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长沙理工大学概率论与数理统计练习册

第一章 概率论的基本概念 练习1.1 样本空间、随机事件

一、写出以下随机试验的样本空间:

1.从两名男乒乓球选手B A ,和三名女乒乓球选手,,C D E 中选拔一对选手参加男女混合双打,观察选择结果。

2.10件产品中有4件次品,其余全是正品,从这10件产品中连续抽取产品,每次一件,直到抽到次品为止,记录抽出的正品件数。

二、有三位学生参加高考,以i A 表示第i 人考取(1,2,3i =).试用i A 表示以下事实: 1.至少有一个考取;2.至多64738291有两人考取;3.恰好有两人落榜。 三、投掷一枚硬币5次,问下列事件A 的逆事件A 是怎样的事件?

1. A 表示至少出现3次正面;

2. A 表示至多出现3次正面;

3. A 表示至少出现3次反面。 四、袋中有十个球,分别编有1至10共十个号码,从其中任取一个球,设事件A 表示“取得的球的号码是偶数”, 事件B 表示“取得的球的号码是奇数”, 事件C 表示“取得的球的号码小于5”,则,,,,,C A C AC A C A B AB ?-?分别表示什么事件?

五、在某系的学生中任选一名学生,令事件A 表示“被选出者是男生”;事件B 表示“被选出者是三年级学生”;事件C 表示“被选出者是运动员”。 (1)说出事件C AB 的含义;

(2)什么时候有恒等式C C B A = ; (3) 什么时候有关系式B C ?正确; (4)什么时候有等式B A =成立。

练习1.2 概率、古典概型

一、填空

1.已知事件A ,B 的概率()0.7,()0.6P A P B ==,积事件AB 的概率()0.4P AB =,则

()P A B ?= , ()P A B -= , ()P A B ?= ,

()P A B ?= ,()P AB = , ()P A AB ?= .

2. 设B A ,为两个事件,7.0)(=B P ,()0.3P AB =,则=+)(B A P .

3. 设B A ,为两个任意不相容事件,,则=-)(B A P .

4. 设B A ,为两个事件,

5.0)(=A P ,=-)(B A P 0.2,则=)(AB P . 5. 已知,41)()()(===C P B P A P =)(AB P 0,6

1

)()(==BC P AC P ,则C B A ,,全不发生的概率为 .

二、设B A ,是两事件,且()0.6P A =,()0.7P B =,求

(1) 在什么条件下,()P AB 取到最大值? (2) 在什么条件下,()P AB 取到最小值? 三、一批产品20件,其中3件次品,任取10件,求

(1) 其中恰有一件次品的概率;(2) 至少有一件次品的概率。

四、甲、乙两艘油轮驶向一个不能同时停泊两艘油轮的码头,它们都将在某日8时至20时抵达码头。甲轮卸完油要一小时,乙轮要两小时。假设每艘油轮在8时到20时的每一时刻抵达码头的可能性相同。

1.求甲乙两轮都不需等候空出码头的概率;

2.设A 表示甲、乙同一时刻抵达码头,问A 是否是不可能事件,并求()P A 。 五、某年级有10名大学生是1986年出生的,试求这10名大学生中

1.至少有两人是同一天生日的概率;

2.至少有一人在十月一日过生日的概率。 六、设,2

1

)()(=

=B P A P 求证:)()(B A P AB P = 七、设B A ,为两个事件,7.0)(=A P ,3.0)(=-B A P ,求)(AB P 。

练习1.3 条件概率、全概率公式

一、填空

1.设B A ,为两个事件,()P A a =,()P B b =,(|)P B A c =,且,,a b c 都是已知的小于1的正数,则=)(AB P ,()P A B ?= , ()P A B -= ,

(|)P AB = ,(|)P B A = , (|)P B A = .

2.设B A ,为两个事件,9.0)(=A P ,36.0)(=AB P ,则=)(B A P .

3. 设C B A ,,为一完备事件组,且5.0)(=A P ,7.0)(=B P ,则=)(C P ,=)(AB P .

