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习题第1章

第1章概率论的基本概念

本章教学基本要求

1、了解随机事件、频率、概率等基本概念及频率与概率的关系；

2、理解事件间的基本关系及运算；

3、掌握加法法则、条件概率和乘法法则、全概率公式和贝叶斯公式等的应用；

4、掌握伯努利概型。

1.1 随机事件

一主要知识归纳

1、随机试验，随机事件，样本空间，基本事件，必然事件，不可能事件；

2、事件的关系：包含、相等、互斥、对立；

3、事件的运算：事件的补、积（交）、和（并）、差

二基础练习

1、对于任意事件,A B ，下列式子中正确的是（） (A) A B A B +-= (B) A B A A +-= (C) A B A B A +-=- (D) A B A A B +-=-

2、设,,A B C 是某个随机试验中的三个事件，则下列说法错误的是（） (A) 事件“,,A B C 中至少有一个发生”可表示为：A B C ++ (B) 事件“,,A B C 同时发生”可表示为：ABC ；

3、一批产品中随机抽两次，每次抽一件。以A 表示事件“两次都抽得正品”，B 表示事件“至少抽得一件次品”，则下列关系式中正确的是（）

(A) A B ?

(B) B A ?

4、设A , B , C 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为__________。

5、设{|02)x x Ω=≤<，1{|

1}2A x x =<<13

{|}42

B x x =≤<，则 A B +=_____________， AB =_____________ ， A B +=______________。

6、设某试验的样本空间{1,2

,,10}Ω= ，事件{3,4,5)A =，{4,5,6}B =，

{6,7,8}C =，则AB = __________________，A B = _________________，

ABC =____________________， ()A B C =__________________。

7、写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点的集合。（1）6件产品中有一件次品，事件A 表示“从中任取2件有1件次品”；

（2）将一枚均匀硬币掷两次，事件A 为两次出现同一面，B 为至少有一次出现正面；

（3）在单位圆内任意投掷一点，该点落在左半圆内；

（4）一口袋中有2个白球，3个黑球，4个红球，从中任取以求，事件A 表示“得白球”，事件B 表示“得黑球”。

8、某人向一目标连射3枪，设i A 表示“第i 枪击中目标”（1,2,3i =）,试用事件123

,,A A A 及事件的运算表示下列各事件

（1）A 表示“只有第一枪击中目标”；

（2）B 表示“只有一枪击中目标”；

（3）C 表示“至少有一枪击中目标”；

（4）D 表示“最多有一枪击中目标”；

（5）F 表示“第一枪，第三枪中至少有一枪击中目标”。

9、指出下列等式命题是否成立，并说明理由。

（1）()A B AB B +=+；（2）AB A B =+；

（3）A BC ABC +=；（4）()AB AB =?；

（5）若B A ?，则AB A =；（6）若,AB =?且A C ?则BC =?；

（7）若B A ?，则A B ?；（8）A B ?，则A B A +=。

10、化简下列各式。

（1）()()A B A B +-- （2）()()A B A B ++

（3）()()A B A B -+

11、证明：()A AB B A B -+=+。

1.2 随机事件的概率

一主要知识归纳

1、频率，概率的公理化定义：非负性0)(≥A P ，规范性1)(=ΩP ，可列可加性；

2、古典概型，几何概型；

3、加法公式：()()()()P A B P A P B P AB +=+-。

二基础练习

1、掷一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为3

，将此硬币连掷4次，则恰好3次正面朝上的概率是( )

（A ）

8 （B ）

8 （C ）

32 （D ）

3 2、从0，1，…，9十个数字中随机地有放回地接连抽取四个数字，则“8”至少出现一次的概率为( )

（A ） 0.1 （B ）0.3439

（C ） 0.4 （D ） 0.6561

3、若事件A 与B 互不相容，且()0.3,()0.6P A P B ==，则()P A B +=（）（A ）3.0 （B ）9.0 （C ）18.0 （D ）6.0

4、设,A B 为随机事件，()0.5,P A =()0.6,P B =()0.2P A B -=，则()P A B +=____.

