基于MATLAB的动态规划常用算法的实现
第7卷 第4期2008年12月 太原师范学院学报(自然科学版)JOU R N AL O F T AI YU AN N O RM A L U N IV ERSIT Y (Nat ur al Science Edition) V o l.7N o.4
D ec.2008基于M AT LA B 的动态规划常用算法的实现
孙 宝 王希云
(太原科技大学数学系,山西太原030024) 〔摘要〕 运用M ATLAB 编程实现了动态规划的逆序、顺序、双向混合算法,并分别应用于求解几类典型问题,验证了该方法的有效性,同时表明该程序对求解动态规划多类典型问题是通用的,丰富了M AT LAB 优化工具箱,具有一定的应用价值.
〔关键词〕 动态规划;逆序算法;顺序算法;混合双向算法;M ATLAB
〔文章编号〕 1672-2027(2008)04-0026-05 〔中图分类号〕 O 221.3 〔文献标识码〕 A
0 引言
动态规划(Dy nam ic Prog ramming )是求解决策过程最优化的有效数学方法[1].它是根据“最优决策的任何截断仍是最优的”这一原理,通过将多阶段决策过程转化为一系列单阶段问题,逐个求解的优化求解方法.目前常用的方法有逆序、顺序以及双向混合算法.M ATLAB 是决策系统的优化计算和设计的有力工具,但该工具箱中尚无动态规划计算的程序文档.
本文通过求解几类动态规划典型问题将三种常用算法用M atlab 实现,体现了程序的通用性,拓展了M ATLAB 语言的相关程序,克服了该程序使用的局限性,提供了求解相关动态规划问题的有效工具,丰富了M ATLAB 优化工具箱.
1 动态规划的基本模型
实际中,要构造一个标准的动态规划模型,通常需要采用以下几个步骤[2]:
1)划分阶段:按照问题的时间或空间特征,把问题分为若干个阶段.这些阶段必须是有序的或者是可排序的(即无后向性),否则,应用无效.
2)选择状态:将问题发展到各个阶段时所处的各种客观情况用不同的状态表示,称为状态.状态的选择要满足无后效性和可知性,即状态不仅依赖于状态的转移规律,还依赖于允许决策集合和指标函数结构.
3)确定决策变量与状态转移方程:当过程处于某一阶段的某个状态时,可以做出不同的决策,描述决策的变量称为决策变量.在决策过程中,由一个状态到另一个状态的演变过程称为状态转移.
4)写出动态规划的基本方程:动态规划的基本方程一般根据实际问题可分为两种形式,逆序形式和顺序形式.动态规划基本方程的逆序形式为:
f k (x k )=opt u k ∈D k (x k ){v k (x k ,u k )+f k +1(x k +1)},k =n ,n -1,…,2,1
边界条件:f n +1(x n +1)=0或f n (x n )=v n (x n ,u n )
其中第k 阶段的状态为x k ,其决策变量u k 表示状态处于x k +1的决策,状态转移方程为x k +1=T k (x k ,u k ),k 阶段的允许决策集合记为D k (x k ),v k (x k ,u k )为指标函数.
当求解时,由边界条件从k =n 开始,由后向前逆推,逐阶段求出最优决策和过程的最优值,直到最后求出f 1(x 1)即得到问题的最优解.
类似地,动态规划基本方程的顺序形式为:
收稿日期:2008-08-14
作者简介:孙 宝(1981-),男,山西太谷人,太原科技大学数学系在读研究生,助教,主要从事最优化理论及其应用研究.
f k (x k +1)=opt u k ∈D k (x k +1){v k (x k +1,u k )+f k -1(x k )},k =1,2,…,n -1,n
边界条件:f 0(x 1)=0
不同于以上单向递推算法的双向混合算法的基本方程为:
ff k (x k +1)=max /min[V k (x k +1,u k )+f f k -1(x k )],k =1,2,…
f b j (y j )=m ax /m in[V j (y j ,u j )+f b j +1(y j +1)],j =n ,n -1,…
始端条件:ff 0(x 1)=0;x k =T k (x k +1,u k )
终端条件:f b n +1(y n +1)=0;y j +1=T J (y j ,j ).
2 几类典型问题的实现
本段将针对几类动态规划典型问题利用三种常用算法及M atlab 程序实现其结果.下面以资源分配问题为例来具体说明求解过程.
2.1 建立动态规划模型
1)把问题的演变过程划分为恰当的阶段.
将A ,B ,C ,D 四个要害划分为4个阶段k = 4.
2)选择状态变量,使之既能描述过程的演变又满足无后效性.令状态量x k 为第k 个要害处应派往的巡逻队数.
图1 逆序算法程序Fig .1 T he backw ard algo rithm pr ocedur e
3)选择决策变量u k 及相应的允许决策集合
D k (x k )={u k 2≤u k ≤4}(k =1,2,3,4).
4)写出状态转移方程
状态转移方程:x k +1=x k -u k .
5)写出指标函数
指标函数为:V k ,4=
∑4
i =k p k (u k )用p k (u k )表示k 阶段派
出的巡逻队数为u k .
6)写出基本方程先考虑给D 部位派巡逻队,k =4
基本方程为:f 4(x 4)=m in {p 4(x 4)+f 5(x 5)},
f 5(x 5)=0
2.2 算法主程序框图(逆序算法为例,见图1)
在这里仅以动态规划逆序算法进行讨论,顺序算法类
似.对于各个阶段的子问题的求解方法基本都是相同的,
在当前阶段的所有子问题求得最优决策以后,通过状态转
移方程可以确定出下一阶段的状态和允许状态集合,从而
可以在决策集合上来寻求这个新阶段的最优决策.从第n
个阶段出发,直到第一个阶段为止,即可得到全过程的最
优决策.
