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离散数学_修订版_耿素云_清华大学_课后答案

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第一章部分课后习题参考答案

16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。

(1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0

(2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0.

(3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0

(4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1

17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。”

答:p: π是无理数 1

q: 3是无理数0

r: 2是无理数 1

s:6能被2整除 1

t: 6能被4整除0

命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。

19.用真值表判断下列公式的类型:

(4)(p→q) →(?q→?p)

(5)(p∧r) ?(?p∧?q)

(6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)

答:(4)

p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p)

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0 0 1 1

所以公式类型为永真式

(5)公式类型为可满足式(方法如上例)

(6)公式类型为永真式(方法如上例)

第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.

(1) ?(p∧q→q)

(2)(p→(p∨q))∨(p→r)

(3)(p∨q)→(p∧r)

答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1

所以公式类型为永真式

(3) P q r p ∨q p ∧r (p ∨q )→(p ∧r)

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p →q)∧(p →r)?(p →(q ∧r))

(4)(p ∧?q)∨(?p ∧q)?(p ∨q) ∧?(p ∧q) 证明(2)(p →q)∧(p →r)

? (?p ∨q)∧(?p ∨r) ??p ∨(q ∧r))

?p →(q ∧r)

(4)(p ∧?q)∨(?p ∧q)?(p ∨(?p ∧q)) ∧(?q ∨(?p ∧q)

?(p ∨?p)∧(p ∨q)∧(?q ∨?p) ∧(?q ∨q) ?1∧(p ∨q)∧?(p ∧q)∧1 ?(p ∨q)∧?(p ∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值

(1)(?p →q)→(?q ∨p) (2)?(p →q)∧q ∧r (3)(p ∨(q ∧r))→(p ∨q ∨r) 解:

(1)主析取范式

(?p →q)→(?q ∨p)

??(p ∨q)∨(?q ∨p)

?(?p ∧?q)∨(?q ∨p)

? (?p ∧?q)∨(?q ∧p)∨(?q ∧?p)∨(p ∧q)∨(p ∧?q) ? (?p ∧?q)∨(p ∧?q)∨(p ∧q)

?320m m m ∨∨

?∑(0,2,3)

主合取范式:

(?p →q)→(?q ∨p)

??(p ∨q)∨(?q ∨p)

?(?p∧?q)∨(?q∨p)

?(?p∨(?q∨p))∧(?q∨(?q∨p))

?1∧(p∨?q)

?(p∨?q) ? M

1

?∏(1)

(2) 主合取范式为:

?(p→q)∧q∧r??(?p∨q)∧q∧r

?(p∧?q)∧q∧r?0

所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)

矛盾式的主析取范式为 0

(3)主合取范式为:

(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)

??(p∨(q∧r))→(p∨q∨r)

?(?p∧(?q∨?r))∨(p∨q∨r)

?(?p∨(p∨q∨r))∧((?q∨?r))∨(p∨q∨r))

?1∧1

?1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1

主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

第三章部分课后习题参考答案14.在自然推理系统P中构造下面推理的证明:

(2)前提:p→q,?(q∧r),r

结论:?p

(4)前提:q→p,q?s,s?t,t∧r

结论:p∧q

证明:(2)

①?(q∧r) 前提引入

②?q∨?r ①置换

③q→?r ②蕴含等值式

④r 前提引入

⑤?q ③④拒取式

⑥p→q 前提引入

⑦¬p(3)⑤⑥拒取式

证明(4):

①t∧r 前提引入

②t ①化简律

③q?s 前提引入

④s?t 前提引入

⑤q?t ③④等价三段论

⑥(q→t)∧(t→q) ⑤置换

⑦(q→t)⑥化简

⑧q ②⑥假言推理

⑨q→p 前提引入

⑩p ⑧⑨假言推理

(11)p∧q ⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提:p→(q→r),s→p,q

结论:s→r

证明

①s 附加前提引入

②s→p 前提引入

③p ①②假言推理

④p→(q→r) 前提引入

⑤q→r ③④假言推理

⑥q 前提引入

⑦r ⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理:

(1)前提:p→?q,?r∨q,r∧?s

结论:?p

证明:

①p 结论的否定引入

②p→﹁q 前提引入

③﹁q ①②假言推理 ④¬r ∨q 前提引入 ⑤¬r ④化简律 ⑥r ∧¬s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r ∧﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r ∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.

第四章部分课后习题参考答案

3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有2=(x+

)(x

).

(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解:

F(x):

2=(x+

)(x

). G(x): x+5=9.

(1)在两个个体域中都解释为)(x xF ?,在(a )中为假命题,在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为)(x xG ?,在(a )(b)中均为真命题。

4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:

(1)F(x): x 能表示成分数 H(x): x 是有理数

命题符号化为: ))()((x H x F x ∧??? (2)F(x): x 是北京卖菜的人 H(x): x 是外地人

命题符号化为: ))()((x H x F x →?? 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.

(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:

(1)F(x): x 是火车; G(x): x 是轮船; H(x,y): x 比y 快

命题符号化为: )),())()(((y x H y G x F y x →∧?? (2) (1)F(x): x 是火车; G(x): x 是汽车; H(x,y): x 比y 快 命题符号化为: ))),()(()((y x H x F x y G y →?∧?? 9.给定解释I 如下:

(a) 个体域D 为实数集合R. (b) D 中特定元素=0.

(c) 特定函数(x,y)=x y,x,y D ∈.

(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x

答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x

(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x

(a ) 个体域D=N(N 为自然数集合). (b ) D 中特定元素=2. (c ) D 上函数

=x+y,(x,y)=xy.

(d ) D 上谓词(x,y):x=y.

说明下列各式在I 下的含义,并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x)

(2) x y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.

(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0. 11. 判断下列各式的类型:

(1)

(3)

yF(x,y).

