概率论与数理统计练习题(理工类)
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第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件及其运算
一、选择题
1.对掷一颗骰子的试验,在概率论中将“出现奇数点”称为 [ ] (A) 不可能事件 (B) 必然事件 (C) 随机事件 (D) 样本事件
2.甲、乙两人进行射击,A 、B 分别表示甲、乙射中目标,则A B 表示 [ ] (A) 二人都没射中 (B) 二人都射中 (C) 二人没有都射中 (D) 至少一个射中
3. 在电炉上安装了4个温控器,其显示温度的误差是随机的。在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”,设(1)(2)(3)(
4)T T T T
≤≤≤为4个温控器显示的按递增排列的温度值,则事件E 等于 (考研题 2000) [ ] (A) (1)0{}T t ≥ (B) (2)0{}T t ≥ (C) (3)0{}T t ≥ (D) (4)0{}T t ≥ 二、填空题:
1.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为“ ”。2. 假设B A ,是两个随机事件,且 AB A B =,则A B = ,AB = 。 3. 对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记上“正品”,不合格的记上“次品”,如连续查出2 个次品就停止检查,或检查4 个产品就停止检查,记录检查的结果,样本空间Ω为 。 三、计算题:
1.一盒内放有四个球,它们分别标上1,2,3,4号,试根据下列3种不同的随机实验,写出对
应的样本空间:
(1)从盒中任取一球后,不放回盒中,再从盒中任取一球,记录取球的结果; (2)从盒中任取一球后放回,再从盒中任取一球,记录两次取球的结果; (3)一次从盒中任取2个球,记录取球的结果。
2.设C B A ,,为三个事件,试将下列事件用C B A ,,的运算关系表示出来: (1)三个事件都发生; (2)三个事件都不发生;
(3)三个事件至少有一个发生; (4)A 发生,C B ,不发生; (5)B A ,都发生,C 不发生; (6)三个事件中至少有两个发生; (7)不多于一个事件发生; (8)不多于两个事件发生。
3. 甲、乙、丙三人各向靶子射击一次,设i A 表示“第i 人击中靶子” 1,2,3i 。 试说明下列各式表示的事件:
(1)123A A A ; (2)123()A A A ;(3)122313A A A A A A ;(4)123123123A A A A A A A A A 。
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第一章 随机事件及其概率
§1.2事件的频率与概率、§1.3古典概型和几何概型
一、选择题:
1.掷两颗均匀的骰子,事件“点数之和为3”的概率是 [ ] (A)
136
(B) 118 (C) 112 (D) 1
11
2.有6本中文书和4本外文书,任意往书架摆放,则4本外文书放在一起的概率是 [ ] (A)
4!6!10!? (B) 710 (C) 410 (D) 4!7!
10!
?
3.A 、B 为两事件,若()0.8,()0.2,()0.4P A B P A P B === ,则 [ ] (A) ()0.32P A B = (B) ()0.2P A B = (C) ()0.4P B A -= (D) ()0.48P B A = 二、填空题:
1.某产品的次品率为2%,且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品,取到的是一等品的概率为 。
2.设A 和B 是两事件,B A ?,()0.9,()0.36P A P B ==,则()P AB = 。 3.在区间(0,1)内随机取两个数,则两个数之差的绝对值小于1
2
的概率为(考研题 2007) 。 三、计算题:
1.设1
()()()4P A P B P C ===,1()0,()()8
P AB P AC P BC ===,求A 、B 、C 都不发生的概率。
2.罐中有12颗围棋子,其中8颗白子,4颗黑子,若从中任取3颗,求:
(1)取到的都是白子的概率;(2)取到的两颗白子,一颗黑子的概率;
(3)取到的3颗中至少有一颗黑子的概率;(4)取到的3颗棋子颜色相同的概率。
3. 甲、乙两人约定在上午7点到8点之间在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时即离去。
设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响,求二人能会面的概率。
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第一章 随机事件及其概率 §1.4条件概率、§1.5事件的独立性
一、选择题:
1.设A 、B 为两个事件,()()0P A P B ≠>,且A B ?,则下列必成立是 [ ] (A) (|)1P A B = (B) (|)1P B A = (C) (|)1P B A = (D) (|)0P A B = 2.设A ,B 是两个相互独立的事件,已知11
()()23
P A P B =
=,,则()P A B = [ ] (A)
12 (B) 56 (C) 23 (D) 3
4
