本理论： 基本概念： 给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式n = kp + r ； 其中k、r是整数，且0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。 对于正整数p和整数a,b，定义如下运算： 取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。 模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。 模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。 模p乘法：(a * b) % p，其结果是a * b算术乘法除以p的余数。 说明： 1. 同余式： 正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。 2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。 例如：7%4 = 3，-7%4 = -3，7%-4 = 3，-7%-4 = -3。 基本性质：（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7) （2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p) （3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p) （4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p) 运算规则： 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
模运算详解
模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。 与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。 与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。 ①模2加法运算定义为： 0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝0
例如0101＋0011＝0110， 列竖式计算： 0101 ＋0011 ────── 0110 ②模2减法运算定义为： 0－0＝0 0－1＝1 1－0＝1 1－1＝0 例如0110－0011＝0101， 列竖式计算：
0110 －0011 ────── 0101 ③模2乘法运算定义为： 0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。 例如1011×101＝100111， 列竖式计算：
1011 ×101 ────── 1011 +0000 +1011 ──────── 100111 ④模2除法运算定义为： 0÷1＝0 1÷1＝1 多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。
模逆运算快速算法
模逆运算快速算法——扩展的Euclid 算法与扩展的Stein 算法 (1)扩展的Euclid 算法 求模逆的传统算法是扩展的Euclid 算法，该算法是在用Euclid 算法求取二个数的最大公因子时，若最大公因子为1，说明二个数互素，则可同时得出二者的乘法逆元。 算法描述如下： 输入：二个整数a 、b ，设b a > 输出：a 与b 的最大公因子；若二者互素，同时得出乘法逆元 Step 1: ),0,1(),,(321a X X X ←，),1,0(),,(321N Y Y Y ← Step 2: if 03=Y then return ),gcd(3b a X =，no inverse Step 3: if 13=Y then return ),gcd(3b a Y =，a Y b mod 21=-，b b Y a mod )(11+=- Step 4: ??33X Q = Step 5: ),,(),,(332211321QY X QY X QY X T T T ---← Step 6: ),,(),,(321321Y Y Y X X X ← Step 7: ),,(),,(321321T T T Y Y Y ← Step 8: goto Step 2 (2)扩展的Stein 算法 较之扩展的Euclid 算法，扩展的Stein 算法可以得到更高的执行效率。 Stein 算法基于以下求取二个数公因子的基本性质： 1)若a 与b 都是偶数，则)2,2gcd(2),gcd(b a b a = 2)若a 为偶数、b 为奇数，则),2gcd(),gcd(b a b a = 3)若a 与b 都是奇数，则),2)(gcd(),gcd(b b a b a -= 由于除2在二进制运算中仅做一次移位操作，因此可以说Stein 算法主要只用到了减法，通过计算复杂性分析可知，在最坏情况下，Stein 算法所需减法次数为)13()(-+lb a lb 。 使用扩展的Stein 算法处理模逆运算的流程如下图所示。
计算凸凹模尺寸
