北京理工大学出版社矩阵分析习题解答[1]
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2005级电路与系统矩阵分析作业
3－1已知)(ij a A =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量
[]n x x x ,,,21 =α ，[]n y y y ,,,21 =β定义内积*),(βαβαA =。（1）证明在上述定义下，n C 是酉空间；（2）写出n C 中的Canchy －Schwarz 不等式。 (1)证明：),(αβ＝H
A α
β=H
H
A )
(β
α=H
A β
α ，(βα,k )＝),(βαβ
αk A k H
=
),(),()(),(γβγαγ
βγαγβαγβα+=+=+=+H
H
H
A A A
H
A α
ααα=),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(≥αα，当且仅当0),(0==ααα时，
由上可知c n
是酉空间。証毕。
（2）解： ∑∑=
=n
j
n
i
j ij
i
H
y a
x A |||),(|β
αβα
∑∑=
=n j
n
i
j ij
i
x a
x ),(||||ααα，∑∑
=
=
n
j
n
i
j ij i y a y ),(||||βββ
由Cauchy-Schwarz 不等式有：
∑∑
∑∑∑∑≤
n
j
n
i
j ij i n
j
n
i
n
j
n
i
j ij
i
j ij
i
y a y x a
x y a
x *
3－3（1）已知.A ＝??
?
?
?
???
??502613
80
3
－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵
解：由|λE-A| = (λ+1)3得 λ= －1是A 的特征值，当λ＝－1时，可得|λE-A|＝0
000
201
于是ε1
＝
（0，1，0）T 是A 的特征向量。选择与ε1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U 1= ????
?
???
??10
001
010
则U 1*A U 1= ??
?
?
?
???
??---52
830
631
取A 1= ?
?
????--52
83，|λE- A 1| = (λ+1)2
λ= －1是A 1的特征值。 当λ＝－1时，可得|λE- A 1|＝
21，于是，α
1
＝（ --5
2，
5
1）T 是A 的特征向量，选择与α
1
正交的向量组成酉阵U 2 = ?????
?
??????52515
15
2
-，U 2*A 1U 2 = 51???
???-2112??????--5283??????-2112 =??
?
???---10101 3－9若S ，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(≠--iS T E ，试证：
1
))((---++iS T E iS T E 是酉矩阵，。
证明：令1
)(),(---=++=iS T E C iS T E B ，BC iS T E iS T E A =--++=))((，==A BC A A *
*
)(
1**1
*
*
)
)(()())
((----++++--=iS T E iS T E iS T E iS T E A B C ，又S ，T 分别是实对称矩阵和反实
对称矩阵，即有T T
S S -==*
*
,，则有，)()())
((*
*
1
*
*iS T E iS T E iS T E A B C ++++--=-
11
1
)
)()(()()
(-----++--++=--iS T E iS T E iS T E iS T E iS T E ，因为))((iS T E iS T E ++--
))((iS T E iS T E --++=显然有E A A =*，同理可得E AA =*，即E AA A A ==*
*，即证。
3-12 设A 、B 均是正规矩阵，试证：A 与B 酉相似的充要条件是A 与B 的特征值相同。 证明：（1）必要性：因为A ，B 是正规矩阵，所以存在n
n U
U ?∈1使得=1*
1AU U
),,,(21n diag λλλ ，存在n
n U
U ?∈2使得),,,('
'2'12
*
2n diag BU
U λλλ =又因为A 酉相似于B ，所以存
在n
n U
U ?∈，使得AU U B *=所以)()(2*
22
*
*
22
*
2UU A UU AUU
U U BU
U ==又因为n n U
U ?∈
n
n U
U ?∈2，所以),,(212
*
22
n n
n diag BU
U U
UU λλλ =?∈?可记为：n n λλλλλλ==='
2'
21'
1,,, 即
A 与
B 特征值相同。 （2）充分性：存在n
n U U ?∈1使得=1*
1AU U ),,,(21n diag λλλ ，存在n
n U
U ?∈2使得
===?=----1
21*
112
*1
2211
*
2212
*
2)(),,,()(),,,(U AU U U
U diag U B diag BU
U n n λλλλλλ
)()(1
21*
1
21--U U A U U 因为n
n n
n U
U U U ?-?∈∈1
21,所以n
n U
U U ?-∈121即A 酉相似于B 。
3-13设A 是Hermite 矩阵，且A A =2，则存在酉矩阵U ，使得??
????=000*
r E AU U
证明： A 是Hermite 矩阵，则存在m
m U
U ?∈，使得U 1-AU=diag （1`λ，2λ，……n λ）则A=
()
H
U 1-????????????
?
n λλλ
2
1(
)1
-U ,由2
A
=A 可得A 2=()
H
U
1-????????????
?n λλλ
2
1(
)1
-U
=()
H
U
1-??????
??????
?n λλλ
2
1(
)1
-U =()
H
U 1-??????
??????
?n λλλ
2
1(
)1
-U ?
12
1λλ=，
……，n n λλ=2,从而可知0，1是A 的特征值,取(){}00,0,11,1,1 =A σ，得出U
1
-AU=?
????
?
00
0r
E ，题目得证。 3-14设A 是Hermite 矩阵，且E A =2 ，则存在酉矩阵U ，使得??
????-=-r n r E E AU U 00*
。
证明：A 是Hermite 矩阵，则存在m
m U
U ?∈，使得=?=-2
211
),,,(A
diag AU U
n λλλ
E U
U n r =??
