求出信号x(n)u(n)的偶对称分量和奇对称分量

第一套

1.

求出信号x(n)=u(n)的偶对称分量和奇对称分量。 解：信号x(n)的偶对称分量为 1()[()()]2

e x n x n x n =

+-

由x(n)=u(n)，得：

101

()[()()]1

20

2

e n x n u n u n n =??

=+-=?≠?

?

上式可简记为11()()2

2

e x n n δ=

+

信号x(n)的奇对称分量为

1()[()()]2

o x n x n x n =

--

由x(n)=u(n)，得：

102()0

010

2

o n x n n n ?>??

==???-

o x n n =

2.

已知线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)为()()n

h n a u n -=-，0

计算该系统的单位阶跃响应。

解：用s(n)表示系统的单位阶跃响应，则

()()*()()()m s n h n u n h m u n m ∞

=-∞

==

-∑

=

()()m

m a

u m u n m ∞

-=-∞

--∑

，0

(1) 当n ≤0

时，1,

()()0,

m n u m u n m m n

-∞≤≤?--=?

>?，所以

()1n

m

m

m

m

m m n

m n

m s n a

a

a a

∞

∞

-=-∞

=-=-==

=

=

+

-∑

∑

∑

∑

(1)1

11111n a

a

a

-+--=

+

---

1

11n

n

a a

a a

a a

a

---=

+

=

---

(2)

当n>0时，1,0()()0,

m u m u n m m -∞≤≤?--=?

>?，因此

1()1m

m

m m s n a

a

a

∞

-=-∞

==

=

=

-∑

∑

所以，1

()[()(1)]1n

s n a

u n u n a

-=

-+--

3. 时域离散线性非移变系统的系统函数H(z)为1()()()

H z z a z b =

--，a 、b 为

常数，

（1）要求系统稳定，确定a 和b 的取值域； （2）要求系统因果稳定，重复（1）。

解：(1) H(z)的极点为12,z a z b ==。系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位

圆，即单位圆上不能有极点。所以，只要满足||1a ≠、||1b ≠即可使系统稳定。即a 和b 的取值域为除单位圆以外的整个z 平面。但H （z ）的收敛域包含单位圆时，系统不一定为因果系统。

(2) 系统因果稳定的条件是H （z ）的所有极点全在单位园内，所以a 和b

的取值域为0||1,0||1a b ≤<≤<。

4.

设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= 21

()(2)3n u n +-,求其频

率响应。

解：其频率响应为：

2

2

1

()()()

3n jw jnw

jnw

n H e h n e

e

+∞

∞

--=-∞

=

=

∑

∑

改变这个和的下限以使其开始于n=0，得：

4

(2)4

20

1

1

1

()()

()()

33

3n n

jw j n w

jw

jw

n n H e e

e

e

+∞

∞

-+--===

=∑∑

利用几何级数，得

24

1

()()

13

13

jw

jw

jw

e H e e

--=-

5.

设4()()x n R n =， 6

()(())x n x n =，试求 ()X k 。 解：

由

225

5

6

3

3

6

()()()1j

nk

j

k

j

k

nk j k

n n X k x

n W x

n e e

e

e

ππππ----====

=+++∑

∑

计算求得

(0)4X =，

(1)X =-， (2)1X =

(3)0X =， (4)1X =，

(5)X = 6.

已知两个有限长序列为1,03()0,

46

n n x n n +≤≤?=?

≤≤?，1,04()1,

56

n y n n -≤≤?=?

≤≤?，试

用作图表示想x(n),y(n)以及f(n),f(n)为x(n)与y(n)的七点圆周卷积。 解：

利用圆周卷积公式求解得：

7.

