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昆明理工大学 线性代数 第1章 习题册答案

昆明理工大学   线性代数 第1章 习题册答案
昆明理工大学   线性代数 第1章 习题册答案

习题1.1(逆序数、行列式定义及行列式性质)

一、求下列各排列的逆序数:

⑴ 24351;解:τ(2 4 3 5 1)= 1+2+1+1 = 5 ⑵ 13425;解:τ(1 3 4 2 5)= 0+1+1+0 = 2

⑶ n (n -1)…2 1. 解:τ( n (n -1)…2 1)=(n -1)+(n -2)+ … + 2 + 1 = n (n -1)/2 二、写出五阶行列式中含有112335a a a 及2412a a 的所有项.

解:五阶行列式中含有112335a a a 的项为4511233545p p p p a a a a a τ45(135)(-1),其中45p p 为2、4两个数的排列,共有2!= 2个,所以五阶行列式中含有112335a a a 的项分别是:

11233542541123354254a a a a a a a a a a τ(13524)(-1)=-、11233542541123354452a a a a a a a a a a τ(13542)(-1)=。

五阶行列式中含有2412a a 的项为3451224345p p p p p p a a a a a τ345(24)(-1),其中345p p p 为1、3、5三个数的排列,共有3!= 6个,所以五阶行列式中含有2412a a 的项分别是:

24135122431435512243143551a a a a a a a a a a τ()(-)=-、 24153122431455312243145531a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24315122433415512243341551a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24351122433455112243345511a a a a a a a a a a τ()(-)=-、 24531122435435112243543511a a a a a a a a a a τ()(-)=、 24513122435415312243541531a a a a a a a a a a τ()(-)=-。

三、计算下列三阶行列式:

13

1

24301

2--;

解:253)2(213)1(1403301)2()1(142=?-?-??--??-??+?-?-+??=D

32

1

11001

1--. 解:62)1(130)1(1102001)1()1(311=?-?-??--??-??+?-?-+??=D

四、计算行列式

y

x

y

x x y x y y x y x

+++.

解法一:))((2)()()()(2

3332y x xy y x x y y x yx y x y x yx y y x D x --+=--+-+++++=

解法二:

))((2)(2)(2)22(22222221

21313212001111)22(y x xy y x x

y x y

x y x y x x y

x y y x y

x x

y x y

x y y x y

x

y

x x y x y x y x y y x y

x

y

x x y x y y x y x x

y r r r r y x c c c c --+---+-+++++++++++++====

=

----+÷++按第一列展开

五、设

λ

λλ

---63

3

3123

21=0,求λ. 解法一:左边)9)(1()1(9)6(4)1(91818)6()1(2

λλλλλλλλ-+=------++--==0

∴λ = 0或λ = -1或λ = 9

解法二:)

9)(1()]336()6)[(1(612132

6631231632663331232123

1213321-+-=---+-=---------------=

=++λλλλλλλλ

λ

λλλλλλλλλr r r r c c c

习题1.2(行列式展开及克莱姆法则)

一、计算下列4阶行列式:

3

021130252233121

--141312r r r r r r ---0

10213

221023

121---展开

按第20

121

322

12)1(221----+3

1r r +0

121322

002---- 展开

行按第11

23

2)1(223

1----?-+= -32;

(2)

d

c b a 100

1

1001

10

01---21ar r +d

c b a

ab 10

1100

11010---+ =1

2)1)(1(+--d

c a ab 10

1101--+

2

3dc c +0

10

111-+-+cd c ad

a a

b =23)1)(1(+--cd

ad

ab +-+111=1++++ad cd ab abcd

(3)3

3332222

1111d c b a d c b a d

c b a =(b -a )(c -a )(c -b )(

d -a )(d -b )(d -c ). 解:4阶范德蒙行列式等于C 42=4(4-1)/2=6个因子的乘积。

二、计算下列n 阶行列式

(1)n D =

a

a

11

(a

a a

a a D n 0

1

00000

00001000

=

其中对角线上的元素都是a ,未写出的元素都是0);

解法一:n D 展开

按最后一行

)

1()1(10

0000

0001

0000)1(-?-+-n n n a

a a

)

1)(1(2)1(--?-+n n n a a

a

展开

按第1n n n n

n a a a +-?---+)

2)(2(1)1()1(

2

--=n n a a

解法二:a

a a

a a D n 0001

000000

0001000

=

n

r r ?11

00000

00000001

a

a a

a a -

1

1ar r n --2

10

00

0000000

00000001

a a a a a --

)1(22-=-a a n

(2)x

n x x

----111

1

1

11

211

11

11111111

1

11312r r r r r r n ----

x

n x x ----211

111

100000

0000

00

=-x (1-x )…(n -2-x )

三、用克拉默法则解下列方程组1231231

2322313250

x x x x x x x x x --=??

