古印度与阿拉伯数学和古希腊数学的异同
古印度与阿拉伯数学和古希腊数学的异同
印度数学：
如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响.雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围.
印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪).
印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定.吠陀即梵文veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上.
关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓"巴克沙利手稿".
其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程
用圆圈符号"0"表示零，可以说是印度数学的一大发明.在数学上，"0"的意义是多方面的，它既表示"无"的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算.
印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲.零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍.印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色.
悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为"宗"，或"体系")时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598-665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(Bhaskara Ⅱ，1114一约1185)等.
阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世.该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。
阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓"库塔卡"(kuttaka，原意"粉碎")方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法.
阿拉伯数学：
"阿拉伯数学"并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作.
在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献.
他们掀起了著名的翻译运动：在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿拉伯文；8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文；9世纪最著名翻译家伊本·科拉(Tabit ibn Qorra，836-901)翻译了欧几里得、阿波罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作；到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。
阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面.花拉子米(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响.阿拉伯语"al-jabr"，意为还原移项；"wa'l-muqabala"即对
消之意.传入欧洲后，到14世纪"al-jabr"演变为拉丁语"algebra"，也就成了今天的英文"algebra"(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》.
书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为"解方程的科学"的代数学开拓了道路.
《代数学》约1140年被英国人罗伯特(Robert of Chester)译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破.
花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过"还原"与"对消"(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类型方程.由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有明显的代数特征。
由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》(Sphaerica)等古典著作.
对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼
(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家.其《天文论著》(又名《星的科学》)被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果.
在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切.他称正弦为ji va，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为umbrarecta，意即直阴影.后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克(1561-1656)的《圆的几何》(1583)一书中。而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940-997?)最先引入的.
与希腊的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花.最重要的例子是他们在评注《几何原本》
的过程中，对第五公设引起了注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里
(ai-Jawhari，约830)、塔比·伊本，库拉(Thabit ibn Qurra，约826---901)、伊本。海塞姆(Ibn al-Haytham,965-1040?)、奥马，海亚姆以及纳西尔·丁等人。阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生产生了一定的影响。
经典英语谚语100句
1.All rivers run into sea. 海纳百川。
2.Look before you leap. 三思而后行。
3.There are two sides to every question. 问题皆有两面。
4.Practice makes perfect. 熟能生巧。
5.Practice what you preach. 言行一致。
6.Pride will have a fall. 教者必败。
7.In prosperity think of adversity. 居安思危。
8.Two heads are better than one. 一人计短，二人计长。
9.Well begun is half done. 好的开始是成功的一半。
10.Time and tide wait for no man. 岁月不待人。
11.Speech is silver, silence is gold. 雄辩是银，沉默是金。
12.As a man sows, so he shall reap. 种瓜得瓜，种豆得豆。
13.All good things come to an end. 天下没有不散的筵席。
14.Man proposes, God disposes. 谋事在人，成事在天。
15.Even Homer sometimes nods. 智者千虑，必有一失。
16.No competition, no progress. 没有竞争就没有进步。
17.It’s dogged that does it. 世上无难事，只怕有心人。
18.You can not eat your cake and have it. 鱼与熊掌，不可得兼。
19.Providence is always on the side of the strong battalions. 天助强者。
20.A friend in need is a friend indeed. 患难见真情。
21.A miss as good as a mile. 差之毫厘，谬以千里。
22.Actions speak louder than words. 行动胜于空谈。
23.Knowledge is power. 知识就是力量。
24.An idle youth, a needy age. 少壮不努力，老大徒伤悲。
25.Better late than never. 亡羊补牢，为时未晚。
26.Bitter pills may have wholesome effects. 良药苦口。
27.Do wrong once and you’ll never hear the end o f it.一失足成千古恨。
28.Easy come, easy go. 来得容易，去的快。
29.Every man has his faults. 人无完人。
30.God gives the milk, but not the pail. 上帝赐牛奶，桶要自己买。
31.Art is long, life is short. 无生有涯，而知无涯。
32.Live and learn. 活到老学到老。
33.There is no royal road to learning. 学无坦途。
34.All roads lead to Rome. 条条大道通罗马。
35.From the sublime to the ridiculous is only a step. 荒谬离伟大只有一步。
36.Take time by the forelock. 要抓住时机。
37.Opportunity seldom knocks twice. 机不可失，失不再来。
38.People do not lack strength. They lack will. 人们不缺少力量，他们缺少意
志。
39.No pains, no gains. 不劳无获。
40.Where there is a will, three is a way. 有志者事竟成。
41.Seeing is believing. 眼见为实。
42.All that glitters is not gold. 闪光的未必都是金子。
43.Everything comes to him who waits.只要耐心等待，一切都会到来。
44.I am caught between the devil and the deep blue sea. 进退维谷。
45.Life means struggle. 生活就是斗争。
46.We are not born for ourselves. 人之有生，不为一己。
47.One man, no man. 个人是渺小的。
48.He who has knowledge has dignity and glory. 拥有知识，就拥有尊严与荣
耀。
49.If it were not for hope, the heart would break. 人靠希望活着。
50.Music is the medicine of the breaking heart. 音乐是医治心灵创伤的妙药。
51.He lives long that lives well. 活得好等于活的长。
52.Calamity is man’s true touchstone. 逆境是真正的试金石。
53.Beauty is but skin-deep. 外表美是肤浅的。
54.Clothes do not make the man. 人不在衣装。
55.Men may meet but mountains never. 人生何处不相逢。
56.He laughs best who laughs last. 谁笑到最后，谁笑得最好。
57.Let the world slide. 人世沧桑，顺其自然。
58.Anything for a quiet life. 悠然自在最难求。
59.He lives unsafely that looks too near on things. 人无远虑必有近忧。
60.A Light heart lives long. 静以修身。
61.Without respect, love cannot go far. 没有尊敬的爱情难以长久。
62.Manners make the man. 举止造人品。
63.A hero is nothing but a product of his time. 时势造英雄。
64.All for one, one for all. 人人为我，我为人人。
65.A trouble shared is a trouble halved. 两人分担，困难减半
66.Nothing comes out of nothing. 无中不能生有
67.The finest diamond must be cut. 玉不琢，不成器。
68.Everything must have a beginning. 万事皆有开端
69.He who would search pearls must dive below. 不潜深水不得珠。
70.The wish is father to the thought. 心有所欲，脑有所思。
71.Take little, but give much. 少索取，多奉献。
72.Only the selfless can be fearless. 无私才能无畏。
73.Little things please little minds. 胸无大志，事事称心。
74.A penny soul never comes to two pence. 心胸狭窄，一事无成。
75.Happy is the man who learns from the misfortunes of others.