2.3 逆序、顺序、双向混合算法的实现结果[3]
2.3.1 基于M ATLAB 的动态规划逆序算法的实现
复杂系统可靠性问题描述:
某电子设备由5种元件1,2,3,4,5组成,其可靠性分
别为0.9,0.8,0.5,0.7,0.6.为保证电子设备系统的可靠
性,同种元件可并联多个.现允许设备使用元件的总数为
15个,问如何设计使设备可靠性最大的元件安排方案.27
第4期 孙 宝等:基于M A T LA B 的动态规划常用算法的实现
28太原师范学院学报(自然科学版) 第7卷
表1 复杂系统可靠性问题
T able1 T he pro blem o f co mplex system r eliability
基于M A T LA B的动态规划逆序算法对复杂系统可靠性问题的实现
目标函数functio n y=O bjF un(v,f)
状态转移方程functio n y=T ransF un(k,x,u)
决策函数functio n u=DeciseF un(k,x)
指标函数functio n v=SubO bjF un(k,x,u)
5种元件分别并联的个数2,2,4,3,4
系统总可靠性最优结果0.8447
资源分配问题描述:
某警卫部门共有12支巡逻队,负责4个要害部位A,B,C,D的警卫巡逻。对每个部位派出2～4支巡逻队,并且派出的巡逻队数量不同,各部位预期在一段时期内可能造成损失有差别,具体数字如下.问该警卫部门应往各部位分别派多少巡逻队,才能使总的预期损失最小.
部位 A B C D
队数
218382434
314352231
410312125
表2 资源分配问题
T able2 T he pro blem o f reso ur ce allo cat ion
基于M A T LA B的动态规划逆序算法对资源分配问题的实现
目标函数functio n y=O bjF un(v,f)
状态转移方程functio n y=T ransF un(k,x,u)
决策函数functio n u=DeciseF un(k,x)
指标函数functio n v=SubO bjF un(k,x,u)
各部位分别派往的队数4,2,2,4
预期的最小损失97
2.3.2 基于M ATLAB的动态规划顺序算法的实现
任务均衡问题描述:
现有4种不同的车床1,2,3,4,同时加工500件相同的零件.各车床加工一个零件的时间分别为0.5h,0. 1h,0.2h,0.05h.问如何给4个车床分配加工零件数目,使完工时间最短?
表3 任务均衡问题
T able3 T he pr oblem of task balance
基于M A T LA B的动态规划顺序算法对任务均衡问题的实现
目标函数functio n y=O bjF un(v,f)
状态转移方程functio n y=T ransF un(k,x,u)
决策函数functio n u=DeciseF un(k,x)
指标函数functio n v=SubO bjF un(k,x,u)
4种车床同时加工的数目27,135,67,271
最短完工时间h13.55
资源分配问题描述:
某警卫部门共有12支巡逻队,负责4个要害部位A,B,C,D的警卫巡逻.对每个部位派出2～4支巡逻队,并且派出的巡逻队数量不同,各部位预期在一段时期内可能造成损失有差别,具体数字如下.问该警卫部门应往各部位分别派多少巡逻队,才能使总的预期损失最小.
部位 A B C D
队数
2
183824343
14352231410312125
表4 资源分配问题
T able 4 T he pro blem o f reso ur ce allo cat ion
基于M A T LA B 的动态规划顺序算法对资源分配问题的实现
目标函数functio n y =O bjF un (v ,f )
状态转移方程functio n y =T ransF un(k ,x ,u )
决策函数functio n u =DeciseF un (k ,x )
指标函数functio n v =SubO bjF un(k ,x ,u )
各部位分别派往的队数4,2,2,4
预期的最小损失97
2.3.3 基于M ATLAB 的动态规划双向混合算法的实现
最短路径问题描述:
某一出行者由A 地出发前往G 地,所给的线路网络如图2所示.两点之间连线上的数字表示两点间的距离,出行者要从网络中选择一条路径,使得路径的距离最短,见图
2.
图2 最短路径问题
F ig.2 T he sho rt est pat h pr oblem
混合双向算法主要步骤:
Step1 定义集合A 和集合B ,A ,B 集合用以存储双向递推状态,初始化A = ,B = , 表示空集.Step 2 f f k (x k +1)=m ax /m in[V k (x k +1,u k )+f f k -1(x k )],k =1,2,…
f b j (y j )=m ax /m in[V j (y j ,u j )+f b j +1(y j +1)],j =n ,n -1,…
A =A ∪X f ,
B =B ∪Yb ,X f ,X b 分别为向前和向后各自递推到某一阶段状态集.
Step3 A ∩B ≠ 是否成立,不成立转step2,成立则结束.
Step 4 输出搜索的最优结果.
最短路径问题算法实现:
为了区别用M ,N 分别代替集合A ,B ,始端条件:ff 0(x 1)=0;终端条件:f b 7(y 7)=0.开始双向递推时M ={A },N ={G };
当k =1,j =6时
ff 1(x 2)=m in[v 1(x 2,u 1)+ff 0(x 1)],f f 0(x 1)=0,x 2={B 1,B 2}
ff 1(B 1)=min[d 1(B 1,A )+0]=5
ff 1(B 2)=min[d 1(B 2,A )+0]=3
M ={A ,B 1,B 2}
f b 6(y 6)=m in[v 6(x 6,u 6)+f b 7(x 7)],f b 7(y 7)=0,y 6={F 1,F 2}
f b 6(F 1)=min[d 6(F 1,G )+0]=4f b 6(F 2)=min[d 6(F 2,G )+0]=3
N ={G ,F 1,F 2}
29
第4期 孙 宝等:基于M A T LA B 的动态规划常用算法的实现
30太原师范学院学报(自然科学版) 第7卷
k=2,j=5时同理,
当k=3,j=4时,求得M={A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3},N={G,F1,F2,E1,E2,E3,D1,D2,D3}所以, M∩N={D1,D2,D3}结束计算.所得的最短路径为:A-B1-C2-D1-E2-F2-G.最短距离为18.
