06-07二学期A卷及答案
江西财经大学
06-07学年第二学期期末考试试卷
试卷代码：03034A 授课课时：64
课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级
试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平
一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）
1.若c x g dx x f +=?)()(，则=?dx x xf )(cos sin ________.
2.极限=?
→x
tdt x
x 0
20
cos lim
________.
3.已知xy z =而)tan(t s x +=，)cot(t s y +=则
=??s
z
________. 4.设{}10,10),(≤≤≤≤=y x y x D 则=??D
xy d xe σ________.
5.微分方程02=+''y y 的通解为________.
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1.设?
=+2
1x
dx ________.
A. c x +arctan
B. c x x +++)1ln(2
C. c x ++212
D. c x ++)1ln(2
1
2.
2.下列积分值为0的是________.
A. ?+∞+02
11
dx x B. ?-1121dx x C. ?-++ππdx x x x )cos 1sin (2
D. ?--112
1dx x . 3.函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微的充分条件是函数在该点处________. A.有极限 B.连续 C.偏导数存在 D.有连续的偏导数. 4. =??1
0),(x
dy y x f dx ________.
A. ??10
10
),(dx y x f dy B. ??y dx y x f dy 0
1
),(
C. ??10
),(y dx y x f dy D. ??101
),(y
dx y x f dy .
5.下列级数收敛的是________.
A ．∑∞
=-+-12123n n n n B. n
n n
n
∑∞=+1)1(
C ． ∑∞
=???
???-1)32(1n n n D. ∑∞
=1!n n n
n .
三、（计算题请写出主要步骤及结果，每小题6分，共18分.） 1. ?dx e x x 2 2. ?
+4
1
)
1(x x dx 3.请给出第七章（定积分）的知识小结.
四、（请写出主要计算步骤及结果，6分.） 已知方程z x e z xy +=+ 确定函数),(y x z z = 求dz . 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求??++D
d y x σ)1ln(22,其中D 为圆周122=+y x 围成的区域.
六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求初值问题的解
??
?=+==0
)2(0x y dx
y x dy 七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求幂级数∑∞
=-0)1(n n
n
nx 的收敛半径，收敛区间.并求∑
∞
=0
3n n n
的和. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
求由2x y =与2y x =所围成的平面图形的面积，并求此平面图形分别绕x 轴，y 轴旋转所成的体积.
九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）
某厂生产某种产品的生产函数为y x Q 2005.0=，若甲、乙两种原料的单价分别为1万元和5万元，现用150万元购原料，求两种原料各购多少时，能使生产量最大？最大生产量为多少？ 十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）
设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且有M x f ≤'(及0)(=a f ，试证：
?
-≥
b a
dx x f b a M )()(2
2
江西财经大学
06-07学年第二学期期末考试试卷答案和评分标准
试卷代码：03034A 授课课时：64
课程名称：微积分Ⅱ 适用对象：2006级
试卷命题人 邹玉仁 试卷审核人 王平平
一、1.c x g +-)(cos 2.1 3.)(csc )tan()cot()(sec 22t s t s t s t s ++-++
4.2-e
5.x c x c y 2sin 2cos 21+= 二、1.B 2.C 3.D 4.D 5.D
三、1.
c
e xe e x dx
e xe e x xde e x dx xe e x de x dx e x x
x x x
x x x x x x x x ++-=+-=-=-==?????222222222222
2. x t =2
t x =
?
??
=-=+=+-=+=+4
1
2
1212
1
234ln 221ln 232ln 21ln 2)111(2)
1(2)
1(t t dt t t t t tdt x x dx
四、z x e z xy z y x F +-+=),,(
z x x e y F +-= x F y = z x z e F +-=1 11-+--=
---=-=??++z xy z
xy y e e y F F x z z x z x Z x 11-+=--=-=??+z xy x
e
x F F y z z
x Z y dy z xy x
dx z xy z xy y dy y z dx x z dz 1
1-++-+--=??+??=
五、????+=++D
rdr r d d y x 1
220
22)1ln()1ln(π
θσ
??????+-+=+=???10222
10221022201)1ln()1ln(21dr r r r r dr r d πθπ 1
021021022)1ln(2ln )111ln(2ln r r dr r ++-=??
????+--=?ππππ )12ln 2(2ln 22ln 2ln -=-=+-=ππππππ
六、x y y 2=-'
??
????+?=?---c dx xe e
y dx dx
f )1()1(2 []c dx xe e
x
x
+=?-2
[][]
??++-=+-=---c dx e xe
e c xde e x x
x
x
x
222
x ce x +--=22
因为00==x y 所以c =2 所求特解为)1(2--=x e y x
七、11
1=+==
+n n
a a R n n 当1±=x 时
∑±n
n )
1(发散
收敛区间为)1,1(- 设∑∑∞
=-∞
===
10)(n n n n
nx x nx
x S
设∑∞
=-=
1
)(n n nx
x T
则
x
x x
dx nx
dx x T n n x n n x n n x
-=
===∑∑?
∑?
∞
=∞
=∞
=-11)(0
1
2
)1(1
)(x x T -=
所以2
)
1()()(x x
x xT x S -=
= 31=x 时 439
431
)311(31)31(320==-==∑∞
=S n n n
八、
31)(1
02=
-=?dx x x S
()
dx x x V x ???
????-=10222
)(π
π103= ()
ππ10
3
)(1
0222
=?????
?
-=?dy y y V y
九、解 )1502(005.0),,(2-++=y x y x y x F λλ 0001.0=+=λxy F x
02005.02
=+=λx F y ???==?25100
y x
01502=-+=y x F λ ==25*100*005.02Q 十、b a a x f a f x f x f <<-'=-=ξξ)
)(()()()(
M x f ≤')(
)
()(a x M x f -≤22)(2
1
2
)()()(a b M a x M dx a x M dx x f b
a
b
a b a
-=
-?
=-≤??
dx x f dx x f b a
b a
?
?
≥
)()(
2)(2)(a b M dx x f b a
-≤?
dx x f b a M b a
?
-≥
)()(2
2