能从别人的不幸中吸取教训的人是幸福的。
76.Good health is above wealth. 健康胜于财富。
77.Genuine knowledge comes from practice. 实践出真知。
78.Many hands make light work. 众人拾柴火焰高。
79.Sow nothing, reap nothing. 春不播，秋不收。
80.The highest towers begin from the ground. 万丈高楼平地起。
81.To err is human. 人非圣贤，孰能无过。
82.A burden of one’s choice is not felt. 爱挑的担子不嫌重。
83.Promise is debt. 一诺千金。
84.Constant dropping wears away a stone. 水滴石穿。
85.The force of the wind tests strength of the grass. 疾风知劲草。
86.Success belongs to the persevering. 胜利属于有毅力者。
87.Slow and steady wins the race. 稳扎稳打，无往不胜。
88.He that never climbed never fell. 只有不攀登的人才不会跌跤。
89.No way is impossible to courage. 勇士面前无险路。
90.Newborn caves are not afraid of tigers. 初生牛犊不怕虎。
91.The shortest answer is doing. 最简短的回答是行动。
92.Business is the salt of life. 事业是人生的第一需要。
93.Strike the iron while it is hot. 趁热打铁。
94.After a storm comes calm. 雨过天晴（苦尽甘来）。
95.Misfortunes tell us what fortune is. 不经灾难不知福。
96.He goes far that never turns. 不回头的人走得远。
97.The best is often the enemy of the good. 要求过高，反难成功。
98.Quality matters more than quantity. 质比量重要。
99.Learning without thought is labor lost. 学而不思，白费力气。100.Wasting time is robbing oneself. 浪费时间就是掠夺自己。
阿拉伯数字的标准写法
会计数字书写规范 阿拉伯数字的标准写法 图1 对于如何正确、规范和流利书写阿拉伯数字的问题，是我国会计人员应掌握的基本功。重视会计工作中数码字的训练，有助于会计人员素质的提高，结合现实会计人员数码字书写的实际情况看，不仅存在大量不规范书写，而且存在“0”、“6”不分，“7”、“9”难辨的情况，况且还有把“1”改为“4”或改为“7”等错误现象，还有些人把汉字的书写艺术引入小写数字领域，主张在会计记录中将数字“1234567890”写成美术字。所有这些，都不是财会工作中合乎规范的书写方法，也不合乎手工书写的正常习惯。 应该说财务会计中，尤其是会计记账过程中书写的阿拉伯数字，同数学中或汉文字学中的书写方法并不一致，也不尽相同。 从字体上讲，既不能把这些数字写成刻版划一的印刷体，也不能把它们写成难以辨认的草字体，更不能为追求书写形式把它们写成美术体。从数字本身所占的位臵看既不能把数字写满格，占满行，又不能把字写得太小，密密麻麻，让人不易辨清楚，更不能超越账页上既定的数格。 从字型上看，既不能让数字垂直上下，也不能歪斜过度，更不能左倾右斜，毫无整洁感觉。况且，书写后要让人看着合乎规定要求，既流利又美观，还方便纠错更改。 总之，财会工作中，尤其是会计记账过程中，阿拉伯数码字的书写同普通的书写汉字有所不同，且已经约定俗成，形成会计数字的书写格式。其具体要求是： 1、每个数字要大小匀称，笔划流畅；每个数码独立有形，使人一目了然，不能连笔书写。 2、书写是字迹工整，排列整齐有序且有一定的倾斜度，各数字倾斜度要一致，一般要求求上端一律向右顺斜数字与底线通常成45 度到60 度地写。 3．每一组数字的正确书写是，应从左至右，笔划顺序是自上而下，大小一致，数字上下左右对齐，不可逆方向书写。在印有数位线的凭证、账簿、报表上，每一格只能写一个数字，不得几个字挤在一个格里，更不能在数字中间留有空格。在没有印刷数字格的会计书写中，同一行相邻数字之间应空出半个阿拉伯数字的位臵，而且距离相等，以不能增加数字为好。
古希腊数学
古代希腊数学 1.古希腊数学的时间 希腊数学一般指从公元前600年至公元400年间 2. 古希腊数学的三个阶段 古典时期的希腊数学（以雅典为中心，公元前600-前339）----哲学盛行、学派林立、名家百出 亚历山大学派时期（以亚历山大里亚为中心，黄金时代，公元前338-前30）----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯 希腊数学的衰落（公元前30-公元前400）----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替 3.爱奥尼亚学派（米利都学派） 泰勒斯(约公元前625-前547年)----第一位数学家、论证几何学鼻祖 数学贡献：论证数学的开创者 证明的数学定理：1、“圆的直径将圆分成两个相等的部分” 2、“等腰三角形两底角相等” 3、“两相交直线形成的对顶角相等” 4、“两角夹一边分别相等的三角形全等” 泰勒斯定理:半圆上的圆周角是直角 4.毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯（约公元前560-前480） 数的理论：万物皆数 自然数的分类（奇数、偶数、质数、合数、完全数、亲和数）
形数（完全三角形数、正方形数） 不可公度 几何学：基本上建立了所有的直线形理论，包括三角形全等定理、平行线理论、三角形的内角和定理、相似理论等。 毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上正方形等于两个直角边上的正 方形之和。（数学中第一个真正重要的定理。） 五角星形与黄金分割 立体几何（正多面体作图）三维空间中仅有五种正多面体：正四面体、正六面 体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 5.伊利亚学派 芝诺（约公元前490-约前425年） 芝诺悖论：两分法，及运动不存在 阿基里斯追不上乌龟 飞箭不动 6.诡辩学派 希比亚斯、安提丰 古典几何三大作图问题：三等分角：即分任意角为三等分。 化圆为方：即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 倍立方: 即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 7.柏拉图学派 柏拉图（约公元前427-前347年）----充当其他人的启发者和指导者 8.亚里士多德学派
数学历史——论古希腊数学成就