???
?
? ??*
22
21λλλ 则
1
2
2221====n λλλ ，则-1和1为A 的特征值，可记121===r λλλ ，
11-==+n r λλ ，即有U H AU=???
???--r n r E E 题目得证。
3-16设A ，B 均是Hermite 矩阵，且A 正定，试证：AB 与BA 的特征值都是实数。
证明：令2/1A P =，显然P 为Hermite 矩阵而且正定唯一，A 正定?A 的特征值全大于0。所以A 可逆，P 可逆2/12/12/12/12/12/1~--==BAA A BA A ABA A AB ；所以AB 与BA 相似BA AB ~，则AB 与BA 的特征
值相同）（）（BA AB λλ=，2/12/1*2/12/1BA A BA A =）（，2/12/1BA A 也为H 矩阵?2
/12/1BA A 的特征值为实数，BA BA A AB ~~2/12/1，所以AB ，BA 的特征值都是实数
3-19设A 是正定Hermite 矩阵，且A ∈U n
n ?，则A=E 。
证明：由E A A U
A n n =?∈?*，A A H A n n =?∈?*，所以E A =2
，由题3－14可知，A 的特征值
为1=i λ又A 是正定的，所以A 的特征值全部为1，则存在E AU U U
U n
n =?∈?*
所以可得
E UEU
A ==*
即证。
3－20 试证：（1）两个半正定Hermite 矩阵之和是半正定的；（2）半正定Hermite 矩阵与正定Hermite 矩阵之和是正定的。
证明：（1）令A ，B 为半正定Hermite 矩阵，则存在n C x ∈，使得,0,0**≥≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简单性质，)(B A +为Hermite 矩阵，且存在n C x ∈，使得0)(***≥+=+Bx x Ax x x B A x ；则B A +为半正定Hermite 矩阵。
（2）令A 为半正定Hermite 矩阵，B 为正定Hermite 矩阵，则有n C x ∈，使得,0,0**>≥Bx x Ax x 又由Hermite 矩阵的简单性质，)(B A +为Hermite 矩阵，且存在n C x ∈，使得0)(***>+=+Bx x Ax x x B A x ；则B A +为正定Hermite 矩阵。
3-22设A ，B 是n 阶正规矩阵,试证：A 与B 相似的充要条件是A 与B 酉相似。 证明：充公条件：因为A ，B 是n 阶正规矩阵，则存在,n
n U
U ?∈n
n U
V ?∈,使得
),,,(,),,,(21*
21*
n n diag BV V diag AU U μμμλλλ ==，其中n λλλ,,,21 ；n μμμ,,,21 分别是
A 与
B 的特征值。又因为A 与B 相似，所以其对应的特征值相同。 则有B AUV U V BV V AU U =?=--1
*1***)(。令1
-=UV
W ，则B AW W =*，因为U 、V 是酉矩阵，
则W 也是酉矩阵。所以A 与B 酉相似。
必要条件：因为A 与B 酉相似，则?,n n U
U ?∈使得B AU U =*，
又由于,n
n U U ?∈ 则E U U =*
? 1
-*
=U U B AU U AU U ==?-1*，因而A 与B 相似。
3-23 设A H =A ，试证总存在t>0，使得A+tE 是正定Hermite 矩阵，A-tE 是负定Hermite 矩阵。 证明：
H
1R
t t>0m in t>0t>0H erm ite H H
A A A A A λλλλ=∴∈∴?∴? （）的特征值（A ）又A+tE 的特征值（A+tE ）＝（A ）＋总使得（A ）＋又有（A+tE ）＝+tE ＝+tE 总使得A+tE 为正定矩阵
H
2R
t
t>0m in t<0
t>0H erm ite H
H
A A
A A A λλλλ=∴∈∴?∴? （）的特征值（A ）又A －tE 的特征值（A －tE ）＝（A ）－总使得（A ）－又有（A-tE ）＝-tE ＝-tE 总使得A-tE 为负定矩阵
3-26 设A 为n 阶正规矩阵，λ1，λ2，…λn 为A 的特征值，试证：A H A 的特征值为|λ1|2，|λ2|2，…|λn |2。 证明：
n
12n H 12n H
H
12n H H H
12n 12n 2
2
2
H
12n 2
2
2
H
H
12n 2
H
12n U U
U A U diag A =U diag U A U diag U
A A =U diag U U diag U U diag U
U A A U diag A A A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∴?∈∴∴∴ 为阶正规矩阵，使得＝（，）
（，）＝（，）（，）（，）＝（，）（）＝（，）即的特征值为，2
2
n
λ 。
3－27 设n
m C A ?∈，试证：（1）A A *和*AA 都是半正定的Hermite 矩阵；（2）A A *和*AA 的非零特征值相同。
证明：（1） n m C A ?∈，则A A A A A A AA A A AA ************)()(,)()(====，n
C x ∈?，
0)()())(()(,0)()()(*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
≥==≥==x A x A x A A x x AA x Ax Ax Ax A x x A A x ；所以A A *和*
AA
都是半正定的Hermite 矩阵。
（2）令???? ??=n m E A E S 则???
? ??=???? ?????? ??=????
??A A A A AA AA E A E A AA S A AA n m ********
0000，???
?
