几何定理及应用
托勒密定理
1定理内容
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
2 证明方法
1 在任意凸四边形ABCD 中(如右图)，作△ABE 使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.
则△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD 得AD/AC=AE/AB 又∠BAC=∠EAD,
所以△ABC∽△AED.
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
2 已知：圆内接四边形ABCD ，求证：AC·BD ＝AB·CD ＋AD·BC ．
证明：如图1，过C 作CP 交BD 于P ，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD ∽△
BCP ．得AC ：BC=AD ：BP ，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP ，∠5=∠6，∴△ACB ∽△DCP ．得AC ：CD=AB ：DP ，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP ＋D P)=AB·CD ＋AD·BC ．即AC·BD=AB·CD ＋AD·BC ．
例1 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝
∠BCD ＝90°,
AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D 四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.
解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.
设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝
2
1
BP ＝4－3. 由托勒密定理有
BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.
A
B
C
D
P O 图2
又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝
2
3
3. 故sin ∠AOB ＝26
3
615 .
例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇
C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、
b ＇、
c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.
分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇
＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.
证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD . ∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .
有DC B A ''＝CB C B ''＝DB C A '
',
即 DC c '＝a a '＝DB b '.
故DC ＝''a ac ,DB ＝'
'
a a
b .
又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .
从而,由托勒密定理,得
AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·
''a ac ＋b ·'
'a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.
西姆松定理
西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
证明
证明一： △ABC 外接圆上有点P ，且PE⊥AC 于E ，PF⊥AB 于F ，PD⊥BC 于D ，分别连DE 、DF.
易证P 、B 、F 、D 及P 、D 、C 、E 和A 、B 、P 、C 分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP 的补角） 且∠PDE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180° ③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F 、D 、E 共线. 反之，当F 、D 、E 共线时，由④→②→③→①可见A 、
A B
C D
a
b
b c 图9
(1)(2)
图8A
B C A'
B'C'c
a b
a'c'
b'
B、P、C四点共圆。
证明二：如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.
故A、B、P、C四点共圆。
若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有
∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.
圆幂定理
基本定义圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一。圆幂=PO^2-R^2。
2相关定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
中线定理
中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。
任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：
AB^2+AC^2=2BI^2+2AI^2
或AB^2+AC^2=2（1/2BC）^2+2AI^2
通过两式相减，还可以得到|AB^2-AC^2|=2BC×IH。（H为垂足）
正弦定理
正弦定理是三角学中的一个定理。它指出了三角形三边、三个内角以及外接圆半径之间的关系
在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。
则有
即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。 3 定理变形
a:b:c=sinA:sinB:sinC
s=a+b+sinc
=1/2a x b x sinC=1/2a x c x sinB=1/2b x c x sinA
塞瓦定理
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 边上的点。若AP ，BQ ，CR 相交于一点M ，则
1=??RB
AR
QA CQ PC BP 。 证 如图，由三角形面积的性质，有
BMC AMC S S RB AR ??=, AMC AMB S S PC BP ??=, AMB BMC
S S QA CQ ??=.
以上三式相乘，得1=??RB
AR
QA CQ PC BP .
定理变形
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的BC ，CA ，AB 上的点。若
1=??RB
AR
QA CQ PC BP ，则AP ，BQ ，CR 交于一点。
证 如图，设AP 与BQ 交于M ，连CM ，交AB 于R ’。
由定理1有1''=??B R AR QA CQ PC BP . 而1=??RB
AR
QA CQ PC BP ，所以
RB
AR
B R AR =
''. 于是R ’与R 重合，故AP ，BQ ，CR 交于一点。
例1 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD 。在CD 上取一点E ，
BE 与AC 相交于F ，延长DF 交BC 于G 。求证：∠GAC =∠EAC 。
证 如图，连接BD 交AC 于H ，
过点C 作AB 的平行线交AG 的延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交AE 的延长线于J 。
对△BCD 用塞瓦定理，可得
1=??EC DE
HD BH GB CG ①
因为AH 是∠BAD 的角平分线，
由角平分线定理知AD
AB HD BH =。 代入①式得
1=??EC
DE
AD AB GB CG ② 因为CI ∥AB ，CJ ∥AD ，则AB CI GB CG =，CJ
AD
EC DE =
。 代入②式得
A B C P
M
Q H
C A
D B
G I
J E F
1=??CJ
AD AD AB AB CI . 从而CI =CJ 。又由于
∠ACI =180°－∠BAC =180°－∠DAC =∠ACJ ， 所以△ACI ≌△ACJ ，故∠IAC =∠JAC ，即∠GAC =∠EAC .