论古希腊数学成就 和埃及、美索不达米亚、印度、中国相比，希腊形成国家要晚一些。但是，从对人类科学文化发展的贡献和影响来看，希腊完全可以和这些最古老的国家比美，它被称为欧洲的文明古国。 公元前五百多年，毕达哥拉斯建立了青年兄弟会，以秘密的形式向会员传授数学知识。一个世纪后，雅典出现了学校，给青年讲授法律、政治、演说和数学方面的知识。新式的学校里没有了那种神秘的色彩，不论教师和学生，什么都可以写出来给人看。这种公开研究，自由争论，促进了一种新的数学思想和方法的产生。 很早以前，人们就知道了边长为3、4、5和5、12、13的三角形为直角三角形。毕达哥拉斯发现了这两套数字的共同之处：最大数的平方等于另外两个数的平方和，即32＋42=52；52＋122=132。这就是说，以直角三角形最长边为边长的正方形面积，等于两个短边为边长的两个正方形面积的和。接着，毕达哥拉斯又研究了这样两个问题：一、这个规律是否对所有的直角三角形都成立？二、符合这一规律的任何三角形是否一定是直角三角形？毕达哥拉斯搜集了许许多多的例子，这就是几何学中的勾股定理为什么又叫做毕达哥拉斯定理的由来。 在希腊之前的漫长年代里，人们已经知道了许多求面积和测角度的知识。可是谁也没有想到过用推理的方法把这些知识联系在一起，找出它们之间的内在关系，并且证明它们是可靠的。这就是说，这时的几何知识还处于零散的、互不联系的状态之中。没有系统，就没有几何学。 大约在公元前三百年，欧几里得写了一套叫做《几何原本》的数学教科书，把希腊人在这方面的成就传给了我们。一千年后，许多希腊著作都散失和毁掉了，而《几何原本》却被译成阿拉伯文，作为穆斯林大学的教本。直到五十年前，欧洲和美洲各国的学校还在用翻译的《几何原本》作教科书。就是今天，初中学校里讲授几何学的主要内容也是来自欧几里得几何学。几何学的建立为测量、建筑、航海、天文，甚至为城市规划、乐器设计等提供了必要的工具。 在毕达哥拉斯时代，希腊人知道的几何法则中有这么两条：一、任何三角形的三个内角和等于两个直角；二、三角形的两个内角相等，它们的对应边也相等。由第一个法则可以得到：如果三角形中有一个角是直角，另一个角是45°，那么
古希腊数学
古希腊数学 稿件提供人:南仓中学高中数学教师王艳刘艳辉 古希腊数学一般指公元前600年至公元后600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部得数学家们所创造得数学。古希腊人得历史可以远溯数千年之久。晚至公元前600年左右，在地中海与黑海沿岸大部分地区已经布满了古希腊人得足迹。这些海滨新移民们，处身于两大河谷得毗邻之地，极易汲取那里得文明。更为重要得就是，她们天生便具有一种开拓进取得精神，厌恶因袭守旧就是她们得作风。所以当大批游历埃及与美索不达米亚得希腊商人、学者带回了新奇得数学知识之后，在古代希腊城邦社会特有得唯理主义气氛中，这些经验得算术与几何方法很快便被加工升华为具有初步逻辑结构得论证数学体系。 1 希腊文明 古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（ alexander the great）征服了希腊与近东、埃及，她在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（alexandria ）。亚历山大大帝死后(323b、c、)，她创建得帝国分裂为三个独立得王国，但仍联合在古希腊文化得约束下，史称希腊化国家。统治了埃及得托勒密一世（ptolemy the first）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟得博物馆与图书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界得学术文化中心，繁荣几达千年之久！希腊人得思想毫无疑问地受到了埃及与巴比伦得影响，但就是她们创立得数学与前人得数学相比较，却有着本质得区别，其发展可分为雅典时期与亚历山大时期两个阶段。 从泰勒斯到毕达哥拉斯学派 （1）爱利亚学派 从古代埃及、巴比伦得衰亡，到希腊文化得昌盛， 这过渡时期留下来得数学史料很少。不过希腊数学得 兴起与希腊商人通过旅行交往接触到古代东方得文化 有密切关系。伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊 其她地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来得 经验与文化。在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人得统 治所代替，商人具有强烈得活动性，有利于思想自由 而大胆地发展。城邦内部得斗争，帮助摆脱传统信念。 在希腊没有特殊得祭司阶层，也没有必须遵守得教条， 因此有相当程度得思想自由。这大大有助于科学与哲 学从宗教中分离开来。 米利都就是伊奥尼亚得最大城市，也就是泰勒斯得故乡。泰勒斯生于公元前624年，就是公认得希腊哲学鼻祖。早年就是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来得知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物得根源。 当时天文、数学与哲学就是不可分得，泰勒斯同时也研究天文与数学。她曾预测到一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争。多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。她在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔得高度，使法老大为惊讶。泰勒斯在数学方面得贡献就是开始了命题得证明，它标志着人们对客观事物得认识从感性上升到理性，这在数学史上就是一个不寻常得飞跃。伊奥尼亚学派得著名学者还有阿纳克西曼德与阿纳
古希腊数学(雅典时期)
抽象化的数学精神 ——古希腊数学分析与讨论 岭南学院经济学类 2012级4班苏博学号：12327203 在古希腊人的科学成就中，数学可谓是最抽象也是最迷人的科学体系。 古希腊数学可大致分为两个阶段，第一阶段是公元前600-公元前300的雅典时期，第二阶段是公元前300-641的亚历山大时期。本次讨论稿中将着重讨论雅典时期的古希腊数学。 这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。伊奥尼亚学派否认神是世界的创造者，认为水是万物之基，崇尚自然规律，并对数学的一些基本定理做了科学论证。 “数学之父”泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想。命题的证明，就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程。它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃。在数学中引入逻辑证明，它的重要意义可以从下面这几个方面看出来：一、保证命题的正确性，使理论立于不败之地；二、揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；三、使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。 《普罗克洛斯概要》写道：“泰勒斯是到埃及去将这种学问(几何学)带回希腊的第一人．他自己发现了许多命题，又将好些别的重要原理透露给他的追随者。他的方法有些是具有普遍意义的，也有一些只是经验之谈。”普罗克洛斯指出他发现的命题有： (1)圆的直径将圆平分(2)等腰三角形两底角相等(3)两直线相交，对顶角相 等(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等(5)对半圆的圆周角是直角 历史学家强调他证明了(至少是企图证明)这些命题．在数学中引入证明的 思想，这是难能可贵的．