解:(1)因为 1)()(?∨?∨??→→p q p p q p 为永真式;

所以

为永真式;

(3)取解释I 个体域为全体实数 F(x,y):x+y=5

所以,前件为任意实数x 存在实数y 使x+y=5,前件真; 后件为存在实数x 对任意实数y 都有x+y=5,后件假,]

此时为假命题

再取解释I 个体域为自然数N , F(x,y)::x+y=5

所以,前件为任意自然数x 存在自然数y 使x+y=5,前件假。此时为假命题。

此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。

(1)

(F(x)

(2) x(F(x)G(x)H(x)) 解:(1)个体域:本班同学

F(x):x 会吃饭, G(x):x 会睡觉.成真解释 F(x):x 是泰安人,G(x):x 是济南人.(2)成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生

F(x):x 出生在山东,G(x):x 出生在北京,H(x):x 出生在江苏,成假解释. F(x):x 会吃饭,G(x):x 会睡觉,H(x):x 会呼吸. 成真解释.

第五章部分课后习题参考答案

5.给定解释I如下:

(a)个体域D={3,4};

(b))(x f 为3)4(,4)3(==f f

(c)1)3,4()4,3(,0)4,4()3,3(),(====F F F F y x F 为. 试求下列公式在I下的真值. (1)),(y x yF x ??

(3))))(),((),((y f x f F y x F y x →?? 解:(1) ))4,()3,((),(x F x F x y x yF x ∨????

? ))4,4()3,4(())4,3()3,3((F F F F ∨∧∨ ?1)01()10(?∨∧∨

(2) )))(),((),((y f x f F y x F y x →??

))))4(),(()4,(()))3(),(()3,(((f x f F x F f x f F x F x →∧→??

)))3),(()4,(())4),(()3,(((x f F x F x f F x F x →∧→?? )))3),3(()4,3(())4),3(()3,3(((f F F f F F →∧→?

)))3),4(()4,4(())4),4(()3,4(((f F F f F F →∧→∧

)))3,4()4,3(())4,4(0((F F F →∧→?)))3,3(0())4,3(1((F F →∧→∧

)11()00(→∧→?)00()11(→∧→∧1? 12.求下列各式的前束范式。

(1)),()(y x yG x xF ?→?

(5))),()((),(2121211x x G x x H x x F x ??→→? (本题课本上有错误)

解:(1) ),()(y x yG x xF ?→?),()(y t yG x xF ?→??)),()((y t G x F y x →??? (5) )),()((),(2121211x x G x x H x x F x ??→→?

)),()((),(2323211x x G x x H x x F x ??→→?? )),()((),(2332411x x G x H x x x F x ?→?→?? ))),()((),((2334121x x G x H x x F x x ?→→???

15.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明:

(1) 前提: ))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→?,)(x xF ?

结论: ?xR(x)

(2) 前提: ?x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x)

结论:x(F(x)∧R(x)) 证明(1)

①)(x xF ? 前提引入 ②F(c) ①EI

③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→? 前提引入 ④))())()(((y R y G y F y →∨? ①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI ⑥F(c)∨G(c) ②附加 ⑦R(c) ⑤⑥假言推理 ⑧?xR(x) ⑦EG (2)

①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI

③?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI ⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理 ⑥R(c) ⑤化简 ⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入

⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑦EG

第六章部分课后习题参考答案

5.确定下列命题是否为真:

(1)??? 真 (2)?∈? 假 (3)}{???

(4)}{?∈? 真 (5){a,b }?{a,b,c,{a,b,c }} 真 (6){a,b }∈{a,b,c,{a,b }} 真 (7){a,b }?{a,b,{{a,b }}} 真 (8){a,b }∈{a,b,{{a,b }}} 假

6.设a,b,c 各不相同,判断下述等式中哪个等式为真: (1){{a,b },c,?} ={{a,b },c } 假 (2){a ,b,a }={a,b } 真 (3){{a },{b}}={{a,b }} 假 (4){?,{?},a,b }={{?,{?}},a,b } 假 8.求下列集合的幂集:

(1){a,b,c } P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} (2){1,{2,3}} P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} } (3){?} P(A)={ ?, {?} }

(4){?,{?}} P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} } 14.化简下列集合表达式: (1)(A B ) B )-(A B ) (2)((A B C )-(B C )) A 解:

(1)(A B ) B )-(A B )=(A B ) B ) ~(A B )

=(A B ) ~(A B )) B=? B=?

(2)((A B C )-(B C )) A=((A B C ) ~(B C )) A =(A ~(B C )) ((B C ) ~(B C )) A =(A ~(B C )) ? A=(A ~(B C )) A=A

18.某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。

解: 阿A={会打篮球的人},B={会打排球的人},C={会打网球的人}

|A|=14, |B|=12, |A B|=6,|A C|=5,| A B C|=2,

|C|=6,C?A B

如图所示。

25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5

不会打球的人共5人

21.设集合A={{1,2},{2,3},{1,3},{?}},计算下列表达式:

(1) A

(2) A

(3) A

(4) A

解:

(1) A={1,2} {2,3} {1,3} {?}={1,2,3,?}

(2) A={1,2} {2,3} {1,3} {?}=?

(3) A=1 2 3 ?=?

(4) A=?

27、设A,B,C是任意集合,证明

(1)(A-B)-C=A- B?C

(2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)

证明

(1) (A-B)-C=(A ~B) ~C= A ( ~B ~C)= A ~(B?C) =A- B?C

(2) (A-C)-(B-C)=(A ~C) ~(B ~C)= (A ~C) (~B C)

=(A ~C ~B) (A ~C C)= (A ~C ~B) ?

= A ~(B?C) =A- B?C 由(1)得证。

第七章部分课后习题参考答案

7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系E A,小于或等于关系L A,整除关系D A. 解:I A ={<2,2>,<3,3>,<4,4>}

E A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}

L A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}

D A={<2,4>}

13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}

B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}

求A?B,A?B, domA, domB, dom(A?B), ranA, ranB, ran(A?B ), fld(A-B).