5、设,,A B C 为三个随机事件，1

()()()4

P A P B P C ===

，()()()P AB P AC P BC == 1

，()0P ABC =则()P A B C ++=___________。 6、设，()0.3,()0.6P A P A B =+=若AB =?，则()P B =______。

7、在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都

是科技书的概率为__________。

8、在全部产品中有90％的合格品.现从中依次抽取三件产品检查，则第三次才抽到不合格品的概率是______________.

9、一批产品共有6件正品2件次品，从中任取2件，则两件都是正品的概率为_______。

10、设C B A ,,为3个事件，且41)()(=

=B P A P ，3

)(=C P 且0)()(==BC P AB P ，12

)(=

AC P ，求C B A ,,至少有一个发生的概率。

11、100人参加数理化考试，其结果是：数学10人不及格，物理9人不及格，化学8人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人，问全都及格的有多少人？

12、一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率。

13、设一批产品共有100件，其中合格品95件，次品5件，从中任取10件，求：（1）10件全是合格品的概率；（2）恰有2件次品的概率。

7. 从52张扑克牌中任意取13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

14、对一个5人学习小组考虑生日问题：

（1）求5个人的生日都在星期日的概率；

（2）求5个人的生日都不在星期日的概率

（3）5个人的生日不都在星期日的概率。

15、两人相约在某天下午2：00～3：00在预定的地方见面，先到者要等候20min，过时则离去。如果每人在制定的1h内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到的面的概率。

1.3 条件概率

一主要知识归纳

1、条件概率：)

()

()|(B P AB P B A P =

； 2、乘法公式：()()(|)P AB P B P A B =； 3、全概率公式1

()()(|)n

i i i P B P A P B A ==

∑，贝叶斯公式1

(|)()

(|),()(|)

i i i n

j P B A P A P A B P A P B A ==

∑

1,2,,i n = ，其中n A A A ,,,21 为样本空间Ω的一个划分。

二基础练习

1、已知()0.8P A =，()0.6P A B -=，则()P A B +=_________，(|)P B A =_______。

2、已知()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()P AB =_________。

3、已知工厂,A B 生产产品的次品率分别为5%和10%，现从由,A B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，则该产品是次品的概率为______.

4、若B A ?，且1()4P A =

，1

()6

P B =，则(|)P B A =______。 5、设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____________.

6、设A B ?，()0.1P A =，试求()P AB ，()P A B +，()P A B +，(|)P A B 。

8、一批同样规格的零件是由甲、乙、丙三个工厂生产的，三个工厂的产品数量分别是总量的20%，40%和40%，并且已知三个工厂的产品次品率分别为5%，4%，3%。今任取一个零件，问它是次品的概率是多少？

9、甲、乙、丙三门高射炮向同一架敌机射击，设甲、乙、丙炮射中敌机的概率分别是0.4，0.5，0.7，又设若只有一门炮射中，敌机坠毁的概率为0.2；若有两门炮射中，敌机坠毁概率为0.6；若三门跑都射中，敌机必坠毁，试求敌机坠毁的概率。

10、有枪8支，其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪击中靶的概率是0.8；未经过校正的枪击中靶的概率是0.3。今任取一支枪设计，结果击中了靶，问此枪为校正过的概率是多少？

11、已知市场上出售的灯泡中，由甲厂生产的占70%，乙厂生产的占30%。甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%。今从市场上买了一个灯泡，求：（1）是甲厂生产的合格品的概率;（2）是乙厂生产的不合格品的概率。

12、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.04；第二台出现废品的概率是0.01，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.现从这些零件中任取一个，（1）求该零件是废品的概率；（2）若检查后知该零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。

1.4 事件独立性

一主要知识归纳

1、若()()(|)()()P AB P A P B A P A P B ==，则,A B 相互独立；

2、n 重伯努利概型。

二基础练习

1、设,A B 为两事件，0()1P A <<，则下列命题中成立的是（）（A ）,A B 独立 ? (|)(|)P B A P B A = （B ）,A B 独立 ? ,A B 互不相容（C ）,A B 独立 ?A B +=Ω （D ）,A B 独立 ?()0P AB =

2. 某人打靶的命中率为8.0，现独立地射击5次，那么5次射击中命中2次的概率为（）

(A ) 2.08.02

? （B ）2

8.0

（C ）4.08.02? （D ）2

2350.80.2C ??