从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学。 稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以万物皆数作为信条，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。毕达哥拉斯学派对古希腊数学发展的最重大推动作用，是其将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位，这在当时，是非常难得的。 希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，持使用演绎证明。与之相比，古代中国的数学研究更多从实际出发，从《九章算术》可以看出，中国算学一般遵循小农经济体积下生产、政治等的实际需要，具有浓厚的应用数学的色彩。我想是自由贸易的经济体制催生了希腊人对数学的独立追求，从而演变成现代的数学科学（而并没有从中国起源）。 总括而言，希腊数学的成就是辉煌的，更重要的是：希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念使数学成为了一门独立的科学，现代的数学也由此而催生。 参考书目及期刊文摘：《西方的遗产》、《古今数学思想》、《张顺燕——数学的美与理》、《古希腊罗马哲学》，《梁宗巨著世界数学史简编》、《数学汇编》、《数
综述古代印度与古代中国数学发展及其联系
综述古代印度与古代中国数学发展及其联系 摘要：翻开任何一部中国数学发展史，都不难发现，华夏祖先们每前进一步，都伴随着奋斗的汗水。中国数学起源于上古至西汉末期，中国数学的全盛时期是隋中叶至元后期。接下来在元后期至清中期，中国数学的发展缓慢。就在中国数学发展缓慢的时候，西方数学已大跨步超前，于是在中国数学发展史上出现了一个中西数学发展的合流期。印度数学和近东，特別是中国的数学便在互相融合，互相促进中发展。尽管中国目前在世界数学的赛场上已处落后地位，然而，路遥识马力，今后鹿死谁手，仍然未可知。 关键词：数学发展联系记数四则运算法二次方程代数学 引言印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和中国古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一個特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往來，印度数学和近东，特別是中国的数学便在互相融合，互相促进中发展。本篇论文通过比较古代印度与古代中国数学发展研究数学的历史。 印度是世界上文化发达最早的地区之一，印度数学的起源和其他古老民族的数学起源一样，是在生产实际需要的基础上产生的。但是，印度数学的发展也有一個特殊的因素，便是它的数学和历法一样，是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上佛教的交流和贸易的往來，印度数学和近东，特別是中国的数学便在互相融合，互相促进中发展。另外，印度数学的发展始终与天文学有密切的关系，数学作品作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。印度数学的发展大致可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗茶人时期(约公元前3000一前1400年)，史称河谷文化；随后是吠陀(Vedas)时期(约公元前10世一前3世纪)；其次是悉檀多(siddhanta)时期(约公元5世纪一12世纪)。悉檀多时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数。 印度数学最早有文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教和印度教的经典《吠陀》当中，年代很不确定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世纪，最晚至公元前3世纪。吠陀即梵文veda，原意为知识、光明，《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上。不同流派的《吠陀》大都失传，目前流传下来仅有7种，这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》（sulva sūtrus,又译成绳法经），有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：，此外还用到π= 3.004和π= 4 (8÷9)2 = 3.16049的近似值。在关于正方形祭坛的计算中取2π= 1 + 1/3 + 1/ (3×4) －1/ (3×4×34) = 1.414215686。由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度用算术方法给出求解公式。耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过流传一些公元前5世纪至公元后2世纪的注释。其中出现了许多计算公式，如圆周长的计算公式等。 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可考资料非常少，值得庆幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地区发现了这一时期的，书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利（bakhshali）手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计
四大文明古国与古希腊数学起源与发展的异同
四大文明古国与古希腊数学起源与发展的异同 古希腊文明属于海洋文明，受希腊岛屿星罗棋布，平原面积狭小，土壤贫瘠，海岸线长,多优良港口的地理环境影响，希腊农业发展条件不足，商业发展条件的得天独厚，希腊文明的产生发展基于其高度发达的海外贸易；四大文明古国的文明类型属于大河文明，因为四大文明古国均发源于大河流域，古埃及的尼罗河，古巴比伦的两河流域，古印度的印度河、恒河，古中国的黄河，因为大河流域水源充足，土壤肥沃，对农业的发展极其有利，故四大文明古国文明属于农业文明，大河文明 四大古国更接近史前文明．而且他们的文明似乎完全从自己产生出来的． 而古希腊的文明其实开始的要晚，大多学习阿拉伯和亚洲的东西，然后他们才开始兴盛的，数学和文明大多承继了亚洲，虽然他们的文明辉煌灿烂，但古老悠久估计算不上了，从传承上来讲，古希腊和古罗马的文明集成了古埃及、古巴比伦和古印度的文明 而他们两者之间最明显的区别就是：四大文明古国是东方文明，而古希腊是西方文明 科技： 古希腊：在古希腊科学的发展中，原始数学始终沿着神秘性和数量性的双重功能统一性继承的轨道向前发展。古希腊数学与神秘性的结合，使得他们从宗教、哲学的层次追求数学的绝对性以及解释世界