孔4×Ф5.5凸、凹模尺寸计算： 凸模： d 凸=（d min + x ?）0凸 δ -=（5.5+0.5?0.3）002.0-=5.650 02.0- 凹模： d 凹=（d 凸+ Z min ）凹 δ0=（5.65+0.64）02.00 +=6.2902.00+ 孔Ф26凸凹模尺寸计算： 凸模： d 凸=（d min + x ?）0凸 δ -=（26+0.5?0.52）002.0-=26.26002.0- 凹模： d 凹=（d 凸+ Z min ）凹 δ0=（26.26+0.64）02.00 +=26.9025.00+ 外形凸凹模尺寸的计算（落料）： 根据零件的形状，凹模磨损后其尺寸变化都为第一类A （磨损后尺寸增大） 由教材表3—6查得 1x ＝0.5 2x ＝0.5 凹A =凹（δ)?+x A 式 ( 1—2 ) 式中： A —工件基本尺寸(mm) △—工件公差（mm ） 凹δ－凹模制造公差（mm ） 1凹A =025.004 5.1705.17015.0170-?--==?+凹 ）（δ 025.005.15415.01542--=?+=凹）（凹δA
凹模的外形一般有矩形与原形两种。凹模的外形尺寸应保证凹模有足够的强度与刚度。凹模的厚度还应包括使用期内的修磨量。凹模的外形尺寸一般是根据材料的厚度和冲裁件的最大外形尺寸来确定的。 查《冲压工艺及模具设计》万战胜主编中国铁道出版社表2—22 凹模外形尺寸得凹模最小壁厚C=52mm 凹模厚度H=36mm 故凹模板的外形尺寸：长 L=L1＋2C=170＋52×2=274mm 宽 B=L2＋2C=154＋52×2=258mm 故L×B×H=274×258×36 mm 又查《模具手册之四—冲模设计手册》编写组编著机械工业出版社表14-6 矩形和圆形凹模外行尺寸（GB2858-81）将上述尺寸改为315×250×40mm。
2020年上海市金山区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市金山区高考数学二模试卷 一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列计算结果一定不等于0的是（） A. B. C. D. 2.在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既 同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体 A、B的体积不相等”是“A、B在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3.设F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若 |PF1|+|PF2|=6a，∠PF1F2是△PF1F2的最小内角，且∠PF1F2=30°，则双曲线C的渐近线方程是（） A. x±y=0 B. x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 4.若实数a、b满足，则的取值范围是（） A. [-2，0] B. C. D. 二、填空题（本大题共12小题，共54.0分） 5.函数的定义域是______． 6.函数y=（sin x+cos x）2的最小正周期是______． 7.若关于x、y的线性方程组的增广矩阵为，该方程组的解为，则m+n 的值是______ 8.二项式（x+1）7的展开式中含x3项的系数值为______． 9.已知全集U=R，集合，则?U P=______． 10.若z1=1+i，z2=a-i，其中i为虚数单位，且R，则|z2|=______ 11.方程（t为参数，t∈R）所对应曲线的普通方程为______ 12.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，则=______． 13.若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别 0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品 的概率是______（结果用小数表示）
幂模运算快速算法
幂模运算快速算法——滑动窗口算法 设e 的二进制表达式为：∑-== 10)2(k i i i e e ，其中}1,0{∈i e 。那么，n X e mod 的幂模运算二进制算法如下： 输入：X ，e ，n 输出：n X C e mod = Step 1: 1=C Step 2: for 1-=k i downto 0 Step 2.1: n C C C mod )*(= Step 2.2: if 1=i e then n X C C mod )*(= Step 3: return C 由二进制法的计算过程可知：当指数e 的二进制位为0时，会减少乘模的次数。二进制法的直接推广是m 进制法，其基本思想是把指数分成r bits(即m 2log bits)的数据块，每次取指数e 的r bits 进行运算，从而使整个幂模运算的效率提高。假定e 的每个比特是0或1的概率相同，则m 进制法一个数据块是全0的可能性为r -2，当r 增加时，数据块为全0的可能性会减少，因此在Step 2.2需做乘模的可能性增加；而当r 减小时，算法总的乘模次数也会增加。滑动窗口技术提供了一种折衷，允许零数据块和非零数据块是变长的，目的是增加全0数据块的数量，从而使总的乘模次数减少。 具体方法是：把k bits 指数分解成z 个零窗口或非零窗口i F ，i F 长度为)(i F L 。规定最大窗口长度为d ，即))(max(i F L d =，显然总窗口数z 可能不等于d k 。d 的取值与模数的位长有关。 