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2006数学考研真题(一)

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)0

ln(1)lim

1cos x x x x

→+=-.

(2)微分方程(1)y x y x

-'=的通解是 .

(3)

设

∑是锥

面

z =

(01z ≤≤)的下侧,则

23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

++-=?? .

(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .

(5)设矩阵2

112??

?-??

A ,E 为2阶单位矩阵,矩阵

B 满足2=+BA B E ,则B = .

(6)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则

{}max{,}1P X Y ≤= .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在0x 处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则

(A)0dx y <

(D)0dy y

(8)设(,)f x y 为连续函数,则

400

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ?

?等于

(A)0(,)x

dx f x y dy ?

(B)00

(,)dx f x y dy ?

f x y dx ?

(,)f x y dx ?

(9)若级数1

n n a ∞

=∑收敛,则级数

(A)1n n a ∞

=∑收敛

(B)1(1)n n n a ∞

=-∑收敛

n n n a a ∞

+=∑收敛

(D)1

n n n a a ∞

+=+∑

收敛

(10)设(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数,且1

(,)0y x y ?≠.已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点,下列选项正确的是

(A)若00(,)0x f x y '=,则00(,)0y f x y '=

(B)

若

00(,)0

x f x y '=,则

00(,)0y f x y '≠

(C)若00(,)0x f x y '≠,则00(,)0y f x y '=

(D)

若

00(,)0

x f x y '≠,则

00(,)0y f x y '≠

(11)设12,,,,s ααα 均为n 维列向量,A 是m n ?矩阵,下列选项正确的是 (A)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (B)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关

(C)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (D)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关.

(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2

列得C ,记1100

1000

1??

?= ? ??

P ,则 (A)1-=C P AP (B)1-=C PAP

(C)T =C P AP

(D)T =C PAP

(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有

(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >

(C)()()P A B P A =

(D)()()P A B P B =

(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布2

22(,)N μσ,

且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则

(A)12σσ< (B)12σσ>

(D)12μμ>

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分) 设区域D=

(){}

2,1,0x y x

y x +≤≥,计算二重积分2

11D

xy I dxdy x y

+=++??

(16)(本题满分12分)

设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. 求:(1)证明lim n x x →∞

存在,并求之.

(2)计算2

1lim n x n x n x x +→∞

?? ???

. (17)(本题满分12分) 将函数()2

2x f x x x

+-展开成x 的幂级数.

(18)(本题满分12分) 设函数

()()0,,f u +∞在内具有二阶导数

且

z f

=满足等式

222

0z z x

??+

=??.

(1)验证()()0f u f u u

'''+

(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式. (19)(本题满分12分)

设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有

()()2,,f tx ty t f x y =.

证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ,都有

(,)(,)L

f x y d x x f x y d y

-=? . (20)(本题满分9分)

已知非齐次线性方程组

123412341

2341435131

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??++-=? 有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T

=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.

(1)求A 的特征值与特征向量.

(2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T

=Q AQ A . (22)(本题满分9分)

随机变量x 的概率密度为()()2

,1021,02,,4

0,令其它x x f x x y x F x y ?-<

(,)X Y 的分布函数.

(1)求Y 的概率密度()Y f y . (2)1,42F ??

???

. (23)(本题满分9分)

设总体X 的概率密度为(,0)F X = 10

θ- 0112x x <<≤<其它

,其中θ是未知参数

(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1

的个数,求θ的最大似然估计.

2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析

一、填空题（1）0

ln(1)lim

1cos x x x x

→+-= 2 .

221

cos 1,)1ln(x x

x x -+ （0x →当时）

（2）微分方程(1)y x y x

-'=

的通解是(0)x

y cxe x -=≠，这是变量可分离方程.

（3）设∑

是锥面1)Z ≤≤的下侧，则

23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑

++-=

补一个曲面221

:1x y z ?+≤∑?=?

1上侧

,2,3(1)P x Q y R z ===-

1236P Q R x

???+

+=++=???

∴

6dxdydz ∑

∑Ω

+=??

?????（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）

6V =（V 为上述圆锥体体积）

623

π=?

而1

23(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑?++-=??

（∵在1∑上：1,0z dz ==）

（4

）,1,0,450x y z d ++==

点(2)到平面3的距离

d =

(5)设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .

-1 2

解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得

|B ||A -E |=|2E |=4,

计算出|A -E |=2,因此|B |=2. （6）

二、选择题

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分.若0>?x ，则[A]

0)(0)(0)(0)(

()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的

y dy x ?<<>?0,0故又

000

(8)(,)(cos ,sin )[C]

(A)(,)(B)(,)x

f x y d f r r rdr f x y dy f x y dy π

θθθ????

??40

设为连续函数,则等于

(C)(,)(D)(,)y

dy f x y dx

f x y dx ?

111

(9)[D]

()()(1)()()()

n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a ∞

=∞

∞

==∞

∞

+++===-+∑∑∑∑∑

∑ 若级数收敛,则级数

收敛

也收敛

00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ???'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D](A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0

(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)

(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0

(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)

(,)0x x x y y y y y x

y x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλ?λ?λ????λ??≠+'''?+=?

'''+=??'

=?'''''≠∴=-='''≠)0

构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0

[]

y f x y D '≠则故选 (11)设α1,α2,…,αs 都是n 维向量，A 是m ?n 矩阵，则（）成立.

(A) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (B) 若α1,α2,…,αs 线性相关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. (C) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性相关. (D) 若α1,α2,…,αs 线性无关,则A α1,A α2,…,A αs 线性无关. 解: (A)

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若α1,α2,…,αs 线性相关,则存在不全为0的数c 1,c 2,…,c s 使得

c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,

用A 左乘等式两边,得

c 1A α1+c 2A α2+…+c s A αs =0,

于是A α1,A α2,…,A αs 线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是: 1. α1,α2,…,αs 线性无关? r(α1,α2,…,αs )=s. 2. r(AB )≤ r(B ).

矩阵(A α1,A α2,…,A αs )=A ( α1, α2,…,αs ),因此

r(A α1,A α2,…,A αs )≤ r(α1, α2,…,αs ).

由此马上可判断答案应该为(A).

(12设A 是3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得C .记 1 1 0

P = 0 1 0 ,则 0 0 1

(A) C =P -1AP . (B) C =PAP -1

解: (B)

用初等矩阵在乘法中的作用得出

B =PA ,

1 -1 0

C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1. 0 0 1

（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B)

P(A ?B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A) 应选C （14）依题：

).1,0(~),

10(~2

N Y N x σμσμ--， ,1}1{11

11?

?-=<-σσμμX P X P .1}1{2222???

??<-=<-σσμμY P Y P 因 },1{}1{21<-><-μμY P X P

即 .11222111???

??<->??????<-σσμσσμY P X p 所以

.,1

212

σσσσ<>

应选A

三、解答题

{}

222

1(15)(,)1,0,1:0

11ln(1)

ln 2

112

xy D x y x y x I dxdy

x y

xy dxdy x y

r I dxdy d dr r x y

r π

ππ

θ-+=+≤≥=++=++===

+++??

?? 设区域计算二重积分解

{}{}{}2111

12121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim(

)

:(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n

n n n n n x n n n

n n n n n n n n x x x x n x x x x x x n x x x x x x x A π+→∞

+→∞

<<===∴<≤≥=≤≥∴= 设数列满足求

证明存在,并求之

计算解因此当时单调减少

又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得

sin ,0A A A =∴=

sin (2)lim(

),n

x n n n

x x ∞→∞

原式=为"1"型

离散型不能直接用洛必达法则 2

sin lim

ln(

sin lim(

)t t

t t t t e

→→=先考虑

23232

11(cos sin )

1110()0()lim 26cos sin sin 1262lim

lim

226

t t t t t t t t t t t t t t t

t t t t

→→→????--+--+????-????-????

=====

(17)()2x f x x x x

=+-将函数展开成的幂极数 ()(2)(1)21x

B f x x x x

+-+-+解:

2(1)(2)2,32,3

A x

B x x x A A ++-====

令

11,

31,

3x B B =-=-=-

令

)]

(1[1

)

1(13

)

1(13

1)2(132)(x x

x x x f --?

1000

11()(1)(1),132332n

n n

n n n n x

x x x ∞

∞

+===??=

--=+-

（18）设函数()(0,)f u +∞在

内具有二阶导数，且Z f

=满足等式

222

0z z x

??+

=??