的普遍性地位，这正是古希腊数学完全脱离实际问题，追求逻辑演绎的严谨性的文化背景。古希腊人在从蒙昧走向文明的过程中，吸收了埃及与巴比伦的数学成果，这时的古希腊数学，实际上是古希腊原始数学神秘主义与埃及、巴比伦的数学的结合体，这种结合创造了数学体系、数学运演与数学方法的广泛的神秘解释作用。这种文化传统正是古希腊数学具有强烈的神秘作用以及后来具有宗教、哲学特征的根本原因。柏拉图的唯心主义哲学，把数学的神秘性及数量性意义演化为一种哲学意义的数学理性，直到亚里士多德认为“数就是宇宙万有之物质”。古希腊借助于数学解释一切的文化传统使数学成为具有文化意义的理性基础。古希腊与西方的天文、医学、逻辑、音乐、美术、宗教、哲学中，数学都在发挥着理性的解释作用，并随着西方文化的发展而不断得以继承和强化。基督教神学逐渐吸收了古希腊用数学解释世界 四大文明古国：四大文明古国都是农耕文明，都要依赖较大的河流才能发展。其中古巴比伦是最短的，四大文明古国在天文、农业、建筑上都有很高的成就。期中古埃及的的草药和数学很有名，他们崇尚太阳神“拉”，认为人的灵魂是永恒存在的，所以他们制作木乃伊来保存人尸体。 文化方面： 古代埃及：金字塔、狮身人面像、太阳神庙、象形文字； 古代巴比伦：汉谟拉比法典、空中花园、楔形文字； 古代印度：印度教、佛教、外科手术、阿拉伯数字、种姓制度；
古印度数学的传说
古印度数学的传说 数学是最集中、最深刻、最典型地反映了人类理性和逻辑思维所能达到的高度，所以，11世纪大数学家、物理学家和天文学家高斯说：“数学是科学之王。” 话说在印度舍罕王时代，舍罕王发出命令：谁能发明一件让人娱乐，又要在娱乐中使人增长知识，使人头脑变得更加聪明的东西，本王就让他终身为官，并且皇宫中的贵重物品任其挑选。 于是乎，全国上下能工巧匠纷纷而动，发明创造的一件又一件东西被送到舍罕王的面前，但是没有一件让他满意。 这是一个风和日丽的早晨，舍罕王闲着无聊，便和众爱卿准备到格拉察湖去钓鱼。舍罕王忽然发现宰相西萨·班·达依尔没有同来，便问道：“宰相干什么去了？” “宰相因宫中有一件事未处理好，正在那里琢磨呢。”一个大臣答道。 舍罕王没有追问下去，便拿起鱼竿钓起鱼来，众爱卿均忙乎着，于是，一枝枝长竿便同指湖心。 这时，小湖起着微微的涟漪，湖面在阳光照射下，闪烁出金刚钻、绿宝石般的光芒，耀得人直眨眼。垂柳的枝条沐浴在湖水之中，湖岸边长满了菖蒲。 不一会儿，薄云遮住了太阳，太阳仿佛骤然扭过脸去，不理睬小湖，于是湖泊、村庄和树林全都在刹那间黯淡下来；浮云一过，湖水便又闪闪发光，庄稼简直像镀上一层黄金。
舍罕王贪婪地吸着这乡野的新鲜空气，眼前的美景使他目不暇接，连鱼竿都横躺在湖面上了。正在这时，有人来报：宰相达依尔飞马来到。 达依尔匆匆下马，来到舍罕王的面前，禀道：“陛下，为臣在家中琢磨了许多天，终于发明了象棋，不知大王满意否？” 舍罕王一听此言，连忙说道：“什么象棋，赶快拿来看看。” 原来这位宰相有着超人的智慧和聪明的头脑，尤其喜爱发明创造以及严密的数学推理。他发明的象棋是国际象棋，整个棋盘是由64个小方格组成的正方形。 国际象棋共32个棋子，每方各16个，它包括王一枚、王后一枚、仕两枚、马两枚、车两枚、卒八枚。双方的棋子在格内移动，以消灭对方的王为胜。 舍罕王看到此物后，喜不胜收，连忙招呼其他大臣与他对弈，一时间，马腾蹄、卒拱动，车急驰，不一会，舍罕王大胜。 舍罕王于是打算重赏自己的宰相，便说道：“官不能再封了，你已做到顶了，如再要封，恐怕只有我让位了。现在重赏你财物，你要些什么？” 宰相“扑通”跪在国王面前说：“陛下，为臣别无他求，只请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给二粒，第三格内给四粒，第四格内给八粒。总之，每一格内都比前一格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给我，我就心满意足了。” 看来，这位聪明的宰相胃口并不大，于是国王说道：“爱卿，你所求的并不多啊，你当然会如愿以偿的。”
第四讲 印度与阿拉伯数学及近代数学的兴起
第四讲印度与阿拉伯的数学及近代数学的兴起 第一部分印度与阿拉伯的数学 一、印度数学 1921年--1922年间，印度河流域莫亨佐?达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”。这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右。大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振。 印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324-前185)、笈多王朝(320-540)，但总体而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下。公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，却在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1世纪-3世纪)。公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占。这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景。 如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响。雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前世纪)兴起的佛教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围。 印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(公元前3000-前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪—前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪—12世纪)。 1、古代《纯法经》 关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测纯的法规》，即《纯法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品。其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题。如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等。 2、“巴克沙利手稿”与零号 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学，可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”。其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等。 用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明。在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算。“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法。 印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号。到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其可施行运算的一个独立的数。婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦逻的著作中都有关于零的运算法则的记述。 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲。零号的传播则要晚些。 3、“悉檀多”时期的印度数学