3.对于任意两个事件A 和B (考研题 2003) [ ] (A) 若AB φ≠,则A B ,一定独立 (B) 若AB φ≠,则A B ,有可能独立 (C) 若AB φ=,则A B ,一定独立 (D) 若AB φ=,则A B ,一定不独立 *4.设,A B C 和是两两独立,则事件,,A B C 相互独立的充要条件是(考研题 2000) [ ] (A) A 和BC 独立 (B) AB 和A C 独立 (C) AB 和BC 独立 (D) A B 和B C 独立 二、填空题:
1.设()0.6,()0.84,(|)0.4P A P A B P B A === ,则()P B = 。 2.已知123,,A A A 为一完备事件组,且121()0.1,()0.5,(|)0.2P A P A P B A ===2(|)0.6P B A =
3(|)0.1P B A =,则1(|)P A B = 。
3.设两两独立的事件A ,B ,C 满足条件ABC φ=,1
()()()2
P A P B P C ==<
,且已知9
()16
P A B C =
,则()P A = (考研题 1999)。 三、计算题:
1.某产品由甲、乙两车间生产,甲车间占60%,乙车间占40%,且甲车间的正品率为90%,乙车间的正品率为95%,求: (1)任取一件产品是正品的概率;
2.为了防止意外,在矿内同时设有两报警系统A 与B ,每种系统单独使用时,其有效的概率系统A 为0.92,系统B 为0.93,在A 失灵的条件下,B 有效的概率为0.85,求: (1)发生意外时,这两个报警系统至少一个有效的概率; (2)B 失灵的条件下,A 有效的概率。
四、证明题
设A ,B 为两个事件,(|)(|)()0()0P A B P A B P A P B =>>,,,证明A 与B 独立。
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第二章 随机变量及其分布
§2.1随机变量概念及分布函数、 §2.2离散型随机变量及其分布
一、选择题:
1.设X 是离散型随机变量,以下可以作为X 的概率分布是 [ ]
(A)
1234
11112
4
8
16
X
x x x x p (B) 1234
11112488X
x x x x p
(C)
1234
111123
4
12X
x x x x p
(D) 1234
111
12
3
412
X
x x x x p
- 2.设随机变量X 的分布列为
0123
0.10.30.40.2
X p ,)(x F 为其分布函数,则(1)F = [ ]
(A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.8 (D) 1
3. 设随机变量(2,)X B p ,已知(1)(5)P X P X ===,则(2)P X == [ ] (A)
164 (B) 316 (C) 864 (D) 1564
二、填空题:
1.设随机变量X 的概率分布为
012
0.20.5
X p a ,则a = 。
2.某产品15件,其中有次品2件。现从中任取3件,则抽得次品数X 的概率分布为
。
3.设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次,则击中目标次数X 的概率分布为
。 三、计算题:
1.同时掷两颗骰子,设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”,求: (1)X 的概率分布; (2)(3)P X ≤; (3)(12)P X >。
2.一袋中装有5只球编号1,2,3,4,5。在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中最大号码,写出随机变量X的分布律和分布函数。
λ=的泊松分布,问在月初3.某商店出售某种物品,根据以往经验,每月销售量X服从参数为4
进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要?
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第二章 随机变量及其分布
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
一、选择题:
1.设连续型随机变量X 的密度函数为ln [1,]
()0[1,]x x b f x x b ∈?=???
,则常数b = [ ]
(A) e (B) 1e + (C) 1e - (D) 2
e
2. 设随机变量的分布函数为()arctan ,F x A B x x =+-∞<<∞,则常数,A B = [ ] (A) 11,2A B π=
= (B) 11,2A B π== (C) 1,1A B π== (D) 11,A B π
== *3.设12(),()F x F x 是随机变量的分布函数,12(),()f x f x 是相应的概率密度函数,
则以下必为概率密度的是(考研题 2011) [ ] (A) 12()()f x f x (B)122()()f x F x (C)12()()f x F x (D)1122()()()()f x F x f x F x + 二、填空题:
1.设连续型随机变量X 的概率密度为2
01()0
Ax x f x ?≤≤=?
?其他
,则常数A = 。
2. 设随机变量~(1,6)X U ,求方程2
10t Xt ++=有实根的概率为 。
3.设随机变量2
~(2,)X N σ,已知(24)0.4P X ≤≤=,则(0)P X ≤= 。
三、计算题:
1.设~(1,4)X U ,求(5)P X ≤和(0 2.5)P X ≤≤。
2.设随机变量X的密度函数为
01
()12
x x
f x ax b x
≤<
?