（I ）验证

()()0f u f u u

'''+

（II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式证：（I

）

z z f f x

??'

==??

(

)

z x

f f x

?''

=+?++

(

)

()

232

x y f f x

'''

=+++

(

)

()

z y x f f y

?''

=+?++同理

222

200

()

()0z z f x y f u f u u

??''

+=+

=??'''∴+

=代入

得成立

（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p

'==-

=-+??

则

ln ln ,()c p u c f u p u

'=-+∴==

22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+=== 由得于是

（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2

(,)(,)f tx ty t

f x y -=

证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，

都有0),(),(=-?

dy y x xf dx y x yf L

证：把2

(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导

得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-

所给曲线积分等于0的充分必要条件为

Q P x

??=

今

(,)(,)x Q f x y x f x y x ?'=--?

(,)(,)y P f x y y f x

y y

?'=+

? 要求

Q P x

??=

??成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=-

我们已经证明，Q P x

??∴

??，于是结论成立.

(20)已知非齐次线性方程组 x 1+x 2+x 3+x 4=-1, 4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，

a x 1+x 2+3x 3+bx 4=1 有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.

解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.

又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.

② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,

a 1 3

b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:

1 0

2 -4 2 → 0 1 -1 5 -

3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，

求出一个特解(2,-3,0,0)T

和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T

,(4,-5,0,1) T

.得到方程组的通解:

(2,-3,0,0)T

+c 1(-2,1,1,0)T

+c 2(4,-5,0,1)T

, c 1,c 2任意.

(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T

, α2=(0,-1,1)T

都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量. ② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T

AQ =Λ.

解:① 条件说明A (1,1,1)T

=(3,3,3)T

,即 α0=(1,1,1)T

是A 的特征向量,特征值为3.又

α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征

值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.

属于3的特征向量:c α0, c ≠0.

属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0. ② 将α0单位化,得η0=(

3)T

对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-

2)T

, η2=(-

6)T

作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且

3 0 0

Q T AQ =Q -1

AQ = 0 0 0 . 0 0 0

（22）随机变量X 的概率密度为????

?????<≤<<-=其他,020,4

01,21

)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随

机变量）（Y X ,的分布函数. （Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,2

1(-F

解：

（Ⅰ）???

????

≤<≤<≤<=≤=≤=y y y y y X

P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2

式式

≤≤-=-y

y y dx dx y X y P 00

1)()1(式；

≤≤-=-y

y dx dx y X y P 0

1214

)()2(式.

所以：????

?????<≤<<==其他,041,8110,83

)()('

y y y y y F y f Y Y

这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型. （Ⅱ）

)

4,2

1(-F )

2()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P 4

?--dx .

（23）设总体X 的概率密度为??

??≤≤-<<=其他,021,11

0,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）.

n X X X ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x ,,21中小于1的个数.求θ

的最大似然估计.

解：对样本n x x x ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x ,,21<1，

pn pN pN x x x ,,21++≥1.

似然函数?

??≥<-=++-其他，,01,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L θθθ，

在pN p p x x x ,,21<1，pn pN pN x x x ,,21++≥1时，

)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，

01)(ln =---

θN n N

d L d ，所以n

N =

最大θ.

2005年考研数学一真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线1

22+=

x x y 的斜渐近线方程为 _____________.

（2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足9

1)1(-

=y 的解为. ____________.

（3）设函数18

1),,(222z y x z y x u +

=，单位向量}1,1,1{3

n ，则

)

3,2,1(n

u ??=.________.

（4）设Ω是由锥面22y x z +=

与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是

Ω的整个边界的外侧，则??∑

=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.

（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵

),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B ..

（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则

}2{=Y P =____________.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）设函数n n

n x

x f 31lim )(+=∞

→，则f(x)在),(+∞-∞内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有

(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]

（9）设函数?

+-+

-++=y

x y

x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数，

ψ 具有一阶导数，则必有

(A)

u x

u ??-

=??. （B ）

u x

u ??=

??.

(C)

22y u y

x u ??=

???. (D)

22x u y

x u ??=

???. [ ]

（10）设有三元方程1ln =+-xz

e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个

邻域，在此邻域内该方程

(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).

(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).

