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有限元试卷(2)

动、静态有限元试卷（二）

三、（20分）图示结构，若已知单元①的单元刚度矩阵，试给出整体结构刚度矩阵的K41，K42，K43，K44，K45各子块的数值。

四．（20分）图示结构，若材料的弹性模量为E ，泊松比μ=0，板厚为t ，结构整体刚度矩阵

载荷P=10N/m 。试求节点位移，单元①﹑②的单元应力。

[]??????????????????????????------------------------=30112001030211101031002112130001210031100100131201201130101102034Et K

一、（20分）求图示单元的形函数矩阵。

五（20分）简答：

1. 单元分析的任务是什么？如何进行单元分析？

2. 在整体结构平衡方程组中，为什么要引入支承？

3. 轴对称问题为什么可以简化为二维问题来处理？

4. 以三节点三角形单元为例说明形函数的性质，并简单证明之。

有限元分析试题(同济)

同济大学本科课程期终考试统一命题纸A卷 2007—2008学年第二学期一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（）二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。（A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。（A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。（A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少是______完全多项式。（A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进行回代计算。（A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。（A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。（A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。（A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。（A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性三．简答题（共20分，每题5分）

有限元试题

一判断题节点的位置依赖于形态而并不依赖于载荷的位置√2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元×3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型√4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元×5. 平面应变单元也好平面应力单元也好如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案×6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析√7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好×8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住而不必约束转动自由度√9. 同一载荷作用下的结构所给材料的弹性模量越大则变形值越小√10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。二、填空平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板但前者受力特点是平行于板面且沿厚度均布载荷作用变形发生在板面内后者受力特点是垂直于板面的力的作用板将变成有弯有扭的曲面。平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量三个独立的应变分量但对应的弹性体几何形状前者为薄板后者为长柱体。位移模式需反映刚体位移反映常变形满足单元边界上位移连续。单元刚度矩阵的特点有对称性奇异性还可按节点分块。轴对称问题单元形状为三角形或四边形截面的空间环形单元由于轴对称的特性任意一点变形只发生在子午面上因此可以作为二维问题处理。等参数单元指的是描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是可以采用高阶次位移模式能够模拟复杂几何边界方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。有限单元法首先求出的解是节点位移单元应力可由它求得其计算公式为。8、一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元三选择题分等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______ 的插值函数。不相同不相同相同相同相同不相同不相同相同2 有限元位移模式中广义坐标的个数应与_______B____相等。单元结点个数单元结点自由度数场变量个数 3 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶单元的完备性是指试探函数必须至少是___B___完全多项式。-1次次-1次 4 与高斯消去法相比高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式因此不用进行回代计算。上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵5 对分析物体划分好单元后会对刚度矩阵的半带宽产生影响。单元编号单元组集次序结点编号6 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。--引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵的_____C_____。对称性稀疏性奇异性三简答题共20分每题5分、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。2、简述有限元法中选取单元位移函数多项式的一般原则。1、答答对前3个给4分对称性奇异性主对角元恒正稀疏性非零元素带状分布2、答一般原则有(1) 广义坐标的个数应该与结点自由度数相等选取多项式时常数项和坐标的一次项必须完备多项式的选取应由低阶到高阶尽量选取完全多项式以提高单元的精度。有限元方法分析的目的对变形体中的位移、应力、应变进行定义和表达进而建立平衡方程、几何方程和物理方程。2)针对具有任意复杂几何形状的变形体完整得获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息。3)力学分析的基础上对设计对象进行强度(strength)、刚度评判修改、优化参数。有限单元法分析步骤1、结构的离散化2、选择位移模式3 、分析单元的力学特性4、集合所有单元平衡方程得到整体结构的平衡方程5、由平衡方程求解未知节点位移6、单元应变和应力的计算4连续体结构分析的基本假定连续性假设完全弹性假设均匀性假设

有限元法基本原理与应用

有限元法基本原理与应用班级机械2081 姓名方志平指导老师钟相强摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。引言有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计

北京科技大学有限元试题及答案

一判断题（20分）（×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元（×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型（√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元（×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度（√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元

西工大-有限元试题(附答案)

1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。

5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。

8．下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。（1）求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2）求单元的坐标转换矩阵 [T]；（3）求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。