?
=+≤≤
?
?
?其他
,且
37
(0)
28
P X
<≤=,求:
(1)常数,a b;(2)
13
()
22
P X
<<;(3)X的分布函数()
F x。
3.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min)服从参数
1
5
λ=的指数分布,现某顾客
在窗口等待服务,若超过10min,他就离开。求:
(1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率;
(2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次当中至多有一次未等到服务的概率。
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第二章 随机变量及其分布
§2.4随机变量函数的分布
一、选择题:
1.已知X 的概率分布律为
2101
23
20.132i
X
p a a a a a
-- ,则2(4)P X == [ ] (A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.5
2.设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量1, 00, 01, 0X Y X X >??
==??-
若若若,则随机变量Y 的
分布律为 [ ]
(A)
10121033Y
-概率 (B)
10112033Y -概率
(C)
101
210
3
3
Y
-概率
(D)
101120
3
3
Y
-概率
3. 设X 的密度函数为2, 01
()0, x x f x <=?
?其他
,则随机变量2Y X =的概率密度为 [ ]
(A) , 02()20, y y f y ?<=???其他 (B) , 01
()20, y y f y ?<=???其他
(C) , 02()40, y y f y ?<=???其他 (D) , 01
()40, y y f y ?<=???其他
二、填空题:
1.设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则X
Y e =的概率密度为 。 2. 对圆片直径进行测量,测量值X 服从(5,6)上的均匀分布,则圆面积Y 的概率密度为 。
3. 设随机变量X 的服从参数为1λ=的泊松分布,记随机变量0, 1
1, 0X Y X ≤?=?
若若,则随机变量Y
三、计算题:
1.设~(0,1)X N ,求:
(1)2
Y X =的概率密度; (2)||Y X =的概率密度。
*2.设随机变量X
的概率密度为[1,8],
()()0,x f x F x ∈=?
,其他是X 的分布函数,求随机变量 ()Y F X =的分布函数(考研题 2003)。
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第二章 随机变量及其分布
综合练习
1. 从一批含10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取。设每次抽取时,各件产品抽取到的可能性相等。在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律。 (1)每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2)每次取出的产品都不放回这批产品中; (3)每次取出一件产品后总是放回一件正品。
2. 设随机变量X 具有概率密度
????
???≤≤-<≤=.
,0,43,22,30,)(其他x x x kx x f
(1)确定常数k ;(2)求X 的分布函数)(x F ;(3)求}2
71{≤ 3. 某种电子元件在电源电压不超过220伏,200 240伏,及超过240伏3种情况下,损坏率依次 为 0.1,0.001及0.2 。设电源电压2(220,25)X N ,试求: (1)此种电子元件的损坏率; (2)此种电子元件损坏时,电源电压在200 240伏的概率。 4. 某城市成年男子的身高2(170,6)X N (单位:厘米)。(1)问应如何设计公共汽车车门的高 度,才能使该城市成年男子与车门碰头的概率小于0.01?(2)若车门设计高度为182厘米,求该城市10个男子与车门顶碰头人数不多于1人的概率? 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量及其分布 §3.1 二维随机变量及其分布、§3.2边缘分布 一、选择题: 1.下列函数可以作为二维分布函数的是 [ ] (A) 1,0.8,(,)0,.x y F x y +>?=??其他 (B) 00,0,0, (,)0,.y x s t e dsdt x y F x y --?>>?=?????其他 (C) (,)y x s t F x y e dsdt ---∞-∞=?? (D) ,0,0,(,)0,.x y e x y F x y --?>>=?? 其他 2.设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为()22 ,02,14,(,)0, .k x y x y f x y ?+<<< =???其他 则k 的值必为 [ ] (A) 130 (B) 150 (C) 160 (D) 180 二、填空题: 1. ),(Y X 的联合分布率由下表给出,则α,β应满足的条件是 。 2.),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=-∞),(y F , ),(Y X 的分布函数为 ),(y x F ,则=+),0(y x F 。 3.