解:A ?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A ?B={<2,4>}

domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A ∨B)={1,2,3,4}

ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A ?B)={4}

A-B={<1,2>,<3,3>},fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}

求R R, R -1, R ↑{0,1,}, R[{1,2}] 解:R R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}

R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}

16.设A={a,b,c,d},1

R ,

2R 为A 上的关系,其中

1R ={},,,,,a a a b b d

{2,,,,,,,R a d b c b d c b

=

求2

3

122112,,,R R R R R R 。 解: R 1 R 2={,,} R 2 R 1={}

R 12

=R 1 R 1={,,}

R 22

=R 2 R 2={,,}

R 23

=R 2 R 22

={,,}

36.设A={1,2,3,4},在A ?A 上定义二元关系R ,

?,

A ?A ,〈u,v> R ?u + y = x + v. (1) 证明R 是A ?A 上的等价关系. (2)确定由R 引起的对A ?A 的划分. (1)证明:∵R ?u+y=x-y

R?u-v=x-y

?∈A ?A

∵u-v=u-v

R

∴R是自反的

任意的,∈A×A

如果R ,那么u-v=x-y

∴x-y=u-v ∴R

∴R是对称的

任意的,,∈A×A

R,R

则u-v=x-y,x-y=a-b

∴u-v=a-b ∴R

∴R是传递的

∴R是A×A上的等价关系

(2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

∈A?A , 41.设A={1,2,3,4},R为A?A上的二元关系, ?〈a,b〉,〈c,d〉

〈a,b〉R〈c,d〉?a + b = c + d

(1)证明R为等价关系.

(2)求R导出的划分.

∈A?A

(1)证明:?

a+b=a+b

R

∴R是自反的

任意的,∈A×A

R,则a+b=c+d

∴c+d=a+b ∴R

∴R是对称的

任意的,,∈A×A

R,R

则a+b=c+d,c+d=x+y

∴a+b=x+y ∴R

∴R是传递的

∴R是 A×A上的等价关系

(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解

:

2

3

468

1

11

(1) (2)

45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A 和偏序关系R 的集合表达式.

d g

a

b

f g

(a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}

R ={,,,,,,,,,}A I ?

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}

R ={,,,,,,}A I ?

46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A 的极大元`极小元`最大元和最小元. (1)A={a,b,c,d,e}

R ={,,,,,,}?I A . (2)A={a,b,c,d,e}, R ={}?IA. 解:

a

b d

e

a

b

c

d

e

(1) (2) 项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无 第八章部分课后习题参考答案

1. 设f :N →N,且

f (x)=12x x x ??

???

,若为奇数若为偶数,

求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…}),f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解:f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},

f ({0,2,4,6,…})=N ,f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N →N, f(x)=x 2+2 不是满射,不是单射

(2) f:N →N,f(x)=(x)mod 3,x 除以3的余数 不是满射,不是单射 (3) f:N →N,f(x)=10x x ???,若为奇数,若为偶数

不是满射,不是单射

(4) f:N →{0,1},f(x)=01x x ???,若为奇数,若为偶数

是满射,不是单射

(5) f:N-{0}→R,f(x)=lgx 不是满射,是单射 (6) f:R →R,f(x)=x 2-2x-15 不是满射,不是单射

5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假: (1)f 是从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的函数; 对 (2)f 是从X 到Y 的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f 是从X 到Y 的满射,但不是单射; 错

(4)f 是从X 到Y 的双射. 错

第十章部分课后习题参考答案

4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭: (1) 整数集合Z 和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元 (2) 非零整数集合

普通的除法运算。不封闭

(3) 全体n n ?实矩阵集合

(R )和矩阵加法及乘法运算,其中n 2。

封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律; 加法单位元是零矩阵,无零元; 乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;

(4)全体n n ?实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n 2。不封闭 (5)正实数集合

和运算,其中运算定义为:

不封闭 因为 +

?-=--?=R 1111111

(6)n

关于普通的加法和乘法运算。

封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 加法单位元是0,无零元;

乘法无单位元(1>n ),零元是0;1=n 单位元是1 (7)A = {},,,21n a a a n

运算定义如下:

封闭 不满足交换律,满足结合律,

(8)S =

关于普通的加法和乘法运算。

封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 (9)S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律

(10)S =

,S 关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律

5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。 见上题

7.设 * 为+

Z 上的二元运算+

∈?Z y x ,,

X * Y = min ( x ,y ),即x 和y 之中较小的数.

(1) 求4 * 6,7 * 3。 4, 3

(2)* 在+

Z 上是否适合交换律,结合律,和幂等律? 满足交换律,结合律,和幂等律

(3)求*运算的单位元,零元及+

Z 中所有可逆元素的逆元。 单位元无,零元1, 所有元素无逆元

8.Q Q S ?= Q 为有理数集,*为S 上的二元运算,,

S 有

< a ,b >* =

(1)*运算在S 上是否可交换,可结合?是否为幂等的? 不可交换:*= ≠< a ,b >*

可结合:(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的

(2)*运算是否有单位元,零元? 如果有请指出,并求S 中所有可逆元素的逆元。 设是单位元,

S ,*= *=

==,解的=<1,0>,即为单位。

是零元,

S ,*= *=

==,无解。即无零元。

S ,设是它的逆元*= *=<1,0>

==<1,0> a=1/x,b=-y/x

所以当x ≠0时,x

y x y x -=

><-,1,1

10.令S={a ,b},S 上有四个运算:*,分别有表10.8确定。

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律? (a) 交换律,结合律,幂等律都满足, 零元为a,没有单位元;

(b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元

b b a a ==--11,

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a b a b b a b a a b b a ==== )(,)(

b b a b b a )()(≠ 没有单位元, 没有零元

(d) 不满足交换律,满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元

(2) 求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上

16.设V=〈 N ,+ ,〉,其中+ ,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V 的子代数,为什么?

(1)S 1= 是

(2)S 2=

不是 加法不封闭

(3)S 3 = {-1,0,1} 不是,加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0,1,2,3},

为模4乘法,即

"?x,y ∈S, x

y=(xy)mod 4

问〈S ,

〉是否构成群?为什么?

