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2012年中考数学总复习重点知识专题讲解《一元二次方程和二次函数》

2012年中考数学总复习重点知识专题讲解《一元二次方程和二次函数》
2012年中考数学总复习重点知识专题讲解《一元二次方程和二次函数》

2012年中考数学总复习重点知识专题讲解

第四讲 一元二次方程与二次函数

【知识点诠释】

前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象,构造,往往有时候一条辅助线没有想到,整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说,代数综合题倒不需要太多巧妙的方法,但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中,代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体,多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中,我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。

一元二次方程与二次函数问题当中,纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中,通常会和根的判别式,整数根和抛物线等知识点结合,所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。

第一部分 真题精讲

【例1】2010,西城,一模

已知:关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=. ⑴求证:m 取任何实数时,方程总有实数根;

⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称. ①求二次函数1y 的解析式;

②已知一次函数222=-y x ,证明:在实数范围内,对于x 的同一个值,这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立;

⑶在⑵条件下,若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-,

,且在实数范围内,对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥,均成立,求二次函数

23=++y ax bx c 的解析式.

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题,这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程,所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况,然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二

次函数的性质,即一次项系数为0,然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数,证明因变量的大小关系,直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线,只有一个公共点(1,0)。根据这个信息,第三问的函数如果要取不等式等号,也必须过该点。于是通过代点,将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果.

【解析】

解:(1)分两种情况:

当0m =时,原方程化为033=-x ,解得1x =, (不要遗漏) ∴当0m =,原方程有实数根.

当0≠m 时,原方程为关于x 的一元二次方程,

∵()()()2

22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥.

∴原方程有两个实数根. (如果上面的方程不是完全平方式该怎样办?再来一次根的判定,让判别式小于0就可以了,不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式,大家注意就是了)

综上所述,m 取任何实数时,方程总有实数根.

(2)①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称, ∴0)1(3=-m .(关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0) ∴1=m .

∴抛物线的解析式为121-=x y .

②∵()()2

21212210y y x x x -=---=-≥,(判断大小直接做差) ∴12y y ≥(当且仅当1x =时,等号成立). (3)由②知,当1x =时,120y y ==.

∴1y 、2y 的图象都经过()1,0. (很重要,要对那个等号有敏锐的感觉) ∵对于x 的同一个值,132y y y ≥≥, ∴23y ax bx c =++的图象必经过()1,0.

又∵23y ax bx c =++经过()5,0-,

∴()()231545y a x x ax ax a =-+=+-. (巧妙的将表达式化成两点式,避免繁琐计算)

设)22(542

23---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=.

∵对于x 的同一个值,这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥均成立, ∴320y y -≥,

图7

∴2(42)(25)0y ax a x a =+-+-≥. 又根据1y 、2y 的图象可得 0a >, ∴24(25)(42)04a a a y a

---=最小

≥.(a>0时,顶点纵坐标就是函数的最小值)

∴2(42)4(25)0a a a ---≤. ∴2(31)0a -≤. 而2(31)0a -≥.

只有013=-a ,解得1

3

a =. ∴抛物线的解析式为3

5343123-+=x x y .

【例2】2010,门头沟,一模

关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. (1)当m 为何值时,方程有两个不相等的实数根;

(2)点()11A --,

是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点,求抛物线的解析式; (3)在(2)的条件下,若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称,是否存在与抛物线只交于点B 的直线,若存在,请求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.

【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式,比较简单。值得关注的是第三问,要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点,则需要设直线y=kx+b 以后联立,新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零,但是这样还不够,因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能.

【解析】:

(1)由题意得[]2

2224(1)0m m ?=---->()

解得5

4

m < 210m -≠

解得1m ≠± 当5

4

m <

且1m ≠±时,方程有两个不相等的实数根. (2)由题意得212(2)11m m -+-+=-

解得31m m =-=,

(舍) (始终牢记二次项系数不为0) 28101y x x =++ (3)抛物线的对称轴是5

8

x =

由题意得114B ??

-- ???

, (关于对称轴对称的点的性质要掌握) 1

4

x =-与抛物线有且只有一个交点B (这种情况考试中容易遗漏)

另设过点B 的直线y kx b =+(0k ≠)

把114B ??

-- ???

代入y kx b =+,得14k b -+=-,114b k =- 1

14y k x k =+- 281011

14

y x x y kx k ?=++?

?=+-??