??=???? ??n m E A E A A A S **00 ???? ??=???? ??A A A A AA AA A A A ******
00*，则???? ??=???? ??A A A S S A AA ****00
00又因为???? ??=n m E A E S 为可逆矩阵，则 1***
*1**1
*
*00
000000---???? ??=???
?
??????? ??=???
?
??S A A A S A AA S A A A S SS A AA 则0)det(*=-AA E λ与 0)det(*=-A A E λ有相同的非零解
3－28设A 是正规矩阵。试证：（1）若0=r A （r 是自然数），则0=A ；（2）若A A =2，则A A =*；
（3）若23A A =，则A A =2。
证明：因为A 是正规矩阵，所以**=AA A A ，则存在U ∈n
n U
?使),,(21n diag AU U λλλ???=*，
其中n λλλ???,,21为A 的特征值；*???=?U Udiag A n ),,(21λλλ
（1）***??????????=U U Udiag U Udiag A n n r ),,(),,(2121λλλλλλ0),,(21=???=*
U Udiag r
n r r λλλ
0),,(21
=????r
n r r r diag λλλ 021==???==?n λλλ 0),,(21=???=?*
U
Udiag A n λλλ
(2)*
*
???==???=U Udiag A U Udiag A n n ),,(),,(212
2221
2λλλλλλ
n n λλλλλλ=???==?2
222121,, ),2,1(10n i i ???==?或λ即A 的特征值都为实数
又A 为正规矩阵A A =?*
（3）同理2322322131n n λλλλλλ=???==，
， 10或=?i λ i i λλ=?2
即A A
U Udiag U
Udiag n n =???=???**
2
212
2221),,(),,(即λλλλλλ
3－30设n n C A ?∈，那么A 可以唯一的写成iT S A +=，其中T S ,为Hermite 矩阵，且A 可以唯一的写成C B A +=，其中B 是Hermite 矩阵，C 是反Hermite 矩阵。 证：令i A
A T A
A S 2
,2-=
+=
*
*
，且 A=S+iT,T T
S S
==*
*
,。
下证唯一性：用反证法。
假设存在2211,;,T S T S 使2211iT S iT S A +=+=,且2211,;,T S T S 均为Hermite 矩阵。则由：
A=S 1+iT 1?111
1iT S iT S A -=-=***
?i A A T A A S 2
,2
11-=
+=
*
*
同理有：i A
A T A
A S 2
,222-=+=
*
*
?S 1=S 2，T 1=T 2 可知：A 可唯一的写成A=S+iT 。 令B=S ，C=iT ，则显然B 为Hermite 矩阵，C 为反Hermite 矩阵
则A 可唯一写成A=B+C,其中i A A C A A B 2
,2
-=
+=*
*
証毕。
补充题：
#3*1
试证：向量长度的齐次性，即k k αα=，k C ?∈，n
C α∈。 解：令T 12(,,...,)n a a a α=，则T
12(,,...,)n k ka ka ka α=
k k
k αα∴=
=
==
#3*2 试证：在任意酉空间V 中成立广义商高定理： 证明：2
2
2
&(,)0V αβαβαβ
α
β
∈=?+=+，
，αβ==，
2
2
2
(,)(,)(,)(,)(,)
(,)(,)((,)0)αβαβ
αβαβαααββαββααββαβα
β
+=∴+=++=+++=+==+
＃3*3令T T T )8,6,0,2(,)1,1,3,3(,)1,1,1,1(321-=--==ααα。求{}321,,αααspan 的一个标准正交基。 解：由斯密特正交化公式可得：
T
)1,1,1,1(11==αβ，T
)2,2,2,2()
,(),(1111222--=-
=ββββααβ ，
T
)1,1,1,1()
,(),()
,(),(11113222233--=--
=ββββαββββααβ
单位化：T )21,21,21,21(
1
11==
ββγ，T )21,21,21,21(222--==ββγ，T
)2
1,21,21,21(333--==ββγ 321,,γγγ就是{}321,,αααspan 的一个标准正交基。
＃3*4试证下列矩阵是酉矩阵
（1）
????
?
?
?
??
?
?-1
00212102121
（2）????? ??-0000
00i i i
证明：（1）令?????????
??
-=
1000212102121A ,????????
?
?
?-=10
002
12102121
*
A 经计算，显然有E A A AA ==**,即证该矩阵是酉矩阵。
（2）令B=????? ??-=000000i i i B ,????? ??--=000000
*
i i i B
经计算，显然有E B B BB ==**即证该矩阵是酉矩阵。
#3*5用数学归纳法证明下列结论：
（1）对于任意正整数n 成立 2
)12(531n n =+++++ ；
（2）对于任意正整数k 成立 ∨∈k αα,,1 ＆（i α，j α）=0，j i ≠??
2
2
12
1k
k αααα++=++ 。
证明：（i ）当k==1时，左边==右边=1。结论成立；
假设n=k 时（k 为任意的整数）等式成立，即：2
)12(531k k =-++++ 当1+=k n 时，左边=()[]112531-+++++k =2
2
)1(12+=++k k k =右边 所以，当1+=k n 时，结论也成立。命题得证。
（ii ）当1=k 时，11αα=，等式成立；
假设当m k =时（为任意正整数
m ），等式成立。即：
2
2
1
2
21m
m
ααααα++=+++
当1+=m k 时，令m αααβ ++=21 则：
()1211212
1
21,+++++++++=++++m m m m αααααααααα
()11,++++=m m αβαβ
),(),(),(),(1111+++++++=m m m m ααβααβββ 因为：（i α，j α）=0，j i ≠?