梅涅劳斯 定理
一条不经过△ABC 任一顶点的直线和三角形三边BC ，CA ，AB (或它们的延长线)分别交于P ，Q ，R ，则
1=??RB AR
QA CQ PC BP 证 如图，由三角形面积的性质，有
BRP ARP S S RB AR ??=, CPR BRP S S PC BP ??=, ARP
CRP
S S QA CQ ??=. 将以上三式相乘，得1=??RB
AR
QA CQ PC BP .
定理变形
设P ，Q ，R 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或它们延长线上的3点。若
1=??RB
AR
QA CQ PC BP ， 则P ，Q ，R 三点共线。
例1 ABCD 是一个平行四边形，E 是AB 上的一点，F 为CD 上的一点。AF 交
ED 于G ，EC 交FB 于H 。连接线段GH 并延长交AD 于L ，交BC 于M 。求证：DL =BM .
证 如图，设直线LM 与BA 的延长线交于点J ，与DC 的延长线交于点I 。
在△ECD 与△F AB 中分别使用
梅涅劳斯定理，得
1=??HE CH IC DI GD EG ， 1=??JA BJ HB FH GF AG . 因为AB ∥CD ，所以 GF AG GD EG =， HB
FH
HE CH =
. 从而JA BJ IC DI =，即=
+CI CI CD AJ
AJ AB +，故CI =AJ . 而 LA
DL
AJ DI CI BJ MC BM =
==， 且BM +MC =BC =AD =AL +LD . 所以BM =DL 。
A
R Q
B C P G
A E
B J L
D F C I
M
H
平面几何60条著名定理
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，
微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)
微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①
勾股定理与几何证明答案(可编辑修改word版)
1、勾股定理与几何证明的综合问题练习一、利用勾股定理证明一些重要的几何定理 1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的高. 证明：（1）CD2=AD ?BD （这个结果表明，利用勾股定理可以导出三角形相似的一系列结果） 1 1 1 （2）AC 2+ BC 2 = CD2 练习二、将勾股定理应用于四边形 1、四边形ABCD 的对角线为AC 和BD. （1）证明：若AC ⊥BD ，则AB2+CD2=AD2+BC 2； 2、一个四边形的顶点分别在一个边长为1 的正方形各边上，其边长依次为a、b、c、d. 求证： 2 ≤a2+b2+c2+d 2≤ 4 . 假设MNPQ 分别将正方形ABCD 的四个边分成了线段：m1 m2 n1 n2 p1 p2 q1 q2 ∵MNPQ 都在正方形ABCD 的四个边上，所以有四个直角三角形 ∴a2+b2+c2+d2=m12+m22+n12+n22+p12+p22+q12+q22∵m1+m2=正方形边长即为“1”（其他同理）∴a2+b2+c2+d2=m12+(1-m1)2+n12+(1-n1)2+p12+(1-p1)2+q12+(1-q1)2整理之后得到： a2+b2+c2+d2=2*(m1-/2)2+1/2+2*(n1-/2)2+1/2+2*(p1-/2)2+1/2+2*(q1-/2)2+1/2=2*[(m1-1/2)2+(n1-1/2)2+(p1-1/2)2+(q1-1/2)2] + 2 m1、n1、p1、q1 的长都是最大为1 最小为0 它们都等于1/2 时值最小，都等于1 时值最大那么a2+b2+c2+d2的最小值就是2，最大值就是4
微分几何课程大纲
《微分几何》课程大纲 一、课程简介 教学目标：经典曲线曲面论、少量的整体微分几何与二维内蕴几何学 主要内容：（见教学内容） 二、教学内容 第一章曲线的局部理论 主要内容：平面曲线与空间曲线的曲率、空间曲线的绕率、Frenet标架、曲线论基本定理、n维空间的推广 重点与难点：空间曲线的绕率、曲线论基本定理 第二章曲线的整体几何 主要内容：旋转数，旋转指标定理、凸曲线 重点与难点：旋转指标定理及其应用 第三章曲面的局部理论（外在形式） 主要内容：第一基本形式、第二基本形式、主曲率、高斯曲率、平均曲率、结构方程重点与难点：结构方程与曲面论基本定理 第四章曲面的局部理论（内在形式） 主要内容：向量场、共变导数、平行移动、测地线 重点与难点：共变导数和平行移动 第五章二维黎曼几何 主要内容：局部黎曼几何、切丛、指数映射、测地极坐标、Jacobi场、流形 重点与难点：指数映射和Jacobi场 第六章曲面的整体几何 主要内容：Gauss-Bonnet定理、完备性、共轭点和曲率、闭测地线和基本群 重点与难点：Gauss-Bonnet定理和共轭点 三、教学进度安排（抱歉这个目前还安排不了） 可以参照以下表格形式 教学内容教学形式作业 第一周 第二周
四、课程考核及说明 平时成绩与口试相结合的方式。平时20%，口试80%。 五、教材与参考书 Wilhelm Klingenberg， A Course in Differential Geometry Manfredo P.Do Carmo，Differential Geometry of Curves and Surfaces 陈维桓，微分几何
专题平面几何的四个重要定理
专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求 证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、 BF、CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共 线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。
第四版 微分几何 第二章课后习题答案
第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。
4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。
伟人简介：数学家高斯
高斯 卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月 30日—1855年2月 23日），生于布伦 瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、 物理学家、天文学家、大地测量学家。 幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。 高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 生平事迹 少年时期 高斯是一对普通夫妇的儿子。他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲。在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作。他的父亲曾做过园丁、工头、商人的助手和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。 高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和为（1＋100，2＋99，3＋98……），同时得到结果：5050。这一年，高斯9岁。但是根据更为精细的数学史书记载，高斯所解的并不止1加到100那么简单，而是81297+81495+......+100899（公差198，项数100）的一个等差数列。 当高斯12岁时，已经开始怀疑元素几何学中的基础证明。当他16岁时，预测在欧氏几何之外必然会产生一门完全不同的几何学。他导出了二项式定理的一般形式，将其成功的运用在无穷级数，并发展了数学分析的理论。
第十九讲平面几何中的几个著名定理
第十九讲平面几何中的几个著名定理 几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理 亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理． 定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则 证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得
同理 将这三式相乘，得 说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为 AX×BY×CZ=XB×YC×ZA， 仍然成立． (2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC 的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果 那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有 相乘后得
认识平面几何的61个著名定理
