2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷及答案
2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷
一 试
一、填空题（每题8分，满分64分） 1、随机抛掷3颗大小、质地相同的正方体骰子，在3颗骰子所示数字中最小值是3的概率是 。 2、关于x 的方程0422
2
=-+-a a ax x 有模为3的虚数根，则实数a 的值是 。 3、已知正项数列{}n a 的首项为1，且对一切正整数n 都有121)1()(+++=-n n n n a n a na a ， 则数列的通项公式n a = 。
4、设以)0,1(),0,1(21F F -为焦点的椭圆的离心率为e ，以1F 为顶点，2F 为焦点的抛物线与椭圆 的一个交点为P 。若
e PF PF =2
1，则e 的值为 。
5、设实数b a ,满足8,0≤≤b a ，且2
2
16a b +=，则a b -的最大值与最小值之和是 。 6、函数()R x x x x f ∈+=2sin cos 2)(的值域是 。
7、正四棱锥P —ABCD 外接于一个半径为1的球面，若球心到四棱锥各个面的距离相等，则此四棱 锥的底面面积为 。
8、已知△ABC 的外心为O ，内心为I ，∠B=45°.若O I ∥BC ，则C cos 的值是 。 二、解答题（本题16分）
设等比数列k a a a ,,,21 和k b b b ,,,21 ，记k n b a c n n n ,,2,1, =-=。 ⑴写出一组321,,a a a 和321,,b b b ，使得321,,c c c 是公差不为0的等差数列； ⑵当4≥k 时，求证：{}n c 不可能为公差不为0的等差数列。
三、解答题（本题满分20分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆118
27:
2
2=+y x C 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点。试问在x 轴上是否存在定点P ，使得当直线l 绕点F 旋转时，都有PB PA ?为定值。
四、解答题（本题满分20分）
设多项式c bx ax x x f +++=2
3
)(，其中c b a ,,是实数。若对于任意的非负实数y x ,有
)()()(y f x f y x f +≥+，求c b a ,,所满足的条件。
A 2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛
加 试
一、（本题满分 40 分）
如图，E 、F 分别是△ABC ，△ACD 的内心，AC 平分∠BAD ，AC 2 ＝AB · AD ， 延长EC 交△CDF 的外接圆于点 K ，延长 FC 交△BCE 的外接圆于点 R ．若 RK ∥EF ， 求证：点 A 是△BCD 的外心．
二、 （本题满分 40 分）
求所有的正整数 n ，使得对于任意正实数 a 、b 、c 满足 a ＋b ＋c ＝1，有abc(a n ＋b n ＋c n )?2
31 n
三、（本题满分50 分）
设n 为正整数，求满足以下条件的三元正整数组〈a，b，c〉的个数：
（1）ab＝n；（2）1?c?b；
（3）a、b、c 的最大公约数为1．
四、（本题满分50 分）
设a、b、c、d、e 为正实数，且a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝2．若5个正三角形的面积分别为a2，b2，c2，d2，e2．求证：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为1的正三角形ABC．
A
2015年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试卷答案
一试：
一、1、；2、a ＝2―13；3、a n ＝ 1/n ；4、33
；5、3412-；6、??
????-233,233 7、424-；8、2
2
1-
二、解： （1）a 1 ＝4，a 2 ＝8，a 3 ＝16；b 1 ＝1，b 2 ＝3，b 3 ＝9，则 c 1 ＝3，c 2 ＝5，c 3 ＝7． ……… 6 分
（2）设 a n ＝ap n ，b n ＝bq n ，则 c n ＝ap n －bq n ． 假设{c n }是公差非 0 的等差数列，
则由 2c n ＋ 1 ＝c n ＋c n ＋ 2 得 ap n (p －1) 2 ＝bq n (q －1) 2 ． ………………………… 10 分 当 k ?4 时，n 可取 1，2，
所以有 ap(p －1) 2 ＝bq(q －1) 2 ，ap 2 (p －1) 2 ＝bq 2 (q －1) 2 ． 解得 p ＝q ．于是
当 p ＝q ≠1 时，则 a ＝b ，从而 c 1 ＝c 2 ＝…＝c k ＝0． 当 p ＝q ＝1 时，则c 1 ＝c 2 ＝…＝c k ＝a －b ． 又数列{c n }是公差不为 0 的等差数列，矛盾． 故命题成立． ………………………… 16 分
三、定点 P(4，0) 四、R b c c a ∈≤≥
,092
33
加试
一、证明：如图，连接 ER ，FK ．
因为∠BAC ＝∠CAD ，AC 2 ＝AB · AD ， 所以△ABC ∽△ADC ，∠ABC ＝∠ACD ．
又∠EBC ＝21∠ABC ，∠ACF ＝2
1
∠ACD ，
所以∠EBC ＝∠ACF.
由∠EBC ＝∠ERC 得，∠ERC ＝∠ACF ， 所以 ER ∥AC ． 同理 FK ∥AC ，
于是 ER ∥FK ． ………………………… 20 分 又因为 RK ∥EF ，
所以四边形 EFKR 为平行四边形，从而 ER ＝FK ． 因为 ER ∥AC ，所以∠REC ＝∠ECA ＝∠ECB ． 又因为∠EBC ＝∠ERC ，EC ＝EC ，
同理，CD ＝FK ，所以 BC ＝CD ． 由
1===BC
CD
AC AD AB AC ，得△ABC ≌△ADC ，于是 AB ＝AC ＝AD ， 即 A 为△BCD 外接圆的外心． ………………………… 40 分 二、解： （1）当 n ?3 时，取 a ＝
32，b ＝c ＝61则 abc(a n ＋b n ＋c n )＝331+n ??? ?