设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采

用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10 Hz ，如果采用的抽样时间间隔为0.1ms ，试确定：(1)最小记录长度；(2)所允许处理的信号的最高频率；(3)在一个记录中的最少点数。 解： （1）因为00

1T F =

，而010F H z ≤，所以

0110T s ≥

即最小记录长度为0.1s 。 （2）因为3

1110100.1

s f kH z

T =

=?=，而

2s h f f >

所以

152

h s f f kH z <

=

即允许处理的信号的最高频率为5 kHz 。 （3）3

00.11010000.1

T N T ≥

=?=，又因

N 必须为2的整数幂，所以一个记录中的最

少点数为1021024N ==。

8. 乘需要1s μ，而且假定计算一个DFT 总共需要的时间由计算所得乘法所需时间决定。

（a ） 直接计算一个1024点的DFT 需要多少时间？ （b ） 计算一个FFT 需要多少时间？ 解：

（a ） 如果每一次复乘需1s μ，直接计算1024点的DFT 需要时间：

26

(1024)10 1.05D FT t s s -=≈

（b ） 对于一个基2FFT ，复乘数大约需要2()log 2

N N ，N=1024。所以用FFT 计

算一个1024点的DFT 总共需要的时间为 6

21024log 102410

5.122

F F T t m s

-=

??=

9. 为组合数时的FFT 算法求N ＝12结果（采用混合基3?4），并画出流图 解：

依据题N ＝3?4＝12r r ，

对于0n N ≤<，有

N=120n r n +,10

0,1,2,

0,1,2,3n n =??=?

同样，令N ＝12r r ，对于频率变量k （0n N ≤<）有 110,k k r k =+100,1,2,30,1,2,

k k =??

=?

可得

()()()()120101,04x n x n r n x n n x n n =+=+= ()()()()120101,04X k X k r k X k k X k k =+=+=

根据上式，得

()()11

12

nk

n X k x n W ==

∑

＝ ()()()

1010013

2

431,212

00

n n k k n n x n n W ++==∑

∑

()10

0001

013

21,2312400n k n k n k n n x n n W W W ==??????=??????????

∑∑

流图略，最后输出的是倒序算出相应的k 值，再整序后，即可得正常顺序的输出。

10. 用一种级联型结构实现以下系统函数，试问一共能构成几种级联网络。 2

2

3(1)( 1.21)()(0.5)(0.90.8)

z z z H z z z z +-+=-++

解： 因为

则 1211

2

121

2

1

1

2

12112112221121122213(1)(1 1.2)

()1(10.5)(10.90.8)

3

1,0, 1.2,10.5,0,0.9,0.8

K K K

K K Z Z z z z

H z A Z

Z

z z

z A ββααββββαααα----------+++-+==

---++====-====-=-∏

一共有四种方案，以下是其中一种方案：

x(n) 3 y(n) z -1 z -1 0.5 1 －0.9 －1.2 z -1

－0.8 1

11. 已知模拟滤波器传输函数为： （1）()2

11

a H s s s =++ （2）()21

231

a H s s s =

++

试采用双线性变换法将其转换成数字滤波器，设T ＝2s 。 解： （1）

()()1

1

1121,2

2

11

1

1

|

11()(

)1

11a z

s T T z H z H s z z z

z

-----=

=+--==

--++++

1

21

2

1

1

1

2

1

2

2

(1)

(1)(1)(1)(1)123z z z z z z

z

z

--------+=

-+-+++++=

+

（2）

()()1

1

21,2

1|

a z

s T T z H z H s ---==+=

＝

112

1

1

1

112(

)3(

)1

11z z z

z

------++++

12

1

2

1

1

1

2

(1)

2(1)3(1)(1)(1)

z z z z z -----+=

-+-+++

1

2

2

1262z

z

z

---++=

-

12. 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器，逼近滤波器传输函数()j d H e ω为 ,||()0,j j c d e H e

ωαω

ωωπ-?≤≤?

?

其他

（1）求出该理想高通的单位取样响应()d h n ;

（2）写出用矩形窗设计法的h （n ）的表达式，确定α与N 的关系： （3）N 的取值有什么限制？为什么？ 解：

（1）直接用IFT ()jw

d H

e ????计算：

1()()2jw

j n

d d h n H e

e

d π

ωπ

ω

π

-

=

?

12c c

jw j n

jw j n

e e d e

e

d ωπ

αωα

ωπω

ωωπ--??

=

+?

???

??

()[]

{}1

sin sin ()()

c

n n n παω

απα=

---????-

[]

sin ()()()

c n n a n ωαδπα-=--

-

()d h n 表达式中第2

项()sin (

)()

c n n ωαπα-????