解:(1) ?x,y ∈S, x

y=(xy)mod 4S ∈,

是S 上的代数运算。

(2) ?x,y,z ∈S,设xy=4k+r 30≤≤r

(x

y)

z =((xy)mod 4)

z=r

z=(rz)mod 4

=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x

(y

z) =(xyz)mod 4 所以,(x y)

z = x (y

z),结合律成立。

(3) ?x ∈S, (x 1)=(1

x)=x,,所以1是单位元。

(4),33,11

11

==-- 0和2没有逆元

所以,〈S ,〉不构成群

9.设Z 为整数集合,在Z 上定义二元运算。如下: " ?x,y ∈Z,xoy= x+y-2

问Z 关于o 运算能否构成群?为什么?

解:(1) ?x,y ∈Z, xoy= x+y-2Z ∈,o 是Z 上的代数运算。 (2) ?x,y,z ∈Z,

(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz),结合律成立。

(3)设e 是单位元,?x ∈Z, xo e = e ox=x,即x+e -2= e +x-2=x, e=2 (4) ?x ∈Z , 设x 的逆元是y, xoy= yox=e , 即x+y-2=y+x-2=2, 所以,x y x -==-41 所以〈Z ,o 〉构成群 11.设G=?

????????? ??--???? ??-????

??-????

??1001,1001,1001,1001,证明G 关于矩阵乘法构成一个群. 解:(1) ?x,y ∈G, 易知xy ∈G,乘法是Z 上的代数运算。

(2) 矩阵乘法满足结合律 (3)设???

?

??1001是单位元, (4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G 关于矩阵乘法构成一个群.

14.设G 为群,且存在a∈G,使得 G={a k

∣k∈Z} 证明:G 是交换群。 证明:?x,y ∈G ,设l k a y a x ==,,则

yx a a a a a a xy k l k l l

k l k ======++

所以,G 是交换群

17.设G 为群,证明e 为G 中唯一的幂等元。

证明:设G e ∈0也是幂等元,则020e e =,即e e e 02

0=,由消去律知e e =0

18.设G 为群,a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明:先证设e bca e abc k

k

=?=)()(

设,)(e abc k =则e abc abc abc abc =)())()(( , 即 e a bca bca bca bca a =-1)())()(( 左边同乘1-a ,右边同乘a 得

e ea a bac bca bca bca bca k ===-1)()())()((

反过来,设,)(e bac k =则.)(e abc k =

由元素阶的定义知,∣abc∣=∣bca∣,同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明:偶数阶群G 必含2阶元。

证明:设群G 不含2阶元,G a ∈?,当e a =时,a 是一阶元,当e a ≠时,a 至少是3阶元,因为群G 时有限阶的,所以a 是有限阶的,设a 是k 阶的,则1

-a 也是k 阶的,所以高于3阶的元成对出现的,G 不含2阶元,G 含唯一的1阶元e ,这与群G 是偶数阶的矛盾。所以,偶数阶群G 必含2阶元

20.设G 为非Abel 群,证明G 中存在非单位元a 和b,a≠b,且ab=ba. 证明:先证明G 含至少含3阶元。

若G 只含1阶元,则G={e},G 为Abel 群矛盾;

若G 除了1阶元e 外,其余元a 均为2阶元,则e a =2,a a =-1

ba ba b a ab ab ab b b a a G b a ======∈?------111111)(,)(,,,,所以,

与G 为Abel 群矛盾;

所以,G 含至少含一个3阶元,设为a ,则≠a 2a ,且2

2aa a a =。

令2

a b =的证。

21.设G 是M n (R)上的加法群,n≥2,判断下述子集是否构成子群。 (1)全体对称矩阵 是子群 (2)全体对角矩阵 是子群

(3)全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 (4)全体上(下)三角矩阵。 是子群

22.设G 为群,a 是G 中给定元素,a 的正规化子N (a )表示G 中与a 可交换的元素构成的集合,即 N (a )={x ∣x ∈G ∧xa=ax} 证明N (a )构成G 的子群。 证明:ea=ae,φ≠∈)(a N e

ya ay xa ax a N y x ==∈?,),(,则

a xy ya x ay x y xa y ax xy a )()()()()()(=====,所以)(a N xy ∈

由xa ax =,得111111,------==eax ae x xax x axx x ,即1

1--=ax a x ,所以)(1a N x ∈-

所以N (a )构成G 的子群

31.设?1是群G 1到G 2的同态,?2是G 2到G 3的同态,证明?1? 2是G 1到G 3的同态。 证明:有已知?1是G 1到G 2的函数,?2是G 2到G 3的函数,则?1·?2是G 1到G 3的函数。 ,,1G b a ∈?))()(())(())((1121221b a ab ab ???????== ))()()(()))(()))((((21211212b a b a ???????? == 所以:?1·?2是G 1到G 3的同态。

33.证明循环群一定是阿贝尔群,说明阿贝尔群是否一定为循环群,并证明你的结论。 证明:设G 是循环群,令G=,G y x ∈?,,令l k a y a x ==,,那么

yx a a a a a a xy k l k l l k l k =====++,G 是阿贝尔群

克莱因四元群,},,,{c b a e G =

e

a b c c

a

e c b b b c e a a c

b a e e

c b a e 是交换群,但不是循环群,因为e 是一阶元,a,b,c 是二阶元。

36.设τσ,是5元置换,且

???? ??=3541254321σ,???

?

??=2154354321τ

(1)计算τσσσττσστ111,,,,---;

(2)将τσσττσ11,,

--表成不交的轮换之积。

(3)将(2)中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换。 解:(1) ???? ?

?=12354

54321τσ ???? ??=5213454321στ ???

? ??=-32154543211τ ????

??=-43512543211σ ???

?