表5 最短路径问题
T able5 T he sho rt est pat h pr oblem
基于M A T LA B的动态规划混合双向算法对最短路径问题的实现
每个阶段的站点数目A=[1,2,4,3,3,2,1]
所有站点的个数总和fo r i=1:16
顺序起点的状态序列数F f=1
逆序起点的状态序列数F d=7
所有站点间的距离[5,3,-1,-1;1,3,6,-1;-1,8,7,6,…]
最短路径标号1121221
最短路径值18
在该程序实现过程中只需要确定该问题中每阶段的站点个数、所有站点个数和、顺序及逆序起始状态的序列数这4个参数,最后输入所有站点的间距然后调用主程序求解则可以读出最优结果,具体可参看图2,这里显示的最短路径标号1121221表示为所求得的最短路径为:A-B1-C2-D1-E2-F2-G.
最后需要强调的是本文所提到的最短路径问题仅限于图2类型或可以转化为图2形式的一类问题,具体的转化过程可以参考文献[4][5].
2.4 结果分析与说明
通过对几类典型问题的求解可以充分地证明,本文采用的求解动态规划问题的方法和M atlab实现程序是有效可行的,由此可以求得问题的全局最优解.特别是在变量的使用和存贮处理上,所采用的方法使得利用现有计算机资源求解一般性的动态规划问题成为可能.但值得注意的是:在很多情况下,在确定某阶段状态时,首先要获取前一阶段的决策,因此,需将每个阶段的最优子决策和指标值记录并保存.当每个阶段都有多个状态时,则须计算该状态下的所有可能决策.为了快速寻找并调用相应计算结果,有必要对各阶段的所有状态进行唯一简单的标识,并记录其存储地址.根据目前的计算机技术水平,这种方法也不是对任何动态规划问题都能解决,当问题的阶段数和各阶段的状态数很大时,从理论上是可行的,但实际是无法做到的.这一点还需要我们进一步地探讨、研究.
参考文献:
[1] 胡良剑,丁晓东,孙晓君.数学实验—使用M AT LAB[M].上海:上海科学技术出版社,2001:180-192
[2] 胡运权.运筹学教程[M].北京:清华大学出版社,1998:236-242
[3] 张志涌.精通M AT LAB6.5版[M].北京:北京航空航天大学出版社,2003
[4] 庞素超.经过转化可用动态规划方法求解最短路问题[J].牡丹江师范学院学报,1997(2):35-37
[5] 庞素超,陈 实.用动态规划方法求解最短路问题[J].大庆石油学院学报,2007,31(3):118-120
Realization of the Algorithms in Common Use for
Dynamic Programming Using the Matlab
Sun Bao Wang Xiyun
(Depar tment of M athematics,T aiy ua n U niver sity o f Science a nd T echnolog y,T aiy uan030024,China) 〔Abstract〕 The backw ard,for ward,two-way algor ithms fo r dy nam ic prog ramming are pr ogram med by using M ATLAB.And the pr oblems ar e so lved by the prog rams,w hich illustrate that the prog rams are effectiv e and can solve all kinds o f dynamic pro gramm ing pr oblem s.T he pr ogram s are supplement to the o ptimization tool box o f MAT LAB,and have a value to be applied.
〔Key words〕 dy namic prog ramm ing;backw ar d algor ithm;fo rw ard algo rithm;tw o-w ay algor ithm;MAT LAB
动态规划-图论
§1动态规划模型 如图所示，给定一个线路网络，两点之间连线上的数字表示 两点间距离，试求一条从A到E的路线，使总距离为最短。Mattlab求解： 首先利用Excel建立两个工作表edge和n分别存储图的上三 角阵和顶点数量。其中edge= 99999 5 2 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 6 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 8 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 1 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 3 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 7 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 99999 n=9,然后在Matlab调入以上数据。同时将自编的动态规划 软件“dynamic.m”调入当前目录之中，在Matlab命令窗口
输入dynamic,回车后则在窗口显示出路径Path 和距离distance §2 最小生成树 例1 某工厂要架设局域网联通工厂各个部门。已知工厂有7个部门，各个部门间铺设网线的距离如上图所示，计算出铺设网线的最短距离。 Matlab 的算法： 首先，将上图的邻接矩阵存储为G ,顶点数存储为N ；即：G= 99999 50 60 99999 99999 99999 99999 50 99999 99999 65 40 99999 99999 60 99999 99999 52 99999 99999 45 99999 65 52 99999 50 30 42 99999 40 99999 50 99999 70 99999 99999 99999 99999 30 70 99999 99999 99999 99999 45 42 99999 99999 99999 2 5 3 1 4 7 6 50 60 45 65 52 40 50 70 30 42
动态计划求解方法的Matlab实现及应用[]
动态规划求解方法的Matlab实现及应用[1].txt我自横刀向天笑，笑完我就去睡觉。你的手机比话费还便宜。路漫漫其修远兮，不如我们打的吧。第 %卷第 ,期信息工程大学学报 S>:+% <>+, !""’年 >月 T>8D3F: >C 53C>DEFB2>3 G3?23@@D23? 032H@DA2BI 6@N+!""’ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !! 动态规划求解方法的 !"#$"%实现及应用 于斌，刘姝丽，韩中庚 <信息工程大学信息工程学院，河南郑州 #’"""!） 摘要：文章对动态规划问题的求解方法进行了分析研究，根据问题的特点、难点和关键点做了 针对性的处理，然后用 !"#$"%做了实现尝试，从而实现了“最佳组队”和“最短路线”等问题的 求解。实践证明所采用方法和程序都是有效的。 关键词：动态规划；基本方程；!"#$"%实现；最佳组队 中图分类号：* !!&+,文献标识码：-文章编号：&%.& $ "%.,’