-正好是截止频率为c ω的理想低通滤

波器的单位时间脉冲响应。而()n δα-对应一个线性相位全通滤波器： ()j j dap H e e ωωα-=

即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。

（2）用N 表示()h n 长度，则

()h n =()()()()()sin ()c d N N n h n R n n R n n ωαδαπα??-????

??=--??-????

为了满足线性相位条件：

()()1h n h N n =-- 要求α满足12

N α-=

。

（3）N 必须为奇数。因为N 为偶数时（情况2），()0j H e ω=，不能实现高通。

函数的对称性

函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

函数的奇偶性练习题

函数的奇偶性 1．函数f （x ）=x(-1﹤x ≦1)的奇偶性是 （ ） A ．奇函数非偶函数 B ．偶函数非奇函数 C ．奇函数且偶函数 D ．非奇非偶函数 2. 已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是( ） A .奇函数 B .偶函数 C .既奇又偶函数 D .非奇非偶函数 3. (2005重庆)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数， 且f (2)=0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A.(-￥,2) B. (2,+￥) C. (-￥,-2)è(2,+￥) D. (-2,2) 4．(2006春上海) 已知函数f (x )是定义在(－∞,+∞)上的偶函数. 当x ∈(－∞,0)时，f (x )=x -x 4，则 当x ∈(0.+∞)时，f (x )= . 5. 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2 (3) f （x ）=???>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x 6.已知g (x )=－x 2－3,f (x )是二次函数，当x ∈[-1,2]时，f (x )的最小值是1，且f (x )+g (x )是奇函数，求f (x )的表达式。 7.定义在（-1，1）上的奇函数f （x ）是减函数，且f(1-a)+f(1-a 2)<0,求a 的取值范围 8.已知函数21()(,,)ax f x a b c N bx c +=∈+是奇函数,(1)2,(2)3,f f =<且()[1,)f x +∞在上是增函数, (1)求a,b,c 的值; (2)当x ∈[-1,0)时,讨论函数的单调性. 9.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．

奇函数和偶函数发言稿

函数的奇偶性讲稿 （一、导入新课） 现在开始上课，今天我为大家讲解一下有关函数奇偶性的概念以及如何判断函数奇偶性。 在此之前，先回忆一下之前讲的有关对称的概念，我们会发现生活中有很多对称的例子。例如：汽车车轮，人（一般只要是圆柱，圆锥，球，正方体，长方体几何体都是轴对称图形），篮球，羽毛球拍等. 而数学中也存在对称的例子，例如今天所要讲的奇函数和偶函数。大家可以在纸上画出函数y=x，y=1/x，y=cos x ,y=x2的图象，看一下这些函数有什么特点。 (y=x，y=1/x图象关于原点对称,=cos x ,y=x2的图象关于y轴对称)。（二、讲解新课） 如何从数值角度研究对称函数图象的自变量与函数值之间的规律。 下面以函数y=x2为例（画出函数图象），首先我们知道,对于任意x,-x与x 关于y轴对称，即x2与(－x)2两点到坐标y轴的距离相等，而且x2=(-x)2，也就是说函数y=x2的定义域上每一点都成立x2=(－x)2，而这样的函数我们通常称之为偶函数。 所以可以给出偶函数的定义：一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x)=f(－x),那么函数f(x)就叫做偶函数. 注意“任意”两字。 （让大家举出一些偶函数的例子）既然关于y轴对称的函数我们称为偶函数，那么关于原点对称的函数呢？当然也有一个特定称谓叫做奇函数。而奇函数的自

变量与函数值之间具有怎样的数值规律呢?可以以函数y=1/x为例(同时画出出 y=1/x的图象)， 我们可以类似的方法,得出函数y=1/x的定义域上每一点都成立1/x=-1/(-x),所以奇函数的定义. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数. 下面如何判定函数奇偶性？ (三、例题讲解 写下：例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=x＋1/x; (2) f(x)= 1／x2; (3) f(x)=2x ; (4) f(x)=|x|－2; (5)f(x)=(1－x2)1/2; (6)f(x)=－x2,－3≤x≤1; (7)f(x)=2x－1;） 前三个题做完，可以发现判断奇偶性,只需验证 f(x)与f(－x)之间的关系.那如何判断一个函数不具有奇偶性呢？以第(1)为例,说说它为什么不是偶函数呢?（因为f(x)≠f(－x)），所以判断一个函数不具有奇偶性只需举一个反例就可说明. 另一个需要注意的是，通过第(6)题我们可以得出：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 在这几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?