整理得2

18(10)204

x k x k +--+=

有且只有一个交点,2

1(10)48(2)04

k k ?=--??-+=

解得6k = 162

y x =+

综上,与抛物线有且只有一个交点B 的直线的解析式有14x =-,1

62

y x =+

【例3】

已知P (3,m -)和Q (1,m )是抛物线221y x bx =++上的两点. (1)求b 的值;

(2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根,若有,求出它的实数根;若没有,请说明理由;

(3)将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位,使平移后的图象与x 轴无交点,求k 的最小值.

【思路分析】 拿到题目,很多同学不假思索就直接开始代点,然后建立二元方程组, 十分麻烦,计算量大,浪费时间并且可能出错。但是仔细看题,发现P,Q 纵坐标是一样的,说明他们关于抛物线的对称轴对称。而抛物线只有一个未知系数,所以轻松写出对称轴求出b 。 第二问依然是判别式问题,比较简单。第三问考平移,也是这类问题的一个热点,在其他区县的模拟题中也有类似的考察。考生一定要把握平移后解析式发生的变化,即左加右减(单独的x),上加下减(表达式整体)然后求出结果。

【解析】

(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同,所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等.

所以,抛物线对称轴31

42

b x -+=-

=,所以,4b =. (2)由(1)可知,关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0. 因为,24b ac =- =16-8=8>0.

所以,方程有两个不同的实数根,分别是

1122b x a -=

=-+

,2122

b x a -==--

. (3)由(1)可知,抛物线2241y x x =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位后的解析式为2241y x x k =+++.

若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点,只需22410x x k +++= 无实数解即可.

由24b ac =- =168(1)k -+=88k -<0,得1k > 又k 是正整数,所以k 得最小值为2.

【例4】2010,昌平,一模

已知抛物线2442y ax ax a =-+-,其中a 是常数. (1)求抛物线的顶点坐标; (2)若2

5

a >

,且抛物线与x 轴交于整数点(坐标为整数的点),求此抛物线的解析式.

【思路分析】本题第一问较为简单,用直接求顶点的公式也可以算,但是如果巧妙的将a 提出来,里面就是一个关于X 的完全平方式,从而得到抛物线的顶点式,节省了时间.第二问则需要把握抛物线与X 轴交于整数点的判别式性质.这和一元二次方程有整数根是一样的.尤其注意利用题中所给2

5

a >

,合理变换以后代入判别式,求得整点的可能取值. (1)依题意,得0a ≠,

∴2442y ax ax a =-+- ()()22

4422 2.

a x x a x =-+-=--

∴抛物线的顶点坐标为(2,2)- (2)∵抛物线与x 轴交于整数点, ∴24420ax ax a -+-=的根是整数.

∴2x ==

∵0a >,

∴2x =± ∴

2

a

是整数的完全平方数. ∵2

5

a >, ∴2

5a

<. (很多考生想不到这种变化而导致后面无从下手) ∴2

a

取1,4, 当

21a =时,2a =; 当24a =时,1

2

a = . ∴a 的值为2或

1

2

. ∴抛物线的解析式为2286y x x =-+或2

122

y x x =-.

【例5】2010,平谷,一模

已知:关于x 的一元二次方程()()2

1210m x m x -+--=(m 为实数)

(1)若方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范围;

(2)在(1)的条件下,求证:无论m 取何值,抛物线()()2

121y m x m x =-+--总过x

轴上的一个固定点;

(3)若m 是整数,且关于x 的一元二次方程()()2

1210m x m x -+--=有两个不相等的

整数根,把抛物线()()2

121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.

【思路分析】本题第一问比较简单,直接判别式≥0就可以了,依然不能遗漏的是m -1≠0。第二问则是比较常见的题型.一般来说求固定点既是求一个和未知系数无关的X,Y 的取值.对于本题来说,直接将抛物线中的m 提出,对其进行因式分解得到y=(mx -x -1)(x+1)就可以看出当x=-1时,Y=0,而这一点恰是抛物线横过的X 轴上固定点.如果想不到因式分解,由于本题固定点的特殊性(在X 轴上),也可以直接用求根公式求出两个根,标准答案既是如此,但是有些麻烦,不如直接因式分解来得快.至于第三问,又是整数根问题+平移问题,因为第二问中已求出另一根,所以直接令其为整数即可,比较简单.

解:(1)()()2

2241m m m ?=-+-= ∵方程有两个不相等的实数根, ∴0m ≠ ∵10m -≠,

∴m 的取值范围是0m ≠且1m ≠.