对单一窗口的幂模运算进行预处理，即预计算n X w mod ，其中 12,,7,5,3-=d w ，因为指数分解的原则使非零窗口的最低有效位必定为1，故w 为为奇数，从而使预处理次数减少了一半。 滑动窗口算法处理幂模运算的过程如下： 输入：X ，e ，n 输出：n X C e mod = Step 1: 预计算。 Step 2: 将k bits 的指数e 分解成长度为)(i F L 的零窗口或非零窗口i F ，1,,2,1,0-=z i 。 Step 3: 1=C Step 4: for 1-=z i downto 0 Step 4.1: n C C i F L mod )(2= Step 4.2: if 0≠i F then n X C C i F mod )*(= Step 5: return C 窗口的划分采用了从左至右扫描的变长滑动窗口技术，因为计算是从高位至低位进行的。如果采用从
2017年江苏省淮安市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省淮安市高考数学二模试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）. 1．已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=． 2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是． 3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是． 4．现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是． 5．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是． 7．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm． 8．函数f（x）=的定义域是． 9．已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S9=1，则a1的
值是． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若?=﹣7，则?的值是． 12．在△ABC中，已知AB=2，AC2﹣BC2=6，则tanC的最大值是． 13．已知函数f（x）=其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是． 14．已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．已知sin（α+）=，α∈（，π）． 求：（1）cosα的值； （2）sin（2α﹣）的值． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E． 求证：（1）DE∥平面B1BCC1； （2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．
2模四
实验四 模拟运算电路 一、实验目的 1、深刻理解运算放大器的“虚短”、“虚断”的概念。熟悉运放在信号放大和模拟运算方面的应用； 2、掌握反相比例运算电路、同相比例运算电路、加法和减法运算及单电源交流放大等电路的设计方法； 3、学会测试上述各运算电路的工作波形及电压传输特性。 二、实验仪器与器材 示波器、直流稳压源、函数发生器、交流毫伏表、模拟电路实验箱、万用表、μA741运算放大器等。 三、实验内容 用运算放大器μA741完成下面的设计题目。 μA741的外观和引脚图如图4-1。本次实验中μA741的工作电压为±15V 。引脚说明： 2――反相输入端； 3――同相输入端； 4――负电源； 6――输出端； 7――正电源； 1、设计反相放大器 设计一反相放大器，满足关系式V f A ＝－10（原理图：书71页图2-4-1，已知Ω=10K R 1，其它电阻值自取）。 (1) 在输入接地的情况下，进行调零。调零电路见图2-4-8。 (2) 输入直流信号i U 分别为0.5V 、0.2V 、－0.2V 、－0.5V ，用万用表测量对应于不同i U 的U o 值填入 表4-1，计算V f A 且与理论值比较。 1 2345 67 8 μ A 741U _ U + -U C C +U C C U 图4-1 μA741外观和引脚图
(3)输入1KHz 的正弦信号，在输入不失真的情况下（建议i U ＝0.2V ），测量O U 、H f 、L f ，计算Vf A 及BW 。（选做） BW 测试方法：给入1KHz 的正弦信号，调节输入电压使得输出波形不失真（如i U ＝0.2V ），调整示波器的“W Div ”及其微调旋钮使显示的O U 波形高度正好为5格。保持输入信号i U 大小不变（由交流毫伏表监视），分别将信号源频率向高频及低频调节，O U 波形的幅度将会随频率的变化而逐渐减小，当在频率的高端及低端波形幅度下降到最大幅度的0.7倍时，所对应的信号源的频率就是被测放大器的上限截止频率H f 及下限截止频率L f 。 2、设计加法器 设计一加法器，满足O i1i 2U (U U )=-+，原理图2-4-4,Ω===10K R R R F 21。选取两组直流信号电压，测量相应的O U 值，填入表4-2中，并与理论值进行比较。 表4-2 3、设计减法器 设计一减法器，满足O i1i 2U 10(U U )=--，原理图2-4-5,Ω==Ω==100K R R ,10K R R F 321。选取两组直流信号电压，测量相应的O U 值，填入表4-3中，并与理论值进行比较。 表4-3 4、设计单电源交流放大器（本科要求完成，杏林不作要求） 设计一个单电源交流放大器，要求V f A ＝－4，原理图2-4-6,F R 为可调电阻，调节其值为40K Ω。 (1) 输入1KHz ，且i U ＝0.5V 的正弦信号，观察输入输出波形并记录波形（标出峰峰值或计算出有效值）。 (2) 测量输出电压有效值，验证是否满足V f A ＝－4。