$ "# !"#$"% &’"$(>"#(*+ *, #-’ ./+"0(1 23*43"00(+4 5663*"1-"+7 8#9 566$(1"#(*+ /0 123，450 6789:2，。-< =7>3?9?@3? <53AB2B8B@ >C 53C>DEFB2>3 G3?23@@D23?，53C>DEFB2>3 G3?23@@D23? 032H@DA2BI，=7@3?J7>8 #’"""!，K723F） 5%9#3"1#：1I F3F:IJ23? F3L 23H@AB2?FB23? B7@ LI3FE2M ND>?DFEE23? FNND>FM7，F3 @CC@MB2H@ L2AN>AF: 7FA O@@3 L>3@
动态规划 销售人员分配问题(matlab编程)
数学规划课程设计 题目：销售人员费配问题 姓名： 学号： 成绩： 2011年6月
销售人员费配问题 摘要：动态规划程序设计是对解最优化问题的一种途径、一种方法，而不是一种特殊算法，本论文通过对动态规划的基本概念和基本思路，并利用Matlab对动态规划中的销售人员分配问题进行了分析，然后利用Matlab语言进行了程序设计和计算，是复杂问题简单化，避免了繁琐的计算，从而使问题能跟方便地得到解决。 关键词：动态规划销售人员分配问题Matlab语言
一、问题重述 某企业甲、乙、丙三个销售市场，其市场的利润与销售人员的分配有关，现有6个销售人员， 二、问题分析 首先我们对设备的分配规定一个顺序，即先考虑分配给甲市场，其次乙市场，最后丙市场，但分配时必须保证企业的总收益最大。 将问题按分配过程分为三个阶段，根据动态规划逆序算法，可设： 1、阶段数k=1，2，3（即甲、乙、丙三个市场的编号分别为1，2，3）； 2、状态变量x k 表示分配给第k 个市场至第3个市场的人员数（即第k 阶段初尚未分配的人员数）； 3、决策变量u k 表示分配给第k 市场的人员数； 4、状态转移方程：x k+1=x k -u k ; 5、g k (u k )表示u k 个销售人员分配到第k 个市场所得的收益值，它由下表可查得； 6、f k (x k )表示将x k 个销售人员分配到第k 个市场所得到的最大收益值，因而可得出递推方程： f k (x k )= 6 ,...,1,0max =k u [ g k (u k )+ f k+1(x k -u k )]，k=1，2，3 f 4(x 4)=0 三、问题求解 1）k=3时，市场丙的分配方案和总收益. 最大收益：f 3(x 3)=6 ,...,1,0max 3=u [g 3(x 3)]
最优化方法的Matlab实现(公式(完整版))
第九章最优化方法的MatIab实现 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解数学模型建好以后，选择合理的最优化方法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 9.1 概述 利用Matlab的优化工具箱，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。 具体而言，包括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的最小二乘问题。另外，该工具箱还提供了线性、非线性最小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径。 9.1.1优化工具箱中的函数 优化工具箱中的函数包括下面几类： 1 ?最小化函数
2.方程求解函数 3.最小—乘（曲线拟合）函数
4?实用函数 5 ?大型方法的演示函数 6.中型方法的演示函数 9.1.3参数设置 利用OPtimSet函数，可以创建和编辑参数结构；利用OPtimget函数，可以获得o PtiOns优化参数。 ? OPtimget 函数 功能：获得OPtiOns优化参数。 语法：
王能超 计算方法——算法设计及MATLAB实现课后代码
第一章插值方法 1.1Lagrange插值 1.2逐步插值 1.3分段三次Hermite插值 1.4分段三次样条插值 第二章数值积分 2.1 Simpson公式 2.2 变步长梯形法 2.3 Romberg加速算法 2.4 三点Gauss公式 第三章常微分方程德差分方法 3.1 改进的Euler方法 3.2 四阶Runge-Kutta方法 3.3 二阶Adams预报校正系统 3.4 改进的四阶Adams预报校正系统 第四章方程求根 4.1 二分法 4.2 开方法 4.3 Newton下山法 4.4 快速弦截法 第五章线性方程组的迭代法 5.1 Jacobi迭代 5.2 Gauss-Seidel迭代 5.3 超松弛迭代 5.4 对称超松弛迭代 第六章线性方程组的直接法 6.1 追赶法 6.2 Cholesky方法 6.3 矩阵分解方法 6.4 Gauss列主元消去法
第一章插值方法 1.1Lagrange插值 计算Lagrange插值多项式在x=x0处的值. MATLAB文件：（文件名：Lagrange_eval.m）function [y0,N]= Lagrange_eval(X,Y,x0) %X,Y是已知插值点坐标 %x0是插值点 %y0是Lagrange插值多项式在x0处的值 %N是Lagrange插值函数的权系数 m=length(X); N=zeros(m,1); y0=0; for i=1:m N(i)=1; for j=1:m if j~=i; N(i)=N(i)*(x0-X(j))/(X(i)-X(j)); end end y0=y0+Y(i)*N(i); end 用法》X=[…];Y=[…]; 》x0= ; 》[y0,N]= Lagrange_eval(X,Y,x0) 1.2逐步插值 计算逐步插值多项式在x=x0处的值. MATLAB文件：（文件名：Neville_eval.m）function y0=Neville_eval(X,Y,x0) %X,Y是已知插值点坐标 %x0是插值点 %y0是Neville逐步插值多项式在x0处的值 m=length(X); P=zeros(m,1); P1=zeros(m,1); P=Y; for i=1:m P1=P; k=1; for j=i+1:m k=k+1;
基于Matlab的动态规划程序实现
动态规划方法的Matlab 实现与应用 动态规划(Dynamic Programming)是求解决策过程最优化的有效数学方法，它是根据“最优决策的任何截断仍是最优的”这最优性原理，通过将多阶段决策过程转化为一系列单段决策问题，然后从最后一段状态开始逆向递推到初始状态为止的一套最优化求解方法。 1．动态规划基本组成 (1) 阶段 整个问题的解决可分为若干个阶段依次进行，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k (2) 状态 状态表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程的状况。各阶段状态通常用状态变量描述，用k x 表示第k 阶段状态变量，n 个阶段决策过程有n+ 1个状态。 (3) 决策 从一确定的状态作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。描述决策的变量称为决策变量，决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。用()k k u x 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数。用()k k D x Dk(xk)表示k x 的允许决策的集合。 (4) 策略 每个阶段的决策按顺序组成的集合称为策略。由第k 阶段的状态k x 开始到终止状态的后部子过程的策略记为{}11(),(),,()k k k k n n u x u x u x ++ 。可供选择的策略的范围称为允许策略集合，允许策略集合中达到最优效果的策略称为最优策略。