(2)证明:令0y =得()()2

1210m x m x -+--=.

∴()()

()()

222121m m m x m m --±--±==

--.

∴()()12221

121211

m m m m x x m m m -+--++=

=-==---, (这样做是因为已经知道判别式是2m ,计

算量比较小,如果根号内不是完全平方就需要注意了)

∴抛物线与x 轴的交点坐标为()11001m ??

-

?-??

,,,, ∴无论m 取何值,抛物线()()2

121y m x m x =-+--总过定点()10-,

(3)∵1x =-是整数 ∴只需1

1

m -是整数. ∵m 是整数,且01m m ≠≠,

, ∴2m =

当2m =时,抛物线为21y x =-.

把它的图象向右平移3个单位长度,得到的抛物线解析式为 ()2

23168y x x x =--=-+

【总结】 中考中一元二次方程与二次函数几乎也是必考内容,但是考点无非也就是因式分解,判别式,对称轴,两根范围,平移以及直线与抛物线的交点问题。总体来说这类题目不难,但是需要计算认真,尤其是求根公式的应用一定要注意计算的准确性。这种题目大多包涵多个小问。第一问往往是考验判别式大于0,不要忘记二次项系数为0或者不为0的情况。第2,3问基于函数或者方程对其他知识点进行考察,考生需要熟记对称轴,顶点坐标等多个公式的直接应用。至于根与系数的关系(韦达定理)近年来中考已经尽量避免提及,虽不提倡但是应用了也不会扣分,考生还是尽量掌握为好,在实际应用中能节省大量的时间。

第二部分 发散思考

【思考1】. 2010,北京中考

已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根,k 为正整数. (1)求k 的值;

(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位,求平移后的图象的解析式;

(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当直线

()1

2

y x b b k =

+<与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.

【思路分析】去年中考原题,相信有些同学已经做过了.第一问自不必说,判别式大于0加上k 为正整数的条件求k 很简单.第二问要分情况讨论当k 取何值时方程有整数根,一个个代进去看就是了,平移倒是不难,向下平移就是整个表达式减去8.但是注意第三问,函数关于对称轴的翻折,旋转问题也是比较容易在中考中出现的问题,一定要熟练掌握关于对称轴翻折之后函数哪些地方发生了变化,哪些地方没有变.然后利用画图解决问题.

【思考2】2009,东城,一模

已知:关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= (1)若0,m >求证:方程有两个不相等的实数根;

(2)若12<m <40的整数,且方程有两个整数根,求m 的值.

【思路分析】本题也是整根问题,但是不像上题,就三个值一个个试就可以试出来结果。本题给定一个比较大的区间,所以就需要直接用求根公式来计算.利用已知区间去求根的判别式的区间,也对解不等式做出了考察.

【思考3】2009,海淀,一模

已知: 关于x 的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数,二次函数y=ax2-bx+kc (c ≠0)的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. (1)若方程①的根为正整数,求整数k 的值;

(2)求代数式akc

ab

b k

c +-22)(的值;

(3)求证: 关于x 的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

【思路分析】本题有一定难度,属于拉分题目。第一问还好,分类讨论K 的取值即可。第二问则需要将k 用a,b 表示出来,然后代入代数式进行转化.第三问则比较繁琐,需要利用题中一次方程的根为正实数这一条件所带来的不等式,去证明二次方程根的判别式大于0.但是实际的考试过程中,考生在化简判别式的过程中想不到利用已知条件去套未知条件,从而无从下手导致失分.

【思考4】2009,顺义,一模

. 已知:关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=. (1)求证:不论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根12x x ,满足122

11

m x x m +-=+-,求m 的值.

【思路分析】这一题第二问有些同学想到直接平方来去绝对值,然后用韦达定理进行求解,但是这样的话计算量就会非常大,所以此题绕过韦达定理,直接用根的判别式写出12x x ,,

发现12x x ,都是关于m 的一次表达式, 做差之后会得到一个定值.于是问题轻松求解. 这个题目告诉我们高级方法不一定简单,有的时候最笨的办法也是最好的办法.

第三部分 思考题解析

【思考1解析】

解:(1)由题意得,168(1)0k ?=--≥.

∴3k ≤. ∵k 为正整数,

∴123k =,

,. (2)当1k =时,方程22410x x k ++-=有一个根为零; 当2k =时,方程22410x x k ++-=无整数根;

当3k =时,方程22410x x k ++-=有两个非零的整数根. 综上所述,1k =和2k =不合题意,舍去;3k =符合题意.