所以：),()(1211++++=+m m m αααααβ
0),(),(),(11211=+++=+++m m m m αααααα 同理得：(0),1=+βαm 所以：),(),(112
1
21++++=++++m m m m ααββαααα 2
1
2
2
2
2
1
+++++=m m
αααα
由此看出：当1+=m k 时，结论也成立。 综上所述：命题成立，结论得证。 #3*6 试证：???
?
?
?
?+-=10
00100
i i
i A 为正规矩阵。试问：A 是否为Hermite 矩阵，反Hermite 矩阵或酉矩阵？为什么？
证明：因为=A ?????
?
?+-1000100i i
i ，????
?
?
?--=*
i i
i A 10
00100 则???
?
? ??-==*
*
20
00201
i
i A A AA
，所以A 为正规矩阵。 显然A A ≠*，A A -≠*
所以A 既不是Hermite 矩阵也不是反Hermite 矩阵。 又 E A A AA ≠=**，所以A 也不是酉矩阵。 #3*试征：对正定矩阵A 存在正定矩阵S 使得A S
k
=,其中κ为任意正整数。
证明：因为A 是正定矩阵，故有*
21),,(U diag U A n λλλ =，（其中n n
n U
U λλλ ,,,21?∈都是正数）
令*
221),,(U diag U S k k k λλλ =因为n λλλ,,,21 皆为正数所以k n k k λλλ ,,21也为正数故S 是
正定矩阵 A
U
diag U diag U diag U U diag U S
n k
k n k k k n k k k n k k k
===*
212121*
21),,,(),,,(),,,(),,,(λλλλλλλλλλλλ
即证。
矩阵分析第3章习题答案
第三章 1、 已知()ij A a =是n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,,,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ? -?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----?? ?? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且1 ()() H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则E iH +满秩，且1 ()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满 秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =，只要 ()()1 1()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得 0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS 11()()()()--=++++----=E T iS E T iS E T iS E T iS E
矩阵分析 习题
114试证1-1412k k m n n m ××试证：tr tr ()(), ,,1,2,AB BA A C B C k =∈∈= 证： m n ?n m tr 11()ik ki i k AB a b ==?=????∑∑=tr 11 () jl lj j l b a BA ==?? =????∑∑() tr tr ()())k AB ABAB A B = ()=tr tr ()() k B ABAB A BA =
证明22设，证明：阶矩阵 0ε≠n ?2-2 1a ??? a ε?? ?? 1a A ??=??? a B ε??=??? 与a ???a ?? ?相似。 121()()()1, n D D D λλλ?=== ()() n n D a λλ=?
n 阶矩阵 2-3 1a ?? 1a ??a A ??? ?=? 与a B ????=? 1??? 1? ?? a ??a ε ??不相似。 === n =?0ε≠121:()()()1,n A D D D λλλ?()() n D a λλ()() n n D a λλ≠?121:()()()1,n B D D D λλλ?===
27(4)求方阵308?? ??2-7(4) 316205A =????????? 的Jordan 标准形及其相似变换矩阵。P 解：首先用初等变换法求其Jordan 标准形： 3 08100λλλ?????????2 316010205001()I A λλλ?=+?+???? ????++????
A 故的初等因子为 2 1,(1)λλ++从而的Jordan 标准形为 A () 100??? ???011001J =??????? 再求相似变换矩阵： 则?设所求矩阵为，则，按列分块记为 P 1 P AP J =P =[] 123,,P X X X
矩阵分析homework01答案
Homework1 1,show that U={(a,b,0)|a,b∈R}is a subspace of R3by proving it’s the span by vectors in R3.Find at least2sets of span-ning sets. Proof: Let V=span{(1,0,0),(0,1,0)}is a subspace.We want to prove U=V. Since(a,b,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)∈V,?U?V. And?x,y∈R,x(1,0,0)+y(0,1,0)=(x,y,0)∈U,?V?U. In all,U=V. {(1,1,0),(1,0,0)}is also a possible spanning set. 2,show that S={(a,b,1)|a,b∈R}cannot be a subspace. Proof: Take two vectors v1=(a1,b1,1),v2=(a2,b2,1),they are both in the set S. The addition of the two vectors:v1+v2=(a1+a2,b1+b2,2)∈S,?The set S is not closed under linear combination,so it’s not a subspace. 3,What is the dimension of Q={ax+ax2+bx3|a,b∈R}. Solution: The dimension of Q equals the size of a basis of Q(obviously Q is a vector space).Q can be written as span{x+x2,x3}.So the dim(Q) is2. 4,De?ne for p∈P n(a,b),the function N(p)=max a≤x≤b|p′(x)|, show that this is not a norm on P n(a,b). We just need to present an example of p. Let p(x)=1,then N(p)=max a≤x≤b|0|=0.If N(p)is a norm, p(x)=0,contradiction to the?rst property of norm. 5,show that x ∞is a norm. proof: 1.Let x=(x1,...,x n),Obviously, x ∞=max i|x i|≥0 if x ∞=0,|x i|≤0?x i=0,for i=1,...,n.So if x ∞=0,then x=0. 2.Letα∈C, 1