从初始状态* 11()x x =出发，过程按照最优策略和状态转移方程演变所经历的状态序列{ } **** 121,,,,n n x x x x + 称为最优轨线。 (5) 状态转移方程 如果第k 个阶段状态变量为k x ，作出的决策为k u ，那么第k+ 1阶段的状态变量1k x +也被完全确定。用状态转移方程表示这种演变规律，记为1(,)k k k x T x u +=。 (6) 指标函数 指标函数是系统执行某一策略所产生结果的数量表示，是衡量策略优劣的数量指标，它定义在全过程和所有后部子过程上，用()k k f x 表示。过程在某阶段j 的阶段指标函数是衡量该阶段决策优劣数量指标，取决于状态j x 和决策j u ，用(,)j j j v x u 表示。 2．动态规划基本方程 (){} 11()min ,,(),()k k k k k k k k k k f x g v x u f x u D x ++=∈???? Matlab 实现 (dynprog.m 文件) function [p_opt,fval]=dynprog (x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun) % x 是状态变量，一列代表一个阶段的所有状态； % M-函数DecisFun(k,x) 由阶段k 的状态变量x 求出相应的允许决策变量; % M-函数SubObjFun(k,x,u) 是阶段指标函数, % M-函数ObjFun(v,f) 是第k 阶段至最后阶段的总指标函数 % M-函数TransFun(k,x,u) 是状态转移函数, 其中x 是阶段k 的某状态变量, u 是相应的决策变量; %输出 p_opt 由4列构成，p_opt=[序号组;最优策略组;最优轨线组;指标函数值组]； %输出 fval 是一个列向量，各元素分别表示p_opt 各最优策略组对应始端状态x 的最优函数值。
图论算法及matlab程序的三个案例
图论实验三个案例 单源最短路径问题 Dijkstra 算法 Dijkstra 算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S 并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v 是图中的一个顶点，记()l v 为顶点 v 到源点v 1的最短距离， ,i j v v V ?∈，若 (,)i j v v E ?，记i v 到j v 的权ij w =∞。 Dijkstra 算法： ① 1{}S v =,1()0l v =；1{}v V v ??-,()l v =∞,1i =,1{}S V v =-； ② S φ=，停止，否则转③； ③ ()min{(),(,)} j l v l v d v v =， j v S ∈，v S ?∈； ④ 存在 1 i v +，使 1()min{()} i l v l v +=，v S ∈； ⑤ 1{} i S S v +=， 1{} i S S v +=-，1i i =+，转②； 实际上，Dijkstra 算法也是最优化原理的应用：如果12 1n n v v v v -是从1v 到 n v 的最短路径，则 12 1 n v v v -也必然是从1v 到 1 n v -的最优路径。 在下面的MATLAB 实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i 行第j 行元 素表示顶点i v 到j v 的权ij w ，若i v 到j v 无边，则realmax ij w =，其中realmax 是 MATLAB 常量，表示最大的实数+308)。 function re=Dijkstra(ma)
动态规划_销售人员分配问题(matlab编程)
一、问题重述 某企业甲、乙、丙三个销售市场，其市场的利润与销售人员的分配有关，现有6个销售人员，分配到各市场所获利润如下表示，试问应如何分配销售人员才能使总利润最大？ 二、问题分析 首先我们对设备的分配规定一个顺序，即先考虑分配给甲市场，其次乙市场，最后丙市场，但分配时必须保证企业的总收益最大。 将问题按分配过程分为三个阶段，根据动态规划逆序算法，可设： 1、阶段数k=1，2，3（即甲、乙、丙三个市场的编号分别为1，2，3）； 2、状态变量x k 表示分配给第k 个市场至第3个市场的人员数（即第k 阶段初尚未分配的人员数）； 3、决策变量u k 表示分配给第k 市场的人员数； 4、状态转移方程：x k+1=x k -u k ; 5、g k (u k )表示u k 个销售人员分配到第k 个市场所得的收益值，它由下表可查得； 6、f k (x k )表示将x k 个销售人员分配到第k 个市场所得到的最大收益值，因而可得出递推方程： f k (x k )= 6 ,...,1,0max =k u [ g k (u k )+ f k+1(x k -u k )]，k=1，2，3 f 4(x 4)=0 三、问题求解 1）k=3时，市场丙的分配方案和总收益. 最大收益：f 3(x 3)=6 ,...,1,0max 3=u [g 3(x 3)]
最大收益：f 2(x 2)=2 max u [g 2(u 2)+ f 3(x 3)]= 2 max u [g 2(u 2)+ f 3(x 2- u 2 )] 最大收益：f 1(x 1)=1 max u [g 1(u 1)+ f 2(x 1- u 1)]= max[g 1(u 1)+ f 2(4- u 1)] 为此，我们可以用Matlab 语言编程使问题能跟方便地得到解决，其算法设计如下图：
0计算方法及MATLAB实现简明讲义课件PPS8-1欧拉龙格法
第8章 常微分方程初值问题数值解法 8.1 引言 8.2 欧拉方法 8.3 龙格-库塔方法 8.4 单步法的收敛性与稳定性 8.5 线性多步法
8.1 引 言 考虑一阶常微分方程的初值问题 00(,),[,],(). y f x y x a b y x y '=∈=（1.1） （1.2） 如果存在实数 ，使得 121212(,)(,).,R f x y f x y L y y y y -≤-?∈（1.3） 则称 关于 满足李普希茨(Lipschitz ）条件， 称为 的李普希茨常数（简称Lips.常数）. 0>L f y L f (参阅教材386页)
计算方法及MATLAB 实现 所谓数值解法，就是寻求解 在一系列离散节点 )(x y <<<<<+121n n x x x x 上的近似值 . ,,,,,121+n n y y y y 相邻两个节点的间距 称为步长. n n n x x h -=+1 如不特别说明，总是假定 为定数， ),2,1( ==i h h i 这时节点为 . ) ,2,1,0(0 =+=i nh x x n 初值问题(1.1),(1.2)的数值解法的基本特点是采取 “步进式”. 即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 00(,),[,], (). y f x y x a b y x y '=∈=
描述这类算法，只要给出用已知信息 ,,,21--n n n y y y 计算 的递推公式. 1+n y 一类是计算 时只用到前一点的值 ，称为单步法. 1+n y n y 另一类是用到 前面 点的值 ， 1+n y k 11,,,+--k n n n y y y 称为 步法. k 其次，要研究公式的局部截断误差和阶，数值解 与 精确解 的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算 稳定性等问题. n y )(n x y 首先对方程 离散化，建立求数值解的递推 公式. ),(y x f y ='
用MATLAB实现结构可靠度计算.