当3k =时,二次函数为2242y x x =++,把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为2246y x x =+-.

(3)设二次函数2246y x x =+-的图象与x 轴交于

A B 、两点,则(30)A -,

,(10)B ,. 依题意翻折后的图象如图所示.

当直线12y x b =

+经过A 点时,可得3

2b =; 当直线12y x b =+经过B 点时,可得1

2

b =-.

由图象可知,符合题意的(3)b b <的取值范围为13

22

b -<<

【思考2解析】

证明: []2

2

=2(23)-4414884m m m m ---++ ()=

0,m > 840.m ∴+>

∴方程有两个不相等的实数根。 (2)(23)x m -

且m 为整数. 又∵12<m <40, 252181.m ∴<+<

∴5

9.

35

6,.

2

7,24.

63

8,.

2

m

m

m

=∴=

=∴=

=∴=

∴m=24

【思考3解析】

解:由kx=x+2,得(k-1) x=2.

依题意k-1≠0.

1

2

-

=

k

x.

∵方程的根为正整数,k为整数,

∴k-1=1或k-1=2.

∴k1= 2, k2=3.

(2)解:依题意,二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点(1,0),∴0 =a-b+kc, kc = b-a .

2

2

2

2

2

2

22

a

ab

ab

b

a

ab

b

a

b

a

ab

b

a

b

akc

ab

b

kc

-

+

-

+

-

=

-

+

-

-

=

+

-

)

(

)

(

)

(

=.1

2

-

=

-

-

a

ab

ab

a

(3)证明:方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.

由a≠0, c≠0, 得ac≠0.

( i ) 若ac<0, 则-4ac>0. 故Δ=b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根.

( ii ) 证法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故b=a+kc.

Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1).

∵方程kx=x+2的根为正实数,

∴方程(k-1) x=2的根为正实数.

由x>0, 2>0, 得k-1>0.

∴ 4ac(k -1)>0. ∵ (a -kc)2≥0,

∴Δ=(a -kc)2+4ac(k -1)>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二: 若ac>0,

∵ 抛物线y=ax2-bx+kc 与x 轴有交点, ∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc ≥0. (b2-4ac)-( b2-4akc)=4ac(k -1). 由证法一知 k -1>0, ∴ b2-4ac> b2-4akc ≥0.

∴ Δ= b2-4ac>0. 此时方程②有两个不相等的实数根. 综上, 方程②有两个不相等的实数根.

【思考4解析】

(1)[]2

2

(21)4(2)m m m ?=-+-+-

22441448m m m m =++--+ 90=>

∴不论m 取何值,方程总有两个不相等实数根

(2)由原方程可得12(21)(21)3

22

m m x +±+±=

=

∴ 1221x m x m =+=-, -- ∴ 123x x -=

又∵ 12211m x x m +-=+- ∴

2311

m m +=+- ∴ 4m = - 经检验:4m =符合题意. ∴

m 的值为4.

中考数学圆知识点归纳

圆知识点归纳 一、圆的定义。 1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内,到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。 1、半径:圆上一点与圆心的连线段。 2、直径:连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦:连接圆上两点线段(直径也是弦)。 4、弧:圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。 (1)劣弧:小于半圆周的弧。 (2)优弧:大于半圆周的弧。 5、圆心角:以圆心为顶点,半径为角的边。 6、圆周角:顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。 7、弦心距:圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。 (1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。 (2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。 (3)圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。 (1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。 (2)推论: ? 平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ? 平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。 (1)同弧所对的圆周角相等。 (2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等,其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ,OP=d 。 7、(1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距 离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。) 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离,r 表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切; d = r 点P 在⊙O 上 d < r (r > d 点P 在⊙O 内 d > r (r

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析

中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析 在中考中,几何综合题主要考察了利用图形变换(平移、旋转、轴对称)证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上,将几何综合题目分解为基本问题,转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比,从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时,重点在思路,在老师讲解及学生解题时,对于较复杂的图形,根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形,将新题目与已有经验建立联系从而找到思路,之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络;在做完题之后,注重解题反思,总结题目中的基本图形及辅助线添加方法,将题目归类整理;对于典型的题目,可以解析题目条件,通过拓展题目条件或改变条件,给出题目的变式,从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时,在授课过程中,将同一类型的几何综合题成组出现,分析讲解,对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求:会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求:会运用几何图形的相关知识和方法(两点之间的距离,等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识,全等三角形的知识和方法,平行四边形的知识,矩形、菱形和正方形的知识,直角三角形的性质,圆的性质)解决有关问题;能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题;能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题;能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求:能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题,是需要厚积而薄发,所谓的“几何感觉”,是建立在足够的知识积累的基础上的,熟悉基本图形及常用的辅助线,在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型,找到“新”问题与“旧”模型间的关联,明确努力方向,才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例: 1、与相似及圆有关的基本图形