函数的对称性

函数的对称性 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2π π+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，)0,2(ππ+k 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2(π k 是它的对称中心， 容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 （13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

最新函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+ =1 )(2+= x x x f x x f 1)(= 函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴ x x x f +=2)(，（2） x x x f -=3)( （3） ()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。

(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳

函数奇偶性 知识梳理 1. 奇函数、偶函数的定义 （1）奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-， 则这个函数叫奇函数. （2）偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有()()f x f x -=， 则这个函数叫做偶函数. （3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性. （4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意：（1）奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =． （2）若()0f x =且()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数． 2．奇(偶)函数的基本性质 (1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反． 3. 判断函数奇偶性的方法 （1）图像法 （2）定义法 ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f(－x)与f(x)的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 例题精讲 【例1】若函数2()f x ax bx =+是偶函数，求b 的值. 解：∵函数 f (x )＝ax 2＋bx 是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴ax 2＋bx= ax 2-bx. ∴2bx=0. ∴b ＝0. 【例3】已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象. 题型一 判断函数的奇偶性 【例4】判断下列函数的奇偶性. （1）2()||(1)f x x x =+； （2）1()f x x x =；

函数的奇偶性的经典总结

x x x f 1)(+=1 )(2+= x x x f x x f 1)(=函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-，0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及 ) ()(x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2)(，（2）x x x f -=3)( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3)(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2)(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时，) ()(x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时，) ()(x g x f 是偶函数。

对称模型的最值问题-含答案

对称模型的最值问题 【母题示例】 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一个动点，连接PE，PB，求PE＋PB的最小值． 【命题形式】 以特殊三角形、特殊平行四边形或坐标系为背景，利用对称性求与两线段和或差的最值相关的问题． 【母题剖析】 要求PE＋PB的最小值，只需将点B和点E转化为直线AC两侧的点，由正方形的对称性可得解． 【母题解读】 (1)对称模型的最值问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等．从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大问题等．除此之外，解决对称模型的最值问题常常借助极端点． (2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为“异侧”，遇“差”转化为“同侧”，依据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点．涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”

等． 模型一同侧和的最小值模型 【模型解读】两定点(A、B)在一条直线(l)的同侧，求直线(l)上一动点(P)到两定点距离和(PA＋PB)的最小值．常作其中一定点(如A)关于直线(l)的对称点(如A′)，再连接另一定点和该点(如连接A′B)，其与直线(l)的交点即为所求点(如点P)． 【基本图形】 基本 图形 说明 作A、A′关于直线l对称，PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B，当 点P在线段A′B上时取最小值 基本 图形 说明过A作AA′∥MN且AA′＝MN，再作A′关于l的对称点A ″，连接A″B，则AM＋MN＋NB＝A″N＋BN＋MN≥A″B＋MN，当且仅当点N在A″B上时取等号 【模型突破】 1.如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB＝230.在直线a上取一点M，在直线b上取一点N，满足MN⊥a且AM＋MN＋NB的值最短，则此时AM＋NB＝( )

奇函数偶函数教案

函数奇偶性教案(第一课时) 一、课题：谁是奇？谁是偶? 二、课型：概念学习型 三、教学目标：通过函数奇偶性的学习，使学生对函数的整体性质有一定的了解，并且让学生能够判断函数的奇偶性，以及体会数形结合的数学思想方法。 四、教学重点和难点：1）重点：对函数奇偶性概念的理解于应用。2）难点：判断奇偶性的方法。五、教学方法:利用已经学过的对称性，及前面学习过的函数图象来类比学习。 六、课时安排：2课时 七、教学设备：可以运用多媒体，也可以黑板讲解。 八、教学过程：

2）引入：观察下面的函数图像 偶函数： 先来看看前两个函数的图象,我们发现有共同的特点,那就是都是关于y 轴对称的，是吧!所以,我们就用奇偶性来表示函数图象的这种性质。那么，函数奇偶性的定义是怎么样的呢？下面我们就来定义一下： 一、 偶函数：一般的，如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x ，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x) 就叫做