用MATLAB实现结构可靠度计算 口徐华…朝泽刚‘u刘勇‘21 。 (【l】中国地质大学(武汉工程学院湖北?武汉430074; 12】河海大学土木工程学院江苏?南京210098 摘要:Matlab提供了各种矩阵的运算和操作,其中包含结构可靠度计算中常用的各种数值计算方法工具箱,本文从基本原理和相关算例分析两方面,阐述利用Matlab,编制了计算结构可靠度Matlab程.序,使得Matlab-语言在可靠度计算中得到应用。 关键词:结构可靠度Matlab软件最优化法 中图分类号:TP39文献标识码:A文章编号:1007-3973(200902-095-Ol 1结构可靠度的计算方法 当川概率描述结构的可靠性时,计算结构可靠度就是计算结构在规定时问内、规定条件F结构能够完成预定功能的概率。 从简单到复杂或精确稃度的不同,先后提出的可靠度计算方法有一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡洛方法以及其他方法。一次■阶矩方法又分为。I-心点法和验算点法,其中验算点法足H前可靠度分析最常川的方法。 2最优化方法计算可靠度指标数学模型 由结构111n个任意分布的独立随机变量一,x:…以表示的结构极限状态方程为:Z=g(■.托…t=0,采用R-F将非正念变量当罱正态化,得到等效正态分布的均值o:和标准差虹及可靠度指标B,由可靠度指标B的几何意义知。o;辟
开始时验算点未知,把6看成极限状态曲面上点P(■,爿:---37,的函数,通过优化求解,找到B最小值。求解可靠皮指标aJ以归结为以下约束优化模型: rain睁喜t华,2 s.,.Z=g(工i,x2’,…,工:=0 如极限状态方栉巾某个变最(X。可用其他变量表示,则上述模型jfIJ‘转化为无约束优化模型: 。。B!:手f生丛r+阻:坚:坠:盐尘}二剐 t∞oY?’【叫,J 3用MATLAB实现结构可靠度计算 3.1Matlab简介 Matlab是++种功能强、效率高、便.丁.进行科学和工程计算的交互式软件包,汇集了人量数学、统计、科学和工程所需的函数,MATI.AB具有编程简甲直观、用户界mf友善、开放性强等特点。将MATLAB用于蒙特卡罗法的一个显著优点是它拥有功能强大的随机数发生器指令。 3.2算例 3.2.I例:已知非线形极限状态方程z=g(t r'H=567f r-0.5H2=0’f、r服从正态分布。IIf=0.6,o r=0.0786;la|_ 2.18,o r_0.0654;H服从对数正态分布。u H= 3218,O。 =0.984。f、r、H相互独立,求可靠度指标B及验算点(,,r’,H‘。 解:先将H当量正念化:h=ln H服从正态分布,且 ,‘-““了:等专虿’=,。49?口二-、『五ir面_。。3
计算方法及其MATLAB实现第二章作业
作者：夏云木子 1、 >> syms re(x) re(y) re(z) >> input('计算相对误差：'),re(x)=10/1991,re(y)=0.0001/1.991,re(y)=0.0000001/0.0001991 所以可知re(y)最小，即y精度最高 2、 >> format short,A=sqrt(2) >> format short e,B=sqrt(2) >> format short g,C=sqrt(2)
>> format long,D=sqrt(2) >> format long e,E=sqrt(2) >> format long g,F=sqrt(2) >> format bank,H=sqrt(2) >> format hex,I=sqrt(2) >> format +,J=sqrt(2) >> format,K=sqrt(2)
3、 >> syms A >> A=[sqrt(3) exp(7);sin(5) log(4)];vpa(pi*A,6) 4、1/6251-1/6252=1/6251*6252 5、（1）1/（1+3x）-(1-x)/(1+x)=x*(3*x-1)/[(1+3*x)*(1+x)] (2) sqrt(x+1/x)-sqrt(x-1/x)=2/x/[sqrt(x-1/x)+sqrt(x+1/x)] (3) log10(x1)-log(x2)=log10(x1/x2) (4) [1-cos(2*x)]/x =x^2/factorial(2)-x^4/factorial(4)+x^6/factorial(6)-…
(整理)matlab 动态规划讲义.