模运算
模运算 “模”是“Mod”的音译，模运算多应用于程序编写中。 Mod的含义为求余。模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。 ?中文名模运算 ?外文名Mod ?概述计算机编写程序 ?领域数论和程序设计 ?类型以纯理论为主 举例 11 Mod 2，值为1 上述模运算多用于程序编写，举一例来说明模运算的原理： Turbo Pascal对mod的解释是这样的： A Mod B=A-(A div B) * B （div含义为整除）[1] 概念及性质 本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。 基本概念 给定一个正整数，任意一个整数，一定存在等式；其中、是整数，且 ，称为除以的商，为除以的余数。 对于正整数和整数 , ，定义如下运算： 取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。 模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。 模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。 模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。 说明： 1.同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。 2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = - 3(在java、C/C++中%是取余，在python是模运算，此处%按取余处理)。 基本性质 （1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7) （2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p) （3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p) （4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)
RSA模幂运算的实现
#include if(b[i]==1) k=k*l%n; printf("i=%d, b[i]=%d, %d\n",i,b[i],k); l=(l*l)%n; } printf("计算结果为：%d\n",k); return 0; } 2. 大数幂模与乘模运算?Montgomery 幂模算法 在实现了vlong 类型后，大数的存储和四则运算的功能都完成了。考虑到RSA 算法需要进行幂模运算，需要准备实现这些运算的方法。所以写一个vlong 的友元，完成幂模运算功能。幂模运算是RSA 算法中比重最大的计算，最直接地决定了RSA 算法的性能，针对快速幂模运算这一课题，西方现代数学家提出了很多的解决方案。经查阅相关数学著作，发现通常都是依据乘模的性质 n n b n a n b a mod ))mod ()mod ((mod )(?=?，先将幂模运算化简为乘模运算。 通常的分解习惯是指数不断的对半分，如果指数是奇数，就先减去一变成偶数，然后再对半分，例如求D=n C E mod ，E=15，可分解为如下6个乘模运算。 n C n C C C m od m od 21=?= n C n C C C m od m od 312=?= n C n C C C mod mod 6223=?= n C n C C C mod mod 734=?= n C n C C C mod mod 14445=?= n C n C C C mod mod 1556=?= 归纳分析以上方法，对于任意指数E ，可采用如图2-4的算法流程计算 。 图2-4 幂模运算分解为乘模运算的一种流程 按照上述流程，列举两个简单的幂模运算实例来形象的说明这种方法。 ①求17 mod 215的值 开始 D = 1 P = 2 mod 17 = 2 E = 15 E奇数 D = DP mod n = 2 P = PP mod n = 4 E = (E-1)/2 =7 E奇数 D = DP mod n = 8 P = PP mod n = 16 E = (E-1)/2 =3 E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =1 E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =0 最终D = 9 即为所求。 ②求13 mod 28的值 开始 D = 1 P = 2 mod 17 = 2 E = 8 E偶数 D = 1 P = PP mod n = 4 E = E/2 =4 E偶数 D = 1 P = PP mod n = 3 E = E/2 =2 E偶数 D = 1 P = PP mod n = 9 E = E/2 =1 E奇数 D = DP mod n = 9 P = 不需要计算 E = (E-1)/2 =0 最终D = 9 即为所求。 