阿拉伯数字的正确写法
阿拉伯数字的正确写法 对于如何正确、规范和流利书写阿拉伯数字的问题，是我国会计人员应掌握的基本功。重视会计工作中数码字的训练，有助于会计人员素质的提高，结合现实会计人员数码字书写的实际情况看，不仅存在大量不规范书写，而且存在“0”、“6”不分，“7”、“9”难辨的情况，况且还有把“1”改为“4”或改为“7”等错误现象，还有些人把汉字的书写艺术引入小写数字领域，主张在会计记录中将数字“1234567890”写成美术字。所有这些，都不是财会工作中合乎规范的书写方法，也不合乎手工书写的正常习惯。 应该说，财务会计中，尤其是会计记账过程中书写的阿拉伯数字，同数学中或汉文字学中的书写方法并不一致，也不尽相同。 从字体上讲，既不能把这些数字写成刻版划一的印刷体，也不能把它们写成难以辨认的草字体，更不能为追求书写形式把它们写成美术体。从数字本身所占的位置看既不能把数字写满格，占满行，又不能把字写得太小，密密麻麻，让人不易辨清楚，更不能超越账页上既定的数格。 从字型上看，既不能让数字垂直上下，也不能歪斜过度，更不能左倾右斜，毫无整洁感觉。况且，书写后要让人看着合乎规定要求，既流利又美观，还方便纠错更改。 总之，财会工作中，尤其是会计记账过程中，阿拉伯数码字的书写同普通的书写汉字有所不同，且已经约定俗成，形成会计数字的书写格式。其具体要求是： 1、各数字自成体型，大小匀称，笔顺清晰，合乎手写体习惯，流畅、自然、不刻版。 2、书写是字迹工整，排列整齐有序且有一定的倾斜度（数字与底线成60度的倾斜）并以向左下方倾斜为好。 3、书写数字时，应使每位数字（7、9除外）紧靠底线且不要顶满格（行）。 一般来讲，每位数字约占预留格子（或空行）的1/2空格位置，每位数字之间一般不要连结，但不可预留间隔（以不增加数字为好）；每位数字上方预留1/2空格位置，可以订正错误记录时使用。 4、对一组数字的正确书写是，应按照自左向右的顺序进行，不可逆方向书写；在没有印刷数字格的会计书写中，同一行相邻数字之间应空出半个数字的位置。 5、除4、5以外的各单数字，均应一笔写成，不能人为地增加数字的数划。但注意整个数字要书写规范、流利、工整、清晰、易认不易改。 6、如在会计运算或会计工作底稿中，运用上下几行数额累计加减时，应尽可能地保证纵行累计数字的位数对应，以免产生计算错误。 7、对于不易写好、容易混淆且笔顺相近的数字书写，尽可能地按标准字体书写，区分笔顺，避免混同，以防涂改。
阿拉伯数字“1——10”的正确书写方法
阿拉伯数字“1——10”的正确书写方法 要求：用田字格本书写，数字1—9书写时占左边格。 1：从日字格的右上角附近起笔，画斜线到左下角附近。 2：起笔碰左线，然后向上向右碰线，略成半圆，斜线到左下角，碰下线一横。 3：起笔不碰线，向上碰线，向右不碰线，略成半圆，再向中间，在虚线以上停止，转向右下方碰线，向下碰线，弯弯地到左碰线为止。上下都是大半个圆弧，但下面比上面大。 4：从上线当中起，向左斜线到下格，碰左线后再横过去，向右碰线。第二笔从右上一半不到的地方向下，斜下去到下面的当中碰线。 5：从上线一半不到的地方，向左到中格角，再向上超过中线画一个大半圆碰右线、下线到左线为止，上面一横平，在右上线下面一点，向右碰线。 6：从上线偏右一点起，向左下方画一个弧形，碰左线、底线，绕圈向上，画成一个小圆，小圆上面超虚线。7：靠近上线，从左上角到右上角，再斜折到下面，在中间偏左的地方碰线。 8：从右向上到左一个半圆，拐向右下，碰右线、下线、左线，回上去，在虚线以上和原线相交，直线到右上角附近与起笔的地方稍离开一些为止。8是不封口的。 9：上面的一个圆是长圆，稍斜些，四角碰线，在右上角附近向左下
再一竖到下线中间。 0：从上端正中偏右起，向左画弧，虚线以下碰左线，再碰下线、右线，画成一个斜斜的椭圆，向上回到起笔的地方为止。 10：其中1写在田字格的左边，0写在田字格的右边，组成10字。 阿拉伯数字的标准写法 （1）、每个数字要大小匀称，笔划流畅；每个数码独立有形，使人一目了然，不能连笔书写。 （2）、书写排列有序且字体要自右上方向左下方倾斜地写，(数字与底线通常成60度的倾斜)。 （3）、书写的每个数字要贴紧底线，但上不可顶格。一般每个格内数字占1/2或2／3的位置，要为更正数字留有余地。 （4）、会计数码书写时，应从左至右，笔划顺序是自上而下，先左后右，防止写倒笔字。 （5）、同行的相邻数字之间要空出半个阿拉伯数字的位置，但也不可预留间隔(以不能增加数字为好)。 （6）、除“4”、“5”以外数字，必须一笔写成，不能人为地增加数字的笔划。 （7）、“6”字要比一般数字向右上方长出1/4，“7”和“9”字要向左下方（过底线）长出1/4。 （8）、对于易混淆且笔顺相近的数字，在书写时，尽可能地按标准字体书写，区分笔顺，避免混同，以防涂改。例如：“1”不可写得
古希腊数学
第二讲古希腊数学 《雅典学院》壁画介绍 拉斐尔(1483-1520)，是意大利文艺复兴时期的著名画家。1508年，拉斐尔被罗马教皇尤里乌斯二世邀去绘制梵蒂冈皇宫签字厅的四幅壁画。画于三面墙上和屋顶的四幅绘画，依据诗人德拉·欣雅杜尔的诗来配画，以歌颂神学、哲学、诗歌、法学为内容。拉斐尔在四面墙上画了四幅壁画：神学的《圣礼之争》（或教义之争）、哲学的《雅典学院》、诗歌的《帕拿巴斯山》、法学的《三德》。 《雅典学院》以古希腊著名哲学家柏拉图所创建的雅典学院为题，并以柏拉图及其弟子亚里士多德为中心，将古希腊、罗马、斯巴达以及意大利时期五十多位哲学家、科学家、思想家、文学家学者齐聚一堂，以此歌颂人类对智慧和真理的追求，赞美人创造力。 位居画面中心的左为柏拉图，右为亚里土多德，一个手指着上天，另一个则伸出右指着他前面的世界，以此表示他们不同的哲学观点：柏拉图的唯心主义和亚里土多德的唯物主义。这两个中心人物的两侧有许多重要的历史人物：左边穿白衣、两臂交叉的青年是马其顿王亚历山大，转身向左扳手指的是苏格拉底，斜躺在台阶上的半裸着衣服的老人是犬儒学派的哲学家第奥根尼。 台阶下的人物分为左右两组。左边一组中，站着伸头向左看的老者是阿拉伯学者阿维罗意，在他左前方蹲着看书的秃顶老人是毕达哥拉斯。右边弯腰和别人讨论的是阿基米德，手拿圆规者为欧几里得，右边尽头手持天体模型者是托勒密。 图中还出现的学者有伊壁鸠鲁、赫拉克立特、芝诺。 1．论证数学的兴起 泰勒斯(约前625-前547)，迄今所知最早的希腊数学家。没有任何第一手资料介绍这位学者本人或证实他所取得的成就，但他的生活与工作却留下了不少传说。据称他领导的爱奥尼亚学派首开证明之先河，他自己也证明了不少定理。 在论证数学的方向上，泰勒斯迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们还是倾向于将论证数学的成长归功于毕达哥拉斯以及他所创建的学派。 毕达哥拉斯(约前580-前500)，出生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于今意大利南部沿海的克洛托内，并在那里建立了自己的学派。该学派有严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派内部的秘密。因此，后人很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区分开来。该学派虽然是一个多少有点宗教性质的组织，但主要致力于哲学与数学的研究。相传“哲学”(希腊文意为“智力爱好”)与“数学”(希腊文意为“可学到的知识”)这两个词原为毕达哥拉斯所创。 几乎所有的西方文献都将勾股定理称为毕达哥拉斯定理。据传说，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰百牛祭神，但关于毕达哥拉斯如何证明该定理，始终是个迷。 毕氏学派的另一项几何成就是正多面体作图。他们称正多面体为“宇宙形”，一般认为，三维空间中仅有五种正多面体——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，它们的作图都与毕达哥拉斯及其学派有关。在所有正多面体中，正十二面体最为引人注目。这是因为，它的每个面都是正五边形，其作图问题涉及到了一个有趣的概念，那就是后人所称的“黄金分割”。 尽管毕氏学派做出了许多的几何成就，但这个最尊崇的信条即是“万物皆数”。这里的