2018中考数学专题讲解汇总 (50)

初中毕业学业考试试题数 学 第 Ⅰ 卷(选择题 共30分) 一、选择题(共10小题,每小题3分,计30分. 每小题只有一个选项是符合题意的) 1.计算-2-3的值为 ( ) A.-1 B.1 C.-5 D.5 2.下面几何体中,主视图与俯视图相同的一个是 ( ) 3.据陕西省统计局统计,2007年我省水果总产量为1125.0万吨,把它用科学记数法表示,正确的是( ) A.1125.0×104 吨 B.112.50×105吨 C.11.250×106吨 D.1.1250×107吨 4. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sinB 的值为 ( ) A. 43 B. 53 C. 54 D. 34 5.我们统计了某同学一周每天阅读课外书的页数如下: 星 期 一 二 三 四 五 六 日 页数 16 17 20 24 20 16 20 这组数据的众数和平均数分别为 ( ) A.20 20 B.19 20 C.20 19 D.16 19 6.下列函数中,图象经过第三象限,且y 随x 的增大而增大的是 ( ) A.1-x y 2= B.y=-x+3 C.x 3 y = D.y=x-3 7.如图,四边形ABCD 中,AC ⊥BD ,顺次连接四边形各边中点得到的四边形为 ( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 8.函数y=4x-1与x 2x y 2+=的图象均经过A 点,则点A 的坐标为 ( ) A.(1,3) B.(-1,-5) C.(1,-5) D.(-1,3) 9.设⊙O 、⊙O '的半径分别为R 、R ',若⊙O 与⊙O '相交,O O '=8,R=3,则R '应满足的条件是 A. R '>5 B. R '<11 C. 3<R '<5 D. 5<R '<11 10.若二次函数c bx ax y 2++=的图象如图所示,则a 、b 、c 间的大小关系正确的是 ( ) A.a >b >c B.a <b <c C.a >c >b D.a <c <b 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) A B C D (第7题图) (第10题图) O y x 3 -1

(完整版)中考数学动点问题专题讲解

动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:(1)运动观点;(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点. 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

初三数学上册圆的知识点总结—全面资料

圆 章节知识点 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ?d r ? 点A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点; 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点; 3、直线与圆相交?d r +;外切(图2)? 有一个交点?d R r =+; 相交(图3)? 有两个交点?R r d R r -<<+;内切(图4)? 有一个交点?d R r =-; 内含(图5)? 无交点 ?d R r <-; A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理 r R d O E D C O D A B

初三数学圆的知识点整理

1.在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 2.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径。 3.圆上任意两点间的部分叫作圆弧,简称弧。圆的任意一条直 径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆。在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。 4.P108圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称 轴,圆心是它的对称中心(p110) 5.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。(逆定理: 经过弦中点的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧) 6.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的两条弧。 7.我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 8.定理1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对 的弦也相等。 9.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦相 等。 10.定理3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的两条劣弧(优弧) 相等,相等的劣弧(优弧)所对的圆心角相等。相等的圆心角所对的弦相等的优劣弧之间的关系 11.不在同一条直线上的三个点确定一个圆(P117) 12.顶点在圆上,并且两边都与圆相交(弦)的角叫做圆周角。 13.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这 条弧所对的圆心角的一半。(p122)4-23 14.定理:(p119-120)半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90° 的圆周角所对的弦是直径。 15.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫 做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。 16.P123推论:在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,他们所 对的弧一定相等。 17.圆内接四边形的对角互补,圆内接四边形的一个外角等于互 补角的内对角;对角互补的四边形内接于圆 下接PPT 18.点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内— —d < r