4. 已知321,,A A A 为一完备事件组,1.0)(1=A P ,

5.0)(2=A P ,2.0)|(1=A B P ,

6.0)|(2=A B P ,1.0)|(3=A B P ,则=)|(1B A P .

5. 设,A B 为随机事件,且()0.92P A =,()0.93P B =,()0.85P B A =|,

则()P AB =| , ()P A B = .

二、一台电子仪器出厂时,使用寿命1000小时以上的概率为0.6,1500小时以上的概率为0.4,现已使用了1000小时,求还能使用500小时以上的概率。

三、有十箱产品,已知其中三、二、五箱分别是第一、第二、第三车间生产的,各车间的次品率分别是0.2,0.1,0.05,现在任取一箱,再从中任取一件:

1.求此件为次品的概率;

2.如果此件为次品,问是哪个车间生产的可能性最大? 四、人群中患肝癌的概率为0.0004.用血清甲胎蛋白法检查时,患有此病被确诊的概率为0.95,未患被误诊的概率为0.01.问普查时,任一人被此法诊断为肝癌患者的概率有多大 ??设此人被此法诊断为肝癌患者,问此人真患有肝癌的概率有多大?比未作检查时的概率增大了多少倍?

五、有两箱同型号的零件,A 箱内装50件,其中一等品10件;B 箱内装30件,其中一等品18件.装配工从两箱中任选一箱,从箱子中先后随机地取两个零件(不放回抽样)。求: (1)先取出的一件是一等品的概率;

(2)在先取出的一件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍是一等品的概率。 六、为了防止意外,在矿内同时装有两种报警系统(I )和(II ),每种系统单独使用时,系统(I )和系统(II )有效的概率分别为0.92和0.93.在系统(I )失灵的情况下,系统(II )仍有效的概率为0.85,求两个警报系统至少有一个有效的概率。

七、设一人群中有37.5%的人血型为A 型,20.9%为B 型, 33.7%为O 型,7.9%为AB 型,已知能允许输血的血型配对如下表,现在在人群中任选一人为输血者,再选 一人为需要输血者,问输血能成功的概率是多少?(V :允许输血;X :不允许输血)。

练习1.4 独立性

一、填空

1. 将一枚骰子独立地先后掷两次,以X 和Y 分别表示先后掷出的点数,设

A=X +Y =10{},B =X Y >{},则

(1)P(|)B A = ; (2) P(|)A B = ;(3)P()A B += 。 2.设B A ,为两个相互独立的事件,P()0.2A =,P(B)0.4=,则P()A B += 。 3. 1()P A =2()P()1/33P A A ==,123A A A ,,为相互独立的事件,则 (1)123A A A ,,至少出现一个的概率为 ; (2)123A A A ,,恰好出现一个的概率为 ; (3)1

23A A A ,,最多出现一个的概率为 。 4.设P()0.3A =,P()A B +=0.6,那么:(1)若B A ,为互不相容的事件,则P(B)= ;(2)若B A ,为相互独立的事件,则P(B)= ;(3)若A B ?,则P(B)= . 二、设5件产品中2件是次品3件是正品,对每件产品进行检验,令A 表示被检验到的那件产品是次品,则=)(A P 2/5, =)(A P 3/5.对一件产品作检验可看成一次试验,于是作了5次试验,据二项概率公式可知,事件A 恰好发生2次的概率为

3456.05352)2(3

225

5=??

?

????? ??=C P .因此这5件产品中恰有2件次品的概率为0.3456,另一方

面这5件产品恰有2件次品是已有的事实,因此其概率为1,从而1=0.3456,请找出理由推翻此“等式”。

三、甲、乙、丙三人各自去破译一个密码,他们能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,试求: (1) 恰有一人译出的概率;(2)密码能破译的概率。

四、某种电阻的次品率为0.01,作有放回抽样4次,每次一个电阻,求恰有2次取到次品的概率和至少有3次取到次的概率。

五、某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

六、加工某一零件共需要经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别是0.02,0.03,0.05,假设各道工序是互不影响的,问加工出来的零件是次品的概率是多少?