?++-n n n 212121 所以 n ?3 不满足题意．………………………… 10 分
（2）当 n ＝1 时，abc(a ＋b ＋c)＝abc ?3
3??
?
??++c b a ?331，所以 n ＝1 时，满足题意．
………………………… 20 分
（3）当 n ＝2 时，原不等式也成立．
令 x ＝ab ＋bc ＋ca ，则 a 2＋b 2＋c 2＝1－2x ，
由(ab ＋bc ＋ca)2?3abc(a ＋b ＋c)，得 3abc ?x 2 ． 于是，abc(a 2＋b 2＋c 2)?
)21(312x x -因此 0＜x ＜21，从而)21(3
12x x -?4
3
3132131=??
? ??-++?x x x 即 abc(a 2＋b 2＋c 2
)?)21(312x x -?431…………… 40 分
三、解：用(a ，b ，c)表示 a 、b 、c 的最大公约数．
令 S n ＝{〈a ，b ，c 〉| a 、b 、c 为正整数，ab ＝n ，1?c ?b ，(a ，b ，c)＝1}， 记 S n 中元素的个数为 f(n) (n ∈N * )．显然 f(1)＝1．
①如果 n ＝p α ，其中 p 为素数，α?1．设〈a ，b ，c 〉∈Sn ， 若 b ＝1，则 a ＝p α，c ＝1； 若 b ＝p t ，1?t ?α－1，则 a ＝t
p
-α，(c ，p)＝1，1?c ?b ；
若 b ＝p α ，则 a ＝1，1?c ?b ．因此，f(p α )＝a a a t a
t
p p p
p +=++
--=∑11
1
)(1?
(这里 φ(x)为 Euler 函数)．……………………………… 20 分 ②下证：如果 m ，n 为互素的正整数，那么 f(mn)＝f(m)·f(n)． 首先，对每个〈a ，b ，c 〉∈Smn ．由于ab ＝mn ． 令 b 1 ＝(b ，n)，b 2＝(b ，m)，那么(b 1，b 2)＝1，
再令a 1＝(a ，n)，a 2＝(a ，m)， 那么(a 1，a 2)＝1，而且a 1b 1＝n ，a 2b 2＝m ．
因为 1＝(a ，b ，c)＝(a 1a 2，b 1b 2，c)＝((a 1a 2，b 1b 2 )，c)＝((a 1，a 2)·(b 1，b 2)，c)． 那么(a 1，b 1，c)＝1，(a 2，b 2，c)＝1，令 c i ≡c(modb i )，1?c i ?b i ，i ＝1，2． 那么(a 1，b 1，c 1)＝1，(a 2，b 2，c 2)＝1，因此，〈a 1，b 1，c 1〉∈S n ，〈a 2，b 2，c 2〉∈S m ． ……………………………… 30 分
令 a ＝a 1a 2，b ＝b 1b 2．由于(m ，n)＝1，从而(b 1，b 2)＝1．
由中国剩余定理，存在唯一的整数 c ，1?c ?b ，满足c ≡c 1 (modb 1 )，c ≡c 2 (modb 2 ) ． ……………………………… 40 分
显然(a 2，b 2，c)＝(a 1，b 1，c 1)＝1，(a 2，b 2，c)＝(a 2，b 2，c 2)＝1，
从而(a ，b ，c)＝((a ，b)，c)＝((a 1，b 1 )( a 2，b 2)，c)＝(a 1，b 1，c) (a 2，b 2，c)＝1． 因此，〈a ，b ，c 〉∈S mn ．所以，f(mn)＝f(m)·f(n)． 利用①②可知，f(n)＝n Πp|n (1＋
p
1
)． ……………………………… 50 分 四、证明：不妨设 a ?b ?c ?d ?e ＞0．
若 a ?1，则面积为 a 2 的三角形可覆盖△ABC ． ……………………… 10 分 若 a ＜1，则必有 b ＋c ＞1，这是因为当 c ＞ 1/2 时，由于 b ?c ，则 b ＋c ＞1； 当 c ?1/2 时，又 a ＜1，则 b 2＝2－a 2－c 2－d 2－e 2＞1－3c 2?(1－c)2，
所以 b ＋c ＞1，从而 a ＋c ＞1，a ＋b ＞1． ……………………………… 20 分
用面积为 a 2， b 2， c 2的三个三角形覆盖的△ABC ，使得每个三角形都分别有一个顶点与△ABC 的一个顶点重合，且有两条边在△ABC 的两条边上．于是，这三个三角形两两相交． 若这三个三角形能覆盖△ABC ，则结论成立．否则有
(a ＋b －1)＋(b ＋c －1)＋(c ＋a －1)＜1，得 2－a －b －c ＞0．……………………… 30 分 令中间不能被a 2，b 2，c 2的三个三角形所覆盖的正三角形面积为 f 2，
则f 2＝1－(a 2＋b 2＋c 2)＋(a ＋b －1)2＋(b ＋c －1)2＋(c ＋a －1)2＝(2－a －b －c) 2 ， 得 f ＝2－a －b －c ． ……………………………… 40 分 下证：d ?f ．
若 d ＞ 1/2 ，由 a ?b ?c ?d ?1/2 ，则 f ＝2－a －b －c ＜1/2 ，从而 d ＞f ．
若 d ? 1/2 ，由 a 、b 、c ＜1，有 d ?2d 2 ?d 2 ＋e 2 ＝2－a 2－b 2 －c 2 ＞2－a －b －c ＝f ． 所以，面积为 d 2 的正三角形可以覆盖△ABC 不能被面积 a 2 ，b 2 ，c 2 覆盖的部分． ……………………………… 50 分