偶函数。 二、同理，我们也可以定义出奇函数的定义。请大家 归纳一下。 注意：１）定义域内的、任意的、定义域要关于原点对称才能判断！与函数的单调性的比较！２）首先定义域要关于原点对称才能判断奇偶性。既奇又偶函数：常值函数 三、如何判断函数的奇偶性：１）定义法：第一步， 先看函数的定义域是否关于原点对称，否则非奇非偶。第二步，直接或间接利用奇偶性的定义来判断。（可利用作差或用作商） ２）图象法：利用奇偶函数图象的对称性；来判断。 ３）复合函数的奇偶性判断：若复合函数是由若干个函数复合而成，则可依若干个函数的奇偶性而定。 四、例题：判断下列函数的奇偶性： （１） 4 f()x x=（２）5 f()x x=； （３） 1 f()x x x =+（４） 2 1 f()x x =． 九、板书设计和课后分析：

利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算

积分与微分中对称问题的研究 PB07210207 王铭明 利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算，可以大大提高做题的效率与准确性，这篇论文我总结了函数求导与函数积分的利用对称性求解的方法和一些典型例题，算是对对称性应用的一点心得。 1、 对称函数的求导 a,对函数?(x 1.,x 2,…x n ),若它的任意两个变元对换时函数不变，如函数 z = x +y +√x 2+y 2 就是对称函数，对于对称函数具有这样的性质，即对任一变元所得的结果都可经变元（字母）的对换直接转移到其他变元。 证明??x (?(x,y,z ))=f (x,y,z ), 由?(x,y,z )=?(y,x,z ), 有??y (?(x,y,z ))=??y (?(y,x,z)), 在变换(x →y,y →x,z →z )下，上式变为??x (?(x,y,z ))=f (x,y,z ), 取反变换，则有??x (?(y,x,z ))=f (y,x,z ), 考虑有由?(x,y,z )=?(y,x,z ), 则??y (?(x,y,z ))= f (y,x,z )， 同理??y (?(x,y,z ))= f (z,y,x ). b,而有些函数不是对称函数，如u=ln (x y y z z x ) 不是三元对称函数，但在变换 (x →y,y →z,z →x ) 下 ,函数仍然不变，此时我们称函数为三元轮换对称函数，类似于对称函数，对于一个轮换对称函数，他对某任一变元所得的结果都可经变元（字母）的轮换直接转移到其他变元。 c,有些函数如f (x,y )=?f (y,x ),x 与y 互换后与原函数相差一个正负号，其不是对称函数，但由 ??y [f(x,y)]=???y [?f(x,y)]=???y [f(x,y)]， 可知若已知?z ?x ，我们只需将x 与y 互换，将结果再乘以(?1)，就立即可得出?z ?y . （对称变换）例1：设z=x 2tan ?1 y x +y 2tan ?1 x y ,求?z ?x ,?z ?y . ?z ?x =2x tan ?1y x +x 2?y x 2+y 2+y 2y x 2+y 2 =2x tan ?1y x +y(y 2_x 2)x y , 由对称函数性质，将x 与y 互换,

高中函数对称性总结

高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上

函数的奇偶性的经典总结

函数的奇偶性 一、函数奇偶性的基本概念 1．偶函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-， 0)()(=--x f x f ，那么函数()x f 就叫做偶函数。 2.奇函数：一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任一个x ，都有()()x f x f -=-， 0)()(=+-x f x f ，那么函数()x f 就叫做奇函数。 注意：（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 ()()x f x f ±=- 之一是否成立。 （2）在判断()x f 与()x f -的关系时，只需验证()()0=±-x f x f 及) () (x f x f -=1±是否成立即可来确定函数的奇偶性。 题型一 判断下列函数的奇偶性。 ⑴x x x f +=2 )(，（2）x x x f -=3 )( （3）()()()R x x f x f x G ∈--=,(4) (5)x x x f cos )(= (6)x x x f sin )(= (7) x x x f --=22)(，(8) 提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断 （1）判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。 （2）常见的奇函数有：x x f =)(，3 )(x x f =，x x f sin )(=， （3）常见的奇函数有：2 )(x x f =，x x f =)(，x x f cos )(= （4）若()x f 、()x g 都是偶函数,那么在(x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 为 偶函数，()-x f ()x g 为偶函数。当()x g ≠0时， ) () (x g x f 为偶函数。 （5）若()x f ，()x g 都是奇函数，那么在()x f 与()x g 的公共定义域上，()x f +()x g 是奇函数，()-x f ()x g 是奇函数，()()x g x f ?是偶函数，当()x g ≠0时， ) () (x g x f 是偶函数。 （6）常函数()()为常数c c x f =是偶函数，()f x =0既是偶函数又是奇函数。 （7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数()()[]x g f x F =；若()x g 为偶函数, ()f x 为奇（偶）函数，则()x F 都为