第四章动态规划 §1 引言 1.1 动态规划的发展及研究内容 动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解多阶段决策问题的最优化方法。20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。 虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。 应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的
一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。 例1 最短路线问题 下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。试寻求一条由A到G距离最短（或费用最省）的路线。 例2 生产计划问题 工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。如果工厂在第一、二季度将全年的需求都生产出来，自然可以降低成本（少付固定成本费），但是对于第三、四季度才能上市的产品需付存储费，每季每千件的存储费为0.5（千元）。还规定年初和年末这种产品均无库存。试制定一个生产计划，即安排每个季度的产量，使一年的总费用（生产成本和存储费）最少。 1.2 决策过程的分类
matlab用于计算方法的源程序
1、Newdon迭代法求解非线性方程 function [x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps) %牛顿迭代法解线性方程 %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,x0,eps) %x:近似解 %k:迭代次数 %t:运算时间 %f:原函数，定义为内联函数 ?:函数的倒数，定义为内联函数 %x0:初始值 %eps:误差限 % %应用举例： %f=inline('x^3+4*x^2-10'); ?=inline('3*x^2+8*x'); %x=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %[x k]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1,0.5e-6) %函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6 %[x k t]=NewdonToEquation(f,df,1) if nargin==3 eps="0".5e-6; end tic; k=0; while 1 x="x0-f"(x0)./df(x0); k="k"+1; if abs(x-x0) < eps || k >30 break; end x0=x; end t=toc; if k >= 30 disp('迭代次数太多。'); x="0"; t="0"; end
2、Newdon迭代法求解非线性方程组 function y="NewdonF"(x) %牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数 %定义是必须定义为列向量 y(1,1)=x(1).^2-10*x(1)+x(2).^2+8; y(2,1)=x(1).*x(2).^2+x(1)-10*x(2)+8; return; function y="NewdonDF"(x) %牛顿迭代法解非线性方程组的测试函数的导数 y(1,1)=2*x(1)-10; y(1,2)=2*x(2); y(2,1)=x(2).^+1; y(2,2)=2*x(1).*x(2)-10; return; 以上两个函数仅供下面程序的测试 function [x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps) %牛顿迭代法解非线性方程组 %[x k t]=NewdonToEquations(f,df,x0,eps) %x:近似解 %k:迭代次数 %t:运算时间 %f:方程组（事先定义） ?:方程组的导数（事先定义） %x0:初始值 %eps:误差限 % %说明：由于虚参f和df的类型都是函数，使用前需要事先在当前目录下采用函数M文件定义% 另外在使用此函数求解非线性方程组时，需要在函数名前加符号“@”，如下所示 % %应用举例： %x0=[0,0];eps=0.5e-6; %x=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %[x k]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps) %函数的最后一个参数也可以不写。默认情况下，eps=0.5e-6 %[x k t]=NewdonToEquations(@NewdonF,@NewdonDF,x0,eps)
动态规划matlab仿真实例整理
动态规划在火力分配中地应用. 1.问题描述 设有m个目标，目标价值（重要性和危害性）各不相同，用数值A（K=1，K =，其n枚导弹突袭，导弹击毁目标地概率P2，..m）表 示，计划用K为向目标发射地导弹数，问是常数，取决于导弹地特性与目标地性质；中题：做出方案使预期地突击效果最大. 2.问题建模 上述问题可以表述为 约束条件为 （为非负整数） 3.算法描述 ），和（n=5am=4下面通过一个实例说明：设目标数目为4（），导弹为5K取值情况如下表所示：表1：A取值情况k 4 2 3 1 K 目标 3 6 7 8 0.9 0.3 0.2
将火力分配可分为4个阶段，每个阶段指标函数为： 可能取值为0，1，2，3，4，5，将函数值带人如下表：表2函数值 u 0 0 0 0 0 1.79 1 1.81 1.45 2.36 2.51 2 3.16 2.64 3.79 2.81 4.66 3 4.15 3.61 2.93 4 4.89 5.19 4.41
5 5.44 5.06 5.51 动态规划问题基本方程为： c =0 逐次向前推一级 K=4 K=3 K=2 K=1
（） 地最大值然后反推回去就可以获得最优地分配方案只需要求解4.Matlab仿 真求解 地最大值，对应取值为整数，可以采用动态规划地方法，获得与因为 地最优方案 function[p_opt,fval]=dynprog(x,DecisFun,SubObjFun,TransFun,ObjFun) %求解动态规划问题最小值函数 k=length(x(1,:)) %判断决策级数 x_isnan=~isnan(x)。 % 非空状态矩阵 t_vubm=inf*ones(size(x))。 % 性能指标中间矩阵 f_opt=nan*ones(size(x))。 % 总性能指标矩阵 d_opt=f_opt。 %每步决策矩阵 tmp1=find(x_isnan(:,k))。 % 最后一步状态向量 tmp2=length(tmp1)。 % 最后一步状态个数 for i=1:tmp2 u=feval(DecisFun,k,x(tmp1(i),k))。 tmp3=length(u)。%决策变量 for j=1:tmp3 % 求出当前状态下所有决策地最小性能指标 tmp=feval(SubObjFun,k,x(tmp1(i),k),u(j))。 if tmp <= t_vubm(i,k) %t_vub f_opt(i,k)=tmp。 d_opt(i,k)=u(j)。 t_vubm(i,k)=tmp。 end。 end。 end for ii=k-1:-1:1 tmp10=find(x_isnan(:,ii))。 tmp20=length(tmp10)。 for i=1:tmp20 %求出当前状态下所有可能地决策 u=feval(DecisFun,ii,x(tmp10(i),ii))。 tmp30=length(u) 。 for j=1:tmp30 % 求出当前状态下所有决策地最小性能指标 tmp00=feval(SubObjFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j))。 % 单步性能指标 tmp40=feval(TransFun,ii,x(tmp10(i),ii),u(j))。 % 下一状态 tmp50=x(:,ii+1)-tmp40。 % 找出下一状态在 x 矩阵地位置 tmp60=find(tmp50==0) 。 if~isempty(tmp60) if nargin<6 %矩阵不同需要修改nargin地值，很重要