若),(Y X 的联合密度为(2),0,0,(,)0,.x y Ae x y f x y -+?>>?=??? 其他,则常数A = , (2,1)P X Y ≤≤= 。 三、计算题: 1. 在一箱子中装有12只开关,其中2只次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种实验: (1)放回抽样;(2)不放回抽样。我们定义随机变量X ,Y 如下: 01X ?=? ?若第一次出的是正品若第一次出的是次品 , 01Y ?=?? 若第二次出的是正品 若第二次出的是次品 试分别就(1),(2)两种情况,写出X 和Y 的联合分布律。 2.设随机变量(,)X Y 的概率密度为(6)02,24 (,)0k x y x y f x y --<<<=? ? 其他,求: (1)常数k ; (2){ 1.5}P X <; (3){4}.P X Y +≤ 3. 设二维随机变量(,)X Y 在G 上服从均匀分布,其中G 由0,2x y x y -=+=与0y =围成,求: (1)边缘密度()X f x ; *(2)条件概率密度|(|)X Y f x y 。 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第三章 多维随机变量及其分布 §3.4随机变量的独立性、§3.5二维随机变量函数的分布 一、选择题: 1. 设随机变量X 与Y 独立,且22 1122(,),(,)X N Y N μσμσ ,则Z X Y =-仍服从正态分布, 且有 [ ] (A) 221212(,)Z N μμσσ++ (B) 22 1212(,)Z N μμσσ+- (C) 221212(,)Z N μμσσ-- (D) 221212(,)Z N μμσσ-+ 2. 若(,)X Y 服从二维均匀分布,则 [ ] (A) 随机变量,X Y 都服从均匀分布 (B) 随机变量,X Y 不一定服从均匀分布 (C) 随机变量,X Y 一定不服从均匀分布 (D) 随机变量X Y +服从均匀分布 3. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N (0,1)和N (1,1),则 [ ] (A) {}01/2P X Y +≤= (B) {}11/2P X Y +≤= (C) {}01/2P X Y -≤= (D) {}11/2P X Y -≤= 二、填空题: 1. 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为2,01,02 (,)3 0, .xy x x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他, 则(1)P X Y +≥= 。 2. 设随机变量,X Y 同分布,X 的密度函数为2 3,02 ()80,x x f x ?<=???其他 ,设{}A X a =>与 {}B Y a =>相互独立,且3 ()4 P A B ?= ,则a = 。 三、计算题: 1.已知2{},{},(1,2,3)a b P X k P Y k k k k == =-==,X 与Y 独立,确定a ,b 的值,求出(,)X Y 的联合概率分布以及X Y +的概率分布。 2.随机变量X 与Y 的联合密度函数为3412,0,0 (,)0, x y e x y f x y --?>>=??其他,分别求下列概率密度函 数:(1)Z X Y =+; (2)max{,}M X Y =; (3)min{,}N X Y =。 3.设X 和Y 相互独立,其概率密度函数分别为101 ()0X x f x ≤≤?=??其它,0()0 y Y Ae y f y y -?>=? ≤?, 求:(1)常数A ; (2)随机变量Z X Y =+的概率密度函数。 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征 §4.1 数学期望 一、选择题: 1.设X 的概率密度为201 ()0x x f x <=?? 其他,则()E X = [ ] (A) 12 (B) 2 3 (C) 1 (D) 2 2.设ξ是随机变量,()E ξ存在,若2 3 ξη-=,则()E η= [ ] (A) ()E ξ (B) ()3E ξ (C) ()2E ξ- (D) ()2 33 E ξ- 3.设随机变量X 和Y 独立且服从(0,)θ上的均匀分布,则{min(,)}E X Y =(考研题2011)[ ] (A) 2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4 θ 二、填空题: 1.设随机变量X 的可能取值为0,1,2,相应的概率分布为0.6,0.3,0.1,则()E X = 。 2.设随机变量X 的概率分布 ,则2(3)E X X += 。 3.设X 为正态分布的随机变量,概率密度为2 (1)8()x f x +-=,则2(21)E X -= 。 *4.设随机变量(,1,2,,)ij X i j n = 独立且同分布,()2ij E X =,则行列式 11 121212221 2n n n n nn X X X X X X Y X X X = 的数学期望()E Y = (考研题 1999)。 三、计算题: 1.袋中有5个乒乓球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3个,以X表示取出的3个球中最大编号,求:(1)X的分布律;(2)求X的数学期望(). E X 2.设随机变量X的密度函数为 () 00 x e x f x x - ?≥ =? < ? ,试求下列随机变量的数学期望: (1)2 1X Y e- =;(2) 2max{,2} Y X =;(3) 3min{,2} Y X =。