函数的奇偶性的典型例题

函数的奇偶性的典型例题 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①、定义域是否关于原点对称； ②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2 432)(x x x f += ⑶、1 )(2 3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-= 解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数 ⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()() ()()()(,0,0) ()()(,0,0) (0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-== 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。 命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分

函数对称性

1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2 如f(x+3)=f(5_x) X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例. 对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴Ｘ＝ｂ／２ａ 原函数与反函数的对称轴是ｙ＝ｘ． 而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是Ｘ＝９０还有．．．（２ｎ＋！）９０度等等．因为他的定义为Ｒ． ｆ（ｘ）＝｜Ｘ｜他的对称轴则是Ｘ＝０， 还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了． 如ｆ（ｘ－３）＝ｘ－３令ｔ＝ｘ－３则ｆ（ｔ）＝ｔ可见原方程是由初等函数向右移动了３个单位．同样对称轴也向右移３个单位Ｘ＝３（记住平移是左加右减的形式，如本题的Ｘ－３说明向由移） ２，至于周期性首先也的从一般形式说起ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ） 注意此公式里面的Ｘ都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键． 同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．２π，２π，π，当然 他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如ｆ（ｘ）＝ｓｉｎＸＴ＝２π（Ｔ＝２π／Ｗ） 但是如果是ｆ（ｘ）＝｜ｓｉｎｘ｜的话它的周期就是Ｔ＝π因为加了绝对值之后Ｙ轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周Ｔ＝π． y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2 y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2 上面的２个方程Ｔ＝π（Ｔ＝２π／Ｗ） 而对于≥２个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos２x因为他们有一个公共周期Ｔ＝π所以它的周期为Ｔ＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如 y=sin３πx+cos２πxＴ１＝２／３Ｔ２＝１则Ｔ＝２／３

函数的奇偶性优秀教案

1.3.2(1)函数的奇偶性 【教学目标】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.学会判断函数的奇偶性； 【教学重难点】 教学重点：函数的奇偶性及其几何意义 教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式 【教学过程】 “对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？ 提出问题 ①如图所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性. 结论：这两个函数之间的图象都关于y轴对称. ②那么如何利用函数的解析式描述函数的图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？ 表1 表2 结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x). 定义： 1．偶函数 1 / 5

2 / 5 一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数． 观察函数f(x)=x 和f(x)=x 1 的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？ 2．奇函数 一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数． 注意： 1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质； 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函 数也不是偶函数； 3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数； 4、偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数 且()(||)f x f x = 奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数. 且f(0)=0 5、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是 (1)、先求定义域，看是否关于原点对称； (2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论. 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 例．判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数 （2）32 ()1x x f x x -=-为非奇非偶函数 （3）x x x f +=3 )( 奇函数 （4）1 1 ) 1()(-+-=x x x x f

函数的奇偶性

函数的奇偶性 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：() ()()0, 1(()0)() f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：() ()()01(()0)() f x f x f x f x f x -+-==-≠， ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式； （3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性. 若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数； 若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； 若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法

函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性

函数对称性求最值重点

(2010崇一25.已知抛物线21 y ax bx =++经过点A(1,3和点B(2,1. (1求此抛物线解析式; (2点C、D分别是x轴和y轴上的动点,求四边形ABCD周长的最小值; (3过点B作x轴的垂线,垂足为E点.点P从抛物线的顶点出发,先沿抛物线的对称轴 到达F点,再沿FE到达E点,若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短.(要求:简述确定F点位置的方法,但不要求证明 (2010顺二25.在平面直角坐标系xOy中,抛物线2 y x bx c =++经过A(2,0、B(4, 0两点,直线

1 2 2 y x =+交y轴于点C,且过点(8, D m. (1求抛物线的解析式; (2在x轴上找一点P,使C P D P +的值最小,求出点P的坐标; (3将抛物线2 y x bx c =++左右平移,记平移后点A的对应点为'A,点B的对应点为' B,当四边形'' A B D C的周长最小时,求抛物线的解析式及此时四边形 '' A B D C周长的最小值.