七、甲、乙两个篮球运动员,投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了3次,求二人进球数相等的概率。

八、若事件B A ,相互独立,证明,A B 也相互独立

自测题(第一章)

一、填空(每空2分)

1.几何概率中,每个样本点的发生具有 ,而样本点的个数是 。

2.若事件,A B ,则称,A B 互斥。 若又 ,则称,A B 互逆。

3.若事件,A B ,则()()()P A B P A P B ?=+,否则()()()P A B P A P B ?=+- .

4.设

,A B 为两事件且()0P A >,则 ()(|)P A P B A =,当,A B 时,

()()()

P AB P A P B =. 5.事件A 发生,而事件B 和C 至少发生一个这一事实可表示成 。事件A 发生,必导致事件B 和C 至少发生一个这一事实可表示成 。

6. A 表示投掷10次钱币时,至少出现4次正面,则A 表示 正面或 反面。

7.在图书馆任取一本书,设A ={是数学书},B ={是中文版的},C ={90年后出版的},则当图书馆里 时,有

A B C A ??=,当 时,有

()A B C φ-?≠.

二、判断正误(每小题3分)

1.若事件A 的概率()0P A =,则A φ=. ( )

2.对任两事件,A B ,有()()()

P A

B P A P A B -=-. ( )

3.若A ={男足球队员},则A ={女足球队员}。 ( )

4.若事件,A B 有关系A B ?,则()()P A P B ≥. ( )

5.若事件,,A B C 相互独立,则,,A B C 也相互独立。 ( )

6.口袋中有四个球,其中三个球分别是红、白、黄色的,另一个球染有红、白、黄三色。现从口袋中任取一球,观察其颜色。令A ={球染有红色},B ={球染有白色},C ={球染有黄色},那么事件,,A B C 相互独立。 ( ) 三、写出以下两个试验的样本空间(每小题5分)

1.10件产品有3件是次品,其余均是正品。每次从中任取一件(取后不放回),直到3件次品全取出为止,记录取的次数。

2.30名学生进行一次考试,观察平均成绩(个人成绩采用百分制)。 四、(12分)设两相互独立的事件,A B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,求()P A 。

五、(10分)一个班组有7男3女十名工人,现要派4人去学习,求4名代表中至少有2名女工的概率。

六、(10分)甲、乙、丙三人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,求此密码未被丙译出而甲、乙至少有一个译出的概率。

七、(12分)一种产品的正品率为0.96,使用一种简易方法检验时,将正品判为正品的概率为0.98,将次品误判为正品的概率为0.05。现任取一件用此法检验。

1.求此件被判为正品的概率;

2.当判为正品时,求此件确是正品的概率。

第二章 随机变量

练习2.1 随机变量及其分布函数

一、填空

1.随机变量X 的分布函数F(x)是事件 的概率。 2.用随机变量X 的分布函数F(x)表达下述概率: {}P X a ≤= ; {=}P X a = ;

{}P X a >= ; 12{}P x X x <≤= .

3.若2{}1P X x β≤=-,1{}1P X x α≥=-,其中12x x <,则12{}P x X x ≤<= . 二、分析下列函数中,哪个是随机变量X 的分布函数?

(1) 10,

21

(),2022,0x F x x x <-???=-≤

; (2) 2

0,0()sin ,01,x F x x x x ππ

1(),02211,2

x F x x x x ?

?

?=+≤

?

≥??.

三、设随机变量X 的分布函数有如下形式:2

1

,(1)()1(2),(3)

x F X x

x ?≤?=+??>?,试填上(1),(2),(3)项。 四、设随机变量X 的分布函数为(),()F x A B arctgx x =

+-∞<<∞ ,求(1)A 与B ;(2)

{11}P X -<≤.

练习2.2 离散型随机变量及其分布

一、填空

(1) 设随机变量X 的分布列为{}(1,2,,)ak

P X

k k N N

==

= ,则a = . (2)设随机变量X 的分布列为

则1

{

3}2

P X <≤= . (3)在一批10个零件中有8个标准件,从中任取2个零件,这2个零件中标准件的分布列是 . (4)已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个数值,其相应的概率依次为

1352,,,24816c c c c

,则c = .

