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圆锥曲线练习题含答案解析

圆锥曲线专题练习

一、选择题

1.已知椭圆

116

252

2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7

2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）

A ．

116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125

162

2=+y x D ．以上都不对 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线

4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3

5．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是（）

A ．

25 B ．5 C ．2

15 D ．10 6．若抛物线2

8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（）

A ．(7,

B ．(14,

C ．(7,±

D ．(7,-± 7．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0

8．以椭圆

116

252

2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（） A ．

1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或127

2=-y x D ．以上都不对 9．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2

1π

Q PF ，则双曲线的离心率

e 等于（）

A ．12-

B ．2

C ．12+

D ．22+

10．21,F F 是椭圆17

922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠0

2145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（） A ．7 B ．

47 C ．27 D ．2

57 11．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622

=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程（）

A ．2

3x y =或2

3x y -= B ．2

3x y = C ．x y 92

-=或2

3x y = D ．2

3x y -=或x y 92

12．设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（）

A ．

B ．p

C ．p 2

D ．无法确定 13．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）

A ．1(,)44±

B ．1(,)84±

C ．1(,44

D ．1(,84

14．椭圆

124

4922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为 A ．20 B ．22 C ．28 D ．24

15．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得

最小值的M 的坐标为（）

A ．()0,0

B ．??

? ??1,21 C ．()

2,1 D ．()2,2

16．与椭圆14

=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．12

=-y x 17．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，

那么k 的取值范围是（） A ．（315,315-

） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,3

--）

18．抛物线2

2x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线

m x y +=对称，且2

121-=?x x ，则m 等于

（） A ．

23 B ．2 C ．2

D ．3 二. 填空题

19．若椭圆2

1x my +=，则它的长半轴长为_______________. 20．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

21．若曲线

141x y k k +=+-表示双曲线，则k 的取值范围是。 22．抛物线x y 62

=的准线方程为 .

23．椭圆552

2=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

25．双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

26．若直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。 27．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

28．若双曲线1422=-m y x 的渐近线方程为x y 23

±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 29．设AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，

则AB OM k k ?=____________。

30．椭圆14

2=+y x 的焦点1F 、2F ，点P 为其上的动点，当∠1F P 2F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是。

31．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为__ _。 32．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则

AB =______。

33．若直线1y kx =-与双曲线224x y -=始终有公共点，则k 取值范围是。 34．已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线28y x =上的点到直线AB 的最段距离为__________。三.解答题

35．已知椭圆22

143

x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4y x m =+对称。

36．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。

37、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12

-. （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C.

（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3

4时，求直线l 的方程.

38．已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，

|PQ |=2

，求椭圆的方程

参考答案

1．D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-= 2．C 2222218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=

得5,4a b ==，2212516x y ∴+

=或125

162

2=+y x 3．D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上

4．

C 22222

22,2,2,a c c c a e e c a =====5．B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p

6．C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-

的距离，得7,P p x y ==±7．D 焦点在y 轴上，则222

1,20122y x k k k

+=>?<< 8．C 当顶点为(4,0)±

时，22

4,8,11648x y a c b ===-=；当顶点为(0,3)±

时，22

3,6,1927

y x a c b ===-= 9．C Δ12PF F

是等腰直角三角形，21212,PF F F c PF ===

12222,1c PF PF a c a e a -=-==

== 10．

C 1212216,6F F AF AF AF AF =+==-

22202

2112112112cos4548AF AF F F AF F F AF AF =+-?=-+

2211117

(6)48,,2

AF AF AF AF -=-+=

1772222

S =??=

11．D 圆心为(1,3)-，设2

12,,6

3x py p x y ==-=-

；设229

2,,92

y px p y x ===

12．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,2

x y p =

=±min 2AB p = 13．B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =，过点P 所作的高也是中线

18x P ∴=

，代入到x y =2

得y P =

1(,8P ∴ 14．D 2222

12121214,()196,(2)100PF PF PF PF PF PF c +=+=+==，相减得

12121

296,242

PF PF S PF PF ?==

?= 15．D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取得最小值，即

2y M =，代入x y 22=得2x M =

16．

A 2

41c c =-=，且焦点在x 轴上，可设双曲线方程为22

13x y a a -=-过点(2,1)Q 得222

4112,132

x a y a a -=?=-=- 17．D 222

2226,(2)6,(1)41002

x y x kx k x kx y kx ?-=-+=---=?

=+?有两个不同的正根则2

2122

1224024040,11001k k x x k x x k ??=->??

+=>?-?

-?=>?-?