【认识平面几何的61个著名定理，自行画出图形来学习，★部分要求证明出来】 ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） ★2、射影定理（欧几里得定理） ★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 ★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 ★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC 的外心为O ，垂心为H ，从O 向BC 边引垂线，设垂足不L ，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 ★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ()()()s c s b s a s r ---=，s 为三角形周长的一半 ★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC 的边BC 的中点为P ，则有AB 2+AC 2=2(AP 2+BP 2) 16、斯图尔特定理：P 将三角形ABC 的边BC 分成m 和n 两段，则有n×AB 2+m×AC 2=BC×（AP 2+mn ） 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD 的对角线互相垂直时，连接AB 中点M 和对角线交点E 的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m:n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m:n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上 ★19、托勒密定理：设四边形ABCD 内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD
微分几何 陈维桓 习题答案
习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，
平面几何四大定理
平面几何四大定理 平面几何四个重要定理 四个重要定理: 梅涅劳斯(Me ｎelau ｓ)定理（梅氏线） △ＡBC 的三边ＢC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R,则Ｐ、Q 、Ｒ共线的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 塞瓦（Ceva)定理(塞瓦点) △ＡBC 的三边BC 、ＣA 、ＡB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 托勒密(Ｐto ｌｅｍy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(S ｉmso ｎ)定理(西姆松线） 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1． 设AD 是△A ＢＣ的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求 证：FB AF 2ED AE = 。 【分析】CEF 截△ＡBD → 1FA BF CB DC ED AE =??(梅氏定理) 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、Ｂ、D 之一作CF 的平行 线。 2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、Ｆ，交CB 于
平面几何四大定理 D 。 求证: 1FA CF EA BE =+。 【分析】连结并延长AG 交BC 于Ｍ，则Ｍ为BC 的中点。 ＤＥG 截△AB Ｍ→1DB MD GM AG EA BE =??(梅氏定理） D ＧF 截△AC Ｍ→1DC MD GM AG FA CF =??(梅氏定理) ∴FA CF EA BE + =MD AG )DC DB (GM ?+?＝MD GM 2MD 2GM ??＝1 【评注】梅氏定理 3． D 、E 、F 分别在△ＡBC 的BC 、C Ａ、ＡB 边上, λ===EA CE FB AF DC BD ，A Ｄ、ＢE 、CF 交成△ＬMN 。 求S △LMN 。 【分析】 【评注】梅氏定理 4． 以△ＡBC 各边为底边向外作相似的等腰△B ＣE 、△CAF 、 △ABG 。求证：ＡE 、BF 、CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5． 已知△ABC 中,∠B=2∠Ｃ。求证：ＡC 2=AB 2＋AB ·B Ｃ。
最新微分几何答案
微分几何答案
第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。 3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。 解 = ，= 任意点的切平面方程为 即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为。 4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 解椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程为： ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证，。切平面方程为：。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。 §２曲面的第一基本形式 1.求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式. 解 , ∴ I = 2。 ２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。 解，，，，∴I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。 ３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
著名的15个平面几何定理
1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 证明：利用向量，简单明了 设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。 ∵向量OH=向量OA+向量AH =向量OA+2向量OD (1) =向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD =向量OA+向量OB+向量OC； 而向量OG=向量OA+向量AG =向量OA+1/3（向量AB+向量AC） (2) =1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）] =1/3（向量OA+向量OB+向量OC）. ∴向量OG=1/3向量OH， ∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。 2、九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
证明：如右图所示，△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L。证法为以垂心H为位似中心，1/2为位似比作位似变换。 连结HL并延长至L'，使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'。 显然，∠BHC=∠FHE=180°-∠A，所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，D'，C四点共圆。 又因为BC和HL'互相平分于L，所以四边形BL'CH为平行四边形。故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A，从而A，B，L'，C四点共圆。 综上，A，B，C，D'，L'五点共圆。显然，对于另外两边AB，AC边上的F，N，E，M也有同样的结论成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九点共圆。此圆即△ABC的外接圆⊙O。 接下来做位似变换，做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换。那么，L'变到了L（因为HL'=2HL），D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点），B变到了Q，C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）。其它各点也类似变换。O点变成了OH中点V。 位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明），因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点，且⊙V 的半径是⊙O的一半。 这就证明了三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点都在一个圆上。 3、费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 证明：如图，以△ABC三边为边向外作等边△ABD、△BCE、△ACF， 连接CD、BF、AE交于点O，试证：O是费马点。 证明：在△ACD、△ABF中， AD=AB,∠DAC=∠BAF,AC=AF ∴△ACD≌△ABF(SAS)
(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.