??=-23145543211

τσσ

(2) )1425(=τσ )14253(1=-τ )25)(143

(1=-τσσ (3) )15)(12)(14(=τσ 奇置换, )13)(15)(12)(14(1=-τ

偶置换

)25)(13)(14(1

=-τσσ 奇置换

离散数学第三版课后习题答案

离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论

离散数学习题解答 习题一(第一章集合) 1. 列出下述集合的全部元素: 1)A={x | x ∈N∧x是偶数∧x<15} 2)B={x|x∈N∧4+x=3} 3)C={x|x是十进制的数字} [解] 1)A={2,4,6,8,10,12,14} 2)B= 3)C={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 2. 用谓词法表示下列集合: 1){奇整数集合} 2){小于7的非负整数集合} 3){3,5,7,11,13,17,19,23,29} [解] 1){n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}; 2){n n∈I∧n≥0∧n<7}; 3){p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性: 1) 2)∈ 3){} 4)∈{} 5){a,b}{a,b,c,{a,b,c}} 6){a,b}∈(a,b,c,{a,b,c}) 7){a,b}{a,b,{{a,b,}}} 8){a,b}∈{a,b,{{a,b,}}} [解]1)真。因为空集是任意集合的子集; 2)假。因为空集不含任何元素; 3)真。因为空集是任意集合的子集; 4)真。因为是集合{}的元素; 5)真。因为{a,b}是集合{a,b,c,{a,b,c}}的子集; 6)假。因为{a,b}不是集合{a,b,c,{a,b,c}}的元素;

7)真。因为{a,b}是集合{a,b,{{a,b}}}的子集; 8)假。因为{a,b}不是集合{a,b,{{a,b}}}的元素。 4. 对任意集合A,B,C,确定下列命题的真假性: 1)如果A∈B∧B∈C,则A∈C。 2)如果A∈B∧B∈C,则A∈C。 3)如果A B∧B∈C,则A∈C。 [解] 1)假。例如A={a},B={a,b},C={{a},{b}},从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2)假。例如A={a},B={a,{a}},C={{a},{{a}}},从而A∈B∧B∈C,但、A ∈C。 3)假。例如A={a},B={a,b},C={{a},a,b},从而ACB∧B∈.C,但A∈C。5.对任意集合A,B,C,确定下列命题的真假性: 1)如果A∈B∧B C,则A∈C。 2)如果A∈B∧B C,则A C。 3)如果A B∧B∈C,则A∈C。 3)如果A B∧B∈C,则A C。 [解] 1)真。因为B C x(x∈B x∈C),因此A∈B A∈C。 2)假。例如A={a},B={{a},{b}},C={{a},{b},{c}}从而A∈B∧B C,但A C。 3)假。例如A={a},B={{a,b}},C={{a,{a,b}},从而A B∧B∈C,但A C。 4)假。例如A={a},B={{a,b}},C={{a,b},b},从而A B∧B∈C,但A C。 6.求下列集合的幂集: 1){a,b,c} 2){a,{b,c}} 3){} 4){,{}} 5){{a,b},{a,a,b},{a,b,a,b}} [解] 1){,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} 2){,{a},{{b,c}},{a,{a,b}}} 3){,{}} 4){,{},{{}},{,{}}}

离散数学课后习题答案

习题参考解答 习题 1、(3)P:银行利率降低 Q:股价没有上升 P∧Q (5)P:他今天乘火车去了北京 Q:他随旅行团去了九寨沟 Q P? (7)P:不识庐山真面目 Q:身在此山中 Q→P,或~P→~Q (9)P:一个整数能被6整除 Q:一个整数能被3整除 R:一个整数能被2整除 T:一个整数的各位数字之和能被3整除 P→Q∧R ,Q→T 2、(1)T (2)F (3)F (4)T (5)F (6)T (7)F (8)悖论 习题 1(3) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( R P Q P R P Q P R Q P R Q P → ∨ → ? ∨ ? ∨ ∨ ? ? ∨ ∨ ? ? ∨ →

(4) ()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右 2、不, 不, 能 习题 1(3) (())~((~)) (~)()~(~(~))(~~)(~) P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、 主合取范式 ) ()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(()) ()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧∨∧?∧?∨∧?∧?∨?∧∧?∨?∧?∧?=∨?∧∧∨∨?∧?∧∨∨?∧∨?∧?=∧∨?∧∨?=∨?∧∨?=→∧→ ————主析取范式 (2) ()()(~)(~) (~(~))(~(~))(~~)(~)(~~) P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨Q 2、 ()~() (~)(~) (~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解:根据给定的条件有下述命题公式: (A →(CD ))∧~(B ∧C )∧~(C ∧D ) (~A ∨(C ∧~D )∨(~C ∧D ))∧(~B ∨~C )∧(~C ∨~D ) ((~A ∧~B )∨(C ∧~D ∧~B )∨(~C ∧D ∧~B )∨ (~A ∧~C )∨(C ∧~D ∧~C )∨(~C ∧D ∧~C ))∧(~C ∨~D )

离散数学习题解答

习题一 1.下列句子中,哪些是命题?在是命题的句子中,哪些是简单命题?哪些是真命题?哪些命题的真值现在还不知道? (1)中国有四大发明. 答:此命题是简单命题,其真值为1. (2)5是无理数. 答:此命题是简单命题,其真值为1. (3)3是素数或4是素数. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为1. x+< (4)235 答:不是命题. (5)你去图书馆吗? 答:不是命题. (6)2与3是偶数. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为0. (7)刘红与魏新是同学. 答:此命题是简单命题,其真值还不知道. (8)这朵玫瑰花多美丽呀! 答:不是命题. (9)吸烟请到吸烟室去! 答:不是命题. (10)圆的面积等于半径的平方乘以π. 答:此命题是简单命题,其真值为1. (11)只有6是偶数,3才能是2的倍数. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为0. (12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答:是命题,但不是简单命题,其真值为0. (13)2008年元旦下大雪. 答:此命题是简单命题,其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:(1)p:中国有四大发明. (2)p:是无理数. (7)p:刘红与魏新是同学. (10)p:圆的面积等于半径的平方乘以π. (13)p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. (1)5是有理数. 答:否定式:5是无理数.p:5是有理数.q:5是无理数.其否定式q的真值为1.