(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ ]

（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，

)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是

(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, *

,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则

(A) 交换*

A 的第1列与第2列得*

B . (B) 交换*

A 的第1行与第2行得*

B . (C) 交换*

A 的第1列与第2列得*

B -. (D) 交换*

A 的第1行与第2行得*

B -.

[ ]

（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a

1 b 0.1

已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则

(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1

S 为样本方差，则

(A) )1,0(~N X n (B) ).(~2

n nS χ (C)

)1(~)1(--n t S

X n (D)

).1,1(~)1(2

1--∑=n F X

X n n

i i

[ ]

三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设}0,0,2),{(2

≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最

大整数. 计算二重积分

??++D

dxdy y x xy .]1[2

2 （16）（本题满分12分）求幂级数∑∞

=--+

-121

))

12(11()

1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

'''+3

2.)()(dx x f x x

（18）（本题满分12分）

已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；

（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f （19）（本题满分12分）

设函数)(y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分

++L

x xydy

dx y 4

22)(?的值恒为同一常数.

（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(4

=++?C

x x y d y

dx y ?；

（II ）求函数)(y ?的表达式. （20）（本题满分9分）

已知二次型212

32221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. （I ）求a 的值；

（II ）求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ）求方程),,(321x x x f =0的解. （21）（本题满分9分）

已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵????

??=k B 6

642321

（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解..

（22）（本题满分9分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

,20,10,

0,1),(其他x y x y x f <<<

求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z （23）（本题满分9分）

设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记

.,,2,1,n i X Y i i =-=

求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov

2006年考研数学三真题与答案

2006年考研数学三真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)。【答案】【解析】【方法一】记因为且故。【方法二】而为有界变量，则原式。综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可导，且则。【答案】。【解析】本题主要考查复合函数求导。由知

综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数 (3)设函数可微，且则在点处的全微分。【答案】【解析】因为 , 所以。综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分 (4)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。【答案】2。【解析】因为，所以。综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—矩阵的线性运算 (5)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。【答案】。【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体的概率密度为为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。【答案】【解析】综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的

大学历年考研真题-2006年全国硕士研究生入学统一考试(数三)试题及答案

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006考研数学三真题及答案解析

2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

考研数学三真题2006

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上. (1) _________. (2) 设函数在的某邻域内可导，且，则_________. (3) 设函数可微，且，则在点处的全微分 _________. (4) 设矩阵，为阶单位矩阵，矩阵B 满足，则 _________. (5) 设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 _______. (6) 设总体的概率密度为n X X X ,,21 ，为总体的简单随机样本，其样本方差，则 =_________. 二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则：（） (A) (B) (C) (D) (8) 设函数在处连续，且，则：（） (A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D) 存在 (9) 若级数收敛，则级数：（） (A) 收敛 (B) 收敛 (C) 收敛 (D) 收敛

(10) 设非齐次线性微分方程有两个的解为任意常数，则该方程的通解是： (A) (B) (C) (D) (11) 设均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是：（） (A) 若(B) 若 (C) 若(D) 若 (12) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是：（） (A) 若线性相关，则线性相关 (B) 若线性相关，则线性无关 (C) 若线性无关，则线性相关 (D) 若线性无关，则线性无关 (13) 设为阶矩阵，将的第行加到第行得，再将的第列的倍加到第列得，记，则：（） (A) (B) (C) (D) . (14) 设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则必有：（） (A) (B) (C) (D) 三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2006考研数二真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 (2) 设函数2 301sin ,0 (),0x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在0x =处连续，则a = (3) 广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? (4) 微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 (5) 设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则 x dy dx == (6) 设2112A ?? = ?- ?? ,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+,则B = . 二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0, f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x >，则( ) (A)0dy y << (B)0y dy << (C)0y dy << (D)0dy y << (8) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0 ()x f t dt ?是( ) (A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数 (C)在0x =间断的奇函数 (D)在0x =间断的偶函数 (9) 设函数()g x 可微，1() (),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( ) (A)ln 31- (B)ln 31-- (C)ln 21-- (D)ln 21- (10) 函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( ) (A)23x y y y xe '''--= (B)23x y y y e '''--= (C)23x y y y xe '''+-= (D)23x y y y e '''+-=

2000年-2016年考研数学一历年真题完整版(Word版)