观察上述算法，发现E根据奇偶除以二或减一除以二实际就是二进制的移位操作，所以要知道需要如何乘模变量，并不需要反复对 E 进行除以二或减一除以二的操作，只需要验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了。同样是计算 ，下面给出从右到左扫描二进制位进行的幂模算法描述，设中间变D E mod C n 量D,P,E的二进制各位下标从左到右为u,u-1,u-2, 0 Powmod(C,E,n) { D=1; P=C mod n; for i=0 to u do { if(Ei=1)D=D*P(mod n); P=P*P(mod n); } 负数取模运算 转自:https://www.wendangku.net/doc/924504737.html, 最近带的助教班中，有人问负数怎么取模，故上网搜了一下，感觉下面这篇帖子写得很不错，故拷过来借鉴下，原文：https://www.wendangku.net/doc/924504737.html,/blog/mod-in-real/ 最近在一道Java 习题中，看到这样的一道题： What is the output when this statement executed: System.out.printf(-7 % 3); 正整数的取余运算大家都很熟悉，但是对于负数、实数的取余运算，确实给人很新鲜的感觉。于是我对此进行了一些探索。我发现，这里面还是颇有一点可以探索的东西的。 自然数的取模运算的定义是这样的（定义1）： 如果a和d是两个自然数，d非零，可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r，满足 a = qd+ r 且0 ≤ r < d。其中，q 被称为商，r 被称为余数。 那么对于负数，是否可以沿用这样的定义呢？我们发现，假如我们按照正数求余的规则求(-7) mod 3 的结果，就可以表示-7 为(-3)* 3 +2。其中，2是余数，-3是商。 那么，各种编程语言和计算器是否是按照这样理解的呢？下面是几种软件中对此的理解。 C++（G++ 编译）：cout << (-7) % 3; // 输出 -1 Java（1.6）：System.out.println((-7) % 3); // 输出 -1 Python 2.6：>>> (-7) % 3 // 输出 2 百度计算器：(-7) mod 3 = 2 Google 计算器：(-7) mod 3 = 2 有道计算器：(-7) mod 3 = -1 可以看到，结果特别有意思。这个问题是百家争鸣的。看来我们不能直接把正数的法则加在负数上。实际上，在整数范围内，自然数的求余法则并不被很多人所 0 1 1 0 ②模2减法运算定义为： 0－0＝0 0－1＝1 1－0＝1 1－1＝0 例如0110－0011＝0101，列竖式计算： 0 1 1 0 －0 0 1 1 ────── 0 1 0 1 ③模2乘法运算定义为： 0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。例如1011×101＝100111，列竖式计算： 1 0 1 1 × 1 0 1 ────── 1 0 1 1 0 0 0 0 ＋1 0 1 1 ──────── 1 0 0 1 1 1 ④模2除法运算定义为： 0÷1＝0 1÷1＝1 多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后者按带借位的二进制减法，根据余数减除数够减与否确定商1还是商0，若够减则商1，否则商0。多位模2除法采用模2减法，不带借位的二进制减法，因此考虑余数够减除数与否是没有意义的。实际上，在CRC运算中，总能保证除数的首位为1，则模2除法运算的商是由余数首位与除数首位的模2除法运算结果确定。因为除数首位总是1，按照模2 除法运算法则，那么余数首位是1就商1，是0就商0。例如1100100÷1011＝1110……110，列竖式计算： 1 1 1 0 ──────── 1 0 1 1〕1 1 0 0 1 0 0 －1 0 1 1 ────── 1 1 1 1 －1 0 1 1 ────── 1 0 0 0 －1 0 1 1 ────── **********************工程 高 支 模 施 工 专 项 方 案 编制人： 审核人： 审批人： 目录 一、编制依据 (2) 二、工程概况 (2) 2.1、工程简介 (2) 2.2、模板支撑工程概况 (2) 2.3、模板工程施工总体要求 (3) 三、模板体系方案选择 (3) 3.1、模板支撑布置方案 (3) 3.2、排架搭设平面布置 (9) 四、施工工艺技术 (9) 4.1、施工工艺流程 (9) 4.2、排架搭设要求 (9) 4.3、混凝土浇筑要求 (11) 五、模板工程质量保证措施 (12) 六、模板拆除 (14) 七、成品保护 (17) 八、安全文明施工措施 (18) 8.1、安全文明施工组织机构 (18) 8.2、安全文明施工管理措施 (18) 8.3、支撑监测措施 (20) 九、楼板模板扣件钢管支撑架计算书 (21) *********************工程 高支模专项施工方案 一、编制依据 1、《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》JGJ130-2011 2、《建筑施工模板安全技术规范》JGJ 162-2008 3、《建筑结构荷载规范》GB50009-2012 4、《钢结构设计规范》GB50017-2003 5、《混凝土结构设计规范》GB50010-2010 6、《建筑地基基础设计规范》GB50007-2011 7、《建筑施工木脚手架安全技术规范》JGJ 164-2008 8、《混凝土结构工程施工规范》GB 50666-2011 9、《危险性较大的分部分项工程安全管理办法》建质［2009］87号 10、《建筑施工手册》（第五版） 11、本工程结构施工图 12、本工程施工组织设计 13、本工程其他相关技术性文件 二、工程概况 2.1、工程简介 ********工程，工程总建筑面积约30000平方米，其中地下两层，局部一层，主要为地下车库。