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后知识题目解析
第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用 ij E (,1,2, ,1)i j i n <=-表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素 为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成 (1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间，只需找出 (1)2n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这(1) 2 n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 1234 1231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=??? ?+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++=
1210,3x x x +== 解之得 12343,3,2,1x x x x ==-==- 即A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 方法二 应用同构的概念，22R ?是一个四维空间，并且可将矩阵A 看做(1,2,0,3)T ， 1234,,,E E E E 可看做(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)T T T T .于是有 111111 000 31110201003110000 01021000300011???? ????-??? ?→???? ??? ? -???? 因此A 在1234,,,E E E E 下的坐标为(3,3,2,1)T --. 1-4 解：证：设112233440k k k k αααα+++= 即 12341234123134 12411111110110110110 k k k k k k k k k k k k k k k k k ????????+++???????????????? +++++??==??++++?? 于是 12341230,0k k k k k k k +++=++= 1341240,0k k k k k k ++=++= 解之得 12340k k k k ==== 故1234,,,αααα线性无关. 设
矩阵分析模拟试题及答案
矩阵分析模拟试题及答案 一.填空题(每空3分,共15分) 1. 设A 为3阶方阵, 数2-=λ, 3=A , 则A λ= -24． 2. 设向量组T )4,3,2,1(1=α，T )5,4,3,2(2=α，T )6,5,4,3(3=α，T )7,6,5,4(4=α，则 ),,,(4321ααααR =2． 3. 已知??? ?? ??---=11332 223a A ，B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则=a 1/3． 4．设矩阵????? ??------=12422 421x A 与??? ? ? ??-=Λ40000005y 相似，则y x -=-1． 5. 若二次型()32212 3222132122, ,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a 的取值 范围是22< <-a ． 二.单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A 是3阶矩阵，将的第二列加到第一列得矩阵，再交换的第二行与第三行得单位矩阵， 记????? ??=1000110011P ，??? ?? ??=010*******P ，在则=A （ D ） 21)(P P A 211)(P P B - 12)(P P C 112)(-P P D 2. 设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ C ） )(A 必有一列元素全为0 )(B 必有两列元素成比例 )(C 必有一列向量是其余列向量的线性组合 )(D 任意列向量是其余列向量的线性组合 3． 设A 与B 均为3阶方阵, 且A 与B 相似, A 的特征值为1, 2, 3, 则1 )2(-B 的特 征值为（B ） )(A 2, 1, 32 )(B 12, 14, 16 )(C 1, 2, 3 )(D 2, 1, 2 3
矩阵分析习题
研究生矩阵分析习题 第一部份内容 第一章线性空间与线性换 1、概念与性质 （1）线性空间、线性子空间、向量有关概念（线性相关、线性无关、线性表出，向量组的秩、基、维数、坐标）、过渡矩阵、基坐标关系 （2）子空间：和、交、直和、维数公式 （3）线性空间同构，同构性质 （4）线性变换、线性变换空间、线性变换的表示矩阵、不同基下线性变换表示矩阵关系、线性变换的特征值与特征向量 （5）不变子空间、不变子空间与线性变换的联系 2、计算 （1）求向量组的秩、空间的基、维数、向量在基下的坐标 （2）求过渡矩阵、基坐标关系求坐标 （3）求线性变换的表示矩阵 （4）求矩阵的特征值与特征向量、线性变换的特征值与特征向量 第二章内积空间 1、概念与性质 （1）实内积空间、复内积空间、欧氏空间、酉空间，Cauchy-Schwartz不等式、常见线性空间的内积 （2）正交向量、标准正交向量、正交基、标准正交基、Gram-Schmidit直交化、子空间直交、直交补空间及性质 （3）内积空间同构 （4）正交变换、酉变换及等价命题、正交矩阵、酉矩阵 （5）点到子空间距离、最小二乘法 （6）正规矩阵、特殊的正规矩阵：Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵 （7）Hermite二次型、标准型及标准化、正定、负定