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? =_____________. (2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________. (4)已知方程组12312 112323120x a x a x ????????????+=????????????-?????? 无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有 (A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)1 4S S xdS xdS =???? (B)1 4S S ydS xdS =???? (C) 1 4S S zdS xdS =???? (D) 1 4S S xyzdS xyzdS =???? (3)设级数 1 n n u ∞ =∑收敛,则必收敛的级数为 (A)1 (1)n n n u n ∞ =-∑ (B) 2 1 n n u ∞ =∑ (C) 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑ (D) 11 ()n n n u u ∞ +=+∑ (4)设n 维列向量组1,,()m m n <αα 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组1,,m αα 可由向量组1,,m ββ 线性表示

考研数学二真题及答案解析

2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1) xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（A ）0.dy y <

2006数学三考研试题和答案

2006年数学三试题分析、详解和评注一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''= （3 微分(1,2d z （4）（5）{P （6）的简（7）0处的(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

（9）若级数 1n n a ∞ =∑收敛，则级数 (A) 1n n a ∞ =∑收敛 . （B ） 1 (1) n n n a ∞ =-∑收敛. (C) 11 n n n a a ∞ +=∑收敛. (D) 1 1 2n n n a a ∞ +=+∑ 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程的通解是（Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2 列得C ，记110010001P ?? ? = ? ??? ，则

2006考研数学三真题及答案

2006考研数学三真题及答案一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） ()11lim ______. n n n n -→∞+??= ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且 ()() e f x f x '=， ()21 f =，则 ()2____. f '''= （3）设函数()f u 可微,且 ()1 02f '= ,则 ()22 4z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ?? = ? -??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间 []0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤= _______. （6）设总体X 的概率密度为 ()()121,,, ,2x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006年考研数学二真题答案解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 15 y = 4sin 11lim lim 5 5x x x x y x →∞→∞+ ==- （2）设函数2 30 1sin , 0(),0 x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在x =0处连续，则a = 13 2200()1 lim ()lim 33 x x sm x f x x →→== （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? 12 2222220 1 (1)11 11 0(1)2 (1)2(1) 22 xdx d x x x x +∞+∞ +∞ += =-? =+ =+++? ? （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是x y cxe -=)0(≠x （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 x dy dx ==e - 当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=-- 01 (1)1x x y y y y y e y xe e y e xe ==='' +=-=- =-+ (6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= . -1 2 解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得 |B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ?与分别为在点处对应增量与微分,若0x ?>，则[A] （A ）0dy y <

00年考研数学一真题及答案

2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)。【答案】2。【解析】等价无穷小代换：当时，所以综上所述，本题正确答案是2。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2)微分方程的通解为__________。【答案】，为任意常数。【解析】原式等价于（两边积分）即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (3)设是锥面的下侧，则。【答案】。

【解析】设，取上侧，则而所以综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算 (4)点(2,1,0)到平面的距离。【答案】。【解析】点到平面的距离公式：其中为点的坐标，为平面方程所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离 (5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。【答案】2。【解析】因为，所以。综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算 (6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 ___________。【答案】。【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出

综上所述，本题正确答案是。【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】A。【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得

2019年考研数学三真题及解析

2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121 ,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006年全国考研数学二真题及答案.doc

2006年考研数学二真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）。 (1)曲线的水平渐近线方程为_________ 【答案】。【解析】故曲线的水平渐近线方程为。综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (2)设函数在处连续，则_________ 。【答案】。【解析】. 综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性。 (3)反常积分_________ 【答案】。【解析】

综上所述，本题正确答案是【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分。 (4)微分方程的通解为__________ 【答案】，为任意常数。【解析】即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程。(5)设函数由方程确定，则__________ 【答案】。【解析】等式两边对求导得将代入方程可得。将代入，得. 综上所述，本题正确答案是。【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 (6)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，。则___________ 【答案】2。【解析】

因为，所以。综上所述，本题正确答案是。【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理二、填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A)(B) (C)(C) 【答案】A。【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】

2006年考研数学一真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题（1）0ln(1) lim 1cos x x x x →+= -. （2）微分方程(1) y x y x -'=的通解是 . （3）设∑是锥面22z x y =+（01z ≤≤）的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑ ++-=?? . （4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . （5）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = 16 . （6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 {}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则（A ）0.dx y <

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______. n n n n -→∞ +??= ? ?? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102 f '=,则() 2 24z f x y =-在点(1,2)处的全微分( ) 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ??= ? -?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足 2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0 x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