--=??+-=?.

解:∵系数行列式523312111-----=D 1

312c c c c ++2

531

12001--展开行按第1251

1--= 3

5

203

111121-----=D 2

12r r -5

203115

10---展开

列按第15

25

1--

= 15

5

33

1211022---=D 2

12r r -5

3

3

1205

3---展开

列按第25

3

53--= 0

12

2312113--=D 212r r -01

0323121--展开列按第32

31

3--= 9 ∴ 511==D D x ;022==D D

x ;333==D

D x 。

四、设齐次线性方程组12312312

3(1)242(3)(1)0

00

x x x x x x x x x λλλ----+=??

++=??++=?有唯一解,求λ的取值范围.

解:系数行列式

λλλ----=

111

1

32

421D 1

3

1

2)1(c c c c -+-λ0

01

1212

23312---+--λλλλλλ 展开

行按第31

21)1)(3(3--+--λλλλλ1

211

1

)

3(--+---=λλλλλλλ)2)(3(---=

D ≠0时齐次线性方程组有唯一解, 得λ≠0、λ≠2且λ≠3.

第一章验收测试题

一、填空题(每小题6分,共48分)

1. 在五阶行列式中,12534124a a a a a 解: 53413524123524415312a a a a a a a a a a =,534135241223524415312)23145()1()1(a a a a a a a a a a -=-τ

2. 行列式

1234

000000000

00a a a a =4

321a a a a -.

解:

4

3210

0000000

00

a a a

a 31r r ?4

123

000000

000a a a a -

3.行列式0001000200020090002010000000001

D =

解法一:201100010

0200020090002010000000001

D =

100610052009

220101r r r r r r ??? 1005

20100000

02009000(1)00200000100

001

-

解法二:2011D

按第行展开

20112011

0010

020(1)020********

00

+-

2010(20101)

2

(1)

1220092010-=-

解:

14142323a a b b a a b b =(-)(-)

解:展开式中含x 3的项只有一个,为主对角线上三个数之积:2x (-x )x 6. 设n 阶行列式D 的值为a

,将D 中的元素都变号后得到行列式为D ',则D '=

1n

a

(-).

解:D '为n 阶行列式,它的所有元素均是D 中元素的相反数,因此每行提取公因子(-1),得

11n n

D D a '=(-)=(-)

7. 若a ,b 为实数,则当a = 且b = 0 时,0

00101

a b b a

-

=--.

220

00101

a b

a b

b a

a b b a

=-=-(+)=--

解:A 14、A 24、A 34、A 44为D 4的第四行元素的代数余子式,

100

110

011

001

a

b

c

d

-

-

.

010

110

011

001

ab a

b

c

d

+

-

-

-

=21

(1)(1)+

--

10

11

01

ab a

c

d

+

-

-

32

c dc

+1

11

010

ab a ad

c cd

+

-+

-=32

(1)(1)+

--

1

11

ab ad

cd

+

-+

=1

abcd ab cd ad

++++

三、

1001

121

1,.

0242

0011

x

x

=

-

(14分)若求

001

121

242

011-

1

23

2

r r

-

1001

000

0242

0011

x

-

2

按第行

展开

21

001

(1)242

011

x+

-

-

= -2x ∴ -2x = 1,x = -1/2

四、(14分)

123

123

123

20

设齐次方程组

x x x

x x x

x x x

λ

μ

μ

++=

++=

++=

?

?

?

??

只有唯一解,求,λμ的取值范围.

解:系数行列式31

11

1121

D λ

μμ=32r r -11

1

1

00

λμμ3按第行

展开

1

(1)11λμμλ-=-, ∵ 齐次线性方程组有非零解, ∴ D 3 = 0,即 μ(1-λ)= 0, 得 μ = 0 或 λ = 0

五、(10分) 设x 1,x 2,x 3是方程x 3

+ px + q = 0的三个根,证明行列式

证明: ∵ x 1,x 2,x 3是方程x 3

+ px + q = 0的三个根

∴ x i 3

+ px i + q = 0, i = 1,2,3, 且由韦达定理,x 1 + x 2 + x 3 = 0、x 1 x 2 x 3 = q

∴注: 韦达定理即根与系数的关系。

对于一元二次方程ax 2+bx +c = 0来说,若它的两个根为x 1、x 2,则

x 1+ x 2= -b /a 、x 1x 2= c /a

对于一元三次方程ax 3+bx 2+cx +d = 0来说,若它的三个根为x 1、x 2、x 3,则

x 1+ x 2 + x 3 = -b /a 、x 1x 2 x 3 = -d /a 、 1/x 1+ 1/x 2 + 1/x 3 = -c /d

线性代数测试试卷及答案

线性代数(A 卷) 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =,则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ; 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ,*A 是A 的伴随矩阵,则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ; 5. 设A 为正交矩阵,则A = ;