阿拉伯数学
阿拉伯的数学 从九世纪开始，数学发展的中心转向拉伯和中亚细亚。 自从公元七世纪初伊斯兰教创立后，很快形成了强大的势力，迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区，跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内，阿拉伯文是通用的官方文字，这里所叙述的阿拉伯数学，就是指用阿拉伯语研究的数学。 从八世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期，巴格达成为学术中心，建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证和增补，大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上，迅速发展起来，直到15世纪还充满活力。 花拉子米(Al-khowarizmi)是阿拉伯初期最主要的数学家，他编写了第一本用阿拉伯语在伊斯兰世界介绍印度数字和记数法的著作。公元十二世纪后，印度数字、十进制值制记数法开始传入欧洲，又经过几百年的改革，这种数字成为我们今天使用的印度─阿拉伯数码。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》(《代数学》)系统地讨论了一元二次方程的解法，该种方程的求根公式便是在此书中第一次出现。现代“algebra”(代数学)一词亦源于书名中出现的“al jabr”。 三角学在阿拉伯数学中占有重要地位，它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发展了三角学。他们引进了几种新
的三角量，揭示了它们的性质和关系，建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有：阿尔巴塔尼(Al-Battani)、阿卜尔维法(Abu'l-Wefa)、阿尔比鲁尼(Al-Beruni)等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁(Nasir ed-din)完成的，该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支，对三角学在欧洲的发展有很大的影响。 在近似计算方面，十五世纪的阿尔卡西(Al-kashi)在他的《圆周论》中，叙述了圆周率π的计算方法，并得到精确到小数点后16位的圆周率，从而打破祖冲之保持了一千年的记录。此外，阿尔卡西在小数方面做过重要工作，亦是我们所知道的以「帕斯卡三角形」形式处理二项式定理的第一位阿拉伯学者。 阿拉伯几何学的成就低于代数和三角。希腊几何学严密的逻辑论证没有被阿拉伯人接受。 总的来看，阿拉伯数学较缺少创造性，但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期，其成绩相对显得较大，值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者，在黑暗时代过去后，这些精神财富才传回欧洲。欧洲人主要就是通过他们的译着才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。
第二章 古代希腊数学
第二章古代希腊数学 希腊数学一般是指从公元前600年至公元600年间，活动与希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。 古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。在这方面，这些海滨移民具有两大优势。首先，他们具有典型的开拓精神，对于所接受的事物，不愿因袭传统；他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会所特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。 2.1论证数学的发端 2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯 现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前547)。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。不过，关于泰勒斯并没有确凿的传记资料流传下来，我们对他在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得<原本>第一卷评注》一书，《评注》开始部分援引罗德岛的欧多莫斯（Eudemus of Rhodes,约公元前320 ）所撰《几何学史》的内容摘要说：“……（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理”。 普罗克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多莫斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理： 1.圆的直径将圆分为两个相等的部分； 2.等腰三角形两底角相等； 3.两相交的直线形成的对顶角相等； 4.如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全 等。 传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。 尽管没有任何第一手文献可以证实泰勒斯的这些成就，但上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。 关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。根据这些传说，泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高：利用一根垂直立竿，当竿长与影长相等时，通过观测金字塔的日影来确定其高；在巴比伦，泰勒斯接触了那里的天文表和测量仪器，并预报了公元前585年的一次日蚀，等等。 希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前580-前500)。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面著作。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等
希腊数学与中国数学比较