3、在某一随机试验中，事件A 与B 相互独立，且2.0)(,3.0)(==B P A P 则

=)(B A P 。

4、设()0.4P A =，()0.7P A B +=，若,A B 互不相容，则()P B =________；若,A B 相互独立，则()P B =________。

5、设随机事件A 与B 相互独立，()0.2P A =，()0.8P B =，则(|)P A B = 。

6、设两两独立的三个随机事件A ，B ，C 满足ABC=φ，且()()()P A P B P C x ===，则当x = 时，3

()4

P A B C ++=

。 7、进行5重贝努利试验，事件A 在每次试验中发生的概率()0.1P A =，则在5次试验中A 恰发生2次的概率为____________，A 至少发生1次的概率为____________

8、证明：若)|()|(B A P B A P =，则B A ,相互独立。

9、设电路图如图1-9所示，其中1，2，3，4，5为继电器接点，设继电器接点闭合与否相互独立，且每一继电器闭合的概率为p，求L至R为通路的概率。

10、设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中分机的概率达到95%以上。

11、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、第二、第三、第四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。

12、某宾馆大楼有6部电梯，各电梯正常运行的概率均为0.8，且各电梯是否正常运行相互独立. 试计算：

（1）所有电梯都正常运行的概率p1；

（2）至少有一台电梯正常运行的概率p2；

（3）恰有一台电梯因故障而停开的概率p3.

本章小结本章知识点结构图

综合练习一

一、选择题（每小题3分，共24分）

1、设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（）（A ） ()1()P A P B =- （B ）()()P A B P B -= （C ） ()()()P AB P A P B = （D ）()()P A B P A -=

2、设,A B 为两个随机事件，且B A ?，()0P B >，则(|)P A B =（）（A ） 1 （B ）()P A （C ）()P B (D) ()P AB

3、同时掷3枚均匀硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为（）

（A ）81

（B ）

61 （C ）41 （D ）2

1 4、设111

(),(),()236

P A P B P AB =

==，则事件A 与B （）（A ）相互独立（B ）相等

（C ）互不相容

（D ）互为对立事件

5、对一批次品率为(01)p p <<的产品逐一检测，则第二次才检测到次品的概率为（）

（A ）p （B ）1p - （C ） (1)p p - （D ）(2)p p - 6、设{2,4,6,8}A =，{1,2,3,4}B =，则A B -=（）（A ）{2，4} （B ） {6，8} （C ）{1，3}

（D ） {1，2，3，4}

7、将3个相同的小球随机地放入4个杯子中，则杯子中球的最大个数为1的概率为（）

（A ）343A A （B ）3434C （C ） 3443A （D ）3

8、设,,A B C 是三个相互独立地随机事件，且0()1P C <<，则在下列给定的四对事件中不相互独立地是（）

A A

B +与

C B AC 与C C A B -与C

D AB 与C

二、填空题（每小题3分，共18分）

1、设,A B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且()0.6P A =，则

()P AB =________。

2、设事件,A B 互不相容，已知(),()P A p P B q ==，则()P A B = _______；

()P A B = _______；()P AB =_______；()P AB =_______。

3、设()0.3,()0.6P A P A B == 。

（1）若A 和B 互不相容，则()_______P B =；（2）若A 和B 相互独立，则()_______P B =；（3）若A B ?，则()_______P B =；（4）若()0.2P AB =，则()_______P B =。

4、假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随机取出一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_______。

5、同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现三个正面的概率是_______；恰好出现一个正面的概率是_________。