2、计算 （1）Gram-Schmidit直交化求正交向量组、标准正交向量组 （2）法方程解最小二乘问题 （3）化Hermite二次型为标准型 第三章矩阵的标准形 1、概念与性质 （1）多项式矩阵、Smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子及关系 （2）矩阵相似对角化、酉对角化、Jordan标准形 （3）Hilmilton-Cayley定理、最小多项式 （4）Schur定理、QR分解、奇异值分解、满值分解 2、计算 （1）求多项式矩阵的Smith标准形、行列式因子、不变因子、初等因子（2）求矩阵的Jordan标准形、最小多项式，化矩阵的Jordan标准形 （3）利用Hilmilton-Cayley定理、最小多项式做多项式的简化计算 （4）求矩阵的QR分解、奇异值分解、满值分解 第四章矩阵函数及应用 1、概念与性质 （1）向量范数（三种常见的向量范数）、矩阵范数（Frobenius范数、列和范数、行和范数、谱范数）、谱半径 （2）向量的极限、矩阵的极限、收敛与发散 （3）矩阵级数的收敛、绝对收敛与发散、矩阵幂级数 （4）矩阵函数 （5）函数矩阵的微分、积分 （6）常见矩阵函数性质 （7）常系数线性微分方程解与矩阵函数关系 2、计算 （1）求向量、矩阵的常见几种范数 （2）求矩阵的极限 （3）求矩阵函数 （4）求函数矩阵的微分与积分 （5）解微分方程
矩阵分析课后习题解答版
第一章 线性空间与线性变换 （以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传） （此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别） 1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。 1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数） 1.13.提示：设),)(- ?==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行） ，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故 A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ， 0=+ji ij a a ， 再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于 0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A 1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)( 1.15.存在性：令2 ,2H H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==, 唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由
矩阵分析习题
一，设311202113A -?? ?=- ? ?--?? （1）求矩阵e At . （2）求()At d e dt . 二，（15分）设矩阵1001200-1A ??????=?????? ， （1）求矩阵A 的奇异值。 （2）求矩阵A 的奇异值分解。 三、证明对任何方阵A 和B ，有 A B A B B A e =e e =e e ⊕??，其中A B=A I+I B ⊕??。 四、已知102011121A -?? ?= ? ?--?? （1） 写出A 的若当标准型 （2） 写出A 的最小多项式()A m λ （3）计算矩阵函数At e 五、设矩阵方程为AX XB D +=，其中111020,,02011A B D λ--??????=== ? ? ??????? （1） 当λ为何值时， 矩阵方阵有唯一解 （2） 当=1λ 时，求矩阵的解X 六、设 110021001A ?? ?= ? ??? ,求一个次数不超过3 的矩阵多项式 ()g x , 将矩阵函数 ()cos A 用矩阵多项式 ()g A 表示出来 七、对给定的矩阵5010,1253A B -????== ? ????? , 矩阵空间22 R ?上的线性变换 T 被定义为 : ()22 ,T X AX XB X R ?=+?∈ (a) 求变换 T 在空间 22 R ?的基 {}11211222,,, E E E E 下的变换矩阵P .
(b) 求矩阵P 的特征值 , 讨论P 是否可逆 八、叙述奇异值分解定理（即酉相抵标准形定理）并用其证明方阵的极分解定理： 九、设A 是n 阶不可约非负矩阵，证明：若A 恰有d 个对角元非零,则21n d A O --> . 十、证明分块上三角矩阵为酉矩阵当且仅当其为对角块均为酉矩阵的分块对角阵 十一、试证：如果A 是n 阶正规矩阵，则A 相应于不同特征值的特征向量复正交 十二、设矩阵U 是酉矩阵，()12diag ,, ,n A a a a = 证明UA 的所有特征值λ满足 不等式 {}{}min max i i i i a a λ≤≤ 十三、设A 是正定Hermite 矩阵，B 是斜Hermite 矩阵，证明A B +是可逆矩阵. 十四、证明若A 是Hermite 矩阵，则i A e 为酉矩阵 十五、设A 是正规矩阵，证明A 是酉矩阵的充要条件是A 的特征值的绝对值等于1。 十六、设,A B 均为n 阶半正定阵，证明A B 也是半正定阵. 十七、设,m m n n A C B C ??∈∈ 及m n F C ?∈ ，且,A B 无公共特征值， 证明： B O F A ?? ??? 与B O O A ?? ??? 相似 十八、设A 是n 阶复方阵，(){}12,,,n Spec A λλλ=，证明： ()(){} 1211k k i i i k Spec C A i i n λλλ=≤<<≤ 十九、陈述Perron-Frobenius 系列定理。 二十、陈述关于Hermite 方阵特征值的min-max 原理
数值分析习题集及答案
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
矩阵分析 2018年期末试题
一、填空题 1、4[]R x 表示实数域R 上所有次数小于或等于3的多项式构成的向量空间,则微分算子 D 在4[]R x 的基 321234(),(),(),()1p x x p x x p x x p x ====下的矩阵表示______________。 2、λ-矩阵 322(1)()(1)A λλλλλλ??- ?=- ? ??? 的初等因子组为______________________ _______________, Smith 标准形是___________________________ 3、已知矩阵210024120A -??? ?=??????，则 1____,A =____,A ∞= _____F A = 其中1,∞??分别是由向量的1-范数和∞-范数诱导出来的矩阵范数（也称算子范数）， F ?是矩阵的Frobenius 范数。 4. 已知函数矩阵222()2x A x x ??= ???，则22()d A x dx =___________, 5、已知n 阶单位矩阵I , 则 sin _______,2I π= 2______,i I e π=cos _______.I π= 6、设()m J a 表示主对角元均为 a 的m 阶Jordan 块。则 ()k m J a 的Jordan 标准形为________ _______, ()k m J a 的最小多项式为___________，这里0,a ≠ ,m k 是整数且 1,1m k >≥. 二、 已知 220260114A -????=?????? ， （1）求矩阵的Jordan 标准形和最小多项式； （2）求矩阵函数 sin ,.t A A e 30(())_______.t A x dx '=?