中考数学专题训练:类比探究类问题解析版

类比探究类问题解析版 1、如图,在矩形ABCD中,AD=4,M是AD的中点,点E是线段AB上一动 点,连结EM并延长交线段CD的延长线于点F. (1) 如图1,求证:AE=DF; (2) 如图2,若AB=2,过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G,判断△GEF的形状,并说明 理由; 2,过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G. (3) 如图3,若AB=3 ① 直接写出线段AE长度的取值范围; ② 判断△GEF的形状,并说明理由. 【答案】解:(1)在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=900,∠AME=∠FMD。 ∵AM=DM,∴△AEM≌△DFM(ASA)。∴AE=DF。 (2)△GEF是等腰直角三角形。理由如下: 过点G作GH⊥AD于H, ∵∠A=∠B=∠AHG=90°, ∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。 ∵MG⊥EF,∴∠GME=90°。 ∴∠AME+∠GMH=90°。 ∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠GMH。 又∵AD=4,M是AD的中点,∴AM=2。∴AN=HG。 ∴△AEM≌△HMG(AAS)。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。 由(1)得△AEM≌△DFM,∴ME=MF。 又∵MG⊥EF,∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。 ∴△GEF是等腰直角三角形。

(3)①23 3 <AE≤23。 ②△GEF是等边三角形。理由如下: 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H, ∵∠A=∠B=∠AHG=90°,∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=23。 ∵MG⊥EF,∴∠GME=90°。∴∠AME+∠GMH=90°。∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠GMH。 又∵∠A=∠GHM=90°,∴△AEM∽△HMG。∴MG GH EM AM =。 在Rt△GME中,∴tan∠MEG=MG GH23 3 EM AM2 ===。∴∠MEG=600。 由(1)得△AEM≌△DFM.∴ME=MF。 又∵MG⊥EF,∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。 2、(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.求证:CE=CF; (2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45°,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD. (3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积. 【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF, ∴△CBE≌△CDF(SAS)。∴CE=CF。 (2)证明:如图,延长AD至F,使DF=BE.连接CF。 由(1)知△CBE≌△CDF,

中考数学圆的知识点总结

2019年中考数学圆的知识点总结 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。 2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。 5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。 6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 二、有关圆的字母表示方法(7个)

圆--⊙半径—r 弧--⌒直径—d 扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S三、有关圆的基本性质与定理(27个) 1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离): P在⊙O外,POP在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO 2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。 3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。 8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。 9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB

中考数学综合题专题复习【相似】专题解析

一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C. (1)求抛物线解析式及对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)解:把A(-2,0),B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx-1,得 解得 ∴抛物线解析式为:y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- =1 (2)解:存在 使四边形ACPO的周长最小,只需PC+PO最小 ∴取点C(0,-1)关于直线x=1的对称点C′(2,-1),连C′O与直线x=1的交点即为P 点. 设过点C′、O直线解析式为:y=kx

∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为(1,- ) (3)解:当△AOC∽△MNC时, 如图,延长MN交y轴于点D,过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似,∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称,则N为DM中点 设点N坐标为(a,- a-1) 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为(0,- a?1) ∵N为DM中点 ∴点M坐标为(2a,a?1) 把M代入y= x2?x?1,解得 a=4 则N点坐标为(4,-3) 当△AOC∽△CNM时,∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题分类汇总

全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题分类汇总 一、直角三角形的边角关系 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°

在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?s in60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm. (1)求∠CAO'的度数. (2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少? (3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度? 【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°. 【解析】

中考数学压轴题解题技巧江苏徐州

中考数学压轴题解题技巧 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广,综合性最强的题型。综合近年来各地中考的实际情况,压轴题多以数学综合题的形式出现,常见题型有两类:函数型压轴题和几何形压轴题。压轴题考查知识点多,条件也相当隐晦,这就要求学生有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力,对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力,并有较强的创新意识和创新能力,当然,还必须具有强大的心理素质。 下面从知识角度和技术角度谈谈中考数学压轴题的解题技巧。 先以20XX年河南中考数学压轴题为例: 如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q 从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位 长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E. ①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时, 线段EG最长? ②连接EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值. 这是一道函数型压轴题。函数型压轴题主要有:几何与函数相结合型、坐标与几何、方程与函数相结合型。这些压轴题主要以函数为主线,涉及函数的图象、方程、点的坐标及线段长度、图形面积等问题。 先从知识角度来分析: (1)通过观察图象可以发现,直线AD和x轴平行,直线AB和y轴平行,因此,A点与D点的纵坐标相同,A点与B的横坐标相同,因此A的坐标为(4,8).知道了点A的坐标,加上已知条件点C的坐标,利用待定系数法很容易可以求出抛物线的解析式。此问在本题中占3分,解决此问的关键在于:①多角度、全方位观察图形;②熟练掌握待定系数法求抛物线解析式。

(完整版)初中数学圆知识点总结

A 图5 圆的总结 一 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系: 1点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外 2 直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d