10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大

有限元复习试题库

有限元复习一、选择题（每题1分，共10分）二、判断题（每空1分，共10分）三、填空题（每空1分，共10分）三、简答题（共44分）共6题四、综述题（共26分）两题一．基本概念 1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线性与非线性问题平面应力问题（1）均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、（000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 x y xy εεγ、、三个应变分量即可。平面应变问题（1）纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布 z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可

轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边 ε是与r有关。界是一回转面；应变不是常量。在轴对称问题中，周向应变分量 θ板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。板壳问题的弹性体受垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。线性问题/非线性问题线性问题：基于小变形假设，应力与应变方程、应力与位移关系方程、平衡方程都是线性的。

有限元复习题答案

1、何为有限元法？其基本思想是什么？有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型

有限元试题及答案

5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元

有限元试题总结

一、简答题（40分，每小题5分） 1、分别写出板弯类单元和平面应力膜单元上一个有限元节点的位移自由度及其相对应的节点力列阵？ (1)薄板弯曲问题单元每节点三自由度，即每个结点有三个位移分量：挠度w ,绕x 、y 轴转角 ??? ??? ?y x y x w θ θ轴转角绕轴转角绕挠度，即结点i 的位移 {}i yi xi i i x w y w w w d ?? ??? ? ??????????-??=??????????????=θθ ()4,1K =i 同理,相应的结点力 {}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的绕竖向力 x y M y M x ??? ???????????=yi xi i i M M f F (2)平面应力膜单元每个节点两自由度，{},T i i u v ,对应节点力{},T xi yi f f 2、欲求解在ay by cx R '''++=约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值，新泛函应如何构造？答：* {(;,)()}b a I F x y y ay by cx R dx λ''''=+++-? 3、欲求解在()(),,R P x y dx Q x y dy =+??约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值，新泛函应如何构造？答：()()* {(;,)[,,']}b a I F x y y P x y Q x y y R dx λ'=++-? 4、满足()f g g f ds L ''+=??条件下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值求解应如何构造新泛函？

西工大有限元试题附答案68872

1.针对下图所示的3个三角形元,写出用完整多项式描述的位移模式表达式。２.如下图所示,求下列情况的带宽: a)4结点四边形元; b)2结点线性杆元。３、对上题图诸结点制定一种结点编号的方法,使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下,单元的带宽分别就是多大? 4、下图所示,若单元就是2结点线性杆单元,勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽就是多大?按一右一左重新编号(即6变成3等)后,重复以上运算。

５. 设杆件1-2受轴向力作用,截面积为Ａ,长度为Ｌ,弹性模量为Ｅ,试写出杆端力Ｆ１,F 2与杆端位移21,u u 之间的关系式,并求出杆件的单元刚度矩阵)(][e k 6、设阶梯形杆件由两个等截面杆件＼o ＼a ｃ(○,1)与错误!所组成,试写出三个结点1、2、3的结点轴向力F 1,F 2,Ｆ3与结点轴向位移321,,u u u 之间的整体刚度矩阵［K]。 7. 在上题的阶梯形杆件中,设结点3为固定端,结点1作用轴向载荷F 1=Ｐ,求各结点的轴向位移与各杆的轴力。 8、下图所示为平面桁架中的任一单元,y x ,为局部坐标系,ｘ,y 为总体坐标系,x 轴与x 轴的夹角为。 (1) 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k (2) 求单元的坐标转换矩阵［T]; (３) 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k

９.如图所示一个直角三角形桁架,已知27/103cm N E ?=,两个直角边长度cm l 100=,各杆截面面积210cm A =,求整体刚度矩阵［K ］。 10. 设上题中的桁架的支承情况与载荷情况如下图所示,按有限元素法求出各结点的位移与各杆的内力。