6、某射手在三次射击中至少命中一次的概率为0.875，则这名射手在一次射击中命中的概率为__________。

三、计算题（共58分）

1、已知()0.4,()0.2,()0.1,P A P BA P AB ===求()P A B C ++。（6分）

2、设,A B 为随机事件，()0P B >证明：(|)1(|)P A B P A B =-。（6分）

3、设()0.4,()0.7P A P A B =+=，在下列情况下分别求()P B ：（6分）（1）A 与B 互不相容；（２）A 与B 相互独立；（３）A B ?。

4、3个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球.求：（1）这个球是白球的概率；

（2）已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率。（10分）

5、甲、乙二炮同时向一敌机开炮，已知甲跑的命中率是0.6，乙炮的命中率是0.5，求敌机被射中的概率。（10分）

6、在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，问第3次才取到次品的概率是多少？（10分）

7、有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车来的概率分别为0.5、0.3、0.2，如果他

乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为

、

，求：（1）他迟到的概率；（2）

如果他迟到了，则他是乘火车来的概率是多少？（10分）

综合练习二

一、选择题 (每小题3分，共24分)

1、事件表达式A B +的意思是（）

（A ）事件A 与事件B 同时发生（B ）事件A 发生但事件B 不发生（C ）事件B 发生但事件A 不发生（D ）事件A 与事件B 至少有一件发生 2、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（）

（A ） 2224 （B ） 1

C C （C ）242!A （

D ）2!4! 3、假设事件A 与事件B 互为对立事件，则事件AB （）（A ）是不可能事件（B ）是可能事件（C ）发生的概率为1 （D ）是必然事件 4、已知()0.5,(|)0.8P A P B A ==，则()P AB =（）（A ）

35 （B ）25 （C ） 23 （D ）1

5、设,,A B C 是某个随机试验中的三个事件，则下列说法错误的是（）（A ）事件“,,A B C 中至少有一个发生”可表示为：A B C ++ （B ）事件“,,A B C 同时发生”可表示为：ABC ；

（C ）事件“,,A B C 中恰好有一个不发生”可表示为：A B C ++；（D ）事件“A 与B 同时发生，且C 不发生”可表示为：ABC 6、设随机事件A 与B 互不相容，且()()0P A P B >>，则（）（A ）()1()P A P B =- （B ）()()()P AB P A P B = （C ）()1P A B += （D ）()1P AB =

7、设A 和B 是任意概率不为零的互斥事件，则下列结论正确的是（）（A ）()()P A B P A -= （B ） A 与B 不互斥

（C ）()()()P AB P A P B = （D ）A 与B 互斥 8、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3

，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（）

（A ）3

3()4

（B ）2

31()4

4? （C ）213()44? （D ）2241()4

二、填空题（每小题3分，共18分）

1、已知()0.6P A =，(|)0.3P B A =，则()P AB =______。

2、已知()0.8P A =，()0.6P A B -=，()0.3P B =，则()P A B +=________，

(|)P B A =_______。

3、三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为_________。

4、一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为1红、一白、一黑的概率为________。

5、设B A ,为随机事件，且7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则)(AB P =__________。

6、一批产品，由甲厂生产的占31，其次品率为5%，由乙厂生产的占32

，其次品率为

10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为___________。

三、计算题（共58分）

1、事件A 与B 相互独立，已知7

()()1,()9

P A P B a P A B ==-+=，确定a 的值。（8分）

2、已知5%的男人和25.0%的女人是色盲，假设男人女人各占一半。现随机挑选一人。（1）此人恰是色盲患者的概率多大？（2）若随机挑选一人，此人不是色盲患者，问他是男人的概率多大？（10分）

3、3人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为4

,31,51，求将此密码破译出的

概率。（10分）

4、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球，由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。（10分）

5、设,A B 两厂次品率分别为1%和2%，若已知两厂产品分别占总数的60%和40%，现从中任取意见，发现是次品，求次次品是A 厂生产的概率。（10分）

6、设两个相互独立的事件B A ,都不发生的概率为9

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，求)(A P 。（10分）