《线性代数》习题集(含答案)

《线性代数》习题集(含答案) 第一章 【1】填空题 (1) 二阶行列式 2a ab b b =___________。 (2) 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 (3) 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 (4) 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 (5) 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2 a b -;4.3 3 3 3x y z xyz ++-;5.4abc 。 【2】选择题 (1)若行列式12 5 1 3225x -=0,则x=()。 A -3; B -2; C 2; D 3。 (2)若行列式11 1 1011x x x =,则x=()。 A -1 , B 0 , C 1 , D 2 ,

(3)三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=()。 A -70; B -63; C 70; D 82。 (4)行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -;B () 2 2 2a b -;C 4 4 b a -;D 44 a b 。 (5)n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =()。 A 0; B n !; C (-1)·n !; D () 1 1!n n +-?。 答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。 答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。 (2)τ(217986354)=18,此排列为偶排列。 (3)τ(987654321)=36,此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数: (1)135 (2n-1)246 (2n );(2)246 (2n )135 (2n-1)。 答案:(1) 12n (n-1);(2)1 2 n (n+1) 【6】确定六阶行列式中,下列各项的符号:

线性代数试题与答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式:闭卷 考试时间: 一、单项选择题(每小题 3分,共15分) 1.设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型. (A ) 1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥. 4.初等矩阵(A ); (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,, ,n ααα线性无关,则(C ) A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关; B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; D. 以上都不对。 二、填空题(每小题3分,共15分) 6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t 7.设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ,则1A -=

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题(共30分) 一、单项选择题(共 10小题,每小题2分,共20分) 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =,则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ,ij M 是A 中元素ij a 的余子式,则313233M M M -+=( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列各式恒成立的是( ) (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足( ) (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是..n 阶矩阵A 可逆的充要条件为( ) (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵,C 为n 阶可逆矩阵,B AC =,则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是( ) (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ,使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ,使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解,12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解,则( ) (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似,则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题(共 10小题,每小题1分,共10分 )注:正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵,则有22()()A B A B A B +-=-。( ) 12. 当n 为奇数时,n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。( )

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: 相信自己加油 (1)3 81141 1 02---; (2)b a c a c b c b a (3)222111c b a c b a ; (4)y x y x x y x y y x y x + ++. 解 注意看过程解答(1) =---3 811411 2 811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- (2)=b a c a c b c b a ccc aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= (3) =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= (4) y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:耐心成就大业 (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 …)12(-n 2 4 …)2(n ; (6)1 3 …)12(-n )2(n )22(-n … 2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3

线性代数考试练习题带答案(6)

线性代数考试练习题带答案 说明:本卷中,A -1 表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,(βα,)表示向量α与β的内积,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 1.设行列式33 32 31 2322 21131211a a a a a a a a a =4,则行列式33 3231232221 13 1211 333222a a a a a a a a a =( ) A.12 B.24 C.36 D.48 2.设矩阵A ,B ,C ,X 为同阶方阵,且A ,B 可逆,AXB =C ,则矩阵X =( ) A.A -1 CB -1 B.CA -1B -1 C.B -1A -1C D.CB -1A -1 3.已知A 2 +A -E =0,则矩阵A -1 =( ) A.A -E B.-A -E C.A +E D.-A +E 4.设54321,,,,ααααα是四维向量,则( ) A.54321,,,,ααααα一定线性无关 B.54321,,,,ααααα一定线性相关 C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示 D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵,若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则( ) A.A =0 B.A =E C.r (A )=n D.0

线性代数试题及答案。。

第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷(A 卷) 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称:线性代数 (共2页) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A , ()3323214,3,32αααααα+-+=B , 且A 的行列式1||=A ,求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B =? ???? ??-413031002),,(321ααα, 所以,24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α,????? ??=1122α,????? ??=a 213α线性相关,向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示,求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以,.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间,试在 V 上定义内积运算,使V 成为欧几里得空间,并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵,数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵,即V 对线性运算封闭,所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积:[A,B]=222212121111b a b a b a ++, 显然满足:[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注:内积和正交基都是不唯一的. 2-1