压电陶瓷振动的有限元分析ansys

1.1压电材料概述 1.1.1压电效应 1880年法国物理学家皮埃尔和雅各居里兄弟在研究石英晶体的物理性质时发现：当沿着晶片的某些方向施加作用力使晶片发生变形后，晶片上相对的两个表面会出现等量的正负电荷，电荷的密度与施加的力的大小有关，这种现象称为压电现象，具有压电现象的介质称为压电体。压电效应反应了晶体的弹性性能与介电性能之间的耦合。当对压电陶瓷施加一个与极化方向平行的压力F ,如图1.1（ a ）所示，陶瓷片将产生压缩变形，片内的正、负束缚电荷之间的距离变小，极化强度也变小。因此，原来吸附在电极上的自由电荷，有一部分被释放，片内的正、负电荷之间的距离变大，极化强度也变大，因此电极上又吸附一部分自由电荷而出现充电现象。这种由机械效应转变为电效应的现象就是压电效应。压电效应包括正压电效应和逆压电效应。如图所示：图1.1压电效应示意图：（a ）正压电效应（b ）负压电效应正压电效应：当压电晶体在外力作用下发生形变时，在它的某些相对应的面上产生异号电荷，这种没有电场作用，只是由于形变产生的极化现象称为正压电效应。逆压电效应：当压电晶体施加一电场时，不仅产生了极化，同时还产生了形变，这种由电场产生形变的现象称为逆压电效应。 1.1.2压电陶瓷的诞生与发展具有压电效应性能的陶瓷称为压电陶瓷， 1942年美国麻省理工学院绝缘研究室发现，在钛酸钡铁电陶瓷上施加直流高压电场，使其自发极化沿电场方向择优取第一章绪论

向，除去电场后仍能保持一定的剩余极化，使它具有压电效应，从此诞生了压电陶瓷。钛酸钡（BaTiO s ）陶瓷的发现促进了压电材料的发展，它不但使压电材料从一些单晶体材料发展到压电陶瓷等多晶体材料，而且在压电性能上也有了大幅度提高。当今广泛应用的压电陶瓷是PZT，即Pb Zr,Ti O3压电陶瓷，其压电效应强，稳定性好。它是由美国学者B.贾菲等人于1954年发现的PbZrO3 - PbTiO3二元系固溶体压电陶瓷，其机械品质因数约为钛酸钡（BaTiO 3）陶瓷的两倍。此外，若在PZT的组成中加入Pb Mg - Nb O3后将形成三元系压电陶瓷，这类压电陶瓷的性能更加优越，可适于多种不同的应用领域。 1.2压电材料的应用自1942年第一个陶瓷型压电材料钛酸钡诞生以来，作为压电陶瓷的应用产品，已遍及人们生活的各个方面?压电材料作为机电耦合的纽带，其应用非常广泛，下面我们来举其中几例： ①声音转换器声音转换器是最常见的应用之一。像拾音器、传声器、耳机、蜂鸣器、超声波探深仪、声纳、材料的超声波探伤仪等都可以用压电陶瓷做声音转换器。如儿童玩具上的蜂呜器就是电流通过压电陶瓷的压电效应产生振动，而发出人耳可以听得到的声音。压电陶瓷通过电子线路的控制，可产生不同频率的振动，从而发出各种不同的声音。例如电子音乐贺卡，就是通过压电效应把机械振动转换为交流电信号。 ②压电引爆器自从第一次世界大战中英军发明了坦克，并首次在法国索姆河的战斗中使用而重创了德军后，坦克在多次战斗中大显身手。然而到了20 世纪六七十年代，由于反坦克武器的发明，坦克失去了昔日的辉煌。反坦克炮发射出的穿甲弹接触坦克，就会马上爆炸，把坦克炸得粉碎。这是因为弹头上装有压电陶瓷，它能把相碰时的强大机械力转变为瞬间高电压，爆发火花而引爆炸药。 ③压电打火机现在煤气灶上用的一种新式电子打火机，就是利用压电陶瓷制成的。只要用手指压一下打火按钮，打火机上的压电陶瓷就能产生高电压，形成电火