(2)25不是无理数. 答:否定式:25是有理数. p :25不是无理数. q :25是有理数. 其否定式q 的真值为1. (3)2.5是自然数. 答:否定式:2.5不是自然数. p :2.5是自然数. q :2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. (4)ln1是整数. 答:否定式:ln1不是整数. p :ln1是整数. q :ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化,并指出真值. (1)2与5都是素数 答:p :2是素数,q :5是素数,符号化为p q ∧,其真值为1. (2)不但π是无理数,而且自然对数的底e 也是无理数. 答:p :π是无理数,q :自然对数的底e 是无理数,符号化为p q ∧,其真值为1. (3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数. 答:p :2是最小的素数,q :2是最小的自然数,符号化为p q ∧?,其真值为1. (4)3是偶素数. 答:p :3是素数,q :3是偶数,符号化为p q ∧,其真值为0. (5)4既不是素数,也不是偶数. 答:p :4是素数,q :4是偶数,符号化为p q ?∧?,其真值为0. 5.将下列命题符号化,并指出真值. (1)2或3是偶数. (2)2或4是偶数. (3)3或5是偶数. (4)3不是偶数或4不是偶数. (5)3不是素数或4不是偶数. 答: p :2是偶数,q :3是偶数,r :3是素数,s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨,其真值为1. (2) 符号化:p r ∨,其真值为1. (3) 符号化:r t ∨,其真值为0. (4) 符号化:q s ?∨?,其真值为1. (5) 符号化:r s ?∨?,其真值为0. 6.将下列命题符号化. (1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答:p :小丽从筐里拿一个苹果,q :小丽从筐里拿一个梨,符号化为: p q ∨. (2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答:p :刘晓月选学英语,q :刘晓月选学日语,符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p :王冬生于1971年,q :王冬生于1972年,说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表:

屈婉玲版离散数学课后习题答案【1】

第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0;r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值。 (1)p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 (2)(p?r)∧(﹁q∨s) ?(0?1)∧(1∨1) ?0∧1?0. (3)(?p∧?q∧r)?(p∧q∧﹁r) ?(1∧1∧1)? (0∧0∧0)?0 (4)(?r∧s)→(p∧?q) ?(0∧1)→(1∧0) ?0→0?1 17.判断下面一段论述是否为真:“π是无理数。并且,如果3是无理数,则2也是无理数。另外6能被2整除,6才能被4整除。” 答:p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为:p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1,所以这一段的论述为真。19.用真值表判断下列公式的类型: (4)(p→q) →(?q→?p) (5)(p∧r) ?(?p∧?q) (6)((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答:(4) p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式//最后一列全为1 (5)公式类型为可满足式(方法如上例)//最后一列至少有一个1 (6)公式类型为永真式(方法如上例)// 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.

(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答:(2)(p→(p∨q))∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r (p∨q)→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式: (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明(2)(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解: (1)主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案 习题二及答案:(P38) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。 6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: | (2)()()p q p r ∧∨?∨ 解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取范式。 ; 主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式: (1)()()p q p r ∨∨?∧ 解:公式的真值表如下:

, 由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式,故主析取范式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案:(P52-54) 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提:,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论:s 证明: ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 — ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理: (2)前提:()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论:p u → 证明:用附加前提证明法。 ' ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入

离散数学课后习题答案(左孝凌版)

离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1,1-2解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解:

离散数学课后习题答案左孝凌版

a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解:、- a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。 P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解: a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可 作为合式公式) b)是合式公式 c)不是合式公式( d)) e)不是合式公式(R和S之间缺少联结词) f)是合式公式。 (2)解: a)A是合式公式,(A∨B)是合式公式,(A→(A∨B))是合式公式。 这个过程可以简记为: A;(A∨B);(A→(A∨B)) 同理可记 b)A;┓A ;(┓A∧B) ;((┓A∧B)∧A) c)A;┓A ;B;(┓A→B) ;(B→A) ;((┓A→B)→(B→A)) d)A;B;(A→B) ;(B→A) ;((A→B)∨(B→A)) (3)解: a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b)((B→A)∨(A→B))。 (4)解: a) 是由c) 式进行代换得到,在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到,在a) 中用P→(Q→P)代换Q.

离散数学课后答案

离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 (1)小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. (2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答: (1)(p Λ?q )ν(?pΛq)其中p:小丽拿一个苹果,q:小丽拿一个梨(2)(p Λ?q )ν(?pΛq)其中p:刘晓月选学英语,q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答: (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q

离散数学第四版课后标准答案

离散数学第四版课后答案 第1章习题解答 1.1 除(3),(4),(5),(11)外全是命题,其中,(1),(2),(8),(9), (10),(14),(15)是简单命题,(6),(7),(12),(13)是复合命题。 分析首先应注意到,命题是陈述句,因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中,(3)为疑问句,(5)为感叹句,(11)为祈使句,它们都不是陈述句,所以它们都不是命题。 其次,4)这个句子是陈述句,但它表示的判断结果是不确定。又因为(1),(2),(8),(9),(10),(14),(15)都是简单的陈述句,因而作为命题,它们都是简单命题。(6)和(7)各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题,(12)是由联结词“或”联结的复合命题,而(13)是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中,合取联结词有许多表述法,例如,“虽然……,但是……”、“不仅……,而且……”、“一面……,一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意,有时“和”或“与” 联结的是主语,构成简单命题。例如,(14)、(15)中的“与”与“和”是联结的主语,这两个命题均为简单命题,而不是复合命题,希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时,要根据命题所陈述的含义加以区分。 1.2 (1)p: 2是无理数,p为真命题。 (2)p:5能被2整除,p为假命题。 (6)p→q。其中,p:2是素数,q:三角形有三条边。由于p与q都是真 命题,因而p→q为假命题。 (7)p→q,其中,p:雪是黑色的,q:太阳从东方升起。由于p为假命