得1k <<- 18．A 2221212121211

1,2(),2

AB y y k y y x x x x x x -=

=--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,)

在直线y x m =+上，即

2121

2121,222

y y x x m y y x x m ++=++=++ 2

21212121213

2()2,2[()2]2,23,2

x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++==

19．1,2或当1m >时，22

1,111

x y a m

+==；当01m <<时，22222

223111,1,,4,21144y x a b e m m a a a m m

-+==

=-=====

20．22

1205

x y -

=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，

1,25,204

x y λ

λλλ

==；

当0λ<时，

21,()25,2044

y x λλλλλ-=-+-==--- 21．(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或

22．32x =- 3

26,3,22

p p p x ===-=-

23．1 焦点在y 轴上，则2225

1,14,151y x c k k k +==-==

24．54,4-或当89k +>时，22

2891,484

c k e k a k +-==

==+；当89k +<时，22

29815

,944

c k e k a --==

==- 25．1- 焦点在y 轴上，则22811,()9,181y x k k k k k -=-+-==--- 26．(4,2) 22

1212124,840,8,442

y x x x x x y y x x y x ?=-+=+=+=+-=?

=-? 中点坐标为1212

(

,)(4,2)22

x x y y ++= 27．(],2-∞ 设2(,)4t Q t ，由PQ a ≥得222222

(),(168)0,4

t a t a t t a -+≥+-≥

1680,816t a t a +-≥≥-恒成立，则8160,2a a -≤≤

28．

(

渐近线方程为y x =

，得3,m c ==，且焦点在x 轴上 29． 22b a - 设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212(,)22x x y y M ++，得2121

,AB y y

k x x -=-

2121OM

y y k x x +=+，22

2122

AB OM y y k k x x -?=-，22222211,b x a y a b += 2

22,b x a y a b +=得2

221

()()0,b x x a y y -+-=即222

212

221y y b x x a

-=-- 30

．( 可以证明12,,PF a ex PF a ex =+=-且2221212PF PF F F +<

而3,2,a b c e ====

22222222()()(2),2220,1a ex a ex c a e x e x ++-<+<< 22111,,x x e e e <

-<<

即e <<31

．

渐近线为y =，其中一条与与直线210x y ++=

11,24t ==

221,2,42

x y a c e -====

．222122

848

,(48)40,42

y x k k x k x x x k y kx ?=+-++=+==?=-? 得1,2k =-或，当1k =-时，2

440x x -+=有两个相等的实数根，不合题意

当2k =

时，12AB x =-===33

．1,±222224,(1)4,(1)2501

x y x kx k x kx y kx ?-=--=-+-=?

=-? 当210,1k k -==±时，显然符合条件；

当2

10k -≠

时，则2

20160,2

k k ?=-==±

直线AB 为240x y --=，设抛物线28y x =上的点2

(,)P t t

225d =

==≥=

35．解：设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211

AB y y k x x -=

=--

而2

113412,x y +=2

223412,x y +=相减得2

21213()4()0,x x y y -+-=

即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-

而00(,)M x y 在椭圆内部，则2291,43m m +<

即m << 36．解：设抛物线的方程为2

2y px =，则22,21

y px

y x ?=?=+?消去y 得

2121221

4(24)10,,24

p x p x x x x x ---+=+=

12AB x =-=

==，

24120,2,6p p p =--==-或 22412y x y x ∴=-=，或

37、（Ⅰ）解：设点(,)P x y

12=-，整理得.

1222

=+y x

由于x ≠所以求得的曲线C

的方程为2

21(2x y x +=≠

（Ⅱ）由.04)21(:.1,

222

2=++?????+==+kx x k y kx y y x 得消去解得x 1=0, x 2=212

,(214x x k k +-分别为M ，N 的横坐标）

由

,234

|214|

1||1||22212=++=-+=k

k k x x k MN .1:±=k 解得所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0

38． [解析]：设所求椭圆的方程为122

22=+b y a x ，

依题意，点P （11,y x ）、Q （22,y x ）的坐标

满足方程组

???+==+11

22x y b y a

解之并整理得

0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a 或

0)1(2)(2

22222=-+-+a b y b y b a 所以2

22212b a a x x +-=+，

22221)1(b a b a x x +-= ①

22212b a b y y +=+，22

2221)

1(b a a b y y +-= ② 由OP ⊥OQ 0212

1=+?y y x x 22222b a b a =+? ③

又由|PQ |=2102

212212)()(y y x x PQ -+-=?=2

212

21212214)(4)(y y y y x x x x -++-+?=25

212

21212

214)(4)(y y y y x x x x -++-+?=25

④

由①②③④可得：0

4832

=+-b b 32222=

=?b b 或

22==?a a 或