线性代数练习册-答案

第一章 行列式习题答案 二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案 1.计算下列二阶行列式 (1) 23112 =; (2) cos sin 1sin cos θθθ θ -=; (3) 111112122121 2222 a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b 1221 12211221 1221a a a b b a b b (4) 11121112 21222122 a a b b a a b b + 11221122 1221 1221a a b b a a b b 2.计算下列三阶行列式 (1)103 12 126231-=--; (2)11 1213222332 33 a a a a a a a 112233 112332 a a a a a a 1122332332a a a a a (3)a c b b a c c b a 3 3 3 3a b c abc 3.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)3214; (2)614235. 123t 112217t (3)() ()() 123225 24212n n n n --- 当n 为偶数时,2n k ,排列为 143425 2122 21 223 412 k k k k k k k k --+++-1122(1)(1)t k k k (1)(2)21k k 2 2 (1) 1 3 1 31 42 n k k k k k k n

其中11(1)(1)k k 为143425 2122k k k k --+的逆序 数;k 为21k 与它前面数构成的逆序数;(1) (2) 21k k 为 23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和; 113131k k k k 为2k ,22,24,,2k k 与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时,21n k ,排列为 142345 2122 23 225 412 k k k k k k k k ++++++1122t k k (1)21k k 2 2 1 3 32 3432n k k k k k k n 其中1122k k 为142345 2122k k k k +++的逆序数; (1)21k k 为23,25, ,2(21)k k k k 与它们前面数构成的逆序数的和;3323k k k k 为2,22, ,2k k 与它们前面数构成的逆序数的 和. 4.确定,i j ,使6元排列2316i j 为奇排列. 解:4,5i j ,()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解:13213244a a a a ;13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式: (1) 0001 002003004000(4321) (1) 2424 (2) 00 000000000 a c d b (1342) (1) abcd abcd

线性代数习题及答案(复旦版)1

线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659; (2) 987654321; (3) n (n 1)…321; (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解: 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ,其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标,则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ; (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009-2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明:1、本试卷共6页,五个大题,满分100分,120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人:______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵,数2-=λ,3=A ,则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵,则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ,则=*A (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … ( 密) … … … … … … … … … … … … ( 封 ) … … … …… … … … … … … … ( 线 ) … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ,则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-,它们的余子式分别为2,1,1-,则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ,则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解,21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系, 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(,则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4. =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6.在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ,则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若 a a a a a =22 2112 11,则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数试题及答案

2011-2012-2线性代数46学时期末试卷(A) 考试方式:闭卷 考试时间: 一、单项选择题(每小题 3分,共15分) 1.设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。 (A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222 123123 (,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型. (A ) 1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥. 4.初等矩阵(A ); (A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,, ,n ααα线性无关,则(C ) A. 12231,, ,n n αααααα-+++必线性无关; B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关; D. 以上都不对。 二、填空题(每小题3分,共15分) 6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t 7.设矩阵020003400A ?? ? = ? ??? ,则1A -=

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m, a a a a 1311 2321 =n,则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于() A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ,则A-1等于() A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是() A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有() A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则() A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0 D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r,则A中() A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是() A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

线性代数(经济数学2)-习题集(含答案)

《线性代数(经济数学2)》课程习 题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】:本课程《线性代数(经济数学2)》(编号为01007)共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型,其中,本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。 一、计算题1 1. 设三阶行列式为2 310211 01--=D 求余子式M 11,M 12,M 13及代数余子式A 11,A 12,A 13. 2. 用范德蒙行列式计算4阶行列式 125 34327641549916 573 4 1111 4--=D 3. 求解下列线性方程组: ???????=++++=++++=++++---11113221 12132222111321211n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ΛΛΛΛΛΛ 其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i Λ=≠≠

4. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组1231231 230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解? 5. 问λ取何值时, 齐次线性方程组12312312 3(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=??+-+=??++-=?有非零解? 二、计算题2 6. 计算61 4230 21510 3212 1----=D 的值。 7. 计算行列式5241 421 3183 2052 1------=D 的值。 8. 计算01111 0111 1011 110=D 的值。 9. 计算行列式199119921993 199419951996199719981999 的值。 10. 计算4124 1202 10520 0117的值。 11. 求满足下列等式的矩阵X 。 2114332X 311113---????-= ? ?----????