题,q为真命题,因而p→q为假命题。 (8)p:2000年10月1日天气晴好,今日(1999年2月13日)我们还不 知道p的真假,但p的真值是确定的(客观存在的),只是现在不知道而已。(9)p:太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定,是确定的。 1 (10)p:小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定,是确定的。 (12)p∨q,其中,p:4是偶数,q:4是奇数。由于q是假命题,所以,q 为假命题,p∨q为真命题。 (13)p∨q,其中,p:4是偶数,q:4是奇数,由于q是假命题,所以,p∨q 为假命题。 (14)p:李明与王华是同学,真值由具体情况而定(是确定的)。 (15)p:蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。 分析命题的真值是唯一确定的,有些命题的真值我们立即可知,有些则不能马上知道,但它们的真值不会变化,是客观存在的。 1.3 令p:2+2=4,q:3+3=6,则以下命题分别符号化为 (1)p→q (2)p→?q (3)?p→q (4)?p→?q

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离散数学习题答案 习题一及答案:(P14-15) 14、将下列命题符号化: (5)李辛与李末是兄弟 解:设p :李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p (6)王强与刘威都学过法语 解:设p :王强学过法语;q :刘威学过法语;则命题符号化的结果是 p q ∧ (9)只有天下大雨,他才乘班车上班 解:设p :天下大雨;q :他乘班车上班;则命题符号化的结果是q p → (11)下雪路滑,他迟到了 解:设p :下雪;q :路滑;r :他迟到了;则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p :2+3=5. q :大熊猫产在中国. r :太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值: (4)()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解:p=1,q=1,r=0, ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??, (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型: (2)()p p q →?→? 解:列出公式的真值表,如下所示: 20、求下列公式的成真赋值:

(4)()p q q ?∨→ 解:因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是: ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有:01,10,11。 习题二及答案:(P38) 5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取范式, 所以成真赋值为011,111。 6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨?∨ 解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取范式, 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取范式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式:

离散数学课后习题答案_(左孝凌版)

1-1,1-2 (1)解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P:a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q

e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨Q)→R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解: a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式) b)是合式公式 c)不是合式公式(括弧不配对) d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词) e)是合式公式。 (2)解: a)A是合式公式,(A∨B)是合式公式,(A→(A∨B))是合式公式。这个过程可以简记为:A;(A∨B);(A→(A∨B)) 同理可记 b)A;┓A ;(┓A∧B) ;((┓A∧B)∧A) c)A;┓A ;B;(┓A→B) ;(B→A) ;((┓A→B)→(B→A)) d)A;B;(A→B) ;(B→A) ;((A→B)∨(B→A)) (3)解: a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b)((B→A)∨(A→B))。 (4)解: a) 是由c) 式进行代换得到,在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q.

离散数学习题答案(耿素云屈婉玲)

离散数学习题答案 习题二及答案:(P38) 5、求下列公式的主析取式,并求成真赋值: (2)()()p q q r ?→∧∧ 解:原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨,此即公式的主析取式, 所以成真赋值为011,111。 6、求下列公式的主合取式,并求成假赋值: (2)()()p q p r ∧∨?∨ 解:原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?,此即公式的主合取式, 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取式,再用主析取式求主合取式: (1)()p q r ∧∨ 解:原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨,此即主析取式。 主析取式中没出现的极小项为0m ,2m ,4m ,所以主合取式中含有三个极大项0M ,2M ,4M ,故原式的主合取式 024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取式: (1)()()p q p r ∨∨?∧ 解:公式的真值表如下:

由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取式,故主析取式 1234567m m m m m m m ?∨∨∨∨∨∨ 习题三及答案:(P52-54) 11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。 前提:,,,p q q r r s p ?∨?∨→ 结论:s 证明: ① p 前提引入 ② p q ?∨ 前提引入 ③ q ①②析取三段论 ④ q r ?∨ 前提引入 ⑤ r ③④析取三段论 ⑥ r s → 前提引入 ⑦ s ⑤⑥假言推理 15、在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面推理: (2)前提:()(),()p q r s s t u ∨→∧∨→ 结论: p u → 证明:用附加前提证明法。 ① p 附加前提引入 ② p q ∨ ①附加 ③ ()()p q r s ∨→∧ 前提引入 ④ r s ∧ ②③假言推理 ⑤ s ④化简 ⑥ s t ∨ ⑤附加 ⑦ ()s t u ∨→ 前提引入 ⑧ u ⑥⑦假言推理 故推理正确。 16、在自然推理系统P 中用归谬法证明下面推理: (1)前提:p q →?,r q ?∨,r s ∧? 结论:p ?

离散数学课后习题答案左孝凌版

离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1,1-2解: a)是命题,真值为T。 b)不是命题。 c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解: 原子命题:我爱北京天安门。 复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解: a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解: a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 (Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解: a)设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c)设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q d)设P:a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q e)设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解: a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。R:我在睡觉。P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 (1)解:

离散数学课后习题答案_(左孝

证明 设A 上定义的二元关系R 为: <<x,y >, <u,v >>∈R ?x y =u v ① 对任意<x,y >∈A ,因为x y =x y ,所以 <<x,y >, <x,y >>∈R 即R 是自反的。 ② 设<x,y >∈A ,<u,v >∈A ,若 <<x,y >, <u,v >>∈R ?x y =u v ?u v =x y ?<<u,v >,<x,y >>∈R 即R 是对称的。 ③ 设任意<x,y >∈A ,<u,v >∈A ,<w,s >∈A ,对 <<x,y >, <u,v >>∈R ∧<<u,v >, <w,s >>∈R ?(x y =u v )∧(u v =w s )?x y =w s ?<<x,y >, <w,s >>∈R 故R 是传递的,于是R 是A 上的等价关系。