(5)设随机变量X 的分布律为{},(0,1,2,)!

k

P X k a

k k λ=== ,0λ≥为常数,试确定a = .

二、设在15只同类型的零件中有2只是次品,在其中取3次,每次任取一只作不放回抽样,以X 表示取出的次品数,求X 的分布列。

三、某一设备由一个独立工作的元件构成,该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为0.1。试求出该设备在一次试验中发生故障的元件数X 的分布列。 四、1

{}(1(1)

P X n n n n ==

≥+为自然数)是一随机变量X 的概率分布吗?为什么?

五、一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明,在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1,求在同一时刻

(1)恰有2个设备被使用的概率;(2)至少有一个设备被使用的概率。

六、设每次射击击中目标的概率为0.001。如果射击5000次,试求击中两次或两次以上的概率。

七、有2500名同一年龄和同一社会阶层的人参加了保险了保险公司的人寿保险。在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可以保险公司领取2000元赔偿金,求: (1)保险公司亏本的概率;

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率。

练习2.3 连续型随机变量及其分布

一、填空

(1) 设随机变量X 的概率密度为

,

01;(),12;0,x x f x a x x ≤

其它。,则a = . (2)设2~(,)X

N μσ,且{}0.95P k X k μσμσ-<<+=,则k = 。

(3)设随机变量X 的概率密度2, 01;

()0, x x f x ≤≤?=?

?

其它。,则{0.30.7}P X <≤= 。

(4)设测量某一目标的距离时发生的随机误差为X (米),且2~(20,40)X N ,则在一次测

量中误差的绝对值不超过30米的概率为 。

(5)设电阻的阻值R 为一个随机变量,且均匀分布在900欧~1100欧,则R 的概率密度函数

为 ,分布函数为 。

(6)若随机变量X 的概率密度为2(1),11;()0, k x x f x ?--<<=??其它。

则k = ,

1

{}2

P X == , {02}P X <≤= , {02}P X ≤<= .

(7) 设X 服从正态分布2

(3,2)N ,则{25}P X <≤= , {27}P X -<<= ,若

{}{}P X c P X c >=≤,则c = .

(8)已知电气元件寿命X 服从指数分布:1000

1,0;()10000, 0x

e x

f x x -?>?

=??≤?

。假设仪器装有5个这

样元件且其中任一个元件损坏时仪器即停止工作,则仪器无故障工作1000小时以上的概率为 .

二、某学生求得一连续型随机变量的概率密度为cos , ;()220, x x f x ππ?

-<

=???其它。

试问该学生

计算是否正确。

三、连续型随机变量X 的概率密度为cos , 0;

()20, x x f x π?

<≤?=???其它。

试求分布函数()F x 及

{}42

P X ππ

<≤.

四、设随机变量X 的概率密度为||(),x f x Ae x -=-∞<<+∞.求(1)系数A ; (2)

{01}P X <<; (3) X 的分布函数。

五、设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(小时)都服从同一指数分布,概

率密度为600

1,0;()6000, 0x

e x

f x x -?>?

=??≤?

。试求在仪器使用的最初200小时内,至少有一只元件

损坏的概率。

六、设随机变量X 在[]25,上服从均匀分布,现对X 进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率。

七、设随机变量X 的概率密度函数为2,01,

1(),12,0,bx x f x x x <

=≤

试确定常数b ,并求其分布函数

院(系) 班 姓名 学号

练习2.4 随机变量函数的分布

一、填空

则1Y X =-的分布列为 。

2.设X 可能取值为1,2,,,,k 并设1{}2k

P X k ?

?== ???,令1,2;1,21

X n Y X n =?=?-=-?若若,

1,2,.n = 则Y 的分布列为 。

3.设X 的概率密度为()f x ,则3

Y X =的概率密度为 。 4.设X 的概率密度为2, 01,()0, .

x x f x <

?其它,则X

Y e -=的概率密度为 。

5.若n X X X ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一组简单随机样本,则

)(1

21n X X X n

X +++=

服从 。 6.设连续型随机变量X 的概率密度为???<≥=-.