D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙O 中,∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧 即:在⊙O 中,∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径 即:在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴ AB 是直径 推论3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 ??BC BD =??AC AD =

中考数学《压轴题》专题训练含答案解析

压轴题 1、已知,在平行四边形O ABC 中,O A=5,AB =4,∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Q从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为t秒. (1)求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O AC 与△PAQ 相似; (3)若⊙P 的半径为 58,⊙Q 的半径为2 3 ;当⊙P 与对角线AC 相切时,判断⊙Q 与直线AC 、B C的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(1)42033 y x =- + (2)①当0≤t≤2.5时,P在O A上,若∠OAQ =90°时, 故此时△OA C与△PAQ 不可能相似. 当t>2.5时,①若∠APQ=90°,则△A PQ ∽△OCA , ∵t>2.5,∴ 符合条件. ②若∠A QP=90°,则△APQ ∽△∠OA C, ∵t>2.5,∴ 符合条件.

综上可知,当 时,△O AC 与△APQ 相似. (3)⊙Q 与直线AC、B C均相切,Q 点坐标为( 10 9 ,5 31) 。 2、如图,以矩形OABC 的顶点O 为原点,OA 所在的直线为x轴,OC 所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA =3,OC =2,点E 是AB 的中点,在OA 上取一点D ,将△BD A沿BD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处. (1)直接写出点E 、F 的坐标; (2)设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴...于点P ,且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、y轴上是否分别存在点M 、N ,使得四边形MNF E的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)(31)E ,;(12)F ,.(2)在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ,,其中0n >, 顶点(1 2)F ,, ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①,当EF PF =时,22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =(舍去);24n =.(04)P ∴,.24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ (第2题)

中考数学代数式知识点汇总讲解学习

中考数学代数式知识点汇总 一、代数式 1、代数式:用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子,叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。 2、代数式的值:用数值代替代数里的字母,计算后得到的结果叫做代数式的值。 3、代数式的分类: ??? ????????????无理式分式 多项式单项式整式有理式代数式 二、整式的有关概念及运算 1、概念 (1)单项式:像x 、7、 y x 22,这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数叫做这个单项式的次数。 单项式的系数:单项式中的数字因数叫单项式的系数。 (2)多项式:几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项:多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项,就叫几项式。 多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。不含字母的项叫

常数项。 升(降)幂排列:把一个多项式按某一个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。 (3)同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。 2、运算 (1)整式的加减: 合并同类项:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母及字母的指数不变。 去括号法则:括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变;括号前面是“–”号,把括号和它前面的“–”号去掉,括号里的各项都变号。 添括号法则:括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变;括号前面是“–”号,括到括号里的各项都变号。 整式的加减实际上就是合并同类项,在运算时,如果遇到括号,先去括号,再合并同类项。 (2)整式的乘除: 幂的运算法则:其中m 、n 都是正整数 同底数幂相乘:n m n m a a a +=?;同底数幂相除:n m n m a a a -=÷;幂的乘方: mn n m a a =)(积的乘方:n n n b a ab =)(。 单项式乘以单项式:用它们系数的积作为积的系数,对于相同的字母,用它们的指数的

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1.圆的定义: (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭曲线,叫做圆. (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.判定一个点P是否在⊙O上. 设⊙O的半径为R,OP=d,则有 d>r点P在⊙O 外; d=r点P在⊙O 上; d

(1)旋转不变性:圆是旋转对称图形,绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合;圆是中心对称图形,对称中心是圆心. 在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,这四组量中的任意一组相等,那么它所对应的其他各组分别相等. (2)轴对称:圆是轴对称图形,经过圆心的任一直线都是它的对称轴. 垂径定理及推论: (1)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. (3)弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧. (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心,且垂直平分此弦. (5)平行弦夹的弧相等. 5.三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心:是三角形三个角平分线的交点,它是三角形内切圆的圆心,在三角形内部,它到三角形三边的距离相等,通常用“I”表示. (2)三角形的外心:是三角形三边中垂线的交点,它是三角形外接圆的圆心,锐角三角形外心在三角形内部,直角三角形的外心是斜边中点,钝角三角形外心在三角形外部,三角形外心到三角形三个顶点的距离相等,通常用O表示.(3)三角形重心:是三角形三边中线的交点,在三角形内部;它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍,通常用G表示. (4)垂心:是三角形三边高线的交点. 6.切线的判定、性质: (1)切线的判定: ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质: ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. (3)切线长:从圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. (4)切线长定理:从圆外一点作圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 7.圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形,圆内接四边形对角互补,外角等于内对角. (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形,圆外切四边形对边之和相等.8.直线和圆的位置关系: 设⊙O 半径为R,点O到直线l的距离为d. (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R. (2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d=R. (3)直线l和⊙O 有两个公共点直线l和⊙O 相交dr),圆心距.