地上结构由10栋建筑组成，楼层2-3层,总面积为13430m2，主要为商业用房。 本工程±0.000相当于黄海高程4.30m。柱网尺寸8m×8m，地上一层结构层高4.15m，板厚120mm，梁截面积≤0.65m2，梁宽为200～450mm，梁高为400～1400mm。 2.2、模板支撑工程(高支模)概况 本高支模工程为3#房15-17轴/C-L轴的汽车坡道上方的二层楼面板。由于汽车坡道暂未施工，二层结构须从地下室底板上进行支模，二层楼面标高为4.15，地下室底板标高为-5.85，支模高度为10米。该面层最大梁截面尺寸为450mm× 板模板(碗扣式支撑)计算书 新建厂房及附属用房项目（板模板）工程；工程建设地点：天津市学府工业园；属于框架结构；地上2层；地下0层；建筑高度：14.4m；标准层层高： 7.2m ；总建筑面积：24356.68平方米；总工期：939天。 本工程由天津市众贺科技发展有限公司投资建设，天津市丰和建筑工程设计有限公司设计，天津市地质勘察院地质勘察，天津市诚达工程监理有限公司监理，天津瑞东建筑工程有限公司组织施工；由担任项目经理，担任技术负责人。 工程说明：工程概况； 本工程位于天津市西青区学府工业园慧深道与学府西街交叉口东南侧。 本工程主体为钢筋混凝土框架结构，地上二层，建筑高度；二层为14.850m, 一、综合说明 由于其中模板支撑架高7.3米，为确保施工安全，编制本专项施工方案。设计范围包括：楼板，长×宽＝2.9m×3.2m，厚0.11m。 特别说明：碗扣式模板支架目前尚无规范，本计算书参考扣件式规范的相关规定进行计算。据研究，碗扣式模板支架在有上碗扣的情况下，其承载力可比扣件式提高15％左右，在计算中暂不做调整，但在搭设过程中要注意检查，支模架的上碗扣不能缺失。 （一）模板支架选型 根据本工程实际情况，结合施工单位现有施工条件，经过综合技术经济比较，选择碗扣式钢管脚手架作为模板支架的搭设材料，进行相应的设计计算。 （二）编制依据 1、中华人民共和国行业标准，《建筑施工扣件式钢管脚手架安全技术规范》（JGJ130－2001）。 2、《建筑施工安全手册》(杜荣军主编)。 3、建设部《建筑施工安全检查标准》(JGJ59-99)。 4、本工程相关图纸，设计文件。 5、国家有关模板支撑架设计、施工的其它规范、规程和文件，此外，在计算中还参考了浙江省地方标准《建筑施工扣件式钢管模板支架技术规程》(J10905-2006)的部分内容。 二、搭设方案 （一）基本搭设参数 模板支架高H为7.3m，立杆步距h（上下水平杆轴线间的距离）取1.2m，立杆纵距l a取1.2m，横距l b取0.9m。立杆伸出顶层横向水平杆中心线至模板支撑点的自由长度a取0.1m。整个支架的简图如下所示。 模板底部的方木，截面宽40mm，高80mm，布设间距0.2m。 （二）材料及荷载取值说明 本支撑架使用Φ48 × 3.5钢管，钢管壁厚不得小于3mm，钢管上严禁打孔；采用的扣件，应经试验，在螺栓拧紧扭力矩达65N·m时，不得发生破坏。 模板支架承受的荷载包括模板及支架自重、新浇混凝土自重、钢筋自重，以及施工人员及设备荷载、振捣混凝土时产生的荷载等。 三、板模板支架的强度、刚度及稳定性验算 模2运算 模2运算是一种二进制算法，CRC校验技术中的核心部分，因此，我们在分析CRC算法之前，必须掌握模2运算的规则。 与四则运算相同，模2运算也包括模2加、模2减、模2乘、模2除四种二进制运算。而且，模2运算也使用与四则运算相同的运算符，即“＋”表示模2加，“－”表示模2减，“×”或“·”表示模2乘，“÷”或“/”表示模2除。 与四则运算不同的是模2运算不考虑进位和借位，即模2加法是不带进位的二进制加法运算，模2减法是不带借位的二进制减法运算。这样，两个二进制位相运算时，这两个位的值就能确定运算结果，不受前一次运算的影响，也不对下一次造成影响。 ①模2加法运算定义为： 0＋0＝0 0＋1＝1 1＋0＝1 1＋1＝0 例如0101＋0011＝0110， 列竖式计算： 0101 ＋0011 ────── 0110 ②模2减法运算定义为： 0－0＝0 0－1＝1 1－0＝1 1－1＝0 例如0110－0011＝0101， 列竖式计算： 0110 －0011 ────── 0101 ③模2乘法运算定义为： 0×0＝0 0×1＝0 1×0＝0 1×1＝1 多位二进制模2乘法类似于普通意义上的多位二进制乘法，不同之处在于后者累加中间结果（或称部分积）时采用带进位的加法，而模2乘法对中间结果的处理方式采用的是模2加法。 例如1011×101＝100111， 列竖式计算： 1011 ×101 ────── 1011 +0000 +1011 ──────── 100111 ④模2除法运算定义为： 0÷1＝0 1÷1＝1 多位二进制模2除法也类似于普通意义上的多位二进制除法，但是在如何确定商的问题上两者采用不同的规则。