层次分析法计算权重在matlab中的实现
信息系统分析与设计作业 层次分析法确定绩效评价权重在matlab中的实现 小组成员：孙高茹、王靖、李春梅、郭荣1 程序简要概述 编写程序一步实现评价指标特征值lam、特征向量w以及一致性比率CR的求解。 具体的操作步骤是：首先构造评价指标，用专家评定法对指标两两打分，构建比较矩阵，继而运用编写程序实现层次分析法在MATLAB中的应用。 通过编写MATLAB程序一步实现问题求解，可以简化权重计算方法与步骤，减少工作量，从而提高人力资源管理中绩效考核的科学化电算化。 2 程序在matlab中实现的具体步骤 function [w,lam,CR] = ccfx(A) %A为成对比较矩阵，返回值w为近似特征向量 % lam为近似最大特征值λmax，CR为一致性比率 n=length(A(:,1)); a=sum(A); B=A %用B代替A做计算 for j=1:n %将A的列向量归一化 B(:,j)=B(:,j)./a(j); end s=B(:,1); for j=2:n s=s+B(:,j); end c=sum(s);%计算近似最大特征值λmax w=s./c; d=A*w lam=1/n*sum((d./w)); CI=(lam-n)/(n-1);%一致性指标 RI=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51];%RI为随机一致
性指标 CR=CI/RI(n);%求一致性比率 if CR>0.1 disp('没有通过一致性检验'); else disp('通过一致性检验'); end end 3 案例应用 我们拟构建公司员工绩效评价分析权重，完整操作步骤如下： 3.1构建的评价指标体系 我们将影响员工绩效评定的指标因素分为：打卡、业绩、创新、态度与品德。 3.2专家打分，构建两两比较矩阵 A = 1.0000 0.5000 3.0000 4.0000 2.0000 1.0000 5.0000 3.0000 0.3333 0.2000 1.0000 2.0000 0.2500 0.3333 0.5000 1.0000 3.3在MATLAB中运用编写好的程序实现 直接在MATLAB命令窗口中输入 [w,lam,CR]=ccfx(A) 继而直接得出 d = 1.3035 2.0000 0.5145 0.3926 w = 0.3102 0.4691 0.1242 0.0966 lam =4.1687
计算方法及其MATLAB实现第一章作业
计算方法作业（作者：夏云木子） 1、help linspace type linspace 2、a1=[5 12 47;13 41 2;9 6 71];a2=[12 9;6 15;7 21];B=a1*a2, C=a1(:,1:2).*a2, D=a1.^2,
E=a1(:).^2 3、a1=[5 12 47;13 41 2;9 6 71];a2=[12 9;6 15;7 21];a1(4:5,1:3)=a2.';a1([4 5],:)=a1([5 4],:);b1=a1
c1=b1(4,1),c2=b1(5,3),D=b1(3:4,:)*a2 4、a1=[5 12 47;13 41 2;9 6 71]; E=eye(3,3); S = a1 + 5*a1' - E, S1=a1^3-rot90(a1)^2+6*E 5、a1=[5 12 47;13 41 2;9 6 71];s=5;A=s-a1,B=s*a1,C=s.*a1,D=s./a1,E=a1./s
6、c=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;13 14 15 16];A=c^-4,B=(c^3)^-1,C=(3*c+5*c^-1)/5
7、a=[1 i 3;9i 2-i 8;7 4 8+i];A=a.' 8、abc=[-2.57 8.87;-0.57 3.2-5.5i];m1=sign(abc),m2=round(abc),m3=floor(abc) Sign为符号函数，round表示四舍五入取整，floor表示舍去小数部分取整
9、x=[1 4 3 2 0 8 10 5]';y=[8 0 0 4 2 1 9 11]';A=dot(x,y) 10、a=[3.82 5.71 9.62];b=[7.31 6.42 2.48];A=dot(a,b),B=cross(a,b) 11、P=[5 7 8 0 1];Pf=poly(P);Px=poly2str(Pf,'x') 12、P=[3 0 9 60 0 -90];K1=polyval(P,45),K2=polyval(P,-123),K3=polyval(P,579) 13、P1=[13 55 0 -17 9];P2=[63 0 26 -85 0 105];PP=conv(P1,P2);P1P2=poly2str(PP,'x'),[Q,r]=deconv(P2,P1)
最优化方法的Matlab实现(公式(完整版))
第九章最优化方法的Matlab实现 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容：1）建立数学模型即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解数学模型建好以后，选择合理的最优化方法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 9.1 概述 利用Matlab的优化工具箱，可以求解线性规划、非线性规划和多目标规划问题。具体而言，包括线性、非线性最小化，最大最小化，二次规划，半无限问题，线性、非线性方程（组）的求解，线性、非线性的最小二乘问题。另外，该工具箱还提供了线性、非线性最小化，方程求解，曲线拟合，二次规划等问题中大型课题的求解方法，为优化方法在工程中的实际应用提供了更方便快捷的途径。 9.1.1 优化工具箱中的函数 优化工具箱中的函数包括下面几类： 1．最小化函数
表9-1 最小化函数表 2．方程求解函数 表9-2 方程求解函数表 3．最小二乘（曲线拟合）函数 表9-3 最小二乘函数表
4．实用函数 表9-4 实用函数表 5．大型方法的演示函数 表9-5 大型方法的演示函数表 6．中型方法的演示函数 表9-6 中型方法的演示函数表 9.1.3 参数设置 利用optimset函数，可以创建和编辑参数结构；利用optimget函数，可以获得o ptions优化参数。 ● optimget函数 功能：获得options优化参数。
数值计算方法matlab程序
function [x0,k]=bisect1(fun1,a,b,ep) if nargin<4 ep=1e-5; end fa=feval(fun1,a); fb=feval(fun1,b); if fa*fb>0 x0=[fa,fb]; k=0; return; end k=1; while abs(b-a)/2>ep x=(a+b)/2; fx=feval(fun1,x); if fx*fa<0 b=x; fb=fx; else a=x; fa=fx; k=k+1; end end x0=(a+b)/2; >> fun1=inline('x^3-x-1'); >> [x0,k]=bisect1(fun1,1.3,1.4,1e-4) x0 = 1.3247 k = 7 >> 简单迭代法 function [x0,k]=iterate1(fun1,x0,ep,N) if nargin<4 N=500; end if nargin<3 ep=1e-5; end x=x0; x0=x+2*ep;
while abs(x-x0)>ep & k
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