希腊数学与中国数学比较 古代希腊的数学，自公元前600年左右开始，到公元641年为止共持续了近1300年。前期始于公元前600年，终于公元前336年希腊被并入马其顿帝国，活动范围主要集中在驱典附近；后期则起自亚历山大大帝时期，活动地点在亚历山大利亚；公元641年亚历山大城被阿拉伯人占领，古希腊文明时代宣告终结。 而中国数学起源于遥远的石器时代，经历了先秦萌芽时期（从远古到公元前200年）；汉唐始创时期（公元前200年到公元1000年），元宋鼎盛时期（公元1000年到14世纪初），明清西学输入时期（十四世纪初到1919年）。 一、最早的有关数学的记载的比较 最早的希腊数学记载是拜占庭的希腊文的手抄本（可能做了若干修改），是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写的。其原因是希腊的原文手稿没有保存下来。而成书最早的是帕普斯公元三世纪撰写的《数学汇编》和普罗克拉斯（公元5世纪）的《欧德姆斯概要》。《欧德姆斯概要》一书是以欧德姆斯写的一部著作（一部相当完整的包括公元前335年之前的希腊几何学历史概略，但已经丢失）为基础的。 中国最早的数学专著有《杜忠算术》和《许商算术》（由《汉书·艺文志》记载可知），但这两部著作都已失传。《算术书》是目前可以见到的中国最早的，也是一部比较完整的数学专著。这部著作于1984年1月，在湖北江陵张家山出土大批竹简中发现的，据有关专家认定《算术书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成书时间应该更早，大约在战国时期。《算术书》采用问题集形式，共有60多个小标题，90多个题目，包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等。 结论：中国是四大文明古国之一，所有的文化创造，均源自华夏大地。一般来讲，中国的数学成果较古希腊为迟。 二、经典之作的比较 古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，欧几里得在《几何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，超过他以前的所有著作。《几何原本》分十三篇．含有467个命
阿拉伯数字
阿拉伯数字，真的是阿拉伯人发明的吗? 阿拉伯数字，是现今国际通用数字。每天的生活中，我们都会跟数字打交道，比如说1、2、3、4等等。我们管这些数字叫做阿拉伯数字，但是这些数字真的是阿拉伯人发明的吗？ 阿拉伯数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9共10个计数符号组成。采取位值法，高位在左，低位在右，从左往右书写。虽然叫阿拉伯数字，但是这些数字并不是阿拉伯人发明的，而是由古印度人发明的。 公元500年前后，随着经济、种姓制度的兴起和发展，印度次大陆西北部的旁遮普地区的数学一直处于领先地位。天文学家阿叶彼海特在简化数字方面有了新的突破：他把数字记在一个个格子里，如果第一格里有一个符号，比如是一个代表1的圆点，那么第二格里的同样圆点就表示十，而第三格里的圆点就代表一百。 后来，印度两河流域的古代居民在这个基础上加以改进，发明了表达数字的1，2，3，4，5，6，7，8，9，0十个符号，这就成为今天记数的基础。 公元632年，团结在伊斯兰教下的阿拉伯人征服了周围的民族，建立了东起印度，西从非洲到西班牙的阿拉伯帝国。公元700年前后，阿拉伯人征服了旁遮普地区，他们吃惊地发现：被征服地区的数学比他们先进，于是设法吸收这些数字。 771年，印度北部的数学家被抓到了阿拉伯的巴格达，被迫给当地人传授新的数学符号和体系，以及印度式的计算方法。由于印度数字和印度计数法既简单又方
便，其优点远远超过了其他的计算法，阿拉伯的学者们很愿意学习这些先进知识，商人们也乐于采用这种方法去做生意。 后来，阿拉伯人把这种数字传入西班牙。公元10世纪，又由教皇热尔贝·奥里亚克传到欧洲其他国家。公元1200年左右，欧洲的学者正式采用了这些符号和体系。至13世纪，在意大利比萨的数学家费婆拿契的倡导下，普通欧洲人也开始采用阿拉伯数字，15世纪时这种现象已相当普遍。 阿拉伯数字虽然起源于印度，但却是经由阿拉伯人传向四方的。正因阿拉伯人的传播，成为该种数字最终被国际通用的关键节点，所以人们称其为"阿拉伯数字"。如今，阿拉伯数字，已经是现今国际通用数字。
古希腊数学史
古希腊数学史 古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿 和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。 公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深 远的影响。 希腊数学的发展历史可以分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公 元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期， 结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。 从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期留下来的数学史料 很少。 不过希腊数学的兴起和希腊商人通过旅行交往接触到古代东方的文化有密切关系。 伊奥尼亚位于小亚细亚西岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累 下来的经验和文化。 在伊奥尼亚，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的活动性，有利于思 想自由而大胆地发展。 城邦内部的斗争，帮助摆脱传统信念在希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须 遵守的教条，因此有相当程度的思想自由。 这大大有助于科学和哲学从宗教分离开来。古希腊第一位科学家—泰勒斯 米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。 早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加 以发扬。 以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。 当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。
他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。 泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响 毕达哥拉斯毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。 毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。 他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。 这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。 伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著的不同。前者研习数学并不单纯为了哲学的兴趣，同时也为了实用。而后者却不注重实际应用，将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。 公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。 在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合