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研究生矩阵论课后习题答案(全)习题一

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

南航矩阵论2013研究生试卷及答案

南京航空航天大学2012级硕士研究生

二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页第 4 页

三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页第 5 页

矩阵论习题课答案

习题课答案一 1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1 ||n A λ - (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ 2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ，则( c )必成立. ()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零 ()d A 的所有特征值互不相同 3).设矩阵111 11A α αββ?? ?= ? ???与000010002B ?? ? = ? ??? 相似,则,αβ的值分别为( a )。 (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二填空题 4)若四阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为1111 ,,,2345 ，则1B E --= 24 。 5)设532644445A -?? ?=- ? ?-?? ,则100 A = 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231?? +---- ? +---?- ? ?--?-? ? 三计算题 3.求三阶矩阵1 261 725027-?? ? ? ?--? ? 的Jordan 标准型解 1261725027E A λλλλ+--?? ?-=--- ? ?+??,将其对角化为210001000(1)(1)λλ?? ? ? ?+-??.故A 的若当标准形为100110001-?? ? - ? ??? .■

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ，则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??；（3）对矩阵作初等变换故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1） 21 0021002λλλ--????--????-??；（2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

2016矩阵论复习题

矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换， ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数.

研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三 1．证明下列问题：（1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ；（2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ，则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =，故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ，其中m m m A c A c c S +++= 10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ，则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ，即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明：（1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =，故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ，而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，

矩阵理论第一二章典型例题

《矩阵理论》第一二章典型例题一、判断题 1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |A x =定义, ||x ||x 则为向量的范数. ( ) 2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值，则22 2 1 ||||n m i i A λ==∑ . ( ) 3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||A A n - =. ( ) 4. 若设n x R ∈，则212||||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则222 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2 ||||m A = ( ) 8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 9.设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1 ||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ) 10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞ =. ( ) 12. 如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||m in i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数 m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ) 14、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数有1I A -≥, 其中I 为单位矩阵. ( )

东南大学考博矩阵论复习题

2011矩阵论复习题 1.设+ =R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为y x y x ?=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ) ,(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2)1(,(2121x k k kx kx x k ?+ =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3 R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)} ()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5.设T 是2 R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(j i j T ?=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e ?=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告：本资源来自网络，如有侵权，请发邮件至liwdedy@https://www.wendangku.net/doc/9f5696027.html, ，收到后立即删除，谢谢!

6.设T 是3 R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T ?=++)(i k j T =+)(k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数. 7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为 ???? ????????=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足 2 1321)32(y y x x x T +=++12323 (24)T x x x y y ++=+3 1321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中 321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=3 2321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性. 9.在22R ×中求由基(I)12101A ??=????20122A ??=????32112A ???=????41312A ??=????到基(II)11210B ??=?????21111B ???=????31211B ???=????41101B ????=???? 的过渡矩阵. 10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=?1(1,1,1,1)β=?2(1,1,3,7) β=?设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.

研究生矩阵论试题与答案

中国矿业大学级硕士研究生课程考试试卷考试科目矩阵论考试时间年月研究生姓名所在院系学号任课教师

一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示）；（2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ；（3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。

二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ；（3）求At e ；（3）求该方程组的解。

三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =；（2）由满秩分解计算+A ；（3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。五（10分）设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-；（2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

六（10分）设m n r A R ?∈，（1）证明rank()n I A A n r + -=-；（2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

矩阵论练习题2

1．了解坐标变换和基变换，熟悉过度矩阵的概念，会求过度矩阵以及一个向量在不同基下的坐标。例1 三维空间的一组基为I ：（1，0，0）、（1，1，0）、（1，1，1），另一组基为II ：（1，0，1）、（1，2，1）、（3，1，4），求由I 到II 的过度矩阵，并求向量（2，2，3）在这两组基下的坐标。并用过度矩阵检验你计算的正确性。 112113114A -?? ?=-- ? ??? （2，2，3）= 0（1，0，0）-1（1，1，0）+3（1，1，1）（2，2，3）=-1.5（1，0，1）+0.5（1，2，1）+（3，1，4）例2 在4维线性空间22R ?中，向量组， 123401101111,,,11110110εεεε???????? ====???????? ???????? 与向量组 123410111111,,,00001011μμμμ???????? ====? ??????????????? 为其两组基，求从基 1234,,,εεεε 到基1234,,,μμμμ 的过渡矩阵，并求向量 1234A ?? =?? ?? 在这两组基下的坐标。 2．熟悉子空间的和与交，会用子空间的基本概念来证明子空间的性质。例1. 子空间的和与交都是子空间. 设1V 和2V 是数域P 上线性空间V 的任意两个子空间，试证明（1）{}1212,V V x x V x V =∈∈ （2）{}12121122:,V V x x x x x V x V +==+∈∈ 都是线性空间V 的子空间。例2．向量组12,,,s ααα 和12,,,r βββ 都是线性空间V 中的向量，试证明 12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)s r s L L L αααβββαααβββ+= 例3．判断矩阵 311201112A -?? ?= ? ?-?? 是否可以对角化？例4．试将λ-矩阵 22221()1A λλλλλ λλλλλ?? - ? =- ? ?+-?? 化成Smith 标准形。

矩阵论习题

1. 假设A,B 都是实正规矩阵, 证明A,B 可同时正交对角化(即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ 和Q T BQ 都是对角矩阵)的充分必要条件是A,B 可交换(即AB=BA). 2. 证明矩阵AB 和BA 的特征值都相同, 而且非零特征值的代数重数也相同. 并利用这个结论证明: (1) tr(AB)=tr(BA), (2) det(I+xy T )=1+y T x, 其中x,y 都是n 维向量. 3. 假设A,B 都是实对称矩阵, 且A 正定, 证明A,B 可同时对角化, 即存在非奇异矩阵C,使得C T AC 和C T BC 都是对角矩阵. 4. 证明若矩阵X 满足AX-XB=0, 且矩阵A,B 没有相同的特征值, 则必有X=0. 5. 设H=A+iB 是一个正定Hermite 矩阵, 其中A,B 是n 阶实矩阵, 证明矩阵A B B A -?? ???? 是对称正定的. 6. 设n 阶矩阵A 满足A 3 =I, 试导出A 的Jordan 标准型可能具有的形状. 7. 证明矩阵F 范数与向量2范数相容, 即2 2 .F Ax A x ≤ 8. 设v 是n 维非零实向量, E 是n 阶实矩阵, 证明1 22 2 2 (()).F T F T T Ev v E E I v vv v v --=+ ‖‖‖‖ 9. 设200011,20 1A π??? ?= ?????? 证明2 20 0044sin 011.00 1A A A ππ ?? ??= -=?????? 10. 设6 222 20,0 2A ?? ? ? =-?????? 计算ln .A 11. 证明对任意n 阶矩阵A, 有2 1,sin(2cos(2))2sin cos . 2cos A A A A A =-= 12. 形如 (,)T k N y k I ye =-的矩阵称为Gauss-Jordan 变换, 其中y 是n 维实向量. (1) 假定 N(y,k)非奇异, 给出计算其逆的公式. (2) n 维实向量x 满足什么条件才能保证存在n 维实向量 y 使得N(y,k)x=e k . 13. 证明222x y x y +=+‖‖‖‖‖‖当且仅当x 与y 线性相关, 且 0.T x y ≥

矩阵论试题

2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业学号姓名得分一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零，即ker A =0。（） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个线性空间。（） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分必要条件是A 的谱半径1)(

4．设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为，。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足：，并写出常用的三类正规矩阵。三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。。