线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习 第一章行列式 一、单项选择题 1.下列排列是 5 阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2.如果n 阶排列j1 j2 j n 的逆序数是k , 则排列j n j2 j1的逆序数是( ). n! (A) k (B) n k (C) k 2 n(n 1) (D) k 2 3. n 阶行列式的展开式中含a11a12 的项共有( )项. (A) 0 (B) n 2 (C) (n 2)! (D) (n 1)! 0 0 0 1 4. 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 0 0 1 0 5.0 1 1 ( ). 1 0 0 0 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 2x x 1 1 6.在函数 1 x 1 2 f (x) 中 3 2 x 3 3 x 项的系数是( ). 0 0 0 1 (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 2 1

7. 若 a a a 11 12 13 1 D a a a ,则 21 22 23 2 a a a 31 32 33 2a a 13 a 33 a 11 a 31 2a 12 2a 32 11 D 2a a a 2a ( ). 1 21 23 21 22 2a 31 (A) 4 (B) 4 (C) 2 (D) 2 a a 11 ,则 12 8.若 a a a 21 22 a 12 a 11 ka 22 ka 21 ( ). 2 (D) k2a (A) ka (B) ka (C) k a 9.已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是4, 0, 1, 3, 第 3 行元的余子式依次为2, 5,1, x, 则x ( ). (A) 0 (B) 3 (C) 3 (D) 2 8 7 4 3 10. 若 6 2 3 1 D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). 1 1 1 1

线性代数试卷及答案

《 线性代数A 》试题(A 卷) 试卷类别:闭卷 考试时间:120分钟 考试科目:线性代数 考试时间: 学号: 姓名: 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一.单项选择题(每小题3分,共30分) 1.设A 经过初等行变换变为B ,则( ).(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <; () B ()()r A r B =; ()C ()()r A r B >; () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2.设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =,则( )。 () A A 中有一行元素全为零; () B A 有两行(列)元素对应成比例; () C A 中必有一行为其余行的线性组合; () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4.下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是( ) () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠;

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ; 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5.设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???,若矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( )。 ()A 1; () B 11n -; () C 1-; () D 11 n -. 6.四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于( )。 ()A 12341234a a a a b b b b -; ()B 12341234a a a a b b b b +; () C 12123434()()a a b b a a b b --; () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7.设A 为四阶矩阵且A b =,则A 的伴随矩阵* A 的行列式为( )。 ()A b ; () B 2b ; () C 3b ; () D 4b 8.设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=,n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=( ) () n A I ; ()3n B A I +; ()3n C A I --; ()D 3n A I + 9.设A ,B 是两个相似的矩阵,则下列结论不正确的是( )。 ()A A 与B 的秩相同; ()B A 与B 的特征值相同; () C A 与B 的特征矩阵相同; () D A 与B 的行列式相同;

线性代数练习册习题及答案本

第四章 线性方程组 §4-1 克拉默法则 一、选择题 1.下列说法正确的是( C ) A.n 元齐次线性方程组必有n 组解; B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解; C.n 元齐次线性方程组至少有一组解,即零解; D.n 元齐次线性方程组除了零解外,再也没有其他解. 2.下列说法错误的是( B ) A.当0D ≠时,非齐次线性方程组只有唯一解; B.当0D ≠时,非齐次线性方程组有无穷多解; C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解,则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解,则0D =. 二、填空题 1.已知齐次线性方程组1231231 230020 x x x x x x x x x λμμ++=?? ++=??++=?有非零解, 则λ= 1 ,μ= 0 . 2.由克拉默法则可知,如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x = i D D . 三、用克拉默法则求解下列方程组 1.832623x y x y +=??+=? 解: 8320 62 D = =-≠ 1235 32 D = =-, 28212 63 D = =- 所以,125,62D D x y D D = ===-

2.123123123 222310x x x x x x x x x -+=-?? +-=??-+-=? 解: 2131 12112122 130 3550111 01 r r D r r ---=--=-≠+--- 11222 10051 1321135 011011D r r ---=-+-=---, 2121215 052 1322 1310 10 1 101 D r r --=-+-=-----, 3121225 002 1122 115 1 1 110 D r r --=+=--- 所以, 3121231,2,1D D D x x x D D D = ===== 3.21 241832x z x y z x y z -=?? +-=??-++=? 解: 13201 0012 412041200 183 583 D c c --=-+-=≠- 13110110014114020 283285D c c -=-+=, 2322 11 2 102 112100 123 125 D c c -=-+=--, 313201 01 2 4120 4120 182 582 D c c =-=-- 所以, 3121,0,1D D D x y z D D D = =====

线性代数练习题及答案精编

线性代数练习题 一 选择题 1B A ,都是n 阶矩阵,且0=AB , 则必有:( ) (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???( ) (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. (A )A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。 (B )A 是满秩矩阵。 (C )A 经初等变换可化为??? ? ??000r E (D )A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) (A ) s ααα ,,21均不是零向量. (B ) s ααα ,,21中任一部分组线性无关. (C ) s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. (D ) s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. (A )0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. (B )0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. (C )α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. (D )12γγ,是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数,则有( )

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