矩阵分析复习题2013[1].5
矩阵分析复习题 1.设r V 是n 维线性空间n V 的一个r 维子空间，r ααα,,,21 是r V 的一组基，证明这组向量必可扩充为整个空间的基。即，在n V 中必可找到r n -个向量n r r ααα,,,21 ++，使得n r r αααα,,,,,11 +是n V 的一组基。 2．证明：如果21,V V 是线性空间V 的子空间，那么它们的和21V V +也是V 的子空间. 3.设12,V V 是线性空间V 的子空间，证明： )dim()dim()dim()dim(212121V V V V V V -+=+. 4.设)10,2,1(1=α，)11,1,1(2-=α，)01,1,2(1-=β，)7,3,1,1(2-=β. {}211,αα=Span V ，{}212,ββ=Span V .求（1）21V V +的基与维数；（2）21V V 的基与维数. 5.设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明以下论断等价： （1）12V V +是直和； （2）零向量分解式唯一（即，若1211220,,,V V α+α=α∈α∈则120α=α=.）； （3）{}120V V = ； （4）dim （12V V +）=dim （1V ）+ dim （2V ）. 6.设线性变换T 在两组基n ααα,,,21 与n βββ,,,21 下的矩阵分别为A 和B ，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵为P ,证明：AP P B 1-=. 7.在线性空间][x C n 中，取两组基 n x x x ,,,,12 （Ⅰ） n x n x x ! 1,,!21,,12 （Ⅱ） D 为微分算子。（1）求由（Ⅰ）到（Ⅱ）的过渡矩阵；（2）求线性变换D 在两组基下的矩阵。
2014矩阵分析试卷
2014矩阵分析试卷 一、判断题（不要求证明）（20分） 1.设n 是大于1的整数，{()|()}V f x f x n F =是次数小于的域上的多项式，V 关于多项式的加法与数乘是一个域F 上的线性空间。 （ √ ） 2.设a r 为XOY 面上的非零向量，V 为XOY 面内所有不平行于a r 的向量构成的集合，V 关于向量的加法与数乘是一个域R 上的线性空间。 （ × ） 3.设V 是域F 上的线性空间, V α∈不是零向量，映射:,()V V ξξα→=+A A 是V 上的线性变 换。 （ × ） 4. 设A 是数域R 上的对称阵，映射:,()n n R R A αα→=A A 是n R 上的对称变换。 （ √ ） 二、计算题 1. （1,1,1,1）T 2. 已知1 12212W ={,},W ={,}Span a a Span b b ，而 1212(0,1,1,1),(1,0,2,0);(0,3,3,1),(1,2,0,0)a a b b =-==-=。 12W W ?的基为(1,1,3,1)T --与维数1； 12122212W +W ={,,}={,,}span span ααβαββ的基122,,ααβ或212,,αββ与维数3 3. 23:,()R R A ββ→=A A ，基 123(1,0,0),(0,1,0);(0,0,1) ααα===及基 12(1,0),(0,1)ββ==下的矩阵为110=211T B ?? ? ?? 。 4. （10分）设线性变换22:R R →A ，在基12(1,0),(0,1)ββ==的矩阵为12=24A ?? ??? ，求A 的核为{k(-2,1)| k}T ?、值域的基1 2+2β β，维数1。 6.（8分）求矩阵11010=0111123131A ?? ? ? ??? 的满秩分解 7.（24分）设矩阵308=3-16-20-5A ?? ? ? ??? ，求可逆矩阵P ，使得1 P AP -为约当阵。 A E -λ = ??? ? ? ??+-+---502613803 λλλ→ ????? ??++2)1(0001 0001λλ，
多元统计分析期末试题及答案
22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 12 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差1 11 X σ=的方差 21X g = 1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.83511 00.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ?? ?
矩阵分析第章习题答案
第三章 1、 已知()ij A a =是 n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间n C 中向量 1212(,, ,),(,, ,)n n x x x y y y αβ==定义内积为(,)H A αβαβ= （1） 证明在上述定义下，n C 是酉空间； （2） 写出n C 中的Canchy-Schwarz 不等式。 2、 已知2111311101A --?? =? ?-?? ，求()N A 的标准正交基。 提示：即求方程0AX =的基础解系再正交化单位化。 3、 已知 308126(1)316,(2)103205114A A --?? ?? ????=-=-?? ?? ????----???? 试求酉矩阵U ，使得H U AU 是上三角矩阵。 提示：参见教材上的例子 4、 试证：在n C 上的任何一个正交投影矩阵P 是半正定的Hermite 矩阵。 5、 验证下列矩阵是正规矩阵，并求酉矩阵U ，使H U AU 为对角矩阵，已知 1 31(1)612A ????? =????????? ? 01(2)10000i A i -????=??????，434621(3)44326962260i i i A i i i i i +--????=----? ???+--?? 11(4)11A -?? =?? ?? 6、 试求正交矩阵Q ，使T Q AQ 为对角矩阵，已知
220(1)212020A -????=--????-?? ，11011110(2)01111011A -?? ??-? ?=?? -??-?? 7、 试求矩阵P ，使H P AP E =（或T P AP E =），已知 11(1)01112i i A i i +????=-????-??，222(2)254245A -?? ??=-?? ??--?? 8、 设 n 阶酉矩阵U 的特征根不等于1-，试证：矩阵E U +满秩，且 1()()H i E U E U -=-+是Hermite 矩阵。反之，若H 是Hermite 矩阵，则 E iH +满秩，且1()()U E iH E iH -=+-是酉矩阵。 证明：若||0+=E U ，观察0-=E U λ知1-为U 的特征值，矛盾，所以矩阵E U +满秩。()()1 1()()()--=-+=-+-H H H H H i E U E U i E U E U ，要H H H =， 只要()()1 1 ()()()()()()---+-=-+?--+=+-?-=-H H H H H H i E U E U i E U E U E U E U E U E U U U U U 故H H H = 由()0+=--=E iH i iE H 知i 为H 的特征值。由Hermite 矩阵只能有实数特征值可得0+≠E iH ，即E iH +满秩。 111111()()()()()()()()()()()()------=+-+-=+-+-=++--=H H H U U E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E iH E 9、 若,S T 分别是实对称和实反对称矩阵，且det()0E T iS --≠，试证： 1()()E T iS E T iS -++--是酉矩阵。 证明： 1111 [()()]()()()()()()----++--++--=++--++--H E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS E T iS
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案讲课讲稿