(2012东一25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (-1,0、B (3,0两点, 顶点为C . (1 求此二次函数解析式; (2 点D 为点C 关于x 轴的对称点,过点A 作直线l :y =+BD 于点E ,过 点B 作直线BK ∥A D 交直线l 于K 点.问:在四边形ABKD 的内部是否存在点P ,使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3 在(2的条件下,若M 、N 分别为直线A D 和直线l 上的两个动点,连结D N 、N M 、

高考数学奇函数与偶函数的性质及其应用

奇函数与偶函数的性质及其应用 1 奇函数的性质及其应用 奇函数的性质 设)(x f 是奇函数. (1)若)0(f 有意义，则0)0(=f ； (2)若a x f x g +=)()(，则a x g x g 2)()(=-+； (3)若函数)(x f 有最大(小)值，则函数)(x f 有最小(大)值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 证明 (1)在恒等式0)()(=-+x f x f 中，令0=x 后，可得0)0(=f . (2)可得a a x f a x f x g x g 2])([])([)()(=+-++=-+. (3)这里只证明结论：若函数)(x f 有最大值，则函数)(x f 有最小值，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 设函数)(x f 的定义域是D ，得)()(,,00x f x f D x D x ≤∈?∈?. 因为奇函数)(x f 的定义域D 关于原点对称，所以D x D x ∈-∈?,，得 D x x f x f x f x f x f x f ∈--=-≥≤-=-0000),()()(),()()(，所以函数)(x f 有最小值(为)(0x f -)，且函数)(x f 的最大值与最小值互为相反数. 题1 (普通高中课程标准实验教科书《数学1·必修·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)第83页第3(2)题)是否存在实数a 使函数1 22)(+- =x a x f 为奇函数？ 解 由奇函数的性质(1)，可得1,01)0(==-=a a f . 还可验证：当1=a 时，0)()(=-+x f x f ，即)(x f 是奇函数. 所以存在实数1=a 使函数)(x f 为奇函数. 题2 (2007年高考安徽卷理科第11题)定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个周期，若将方程0)(=x f 在闭区间],[T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为( )

浅析对称性在求函数最值中的运用

浅析对称性在求函数最值中的运用 孝感市第一高级中学 陈雄飞 在数学的学习中，常常会遇到一些求函数最值的问题．最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用几何的方法——对称性来解决． 本文仅从以下几个方面谈谈对称性在几何中的应用，以求抛砖引玉． 一、距离之和的最小值问题 问题一、求函数()2216-48f x x x x =+++的最小值． 解：对于这类问题，在解题时，会遇到很大的难度，有时会变得束手无策．但是我们注意到，函数的形式，与解析几何中的两点间的距离公式很“像”，于是，我们不难将其变形整理得()2222(0)(04)(2)(02)f x x x =-+-+-+-． ∴()f x 即为点P (),0x 与点A ()0,4的距离与点P () ,0x 与点B ()2,2的距离之和．即：()f x =PA PB +作A ()0,4关 于x 轴的对称点A '()0,4-．连结A B '与x 轴交于点P ，知 当(),0x 为点P 时， ()min f x PA PB PA PB A B ''=+=+= 220-2(-4-2)=40=210=+（）． 推广1（平面）： 例1．已知平面上两点A ()4,1和B ()3,3在直线:310l x y --=上找一点M ，使MA MB +最小，求点M 的坐标． 解：如图，因为点A,B 在直线l 的同侧，作点B 关于直线l 的对称点C, AC 与l 的交点为M,则MA MB +取得最小值． 设()00,C x y ，因为BC 被l 垂直平分，所以 00003(3)31022313 3x y y x ++?--=???-?=--?? 从而可得直线AC 的方程为34160x y +-=与A A' B x y O P