后 关于求模和求余 转载】MOD（求模或求余） ①求余：取整除后的余数。例如： 10 MOD 4=2；-17 MOD 4=-1；-3 MOD 4=-3；4 MOD （-3）=1；-4 MOD 3=-1 如果有a MOD b是异号，那么得出的结果符号与a相同；当然了，a MOD b就相当于a-(a DIV B ) *b的运算。例如： 13 MOD 4=13-（13 DIV 4）*4=13-12=1 ②求模：规定“a MOD b”的b不能为负数，其运算规则如下： （i）当a>b时，不断从a中减去b，直到出现了一个小于b的非负数。 例如：8 MOD 3=2 （ii）当a0时，结果为a。如： 3 MOD 8=3 （iii）当a -3 MOD 4=1；-4 MOD 3=2 注意：当a、b全为正数时，无论是“求余”还是“求模”，得到的结果是相同的。如：22 MOD 6=4；只有a<0当时，两种运算结果不同。 例如：n为四位数7341。可用下面的方法分离出它的个、十、百、千位。 7341 MOD 10=1 （个位数） （7341 MOD 100）DIV 10=4 （十位数） （7341 MOD 1000）DIV 100=3 （百位数） 7341 DIV 1000=7 （千位数） 此外，利用a MOD b，可以判断a能否被b整除。当a MOD b=0时，a能被b整除。 注意：a、b都必须为整数。如：50.0 MOD 20.0是不可以的。 注：求模可看成是定位如%10定位到个位，%100定位到百位。DIV可看成求该位确定数 CRC(循环冗余校验码)中的模2除运算 模2除（按位除） 模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下： a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。 b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。 2020年河北省张家口市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共12小题）. 1．已知复数z满足（z+1）（1+i）＝4（其中i是虚数单位），则复数z的模|z|＝（）A．2B．C．D．5 2．已知集合A＝{x|x2＜x}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（） A．R B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞﹣1} 3．已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（） A．4B．7C．10D．12 4．已知正项等比数列{a n}的公比为q，若a1＝q≠1，且a m＝a1a2a3…a10，则m＝（）A．19B．45C．55D．100 5．＝（） A．B．C．D． 6．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数素数对（p，p+2）称为孪生素数对．若从素数均小于30的孪生素数对中随机抽取一组，则孪生素数对中孪生素数的乘积超过100的概率为（） A．B．C．D． 7．要得到函数f（x）＝cos（x﹣）的图象，可将函数g（x）＝sin x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度 8．已知直线y＝kx（k≠0）与椭圆交于两点P，Q点F，A分别是椭圆C的右焦点和右顶点，若，则a＝（） A．4B．2C．D． 9．已知方程2﹣x﹣|log2x|＝0的两根分别为x1，x2，则（） A．1＜x1x2＜2B．x1x2＞2C．x1x2＝1D．0＜x1x2＜1 10．如图所示，四边形ABCD是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCD内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（） A．B．C．D． 11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别 为l1，l2，过F2作与l1平行的直线l交l2于点P，若|+|＝|﹣|，则双曲线C的离心率为（） A．B．C．2D．3 12．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有顶点都在球O的表面上，侧面BCC1B1的面积为．给出下列四个结论： ①若B1C1的中点为E，则AC1∥平面A1BE； ②若三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为，则A1到平面BCC1B1的距离为3； ③若BC＝BB1，AB⊥AC，则球O的表面积为； ④若AB＝AC＝BC，则球O体积的最小值为． 当则所有正确结论的序号是（） A．①④B．②③C．①②③D．①③④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知向量，，且，则m＝． 14．某班一学习小组8位学生参加劳动技能比赛所得成绩的茎叶图如图所示，那么这8位学生成绩的平均分与中位数的差为．幂模运算
正负数取模计算总结
模2运算原理
高支模方案含计算式讲解
模板计算书知识讲解
(完整版)模2运算详解
求模和求余运算1
2020年河北省张家口市高考数学二模试卷(文科) (解析版)