3-10.6 设R是集合A 上的对称和传递关系,证明如果对于A中的每一个元素a,在A中同时也存在b,使在R之中,则R是一个等价关系。 证明对任意a∈A,必存在一个b∈A,使得<a,b>∈R. 因为R是传递的和对称的,故有: <a,b>∈R∧<b, c>∈R?<a, c>∈R?<c,a>∈R 由<a,c>∈R∧<c, a>∈R?<a,a>∈R 所以R在A上是自反的,即R是A上的等价关系。 3-10.7 设R1和R2是非空集合A上的等价关系,试确定下述各式,哪些是A上的等价关系,对不是的式子,提供反例证明。a)(A×A)-R1; b)R1-R2; c)R12; d) r(R1-R2)(即R1-R2的自反闭包)。 解 a)(A×A)-R1不是A上等价关系。例如: A={a,b},R1={<a,a>,<b,b>}

《2013离散数学课程 》模拟题答案

《离散数学》期末考试考点及模拟题答案 一、考试题型及分值 各种题型所占的比例: 填空题10%,判断题10%,选择题20%,其它题型60% 新出试卷按照如下各种题型所占的比例: 填空题20%,判断题15%,选择题30%,其它题型35% 二、考点 1.命题逻辑 熟练掌握命题及其表示; 掌握常用联结词(?、∧、∨、→、 )的使用; 熟练掌握命题公式的符号化; 熟练掌握使用真值表判别命题等价的方法; 掌握使用等价公式判别命题等价的方法; 掌握重言式与蕴含式的概念及其判别方法;了解其他联结词的使用;了解对偶的概念; 掌握求命题范式的方法; 熟练掌握命题演算推理的基本理论。 2.谓词逻辑 熟练掌握谓词的概念及其表示; 熟练掌握量词的使用; 掌握使用谓词公式翻译命题的方法; 掌握变元的约束; 掌握谓词演算中等价式与蕴含式的判别;了解前束范式的求法; 熟练掌握谓词演算推理的基本理论。 3.集合与关系 熟练掌握集合的概念和表示法; 掌握集合的基本运算; 掌握序偶与笛卡尔积的概念; 熟练掌握关系及其表示; 掌握关系的基本性质;了解复合关系和逆关系的概念; 掌握关系的闭包运算; 了解集合的划分和覆盖; 掌握等价关系与等价类的概念; 了解相容关系的概念; 掌握各种序关系的概念。 4.函数 熟练掌握函数的概念; 掌握逆函数和复合函数的概念;了解基数的概念; 了解可数集与不可数集; 了解基数的比较。 5.代数结构 掌握代数系统的概念; 掌握n元运算及其性质; 掌握半群、群与子群的概念; 了解阿贝尔群和循环群的概念; 了解陪集与拉格朗日定理; 了解同构与同态的概念; 了解环与域的概念。 6.图论

离散数学课后习题答案二

习题3.7 1. 列出关系}6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z 中所有有序4元组。 解 }6|{=???∈><+ d c b a d c b a d c b a 且,,,,,,Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><= ><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,1 2. 列出二维表 3.18所表示的多元关系中所有5元组。假设不增加新的5元组,找出二维表3.18所有的主键码。 表3.18 航班信息 航空公司 航班 登机口 目的地 起飞时间 Nadir 112 34 底特律 08:10 Acme 221 22 丹佛 08:17 Acme 122 33 安克雷奇 08:22 Acme 323 34 檀香山 08:30 Nadir 199 13 底特律 08:47 Acme 222 22 丹佛 09:10 Nadir 322 34 底特律 09:44 解 略 3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组>

离散数学(左孝凌)课后习题解答(详细)

离散数学~ 习题1.1 1.下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗? ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3<5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以 。 ⑾只有6是偶数,3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨,他就乘班车上班。 解:⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题,其中⑴⑶⑽⑾是真命题,⑷⑹⑿是假命题,⑸⑺⒀的真值目前无法确定;⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷,所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影,那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出,我在睡觉。 ⑻除非天下大雨,否则他不乘班车上班。 解:⑴本命题为原子命题; ⑵p:天气冷;q:我穿羽绒服; ⑶p:天在下雨;q:湿度很高; ⑷p:刘英上山;q:李进上山; ⑸p:王强学过法语;q:刘威学过法语; ⑹p:你看电影;q:我看电影; ⑺p:我看电视;q:我外出;r:我睡觉; ⑻p:天下大雨;q:他乘班车上班。

3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭,一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。 ⑶若地球上没有树木,则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数,则a+b是偶数。 解:⑴p:他吃饭;q:他听音乐;原命题符号化为:p∧q ⑵p:3是素数;q:2是素数;原命题符号化为:p∨q ⑶p:地球上有树木;q:人类能生存;原命题符号化为:?p→?q ⑷p:8是偶数;q:8能被3整除;原命题符号化为:p?q ⑸p:停机;q:语法错误;r:程序错误;原命题符号化为:q∨r→p ⑹p:四边形ABCD是平行四边形;q:四边形ABCD的对边平行;原命题符号化为:p?q。 ⑺p:a是偶数;q:b是偶数;r:a+b是偶数;原命题符号化为:p∧q→r 4. 将下列命题符号化,并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6,则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6,则雪是白的。 ⑶如果3+3=6,则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6,则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1,O2的面积相等,则它们的半径相等,反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时,她就唱歌,反之,当她唱歌时,一定心情愉快。 解:设p:3+3=6。q:雪是白的。 ⑴原命题符号化为:p→q;该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为:?p→q;该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为:p→?q;该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为:?p→?q;该命题是真命题。 ⑸p:3是无理数;q:加拿大位于亚洲;原命题符号化为:p?q;该命题是假命题。 ⑹p:2+3=5;q:3是无理数;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。 ⑺p:两圆O1,O2的面积相等;q:两圆O1,O2的半径相等;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。 ⑻p:王小红心情愉快;q:王小红唱歌;原命题符号化为:p?q;该命题是真命题。

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