一般有限元原理

一般有限元原理一、基本理论有限元单元法是数值计算方法中发展较早、应用最广的一种方法。利用有限元法，可以解决经典的传统的方法难以解决或无法求解的许多实际问题。其优点是部分地考虑边坡岩土体的非均质、不连续的介质特征，考虑岩土体的应力应变特征，可以避免将坡体视为刚体，过于简化边界条件的缺点，能够接近实际从应力应变的角度分析边坡的变形破坏机制。对了解边坡的应力分布及应变位移变化很有利。有限单元法实质是变分法的一种特殊的有效形式，其基本思想是：把连续体离散化为一系列的连接单元，每个单元内可以任意指定各种不同的力学形态，从而可以在一定程度上更好地模拟地质体的实际情况，特殊的节理元，可以有效地模拟岩土体中的结构面。在大多数情况下岩土体材料应采用非线形模型，其中包括岩体弹塑性、蠕变、不抗拉特性以及结构面性质的影响。下面简要叙述有限元法的求解过程和原理。有限单元法的基本原理 1.有限单元法的实施步骤有限元的重要步骤归纳起来，主要有以下几步：（1）建立离散化的计算模型，包括以一定型式的单元进行离散化，按照求解问题的具体条件确定荷载及边界条件；（2）建立单元的刚度矩阵；（3）由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，并建立系统的整体方程组；（4）引入边界条件，解方程组，求得节点位移；（5）求各单元的应变、应力及主应力。 2位移模式与单元类型在一般的有限单元法问题中，我们常以位移作为未知数，称为位移法。为保证解的收敛性，要求位移模式必须满足以下三条：（1）位移模式必须能包含单元的刚体位移。即当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。（2）位移模式必须能包含单元的常应变，即与位置坐标无关的那部分应变。

有限元考试试题及答案

一、简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。二、计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分）学院专业学号姓名 y 图1

图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。图3

一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答：形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。 3. 答：含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答：有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和

(完整版)有限元法的基本原理

第二章有限元法的基本原理有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。 2.1等效积分形式与加权余量法加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。 2.1.1 微分方程的等效积分形式工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组 12()()()0A A A ?? ?== ? ??? u u u M （在Ω内）（2-1）域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。同时未知函数u 还应满足边界条件 12()()()0B B B ?? ?== ? ??? u u u M （在Γ内）（2-2）要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下： ()()()0A k k q x x y y φφφ????=++=???? （在Ω内）（2-3）

0()0q B k q n φφφφφ?-=Γ?=??-=Γ???（在上）（在上）（2-4）这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。在上述问题中，若k 和q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。若k 和q 是φ及其导数的函数时，问题则是非线性的。由于微分方程组（2-1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有 1122()(()())0u d v A u v A u d ΩΩ Ω≡++Ω≡? ?T V A L （2-5）其中 12v V v ?? ?= ? ??? M （2-6）其中V 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。式（2-5）是与微分方程组（2-1）完全等效的积分形式。我们可以说，若积分方程对于任意的V 都能成立，则微分方程（2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条件（2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立 1122 ()(()())0u d v B u v B u d ΓΓΓ≡++Γ≡??VB L 因此积分形式 ()()0u d u d ΓΓ Ω+Γ=??T T V A V B 对于所有的V 和V 都成立是等效于满足微分方程（2-1）和边界条件（2-2）。我们把（2-7）式称为微分方程的等效积分形式。 2.1.2等效积分的“弱”形式在一般情况下，对（2-7）式进行分部积分得到另一种形式： ()()()()0T T v d v d ΩΓ Ω+Γ=??C D u E F u （2-8）其中C ，D ，E ，F 是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（2-7）式的低，这样对函数u 只需要求较低阶的连续性就可以了。在（2-8）式中降低连续性要求是以提高V 和V 的连续性要求为代价的，由于原来对V 和V （在（2-7）式中）并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u 连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。（2-8）式称为微分方程

有限元第二章课后题答案

2 弹性力学问题的有限单元法思考题 2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。 2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。 2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。 2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。因此矩形单

元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。 2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。 2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。 2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。 2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，

有限元考试试题及答案第一组

有限元考试试题及答案一、简答题（5道，共计25分）。 1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分）答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化；（2）建立单元体的位移插值函数；（3）推导单元刚度矩阵；（4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵；（5）代入边界条件和求解。 2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分）答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。 3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分）答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。 4.有限元空间问题有哪些特征？（5分）答：（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（5）分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；

（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。二、论述题（3道,共计30分）。 1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（10分）答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式；（2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参数单元的应力矩阵；（4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分）答：不是常应力和常应变。因为应变与位移分量的关系式为: ? ?????????????? ? ?????????????? ???? =????????????????????????+??????=??? ???????????=w u 010r r u r u }{rz z r r z z r r w z u z w γεεεεθ,这里除含有微分算符外，还包含了r 的倒数项1/r ,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关，即不会是常应变。应力应变的物理关系为{ }[]{}εσD = ，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力。