中考数学综合题专题复习【圆】专题解析

中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一.教学内容: 1.圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系,圆和圆的位置关系,正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (2)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。 (4)圆内接四边形的性质定理及其推论。 (5)切线的性质及判定。 (6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质,两圆的公切线性质。 (9)圆周长、弧长;圆、扇形,弓形面积。 (10)圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表: 圆的知识在中考中所占的比例大,题型多,常见的有填空题、选择题、计算题或证明题,近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图: 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ?

圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系(这是重点) 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理(这是重点) 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理(这是重点) 圆内接四边形(这是重点) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质(这是重点) 切线的判定(这是重点) 弦切角(这是重点) 和圆有关的比例线段(这是重点难点) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切(这是重点) 外切(这是重点)两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算(这是重点)圆的有关计算 圆周长、弧长(这是重点) 圆、扇形、弓形面积(这是重点) 圆柱、圆锥侧面展开图(这是重点) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【典型例题】 【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以120m为半径的圆的外部,如图所示:

全国备战中考数学锐角三角函数的综合备战中考真题分类汇总含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°,向前走6m到达B点,测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°. (1)求∠BPQ的度数; (2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m).备用数据:, 【答案】(1)∠BPQ=30°; (2)该电线杆PQ的高度约为9m. 【解析】 试题分析:(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可; (2)设PE=x米,在直角△APE和直角△BPE中,根据三角函数利用x表示出AE和BE,根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值,再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长,则PQ的长度即可求解. 试题解析:延长PQ交直线AB于点E, (1)∠BPQ=90°-60°=30°; (2)设PE=x米. 在直角△APE中,∠A=45°, 则AE=PE=x米; ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中,BE= 3 3 PE= 3 3 x米, ∵AB=AE-BE=6米, 则3 , 解得:3

则BE=(33+3)米. 在直角△BEQ中, QE= 3 3 BE= 3 3 (33+3)=(3+3)米. ∴PQ=PE-QE=9+33-(3+3)=6+23≈9(米). 答:电线杆PQ的高度约9米. 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 2.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD. (1)求证:△MED∽△BCA; (2)求证:△AMD≌△CMD; (3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S 2,当S2=17 5 S1时,求cos∠ABC的 值. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos∠ABC=5 7 . 【解析】 【分析】 (1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明∠AMD=∠CMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD; (3)易证MD=2AB,由(1)可知:△MED∽△BCA,所以 2 1 1 4 ACB S MD S AB ?? == ? ?? ,所以 S△MCB=1 2 S△ACB=2S1,从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1= 2 5 S1,由于1 EBD S ME S EB =,从而可 知 5 2 ME EB =,设ME=5x,EB=2x,从而可求出AB=14x,BC= 7 2 ,最后根据锐角三角函数的 定义即可求出答案.【详解】 (1)∵MD∥BC,∴∠DME=∠CBA,

中考数学专题讲解汇总

中考数学专题1 动态几何问题 第一部分 真题精讲 【例1】如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,3AD =,5DC =,10BC =,梯形的高为4.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动;动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动.设运动的时间为t (秒). (1)当MN AB ∥时,求t 的值; (2)试探究:t 为何值时,MNC △为等腰三角形. 【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M ,N 是在动,意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB 时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。 【解析】 解:(1)由题意知,当M 、N 运动到t 秒时,如图①,过D 作DE AB ∥交BC 于E 点,则四边形ABED 是平行四边形. A B M C N E D ∵AB DE ∥,AB MN ∥. ∴DE MN ∥. (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN 放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题) ∴MC NC EC CD =. (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) ∴ 1021035t t -=-.解得5017 t = . 【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC 即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解 【解析】 (2)分三种情况讨论: ① 当MN NC =时,如图②作NF BC ⊥交BC 于F ,则有2MC FC =即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质) ∵4 sin 5DF C CD ∠==, ∴3 cos 5 C ∠=,

中考数学动点问题专题讲解

中考动点专题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:(1)运动观点;(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点. 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . 222223362 1 419x x x MH PH MP +=- +=+=H M N G P O A B 图1 x y

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