2006年考研数学三真题及解析

2006年考研数学(三)真题、填空题：1 — 6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上 (2)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f '(x ) = e f (x ), f(2)=1，则f "'(2)= _____________ 1 f(u)可微且「(0)=?,则Z = f (4x 2 -y 2 )在点(1,2)处的全微分dz (4)设矩阵A = '2 1 , E 为2阶单位矩阵，矩阵 B 满足BA=B + 2E ，贝U B = 厂 1 2丿勺 (5)设随机变量X 与丫相互独立，且均服从区间 b,3 ］上的均匀分布，则 p{max (X,Y}兰1 = ________ 1 I (6) 设总体X 的概率密度为f x e*：::x ，川，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，则ES 2 = ___________ . 二、选择题：7— 14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 . (7) 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f (x) ? 0, f (x) ? 0 , 为自变量x 在点x 0处的增量，逍与dy 分别为f (x)在点X 。处对应的增量与微分，若 x ?0,则 (8)设函数f x 在x = 0处连续，且lim 1^=1，则 t h 2 (1) lim (3)设函数 ,2 (A) 0 :: dy ： -y . (B) 0 ： y < dy . (C) y ■■■ dy < 0 . (D) dy ：： y ：： 0 (A) f 0 =0且仁0存在 (B) f 0 =1且f_ 0 存在 (C) f 0 =0且f 0存在 (D) f 0 二 1且f 0 存在 []

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学真题数一

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．（1）=-+→x x x x cos 1) 1ln(lim ______．【答案】2 【考点】等价无穷小【难易度】★★ 【详解】解析：0x →时21ln(1),1cos 2 x x x x +-:: , 由等价无穷小知：2 002 ln(1)lim lim 11cos 2 x x x x x x x →→+=-=2 （2）微分方程x x y y ) 1('-= 的通解是______．【答案】(0)x y cxe x -=≠，其中c 为?常数【考点】变量可分离的微分方程【难易度】★★★ 【详解】解析：分离变量得 dx x dx x x y dy )11(1-=-=，积分得1ln ln y x x c =-+ 去掉对数及绝对值符号，得1 ln||(0)x x c x y e cxe x -+-==≠ （3）设∑是锥面)10(22≤≤+=z y x z 的下侧，则=-++??y x z x z y z y x Σ d d )1(3d d 2d d ______．【答案】2π 【考点】高斯公式【难易度】★★★ 【详解】解析：补一个曲面221 :1 x y z ?+≤∑?=?1上侧设, 2,3(1)P x Q y R z ===- 1236P Q R x y z ???++=++=???

∴ 1 23(1)23(1)xdydz ydzdx z dxdy xdydz ydzdx z dxdy ∑ ∑++-+++-???? = 6dxdydz Ω ???（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域） 6V =（V 为上述圆锥体体积） 623 π π=? = 而1 23(1)0xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=??（Q 在1∑上：1,0z dz ==）故 ππ202d d )1(3d d 2d d =-=-++??y x z x z y z y x Σ . （4）点（2，1，0）到平面3x ＋4y ＋5z ＝0的距离d ＝______．【考点】点到平面的距离【难易度】★★ 【详解】点000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离 d = 解析：按点到平面的距离公式得 250 10 543|051423|2 22== ++?+?+?= d ．（5）设矩阵??? ? ??-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =______．【答案】2 【考点】抽象型行列式的计算【难易度】★★ 【详解】解析：由2BA B E =+化得()2B A E E -=,两边取行列式,得()24B A E E -==, 计算出()2A E -=,因此2B =. （6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=______．【答案】 19 【考点】连续型随机变量分布函数的计算【难易度】★★

1989考研数三真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点12 2,π π??+ ???处的切线方程是__ _ . (2) 幂级数 n n ∞ =的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组 1231231 230,0,0 x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=? 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为 ()00sin 0212 ,x ,F x A x, x ,,x , π π ? ? ?? 则A =__________,6P X π? ?<=??? ? . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ . 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()232x x f x ,=+-则当0x →时 ( ) (A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A) ()()f x dx f x '=? (B) ()()df x f x =? (C) ()()d f x dx f x dx =? (D) ()()d f x dx f x =? (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( ) (A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例