0,0,

0,)(x x e x f x 则X 的函数X Y =

的概率密度

=)(y Y ?

二、设X ~2

(,)N μσ,求证35

X

Y =-

也服从正态分布。 三、测量球的直径,设其值服从[,]a b 上的均匀分布,求球的体积的分布密度。 四、设随机变量X 服从标准正态分布,求随机变量12||Y X =-的分布密度。 试求:(1) 12+=X Y ; (2) 2

X Y =的分布列。

六、设随机变量X 的概率密度为??

?<<=其它

,0,

10,2)(x x x f 求13+=X Y 的概率密度。

七、设随机变量X 的概率密度为?

??≤>+=,0,0,

0)],1(/[2)(2x x x x f X π求X Y ln =的概率密度。

自测题(第二章)

一、填空(每小题4分)

1.将一枚匀质硬币抛掷三次,设X 为三次中出现正面的次数,则{1}P X ≤= 。

2.设X 在[,]a b 内服从均匀分布,则X 落在[,]()a c c b <内的概率为 。

3.设X 的概率密度为sin , 0,

()0, ,

C x x f x π≤≤?=?

?其它则C = 。

4.设X 的分布函数为1, 0,

()0, 0,x e x F x x -?->=?≤?

则X 的概率密度为 。

5.若某电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,则每分钟恰有8次呼唤的概

率为 。

二、判断正误(每小题4分)

1.函数2

2

()()1x F x x x

=-∞<<+∞+一定是某一随机变量X 的分布函数; ( ) 2.设

则它必为某随机变量的分布列; ( )

3.设X 的分布密度为34, 0<1,()0, x x f x ?<=??

其它,则当0a ≤时,有{}{}P X a P X a >=<; ( )

4.若X ~2

(,)N μσ,则X Y μ

σ

-=

也是一随机变量,且Y ~(0,1)N ( )

三、(12分)设X ~0--1分布,其分布列为{1},{0}P X p P X q ====,其中1p q +=,求

X 的分布函数,并作出其图形。

四、(13分)设X 服从泊松分布,且{0}0.4P X ==,求{2}P X >.

五、(15分)设一支步枪击中飞机的概率为0.005,试求当1000支步枪同时开火时, 1.飞机被击中的概率;2. 飞机恰中一弹的概率。

六、(12分)随机变量X 在[,]a b 内的分布密度为()f x ,在[,]a b 外为0,求随机变量3Y X =的分布密度。

七、(12分)若随机变量X 在(1,6)内服从均匀分布,则方程2

10y Xy ++=有实根的概率为多大?

第三章 随机向量

练习3.1 二维随机向量及其分布

一、填空

1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为, 510,4(,)0, C x y f x y ≤≤≤

≤?=?

?

其它 ,则C = ;

2. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为(2)2, 0,0,

(,)0,

x y e x y f x y -+?>>=?

?其它 ,则{1}P X Y +≤= ;

3.设二维随机变量),(Y X 的分布函数为1, 0,0,

(,)0, x y x y e e e x y F x y ----?--+≥≥=??其它

,则

二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ;

4. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为222

20

(,)(16)(25)

f x y x y π=

++,则二维随机变量),(Y X 的分布函数为 ;

5.用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下述概率:

(1)=≤≤<},{c Y b X a P ; (2)=≤≤},{b Y a X P ; (3)=≤<}0{a Y P ; (4)=<>},{b Y a X P .

二、掷二枚硬币,以X 表示第一枚硬币出现正面的次数,Y 表示第二枚硬币出现正面的次数,试求二维随机变量),(Y X 的联合分布。

三、设二维随机变量),(Y X 的概率密度2, 01,0

2,(,)3

0,

xy

x x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其它 ,试求{1}P X Y +≥。

四、设二维随机变量),(Y X

的概率密度222222

( ,

(,)0, C R x y R f x y x y R

??+<=?+≥??,

求:(1) 系数C ; (2) ),(Y X 落在222

()x y r r R +≤<内的概率。

五、设随机变量的联合分布律如下表: 试求:(1)a 的值;(2)),(Y X 的联合分布函数(,)F x y .