《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案
第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用ii E 表示n 阶矩阵中除第i 行，第i 列的元素为1外，其余元素全为0 的矩阵.用ij E (,1,2,,1)i j i n <=-L 表示n 阶矩阵中除第i 行，第j 列元素与第j 行第i 列元素为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，ii E ，ij E 都是对称矩阵，ii E 有(1) 2 n n -个.不难证明ii E ，ij E 是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+(1)2n n -=(1) 2 n n +个矩阵线性表示，此 即对称矩阵组成(1) 2 n n +维线性空间. 同样可证所有n 阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为(1) 2 n n -. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个(1) 2 n n +维线性空间， 只需找出(1) 2 n n +个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这 (1) 2n n +个向量线性表示即可. 1-2解: 11223344x x x x ααααα=+++令 解出1234,,,x x x x 即可. 1-3 解：方法一 设11223344x x x x =+++A E E E E 即 123412111111100311100000x x x x ??????????=+++???????????????????? 故 12341231211203x x x x x x x x x x +++++?? ??=????+???? 于是 12341231,2x x x x x x x +++=++= 1210,3x x x +==
多元统计分析课后练习答案.doc
第1章 多元正态分布 1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？ 数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是0-1标准化和Z 标准化。 2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？ 欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m 维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。 缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。没有考虑到总体变异对距离远近的影响。 马氏距离表示数据的协方差距离。为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。 优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。 缺点：夸大了变化微小的变量的作用。受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。 3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？ 统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。如果各变量之间相互独立,即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵, 则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数的加权欧氏距离。 4、如果正态随机向量12(,,)p X X X X '=L 的协方差阵∑为对角阵，证明X 的分量是相互独立的随机变量。 解： 因为12(,,)p X X X X '= L 的密度函数为 1/2111(,...,)exp ()()2p p f x x --??'=---????Σx μΣx μ
矩阵分析试题A参考答案及评分标准样本
重庆邮电大学 级研究生(矩阵分析)考卷( A 卷) 参考答案及评分细则 一 、 已知 1(1,2,1,0)T α=, 2(1,1,1,1)T α=-, 1(2,1,0,1)T β=-, 2(1,1,3,7)T β=- 求12{,}span αα与12{,}span ββ的和与交的基和维数。( 10分) 解: 因为 12{,}span αα+12{,}span ββ=1212{,,,}span ααββ (2分) 由于秩1212{,,,}ααββ=3, 且121,,ααβ是向量组1212,,,ααββ的一个极大相信无关组, 因此和空间的维数是3, 基为121,,ααβ。 (2分) 设{}1212{,},span span ξααββ∈ 于是由交空间定义可知11221122k k l l ξααββ=+=+ 此即 121211212111 011030117k k l l -???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?+--= ? ? ? ? ? ? ? ????????? 解之得1122122,4,3(k l k l l l l =-==-为任意数） (2分) 于是 11222[5,2,3,4]T k k l ξαα=+=-, 1122l l ξββ=+（很显然） 因此交空间的维数为1, 基为T [-5,2，3，4] (2分) 二、 证明: Jordan 块 10()0100a J a a a ?? ??=?? ???? 相似于矩阵 0000a a a εε?? ???? ???? , 这里0ε≠为任意实数。( 10分) 证明: 由于容易求出两个λ-矩阵的不变因子均为31,1,()a λ-, 从而这两个λ-矩阵相似,
漂亮的矩阵习题
一些漂亮的矩阵不等式西西提供（2011.09） ()()() 3213213213213212det 1 2det 12det 1)4(d 1)4(d 1)4(d 1)(,,1M M M M M M M M M M et M et M et Hermitian C M M M M n +++ +++++≥++∈： 矩阵且是正定的，证明是、设( )( )()()()() ( ) 2 3212 131132 32 3 2332222 2122121321det det det 222det 22det 22det )(,,2n n n n n n n M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Hermitian C M M M M ++≥+++++++++++∈矩阵且是正定的，证明 是、设()[]() 2 22333det 56det )(,,3C B A I C B A I C B A Hermitian C M C B A n n n n ++≥+++=++∈证明：矩阵且是正定的，满足是、设) ,)(,(912596789)(,422矩阵是非负正定则说如果矩阵是的矩阵，且是说明：如果证明：矩阵，且是、设Hermitian Y X Y X Hermitian C M Y X n n I I AB B A I B AB A Hermitian C M B A n n n n n ?≥∈×≤++=++∈0 )det() )()(() (,][,,,22004(0)(d ,][,,,54 4 3 3 2 2,1214 ) (4)(,1212 ≥++++==≥++= =≤≤+? +??≤≤B b b b b b b b b b b b b B n b b b A et a a e e a a A n a a a j i j i j i j i j i ij n j i ij n j i a a a a a a ij n j i ij n j i j i j i 证明：且个正实数，且是）：若（入学试题）年哈弗大学向国内招生证明：且个正实数，且是、设????