§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲
线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲 课程名称：《微分几何》 课程编码：074112303 适用专业及层次：数学与应用数学（本科） 课程总学时：72学时 课程总学分：4 一、课程的性质、目的与任务等。 1、微分几何简介及性质 微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。 2、教学目的： 通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。 3、教学内容与任务： 本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。重点让学生把握理解本教材的前二章。 二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求 第一章曲线论 教学要点： 本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对
空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题 教学时数：22学时。 教学内容： 第一节向量函数 1.1 向量函数的极限 1.2 向量函数的连续性 1.3 向量函数的微商 1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式 1.5 向量函数的积分 第二节曲线的概念 2.1 曲线的概念 2.2 光滑曲线、曲线的正常点 2.3 曲线的切线和法面 2.4 曲线的弧长、自然参数 第三节空间曲线 3.1 空间曲线的密切平面 3.2 空间曲线的基本三棱形 3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式 3.4 空间曲线在一点邻近的结构 3.5 空间曲线论的基本定理 3.6 一般螺线 考核要求： 1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能
平面几何四个重要定理
竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理 重庆市育才中学瞿明强 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是四个重要定理： 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是 。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 例题：
1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。 【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理
3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理
微分几何练习题库及参考答案(已修改)
> 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．
[论文]微分几何简介
[论文]微分几何简介 微分几何学历史简介 清华大学周坚 我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介: 天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。最后一句诗提到了五位伟大的几何学家: Euclid, Gauss, Riemann, Cartan, 和陈省身。其中，Euclid为古希腊人，Gauss和Riemann为十九世纪德国人，Cartan为二十世纪法国人。陈省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士，抗日战争中在西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度说数学”。 几何是geometry的音译。其词头geo是“土地”的意思,词尾metry是“测量学”的意思, 合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几何学起源于实际问题。 Euclid写了一本书“Elements”,中文译名为“几何原本”，内容包含平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可能是从古至今影响最大的科学著作。 中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”, 从中可以学到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。Einstein认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，恐怕很难在科学上做出重要发现。几何学的下一个进展由哲学家 Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解析几何学，使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描述。
解析几何学促进了微积分的诞生。由Newton和Leibnitz创立的这门学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。将微积分应用于几何问题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。Gauss于1827年写了一本50页左右的小书，研究曲面的微分几何，包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞生。Gauss当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项工作一个理论基础。Gauss也是非欧几何学(non-Euclidean geometry) 的创始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要领域是数论。 同Gauss一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教授资格的公开讲演中，Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其 中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。简单的说，就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用Riemann度量做最基本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式决定。 Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人发展，后来成为Einstein创立的广义相对论的数学基础。简单的说，广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形描述:不同的参照系给出不同的局部坐标;不同参照系之间的关系即是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说:时空的物理量(能量动量张量)等于时空的几何量(Ricci曲率张量)。 Einstein的工作激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发展。数学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论的几何化和引力理论与电磁理论的统一。Einstein后期致力于大统一理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利用广义相对论出现以后发展的几何学。数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作突出了流形上联络
关于平面几何的60条著名定理
关于平面几何的60条著名定理 一些平面几何的著名定理 1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 2、射影定理（欧几里得定理） 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、三角形的三条高线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，
设垂足为L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。 10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 12、库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半 14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角
平分线交于一点 15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、