练习3.2-3.3 二维随机变量的边缘分布和条件分布

一、设二维随机变量),(Y X 的概率密度22, 1,

(,)0, Cx y x y f x y ?≤≤=??其它

1. 试确定常数C ;

2. 求边缘概率密度。

二、设连续型随机变量),(Y X 在以原点为中心,各边平行于坐标轴,边长为2a 和2b 的矩形内服从均匀分布,求:

1. ),(Y X 的概率密度;

2.关于X 和Y 的边缘分布密度。

三、已知ξ的概率密度函数为1{}(0.3)(0.7),0,1k k P k k ξ-===,而且在0ξ=及1ξ=的条件下关于η的条件分布如下表:

试求:1. 二维随机变量(,)ξη的联合分布律; 2. 关于η的边缘分布;

3. 在3η≠的条件下关于ξ的条件分布律。 四、设随机变量(,)ξη的概率密度1, ||,01,

(,)0, y x x f x y <<

?其它

求条件概率密度

||(|),(|)f y x f x y ηξξη.

练习3.4 随机变量的独立性

一、填空

1.设),(Y X 的联合分布律如下表所示,则=),(q p 时,X 与Y 相互独立。

2. 离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为:

若X 与Y 独立,则=α ,=β 。 二、设),(Y X 的联合分布为

判断X 与Y 是否相互独立。

三、设),(Y X 的概率密度为:2

3, 0x<2,01,

(,)20, xy y f x y ?≤≤

试求关于X 与Y 的边

缘分布密度,且问X 与Y 是否相互独立。 四、设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为

若X 与Y 相互独立,求参数,,a b c 的值。 五、设),(Y X 为22:4G x y +≤上的均匀分布,求

1.关于X 与Y 的边缘分布密度;

2. 判断X 与Y 是否独立。

六、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,0.2)上服从均匀分布,Y 的概率密

度是55, 0,

()0, 0y Y e y f y -?>=?≤?y

1.求X 与Y 的联合分布密度;

2.求{}P Y X ≤.

练习3.5 两个随机变量的函数的分布

一、填空

1.设X 与Y 是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为)(),(y F x F Y X ,则

},max{Y X Z =的分布函数是 ,},min{Y X W =的分布函数是 。

2.设随机变量X 与Y 是相互独立,且),(~2

11σa N X ,),(~2

22σa N Y ,则Y X Z +=仍具有正态分布,且有~Z 。

3.已知随机变量)1,3(~-N X ,)1,2(~N Y ,且X 与Y 是相互独立的,72+-=Y X Z ,则~Z 。

二、设两个相互独立的随机变量X 与Y 的分布律分别为

求X Y +的分布律。

三、两个相互独立的均匀分布的随机变量X 与Y 的分布密度分别为:

1, 01,()0, X x f x ≤≤?=??其它 1, 01,

()0, Y y f y ≤≤?=?

?

其它 求Z X Y =+的概率密度。

四、设X 与Y 是相互独立的随机变量,它们分别服从参数为12,λλ的泊松分布,证明

Z X Y =+服从参数为12λλ+的泊松分布.

五、设随机变量(,)X Y 的分布密度为3, 0<1,0,

(,)0, x x y x f x y <<

,试求Z X Y

=-的分布函数和分布密度。

六、设随机变量(,)X Y 的分布密度为(2)2, 0,0,

(,)0, x y e x y f x y -+?>>=??

其它 ,求2Z X Y =+的

分布函数。

七、设随机变量X 与Y 相互独立,且服从同一分布,证明:

22{min{,}}[{}][{}]P a X Y b P X a P Y b <≤=>->

八、设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从)20,160(2

N 分布,随机地选取4只,求其中没有一只寿命小于180

的概率。

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